6.1.4 第1课时 导数的四则运算法则（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第六章导数及其应用 ⊙[变式训练] 3.若f(x)=x2,g(x)=x3,则满足f(x)+1=g'(x) 3.质点的运动方程是S()=sint,则质点在t=交时的速 的x值为 3 4.已知两条曲线y=sinx,y=cosx,是否存在这两条 度为 ;质点运动的加速度为 曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切 [当堂达标] 线互相垂直？并说明理由. 1.下列各式中正确的是 A.(log.2)=1 x B.(log,)'=In 10 C.(3)'=3x D.(3r)'=3r1n3 2.(多选)下列求导运算错误的是 A.(cos z)'=sin x B.(3*)'=3*logs e 1 C.(1gx)'= x In 10 D.(x2)'=-2x1 6.1.4求导法则及其应用 第1课时 导数的四则运算法则 课程标准 素养解读 1.能利用导数的四则运算法则，求简单函数的1.通过运用导数四则运算法则求解简单的导数问题，培 导数 养数学运算的核心素养。 2.进一步理解导数的运算与几何意义的综合2.通过导数的综合应用，达成逻辑推理和数学运算的核 应用 心素养 课前。预习学案 [情境引入] 3.商的导数 上节课学习了五种常见函数y=c、y=x、y=x2、 符号表示： f(x)1 f'(x)g(x)-f(x)g'(z) g(Z) [g(x)]2 工y=丘的导数公式及基本初等函数求导公式 (g(x)≠0). 和它们的应用.那么导数可以进行四则运算吗？这是 [预习自测] 我们这节课要研究的问题 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“√”，错误的打“X”. (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差. () (2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商. [知识梳理] (3)(x2cos x)'=-2xsin x. [知识点]导数的运算法则 2.函数y=x3·2的导函数是 设两个函数f(x),g(x)可导，则 A.y'=3.x2·2 1.和（差）的导数 B.y=2x3·2 符号表示：[f(x)±g(x)]'= C.y=3x2·2+21n2 2.积的导数 D.y=3x2·2x+2·x31n2 符号表示：[f(x)g(x)]丫= 特别地，当g(x)=c(c为常数)时，[cf(x]了= ;(2)(xe)'= 。47。 数学B版·选择性必修第三册 ● 课堂。互动学案 规律方法· 题型一 函数和与差的求导法则 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便」 [例1]求下列函数的导数 2.含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再 (1)y=x'-In x (2)y=e*+sin x 求导 ◇[变式训练] 汇思路点拨 2.求下列函数的导数 函数和（差）的导数，等于这两个函数的导数之和 (1)y=x2+x2;(2)y=3e-2r+e; (差). ay540y--sin营o会 规律方法 两个函数之和的导数等于这两个函数的导数 之和； 两个函数之差的导数等于这两个函数的导数之差. ⊙[变式训练] 1.求下列函数的导数 题型导数西厕运算法则在实际生活中的应用] (1)f(x)=x3+3x-1 [例3]日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随 (2)y=x+x1 着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加，已 (3)y=a*-cos x 知将1t水净化到纯净度为x%所需费用（单位：元） 为c(x)=0x 5284(80<x<100) 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变 化率： (1)90%;(2)98% 题型函数积与商的求亭法则 [例2]求下列函数的导数： 1)y-号x-等x+3x+2,(2)y=(3x-4x) ·(4x5+3x3);(3)y=3√x+4√x;(4)y= tan x. 规律方法· 明确自变量及相应函数值的实际意义，是解释导 数实际意义的前提，审题时要先在这方面下功夫. ·48· 第六章导数及其应用 ⊙[变式训练] ⊙[变式训练] 3.已知某产品生产成本C与产量g的函数关系式为 4.设f(x)=x3+a.x2+bx十1的导数f'(x)满足 C=100十4q,价格p与产量q的函数关系式为p= f(1)=2a,f(2)=-b,其中常数a,b∈R.求曲线 25-39求： y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程. (1)q从1变到3时，利润L关于产品数量q的平均 变化率； (2)L'(2)并解释它的实际意义. [当堂达标] 1.