6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

[例4幻(1)解析：由函数y=3sinx,得y'=3cosx, 所以函数在x=吾处的切线斜率为3Xc0s晋-是 答案： (2)解：①由题意，函数的定义域为(0，十∞)，由f(x)= ar2+lnx,得f)=2ax+之，所以)+f=3a +1. ②因为曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切 线斜率为0，问题转化为在x∈(0，十∞)内导函数f(x) =2ax+2存在零点，即f(x）=0,所以2ax+子=0有 正实数解，即2ax2=一1有正实数解，故有a<0,所以实数 a的取值范围是（一o,0). 变式训练 4.[解]因为f(x)=x3+a.x2+bx+1,所以f(x)=3x2十 2ax+b. 令x=1,得f(1)=3+2a十b,又f(1)=2a,所以3+2a 十b=2a,解得b=-3. 令x=2,得f(2)=12十4a十b,又f(2)=-b,所以12+ 4a+b=-6,解得a=-是则fx)=3-2-3x+1, 从而f)=- 又f)=2×( =一3，所以曲线y=f(x)在，点(1， f1D)处的切线方程为)y一（一号）=-3(x-1),即6x+ 2y-1=0. 当堂达标 1ACD[A(+2=+(2=1-三截错送：B 10gx=品2正确C(3y=3·n3,故错误，D (x2cosx)'=2 x cos x-x2sinx,故错误.] 2.B[,点(1，-1)在曲线y=x3-3x2十1上，该点处切线 的斜率为=y1x=1=(3x2-6x)x=1=3-6=-3,.切 线方程为y+1=-3(x-1),即y=-3x十2.] 3解折：-2是i=④-8最=7号/ 答案：7号ms 4.解：(1)y=(x3e)Y=(x3)'ex+x3(er)'=3x2ex+x3e (2)y=(20y=2血ry- (x2)2 2x2cos x-4x sin z2xcos x-4 sin x x4 第2课时简单复合函数的求导法 课前预习学案 知识梳理 知识点一、 [思考] 1.[提示]函数y=log2(x十1)是由y=log2u及u=x十1两个 函数复合而成的. 知识点二yw'·uxy对u的导数与u对x的导数的乘积 ·9 参考答案 预习自测 1.(1)/(2)×(3)/(4)×(5)× 1 2.C-(--2X (3-1)X (-1)- 6 3-09.] 3.解析：-[s(-3x)]=-血（经-3x·（-3)- 3sin(餐-3x） 答案：3sin(至-3z) 课堂互动学案 [例1][解](1)函数y=e2x+1可看作函数y=e“和u= 2x十1的复合函数， yx=y4·uz'=(e“)'(2x+1)'=2e“=2e2x+1, 1 (2)画数y=2z-1可看作函数y=u3和u=2红-1的 复合函数， yx=yu·uz'=(u3)'(2x-1)'=-6u-4= -6(2x-1)-4=- 6 (2x-1)4 (3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1 一x的复合函数， .yx=y4·ux=(5log2u)'·(1-x)/= -5 uln 2 5 =(x-1D1n2 (4)函数y=sin3x可看作函数y=u3和u=sinx的复合 函数，函数y=sin3x可看作函数y=sinv和v=3x的复 合函数」 yx=(w3)y·(sinx)'+(sino)'·(3x)'=3u2·cosx +3cos v=3sin2x cos x+3cos 3x. 变式训练 1.[解](1)令u=3x-2,则y=10“, 所以y'x=y4·ux′=10“1ln10·(3x-2)′=3×103x-2 1n10. (2)令u=ex+x2,则y=lnu, 所以：=.以：=(e+2y= er+2·(e+2) =e+2x ex+x2 (3)设y=2sin4,u=3江-晋， 则y:=.·tx=2 s3=6cos(3x-晋）月 (4)设y=w立，u=1-2x, 则y:=.dx=(uy(1-2x)=-名4×(- 2)=(1-2x)-号 [制2习[解]（①：h3a/=×8z/=士 1-In 3x :y=n3x/e-n3z(ey=立 (e)2 =1-xIn 3x xer 数学B版·选择性必修第三册 (2)y'=(x√1+x2)'=x'√1+x2+x(W1+x2) -√1+x+2 -(1+2x2)W1十x2 V1+x2 1+x2 (3)y=xcos(2x+2)sin(2x+2) =x(-sin 2x)cos 2x=- 1 2xsin 4x, y=(名xsin4)=-4红-os4…4 sin 4x-2.xcos4. 变式训练 2.[解]Dy/=(s血学y=os音·（后）/=3os号 (2)y=(sinx+sin x3)'=(sin3 x)'+(sin 3)' =3sin2.xcos x+cos 3.3x2=3sin2.xcos x++3x2cos x3. (3)y-0=-二1-ya-y 1一x 1-x 2(1-x)√1-x y=n1+a)+z0n1+a了'=lh1+)ti千z [例3](1)A[(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(xo,%)处的切 2 线与直线2x-y十3=0平行.