6.2.1 第2课时 函数单调性的综合问题（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第2课时函数 ● 课堂⊙ 题型一 讨论函数的单调性 [例1] 讨论函数f(x)=2ax2+x-(a十1)lnx(a ≥0)的单调性. 汇思路点拨] 求函数的定义域→求f(x) 分a>0,a=0 解不等式f(x)>0或f(x)<0→ 表述f(x)的单调性 [解]函数f(x)的定义域为(0，十o∞)，f(x)=ax 十1-a+1-az2+x-(a+1) 2 (1)当a=0时，f(x)=二1，由f()>0,得x> 2 1,由f'(x)<0,得0<x<1..f(x)在(0,1)内为 减函数，在(1，十∞)内为增函数. a(ztet1)(z-1) (2)当a>0时，f(x)= a a>0,.- a十1<0.由f(x)>0,得x>1,由 f'(x)<0,得0<2<1. .f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，十∞)内为增 函数. 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在 (1,十∞)内为增函数 规律方法， 讨论函数f(x)单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f(x),并求方程f(x)=0的根； (3)利用f(x)=0的根将函数的定义域分成若干 个子区间，在这些子区间上讨论f'(x)的正 负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性. ⊙[变式训练] 1.(2020·和平区一模)已知f(x)是定义在R上的函 数，它的图象上任意一点P(x,y)处的切线方程 为y=(x十x。-2)x十(y-x-x8+2xn),那么 函数f(x)的单调递减区间为 A.(-2,1) B.(-1,2) C.(-0∞，-2) D.(1,+∞) 解析：A[由图象上任意一点P(xo,y)处的切线 方程为y=(x十x。-2)x十(y。一x-z十2x), 知f(x)的导数为f(x)=x2十x-2, 令f'(x)<0,解得：-2<x<1,故选A.] 第六章导数及其应用 单调性的综合问题 互动学案 对应学生用书P55 题型二 构造函数利用函数的单调性求解不等 式或比较大小 [例2] 已知定义在(0，十∞)上的函数f(x)的导函 数为f(x)且满足f(x)·x<f(x),f(3)=0,则 fx>0的解集为 [解析]设g(x)=四，因为f(x)·<f(x), 所以g'(x)=·f(）f四<0>g()是(0， x 十∞)上的减函数，因为f(3)=0,所以g(3)=0, 图此f>0→g(x)>0=g(3)→x<3,”x>0, .0<x<3. 所以f>0的解集为(0,3). x 答案：(0,3) 规律方法 根据题中所给条件构造函数，求导判定函数的单 调性，利用函数的单调性求解不等式或比较函数 式的大小，是考题中的重要题型。 ◇[变式训练] 2.设函数f(x)的导函数为f(x),且当x∈ [0,)时，+f)sin<0.f0)=0. 下列判断中，一定正确的是 A.2 B.f()>f) C.f(ln2)>0 Df()f() 解析：B[:f(x)对于任意的x∈[0，受)满足 f(x)cosx+f(x)sinx<0,令g(x)=f,则 g()=f)0 os)sin工<0，g(x)在 cosa p引》单类成货)圆 cos 得} cos4 09 数学B版·选择性必修第三册 题型三范知函数的单调性求参数的范面 [例3]已知函数f(x)=x3-a.x一1在R上为单调 递增函数，求实数a的取值范围， [思路点拨] f()单调递增→f(x)≥0恒成立 →分离参数求a的范围 [解]由已知得f(x)=3.x2-a,因为f(x)在 (一∞，十∞)上是单调增函数，所以f'(x)=3x2 a≥0在（一∞，十∞）上恒成立，即a≤3.x2对x∈R 恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a=0 时，f(x)=3.x2≥0，f(x)=x3-1在R上是增函 数，所以a≤0. [母题变式] 1.(变条件)若函数f(x)=x3一ax一1的单调减区间 为（一1,1），求a的取值范围 [解]由f'(x)=3.x2-a,①当a≤0时，f'(x)≥ 0,∴.f(x)在（一∞，十∞）上为增函数. 回当。>0时，令3心a=0,得x=士，当 <<√@时f(x)<0. 3 3 .f(x)在 V3a V3a 3,3 上为减函数，f(x)的单 调递减区间为 V3aV3a 3’3 8a=1,即a=3. 