（多选)下列求导运算错误的是 () 题型四导数四则运算法则在切线问题中的应用 Ax+)=1+是 B.(1og2x)'= 1 z In 2 [例4](1)函数y=3sinx在x=于处的切线斜率为 C.(3)=3 D.(x2 cos x)'=-2x sin x 2.曲线y=x3-3x2+1在点(1，-1)处的切线方程为 (2)已知函数f(x)=ax2+lnx的导数为f'(x), () ①求f(1)+f(1); A.y=3x-4 B.y=-3x+2 ②若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数 C.y=-4x+3 D.y=4x-5 a的取值范围. 3.某物体做直线运动，其运动规律是=+(：的 单位是s,s的单位是m),则它在第4s末的瞬时速 度应该为 4.求下列函数的导数 (1)y=2'e'(2)y=2sinz x 规律方法 关于函数导数的应用及其解决方法 1.应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方 程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及 切线问题的综合应用； 2.方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切 线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点， 用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标. 总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的 作用. ·49·数学B版·选择性必修第三册 变式训练 2.[解]设切点坐标为P(x0,%),f(0)=一203=tan135° =-1,即-203=一1，∴x0=2.代入曲线方程得%= 2号，∴点P的坐标为(2时，2). [例3]解：根据基本初等函数的导数公式表有， P'(t)=1.05lnl.05≈0.08， 所以；P'(10)=1.05101nl.05≈0.08（元/年）. 所以，在第10个年头这种商品的价格约以0.08元/年的速 度上涨 变式训练 3.解析：o(t)=S(t)=ost, 六（号）=@音-分中质点在=音时的连度为2 ,u(t)=cost,∴.加速度a(t)=t(t)=(cost)'=一sint. 答案：2 -sin t 当堂达标 1D[由oge/-ha可知A,B均错：由（gy=n3可 知D正确.] 2.ABD[(cosx)'=-sinx,故A不正确；(3x)'=3·ln3,故 1 B不正确：dg=z1n10故C正确，x2)y=-2z2-1 =一2x3,故D不正确.] 3.解析：由导数的公式知，f(x)=2xg(x)=3x2.因为f(x)十 1=g(x),所以2x十1=3x2,即3x2-2x-1=0,解得x=1或 答案1或-号 4.解：由于y=sinx,y=cosx,设这两条曲线的一个公共点为P (x00. ∴.两条曲线在P(x0y0)处的斜率分别为：k1=cosx0,k2= sin Zo. 若使两条切线互相垂直，必须cosx0·(一sin zo)=一1， 即sinx0·cosx0=1,也就是sin2xo=2,这是不可能的. 两条曲线不存在公共点， 使在这一点处的两条切线互相垂直. 6.1.4导数的四则运算法则 第1课时导数的四则运算法则 课前预习学案 知识梳理 知识点、1.f(x)±g'(x)2.f(x)g(x)十f(x)g'(x)cf(x) 预习自测 1.(1)√(2)×(3)× 2.D[y=(x3·2x)y'=(x3)y·2x+x3·(2r)y'=3x2·2+2 ·x3n2.] 3解析：①（货）-22_1上血2， (2)2 2x (2)(xer)'=e+xe=(1+x)e2. 答案：(1)l-ln2 (2)(1+x)e ·9 课堂互动学案 [例1]解：(1)y=(x4)y-(Inx)/=4x3-1 (2)y'=(e*)'+(sin x)'=e*+cos x. 变式训练 1.解：(1)f(x)=(x3)+(3x)-1'=3x2+3. 2=+y=1-2 (3)y'=(a)'-(cos x)'=aIn a+sin x. [例2】解：ay-=(后-号r+3x+2=(信 (侍x+ax+62 =x4-4x2+3. (2)y=(3x5-4x3)(4x5+3x3)+(3x5-4x3)(4x5+3x3)'= (15.x4-12x2)(4x5+3x3)+(3x5-4x3)(20.x4+9x2)=60x9 -48x7+45.x7-36.x5+60x9-80x7+27x7-36.x5=120.x9 56.x7-72x5. (3)y=(39x+4√)/=(3x)/+(4x)/=4x号+6x立= 4z+6√元. (4)y=(tan )(sm(sin z)'cos z-(cos z)'sin z_ cos x cos2 x cos2x+sin2z 1 cos2x cos2 变式训练 2.