“y=2z心y1=%= 2 2472, 解得xo=1,.yo=ln(2-1)=0,即切点坐标为(1,0). .切点(1,0)到直线2x-y十3=0的距离为d= 2-0+3l=5,即曲线y=1n(2x-1)上的点到直线2x √4+1 -y十3=0的最短距离是√5.] (2)解析：令y=f(x),则曲线y=e“在点(0,1)处的切线 的斜率为f(0),又切线与直线x十2y十1=0垂直，所以 f(0)=2.因为f(x)=e“,所以f(x)=(ear)'=ear· (ax)'=aer,所以f(0)=ae°=a,故a=2. 答案：2 母题探究 1.解：由题意可知，设切点P(x0%),则y1x=,=2x0- =2,=1,即切点P(1,0),2-0十m=25,解得 5 m=8或-12. 即实数m的值为8或-12. 2.解：由题意可知，切线方程为y一1=2x,即2x一y十1=0. 令x-0得y=1令y-0得红=-合8=号×2×1 = 变式训练 3.解：由曲线y=f(x)过(0,0)点，可得ln1十1十b=0,故 b=-1. 由f(x)=ln(x+1)+√+I+ax+b,得f(x)=+十 1 ·9 1 2√x+I 十a,则f(0)=1+号十a=号十a,此即为南线 y=f)在点(0,0)处的切线的斜率.由题意，得号十a 号，故a=0, 当堂达标 1.C[y=8(2021-8x)7·(2021-8x)'=-64(2021- 8x)7=64(8.x-2021)7.] 2.B [y'=(x2)'cos 2x+x2(cos 2x)'= 2xcos2x+x2（-sin2x)·（2x)'=2xcos2x- 2x2 sin 2x. 3.解析：，f(x)=xe-x,∴.f'(x)=ex-xex= 1-2)e,了'(2)=一是根格导数的几何意义知 ∫()在x=2处的切线斜率为=f'(2)=一己 答案：-己 4.C[.f(x)=x4-2x2+3, 由(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1)=0得 x=0或x=1或x=-1. 又当x<-1时，f(x)<0,当-1<x<0时，f(x)>0,当 0<x<1时，f(x)<0,当x>1时，f(x)>0, ∴.x=0,1,-1都是f(x)的极值点.] 6.2利用导数研究函数的性质 6.2.1导数与函数的单调性 第1课时导数与函数的单调性 课前预习学案 知识梳理 知识点一、递增递减 [思考] [提示]f(x)是常数函数. 知识点二、快陡峭慢平缓 预习自测 1.(1)√(2)×(3)/(4)/ 2.D[,函数f(x)在(0，十o),(一o,0)上都是减函数，.当 x>0时，f'(x)<0,当x<0时，f(x)<0.] 3解析：f(x)=e-x,f'(x)=e-1.由f'(x)>0得，e -1>0,即x>0.∴f(x)的单调递增区间为(0，十∞). 答案：(0，十∞) 课堂互动学案 [例1]D[由函数的图象知：当x<0时，函数单调递增，导数 应始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，导数应先正后 负再正，对照选项，只有D正确.] 变式训练 1.D[A,B,C均有可能；对于D,若C为导函数，则y=f(x) 应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y=f(x)应为减函 数，也不符合.] [例2](1)A[:f(x)=2x-sinx,∴.f'(x)=2-cosx>0 在(-∞，十∞)上恒成立，∴.f(x)在(-∞，十∞)上是增 函数.]数学B版·选择性必修第三册 第2课时简单复合函数的求导法 课程标准 素养解读 1.能求简单的复合函数（限于形如f(ax十b)的 1.在运用复合函数求导公式解题过程中提升数学抽象和 导数 数学运算的核心素养。 2.能利用复合函数的求导公式解决简单的实际 2.在解决实际问题的过程中培养数学建模的核心素养. 问题. 课前。预习学案 [情境引入] [知识点三]复合函数的求导法则 如何求函数y=ln(2x一1)的导数？ 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u 现有方法无法求出它的导数 =g(x)的导数间的关系为y.= ,即y对 (1)用定义不能求出极限； x的导数等于 (2)不是基本初等函数，没有求导公式； [预习自测] (3)不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 四则运算法则解决这个问题 这节课我们就来研究这类函数的求导问题。 打“√”，错误的打“×”. (1)函数y=sin(元x)的复合过程是y=sinu,u=元x.（ (2)下列函数都是复合函数， ①y=--+1,@y=o(x+）@y= [知识梳理] [知识点一]复合函数的概念 y=(2x+3)4. 