3 2.(变条件)若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上 单调递减，求a的范围。 [解]由题意可知f'(x)=3.x2-a≤0在(-1,1) 上恒成立， (f'(-1)≤0 f(1)≤0 (3-a≤0 ,∴.a≥3.即a的取值范围是[3，十o∞). 3-a≤0 3.(变条件)若函数f(x)=x3-a.x-1在(-1,1)上 不单调，求a的范围. [解]f(x)=x3-ax-1,.f(x)=3x2-a,由 f()=0,得x=±30(a≥0)，：f(x)在区间 3 (-1,1）上不单调，0/0<1，即0<a<3.故a 3 的取值范围为(0,3). .11 规律方法 1.解答本题注意：可导函数f(x)在(a,b)上单调 递增（或单调递减）的充要条件是f(x)≥0（或 f(x)≤0)在(a,b)上恒成立，且f'(x)在(a,b) 的任何子区间内都不恒等于0. 2.已知f(x)在区间(a,b)上的单调性，求参数范 围的方法 (1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单 调递增（减）的问题，则区间(a,b)是相应单调 区间的子集； (2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)上单 调递增（减）的问题，则f(x)≥0(f(x)≤0) 在(a,b)内恒成立，注意验证等号是否成立. ◇[变式训练] 若函数fo)=号-4r+(a-10z+1在区间 (1,4)内单调递减，在(6，+∞)上单调递增，试求a 的取值范围. 解方法一(x)=x2一a.x十a-1.因为f(x)在 (1,4)内单调递减，所以f(x)≤0在(1,4)上恒成 立，即a(x-1)≥x2-1在(1,4)上恒成立，所以a ≥x+1. 因为2<x十1<5，所以当a≥5时，f'(x)≤0在(1， 4)上恒成立. 又因为f(x)在(6，十∞)上单调递增，所以f(x)≥ 0在(6，十∞)上恒成立， 所以a≤x十1.因为x十1>7，所以当a≤7时， f'(x)≥0在(6，十∞)上恒成立. 综上知5≤a≤7. [当堂达标] 1.若f()=n2,e<a<b,则 A.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b) C.f(a)<f(b) D.f(a)f(b)>1 1 解析：A[因为f(x)= 1x-lnx1-lng.当x ∈(e,十∞)时，1-lnx<0,所以f(x)<0,所以 f(x)在(e,十oo)内为单调递减函数.故f(a)>f(b).] 2.若函数f(x)=x3一a.zx2-x十6在(0,1)内单调递 减，则实数a的取值范围是 ) A.[1,十∞) B.a=1 C.(-o∞，1] D.(0,1) 解析：A[,f'(x)=3x2-2ax-1,且f(x)在(0， 1)内单调递减，.不等式3x2-2ax-1≤0在(0,1) 内恒成立，.f'(0)≤0，且f(1)≤0，.a≥1.] 0 3.若函数y=x2一2bx十6在(2,8)内是增函数，则实 数b的取值范围是 解析：由题意得y=2x一2b≥0在(2,8)内恒成立， 即b≤x在(2,8)内恒成立，所以b≤2. 答案：(-∞，2] 4.试求函数f(x)=kx一lnx的单调区间. 解：函数f(x)=kx一lnx的定义域为(0，十∞)， 了)=- 当k≤0时，kx一1<0，∴.f(x)<0,则f(x)在(0， 十∞)上单调递减. ●- 课时® [基础达标练丁 1.函数f)=2+(>0)的单调减区间为（) A.(-√bwb) B.(-∞，-√b),(b,+o∞) C.(-∞，-√6) D.(-√b,0),(0Wb) 解析：D[:f(x)=x+么(b>0),(x)=1- 会令f)=1-2<0,解得：-6<<0成0< x<√b,∴.f(x)的单调减区间为（一√b,0),(0,√b).] 2.设f(x)=ax3+bz2十cx+d(a>0),则f(x)为R 上的增函数的充要条件是 () A.b2-4ac>0 B.b>0,c>0 C.b=0,c>0 D.b2-3ac≤0 解析：D[,'a>0,f(x)为增函数，.f(x)=3ax +2bx+c≥0恒成立，∴.△=(2b)2-4×3a×c=4b2 -12ac≤0，.b2-3ac≤0.] 3.已知函数f(x)=一x3+a.x2-x一1在R上是单调 函数，则实数a的取值范围是 () A.(-∞，-W3)U[V5,+∞] B.[-√3，√3] C.(-∞，-√3)U(√5，+∞) D.