[解](1)y=2x-2x3. (2)y=(n3+1)·(3e)z-2rln2. (3y=2+1-2x2.nz x(x2十1)2 （④)=2-m号as受=2-7如x∴y=2z- 1 cOS x. [例3]解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的 导数 c(x)= ()x (100-x)2 0X(100-x)-5284×(-1)_5284 (100-x)2 (100-x)2 5284 （①)因为《90)=10090=52.84，所以，净化到纯净 度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨. 5284 (②)因为(98）=4098=1321，所以净化到纯净度 为90%时，净化费用的瞬时率是1321元/吨. 变式训练 3.解(1)放入R=q·p=9(25-8)=25g-日9， 利润L=R-C=(25g-892）一(100+40)= -日9+21g-1000<q≤20.L3）-L①=20.5 3-1 (2②'=-79+21,12)=21-言-20.5 L'(2)表示生产数量为2时，产品数量每增加一个，利润 增加20.5元. [例4幻(1)解析：由函数y=3sinx,得y'=3cosx, 所以函数在x=吾处的切线斜率为3Xc0s晋-是 答案： (2)解：①由题意，函数的定义域为(0，十∞)，由f(x)= ar2+lnx,得f)=2ax+之，所以)+f=3a +1. ②因为曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切 线斜率为0，问题转化为在x∈(0，十∞)内导函数f(x) =2ax+2存在零点，即f(x）=0,所以2ax+子=0有 正实数解，即2ax2=一1有正实数解，故有a<0,所以实数 a的取值范围是（一o,0). 变式训练 4.[解]因为f(x)=x3+a.x2+bx+1,所以f(x)=3x2十 2ax+b. 令x=1,得f(1)=3+2a十b,又f(1)=2a,所以3+2a 十b=2a,解得b=-3. 令x=2,得f(2)=12十4a十b,又f(2)=-b,所以12+ 4a+b=-6,解得a=-是则fx)=3-2-3x+1, 从而f)=- 又f)=2×( =一3，所以曲线y=f(x)在，点(1， f1D)处的切线方程为)y一（一号）=-3(x-1),即6x+ 2y-1=0. 当堂达标 1ACD[A(+2=+(2=1-三截错送：B 10gx=品2正确C(3y=3·n3,故错误，D (x2cosx)'=2 x cos x-x2sinx,故错误.] 2.B[,点(1，-1)在曲线y=x3-3x2十1上，该点处切线 的斜率为=y1x=1=(3x2-6x)x=1=3-6=-3,.切 线方程为y+1=-3(x-1),即y=-3x十2.] 3解折：-2是i=④-8最=7号/ 答案：7号ms 4.解：(1)y=(x3e)Y=(x3)'ex+x3(er)'=3x2ex+x3e (2)y=(20y=2血ry- (x2)2 2x2cos x-4x sin z2xcos x-4 sin x x4 第2课时简单复合函数的求导法 课前预习学案 知识梳理 知识点一、 [思考] 1.[提示]函数y=log2(x十1)是由y=log2u及u=x十1两个 函数复合而成的. 知识点二yw'·uxy对u的导数与u对x的导数的乘积 ·9 参考答案 预习自测 1.(1)/(2)×(3)/(4)×(5)× 1 2.C-(--2X (3-1)X (-1)- 6 3-09.] 3.解析：-[s(-3x)]=-血（经-3x·（-3)- 3sin(餐-3x） 答案：3sin(至-3z) 课堂互动学案 [例1][解](1)函数y=e2x+1可看作函数y=e“和u= 2x十1的复合函数， yx=y4·uz'=(e“)'(2x+1)'=2e“=2e2x+1, 1 (2)画数y=2z-1可看作函数y=u3和u=2红-1的 复合函数， yx=yu·uz'=(u3)'(2x-1)'=-6u-4= -6(2x-1)-4=- 6 (2x-1)4 (3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1 一x的复合函数， .yx=y4·ux=(5log2u)'·(1-x)/= -5 uln 2 5 =(x-1D1n2 (4)函数y=sin3x可看作函数y=u3和u=sinx的复合 函数，函数y=sin3x可看作函数y=sinv和v=3x的复 合函数」 yx=(w3)y·(sinx)'+(sino)'·(3x)'=3u2·cosx +3cos v=3sin2x cos x+3cos 3x. 变式训练 1.[解](1)令u=3x-2,则y=10“, 所以y'x=y4·ux′=10“1ln10·(3x-2)′=3×103x-2 1n10. (2)令u=ex+x2,则y=lnu, 所以：=.以：=(e+2y= er+2·(e+2) =e+2x ex+x2 (3)设y=2sin4,u=3江-晋， 则y:=.·tx=2 s3=6cos(3x-晋）月 (4)设y=w立，u=1-2x, 则y:=.dx=(uy(1-2x)=-名4×(- 2)=(1-2x)-号 [制2习[解]（①：h3a/=×8z/=士 1-In 3x :y=n3x/e-n3z(ey=立 (e)2 =1-xIn 3x xer