一般地，对于两个函数y-f(u)和u=g(x),如果 1 6 (3)函数y(3x-1的导数是了=(3x”1)· 通过中间变量u,y可以表示成x的函数，那么称这 ( 个函数为函数y=∫(u)和u=g(x)的复合函数，记 作y=f(g(x). (4)f)=ln(3x-1D,则∫')=3x ( ?思考1.函数y-log2(x十1)是由哪些函数复合 (5)f (x)=xcos2x,f'()=2xcos2x++2x'sin2x. 而成的？ 1 2.函数)y=3z一)的导数是 6 A.3x-1) 6 B.3x-1) 6 6 C. (3x-1)3 D.-(3x-1) 3.函数y=cos天-3x的导数为 (4 50· 第六章导数及其应用 课堂。互动学案 题型一 求复合函数的导数 题型二复合函数与享数的运算法则的综合应用】 [例1]求下列函数的导数. [例2]求下列函数的导数 (1)y=e2+1; （1)y=血32；(2y=x1+, e (2)y- (2x-1)39 (3)y-xcosf2x+)sin[2x+2 (3)y=5log2(1-x); (4)y=sinx++sin 3x. 规律方法 1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结 构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式， 规律方法 对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行 1,解答此类问题常犯两个错误 等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的. (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数： 2.对于复合函数的求导，在熟练后，中间步骤可以 (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本 省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用 初等函数复合而成 公式，从外层开始由外及内逐层求导， 2.复合函数求导的步骤 ⊙[变式训练] 分解 选定中间变量，正确分解复合关系，即 说明函数关系y四，u=g). 2.求下列函数的导数， 分步求导（弄清每一步求导是哪个变量， 求导 对哪个变量求导)，要特别注意中间变量 (1y=sin子： 对自变量求导，即先求y,再求u (2)y=sin3x+sin x3; 回代 计算y。:u,并把中间变量转化为自变 量的函数 (3)y一-x 1 二； ⊙[变式训练] (4)y=xln(1+x). 1.求下列函数的导数. (1)y=103x-2; (2)y=ln(e+x2); (3y-2sin(3x- 1 (4)y= √1-2x ·51· 数学B版·选择性必修第三册 题型三复合函数导数法厕的综合应用 2.(变结论)求(2)中曲线的切线与坐标轴围成的 面积. [例3](1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y 十3=0的最短距离是 A.√5 B.2√5 C.3√5 D.0 (2)设曲线y=e“在点(0,1)处的切线与直线x十 2y+1=0垂直，则a= 思路点拔] (1)设P(x)→由y1=。=2求P(x%） →点到直线的距离求最小值 规律方法 ””””””””””””” 本题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时 (2)求y,=0→由y==2求a的值 注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出 参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点 是解决问题的关键， ⊙[变式训练] 3.设f(x)=ln(x+1)+√x十1+ax+b(a,b∈R,a,b 为常数)，曲线y=f(x)与直线y=号x在(0,0)点 相切.求a,b的值. [母题搽究] 1.(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y=1n(2x-1) 上的点到直线2x-y十m=0的最小距离为2√5”， 求m的值. [当堂达标] 1.函数y=(2021-8x)3的导数为 A.y=8(2021-8x)7 B.y'=-64x C.y=64(8x-2021)7D.y=64(2021-8x)7 2.函数y=x2cos2x的导数为 A.y=2xcos 2x-x'sin 2x B.y=2xcos 2x-2x'sin 2x C.y'=x'cos 2x-2xsin 2x D.y'=2xcos 2x+2x'sin 2x 3.已知f(x)=xe,则f(x)在x=2处的切线斜率 是 4.函数f(x)=(x2-1)2+2的极值点是( A.x=1 B.x=-1 C.x=1或-1或0 D.x=0 ·52·