(-√3w5) 解析：B[由题意知，f(x)=-3x2+2ax-1,因 为y=f(x)在R上是单调函数，且y=f'(x)的图 象开口向下，所以f(x)≤0在R上恒成立，故△= 4a2-12≤0，即-√3≤a≤√3.] ·11 第六章导数及其应用 当>0时，由f(x)0,即红，1<0，解得0K<名： 由f()>0,即1>0，解得> 当>0时，f()的单调递减区间为0，)，单 调运培区间为（会十∞ 综上所述，当≤0时，f(x)的单调递减区间为(0， 十∞)； 当>0时，f(x)的单调道减区间为0，)，单调 递增区间为（十）】 素养提升 对应学生课时P32 4.已知函数f(x),g(x)在区间[a,b]上均有f(x)< g(x),则下列关系式正确的是 A.f(z)+f(b)g(z)+g(b) B.f(z)-f(b)g(z)-g(b) C.f(x)≥g(x) D.f(a)-f(b)g(b)-g(a) 解析：B[根据题意，由f'(x)<g'(x),得f'(x) g'(x)<0.令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)在[a, b]上递减，由单调性知，当x∈[a,b]时，必有F(x) ≥F(b),即f(x)-g(x)≥f(b)-g(b),移项整理， 得f(.x)-f(b)≥g(x)-g(b).] 5.(多选)已知函数f(x)=xln(1十x),则 ( A.f(x)在(0，+∞)单调递增 B.f(x)有两个零点 C面线y=)在点(-2()处切线的斜 率为-1-ln2 D.f(x)是偶函数 解析：AC[由f(x)=xln(1十x)知函数的定义域 为(-1，+∞)，f()=h(1+)+千x,当x∈ (0,+o∞)时，1n1+x)>0,千7>0，f(x)>0, 故f(x)在(0，十∞)单调递增，A正确；由f(0)= 0,当-1<x<0时，ln(1+x)<0,f(x)=xln(1+ x)>0,当ln(1+x)>0,f(x)>0,所以f(x)只有0 -个零点，B错误令=3f(-)=1n号 1=-ln2一1，故曲线y=f（x)在点 (-2()处切线的斜率为-1-1n2,C正 确；由函数的定义域为（一1，十∞），不关于原，点对 称知，f(x)不是偶函数，D错误.] 数学B版·选择性必修第三册 6.函数f(x)=e一ex的单调递减区间为 解析：f'(x)=e-e,令f(x)=e-e<0,解得x< 1,所以函数f(x)的单调递减区间为（一∞，1）. 答案：(-∞，1) 7.(双空题)已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x -1. (1)若f(x)的单调减区间为（一1,1），则a的取值 集合为 (2)若f(x)在区间（一1,1）内单调递减，则a的取 值集合为 解析：f(x)=3z2+2a.x+2a-3=(x+1)(3a+2a-3). (1):f(x)的单调减区间为(-1,1)，.一1和1是 方程f()=0的两根，.3-2a=1,.a=0,.a 3 的取值集合为{0}. (2)f(x)在区间（一1,1）内单调递减，.f(x)< 0在(-1,1)内恒成立，又二次函数y=f'(x)开口 向上，一根为-1，.必有320>1，a<0,a的 3 取值集合为{aa<0}. 答案：{0}{aa<0} 8.求函数f(x)=(a+1)lnx+a.x2+1的单调区间. 解：f(x)的定义域为(0，十o∞).(r)=十1+2ax =2ax2+a+1 当a≥0时，f'(x)>0,故f(x)在(0，+∞)单调 递增. 当a≤一1时，f(x)<0,故f(x)在(0，+∞)单调 递减。 当-1<a<0时，令f(x)=0,解得= a+1 2a 则当x∈ a十1 0λ-2a, 时，f'(x)>0;x∈ a+1 2a 十o∞时，f'(x)<0 故f(x)在 a+1 上单调递增，在 2a ,十o∞上单调递减。 a+ 2a [能力提升练] 9.若关于x的不等式x2+mx一2>0在区间[1,2]上 有解，则实数m的取值范围为 A.(-∞，-1) B.(-0∞，1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) ·11 解析：D[关于x的不等式x2+mx一2>0在区间 [1,2]上有解，所以mx>2-x2在x∈[1,2]上有 解，即m>是-x在x∈[1,2]上成立，设函数f） -是-x[1,2],所以f)=-号-1<00 成立，所以f(x)在x∈[1,2]上是单调减函数，且 f(x)值域为[-1,1门，要使m>2-x在x∈[1,2] 上有解，则m>一1，即实数m的取值范围是（一1， 十∞).] 10.(多选)已知函数f(x)=xlnx,若0<x1<x2,则 下列结论正确的是 ( A.x2f()xf(x2) B.x1+f(x1)<x2十f(x2) C.f）-f）<0 x1一X2 D.