6.1.4 第1课时 导数的四则运算法则-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

6．1.4　求导法则及其应用

第1课时　导数的四则运算法则

[情境引入]

上节课学习了五种常见函数y＝c、y＝x、y＝x2、y＝、y＝的导数公式及基本初等函数求导公式和它们的应用．那么导数可以进行四则运算吗？这是我们这节课要研究的问题．

[知识梳理]

[知识点]　导数的运算法则　

设两个函数f(x)，g(x)可导，则

1．和(差)的导数

符号表示：[f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　.

2．积的导数

符号表示：[f(x)g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　.

特别地，当g(x)＝c(c为常数)时，[cf(x)]′＝　cf′(x)　.

3．商的导数

符号表示：′＝

(g(x)≠0)．

[预习自测]

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．(　　)

(2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商．(　　)

(3)(x2cos x)′＝－2xsin x．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×

2．函数y＝x3·2x的导函数是(　　)

A．y′＝3x2·2x

B．y′＝2x3·2x

C．y′＝3x2·2x＋2xln 2

D．y′＝3x2·2x＋2x·x3ln 2

解析：D　[y′＝(x3·2x)′＝(x3)′·2x＋x3·(2x)′＝3x2·2x＋2x·x3ln 2.]

3．(1)＝　________　；(2)(xex)′＝　________　.

解析：(1)′＝＝；

(2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.

答案：(1)　(2)(1＋x)ex

函数和与差的求导法则

[例1]　求下列函数的导数

(1)y＝x4－ln x

(2)y＝ex＋sin x

[思路点拨]

函数和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差)．

解：(1)y′＝(x4)′－(ln x)′＝4x3－.

(2)y′＝(ex)′＋(sin x)′＝ex＋cos x.

两个函数之和的导数等于这两个函数的导数之和；

两个函数之差的导数等于这两个函数的导数之差．

[变式训练]

1．求下列函数的导数

(1)f(x)＝x3＋3x－1

(2)y＝x＋x－1

(3)y＝ax－cos x

解：(1)f′(x)＝(x3)′＋(3x)′－1′＝3x2＋3.

(2)y′＝x′＋(x－1)′＝1－.

(3)y′＝(ax)′－(cos x)′＝axln a＋sin x.

函数积与商的求导法则

[例2]　求下列函数的导数：

(1)y＝x5－x3＋3x＋；

(2)y＝(3x5－4x3)·(4x5＋3x3)；

(3)y＝3＋4；

(4)y＝tan x.

解：(1)y′＝＝－＋(3x)′＋()′

＝x4－4x2＋3.

(2)法1∶y′＝(3x5－4x3)′(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5＝120x9－56x7－72x5.

法2：∵y＝12x10－7x8－12x6，∴y′＝120x9－56x7－72x5.

(3)y′＝(3＋4)′＝(3x)′＋(4x)′＝4x＋6x＝4＋6.

(4)y′＝(tan x)′＝′＝＝＝.

1．多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．

2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．

[变式训练]

2．求下列函数的导数．

(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；

(3)y＝；(4)y＝x2－sin cos.

[解]　(1)y′＝2x－2x－3.

(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.

(3)y′＝.

(4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin x，∴y′＝2x－cos x.

导数四则运算法则在实际生活中的应用