当lnx>-1时z1f(x1)+x2f(x2)>22f(x1) 解析：AD[令g(x)=f=1nx,在(0，十o∞) 上是增函数，.当0<x1<x2时，g(21)<g(2), f)<f,即f()<x,f():故A正 2x1 确；令g(x)=f(x)十x=xlnx十x,.g'(x) =In 2+2, .x∈(e2,十∞)时，g'(x)>0,g（x)单调递增，x ∈(0，e2)时，g'(x)<0,g(x)单调递减. x1十f(x1)与x2十f(x2)无法比较大小；故B错 误；因为令g(x)=f(x)=-x=xlnx-x,g'(x) =lnx,x∈(0,1)时，g(x)<0,g(x)在(0,1)单 调递减，x∈(1，十∞)时，g'(x)>0,g(x)在(1， 十o∞)单调递增，.当0<x1<x2<1时，g(x1)> g(x2）,∴.f(x1)-2x1>f(x2)-x2,.f(x1)一 f)>,-,….f）-f）<0.当1< x1一x2 <22时，g(x1)<g(x2),.f(x1)-x1<f(x2)一 f)-f(x)<,-,f）-fx2 x1-x2 >0,故C错误；因为lnx>一1时，f(x)单调递 增，又因为A正确，∴.1·f(x1)十x2f(x2) 2x2f(x1)>x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)- f(x1)]=(1-x2)[f(1)-f(x2)]>0,故D正 确；故选AD.] 11.已知函数fx)=lnx十7-3a+公，若函数f)在 [1,2]上单调递减，则实数m的最小值为 解析：f)=+21-3-兴f)≤0，可得m ≥2x3-3x2十x,令g(x)=2x3-3x2+x,若函数 f(x)在[1,2]上单调递减，即m≥g（x)mx当x∈ [1,2]时，g(x)=6.x2-6x十1单调递增，g'(x)= 6x2-6.x+1≥g'(1)>0,所以函数g(x)在[1,2] 上单调递增，g(x)mx=g(2)=6,所以m≥6. 答案：6 12.已知函数f(x)=ax-3r2十1-三，讨论函数 f(x)的单调性. 解：由条件可知a≠0，所以f'(x)=3ax2一6.x= aur(r-2) 所以当a>0时，f(x)>0得x<0或x> a f)<0得0<<名f(x)在(-0,0. (总+四上是增画数，在〔0，)上是减画数： 当a<0时f)0释<号或>0，f()>0 将<<0.f)在，)(0，+∞)上是减 函敛，在（名0上是增函数。 综上0>0时，f)在(-0,0)，(2，+上是 增西数，在(0，号)上是减函数：a<0时，f()在 (-,名)0，十∞)上是减画数，在（台0上是 增函数. [素养培优练] 13.（多选)已知f(x)为函数f(x)的导函数，且f(x) =3女-f0)x+f10e,若g)=f) 名十，方程8)a1=0有且只有-个根，则 a的取值可能是 A.e B.1 C.-1 D.-2 ·113 第六章导数及其应用 解折：ACD[由f()=2-f(0)z+f1) e-1,得f(0)=f(1)e1, f(x)=x-f(0)+f(1)e1, .f(1)=1-f(1)e1+f'(1),.f'(1)=e,则 f0)=ee=1,则fa)=子r-x十eg )=f)-2+x=e,方程g(x)-a=0, 即e=a.x,x=0时方程显然无解；x<0时，对于 任意a<0, 函数y=e与y=ax有一个交点，满足题意； >0时，则a=兰，令h()=兰则() ze-e'e'(z-1) x x2 当x∈(0,1)时，h'(x)<0,当x∈（1，+∞)时， h'(x)>0, ∴.h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 递增， 又当x→0+时，h(x)→+∞，当时x→十o∞，h(x) →十0∞. .h(x)在(0，十o∞)时的图象如图： Ay -y=e 01 由图可知，a=e时，方程a=g有一根，综上，a的 取值范围为（一o∞，0）U{e},故选ACD.] 14.已知函数f(x)与f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)=fC四的单调递减区间为 e y=f(x) /y=f'(x) h4 解析：由图象可知，不等式f(x)一f(x)<0的解 条%01U4,+0.g)-2g) f(x)e-f(x)·(e)=f()-f2,由g'(x) (e)2 e <0,可得f(x)-f(x)<0,解得x∈(0,1)U(4, 十○.因此，函数g(x)=f八卫的单调递减区间为 (0,1)、(4,+∞). 答案：(0,1)、(4，十∞).