6.1.4 第1课时 导数的四则运算法则-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“导数的四则运算法则”核心知识点，衔接已学的基本初等函数导数公式，系统梳理和差、积、商的导数运算法则，为后续切线问题、实际应用等提供学习支架。 资料通过情境引入引发思考，例题与变式训练分层递进，结合净化费用、生产成本等实际案例，培养数学运算和数学建模素养，切线问题分析提升逻辑推理能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

6．1.4　求导法则及其应用 第1课时　导数的四则运算法则 课程标准 素养解读 1.能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 2.进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用. 1.通过运用导数四则运算法则求解简单的导数问题，培养数学运算的核心素养． 2.通过导数的综合应用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养. [情境引入] 上节课学习了五种常见函数y＝c、y＝x、y＝x2、y＝、y＝的导数公式及基本初等函数求导公式和它们的应用．那么导数可以进行四则运算吗？这是我们这节课要研究的问题． [知识梳理] [知识点]　导数的运算法则　 设两个函数f(x)，g(x)可导，则 1．和(差)的导数 符号表示：[f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　. 2．积的导数 符号表示：[f(x)g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　. 特别地，当g(x)＝c(c为常数)时，[cf(x)]′＝　cf′(x)　. 3．商的导数 符号表示：′＝ (g(x)≠0)． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．(　　) (2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商．(　　) (3)(x2cos x)′＝－2xsin x．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．函数y＝x3·2x的导函数是(　　) A．y′＝3x2·2x B．y′＝2x3·2x C．y′＝3x2·2x＋2xln 2 D．y′＝3x2·2x＋2x·x3ln 2 解析：D　[y′＝(x3·2x)′＝(x3)′·2x＋x3·(2x)′＝3x2·2x＋2x·x3ln 2.] 3．(1)＝　________　；(2)(xex)′＝　________　. 解析：(1)′＝＝； (2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex. 答案：(1)　(2)(1＋x)ex 函数和与差的求导法则 [例1]　求下列函数的导数 (1)y＝x4－ln x (2)y＝ex＋sin x [思路点拨] 函数和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差)． 解：(1)y′＝(x4)′－(ln x)′＝4x3－. (2)y′＝(ex)′＋(sin x)′＝ex＋cos x. 两个函数之和的导数等于这两个函数的导数之和； 两个函数之差的导数等于这两个函数的导数之差． [变式训练] 1．求下列函数的导数 (1)f(x)＝x3＋3x－1 (2)y＝x＋x－1 (3)y＝ax－cos x 解：(1)f′(x)＝(x3)′＋(3x)′－1′＝3x2＋3. (2)y′＝x′＋(x－1)′＝1－. (3)y′＝(ax)′－(cos x)′＝axln a＋sin x. 函数积与商的求导法则 [例2]　求下列函数的导数： (1)y＝x5－x3＋3x＋； (2)y＝(3x5－4x3)·(4x5＋3x3)； (3)y＝3＋4； (4)y＝tan x. 解：(1)y′＝＝－＋(3x)′＋()′ ＝x4－4x2＋3. (2)法1∶y′＝(3x5－4x3)′(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5＝120x9－56x7－72x5. 法2：∵y＝12x10－7x8－12x6，∴y′＝120x9－56x7－72x5. (3)y′＝(3＋4)′＝(3x)′＋(4x)′＝4x＋6x＝4＋6. (4)y′＝(tan x)′＝′＝＝＝. 1．多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导． [变式训练] 2．求下列函数的导数． (1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝；(4)y＝x2－sin cos. [解]　(1)y′＝2x－2x－3. (2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. (3)y′＝. (4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin x，∴y′＝2x－cos x. 导数四则运算法则在实际生活中的应用 [例3]　日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加，已知将1t水净化到纯净度为x%所需费用(单位：元)为c(x)＝(80＜x＜100) 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： (1) 90%；(2) 98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数 c′(x)＝′＝＝＝. (1)因为c′(90)＝＝52.84，所以，净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨． (2)因为c′(98)＝＝1321，所以净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时率是1321元/吨． 明确自变量及相应函数值的实际意义，是解释导数实际意义的前提，审题时要先在这方面下功夫． [变式训练] 3．已知某产品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q，求： (1)q从1变到3时，利润L关于产品数量q的平均变化率； (2)L′(2)并解释它的实际意义． 解　(1)收入R＝q·p＝q＝25q－q2， 利润L＝R－C＝－(100＋4q)＝ －q2＋21q－100(0＜q≤200). ＝20.5. (2)L′＝－q＋21，L′(2)＝21－＝20.5. L′(2)表示生产数量为2时，产品数量每增加一个，利润增加20.5元． 导数四则运算法则在切线问题中的应用 [例4]　(1)函数y＝3sin x在x＝处的切线斜率为　________　. (2)已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)． ①求f(1)＋f′(1)； ②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围． (1)解析：由函数y＝3sin x，得y′＝3cos x， 所以函数在x＝处的切线斜率为3×cos＝. 答案：　 (2)解：①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋ln x, 得f′(x)＝2ax＋，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1. ②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，即f′(x)＝0，所以2ax＋＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)． 关于函数导数的应用及其解决方法 1．应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用； 2．方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用． [变式训练] 4．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． [解]　因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3. 令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－. 又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0. [当堂达标] 1．(多选)下列求导运算错误　的是(　　) A．(x＋)′＝1＋　 B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3x D．(x2cos x)′＝－2x sin x 解析：ACD　[A.′＝x′＋′＝1－，故错误；B.(log2x)′＝，正确；C.(3x)′＝3x·ln 3，故错误；D.(x2cos x)′＝2x cos x－x2sin x，故错误．] 2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　) A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 解析：B　[∵点(1，－1)在曲线y＝x3－3x2＋1上，该点处切线的斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－6x)|x＝1＝3－6＝－3，∴切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.] 3．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是s，s的单位是m)，则它在第4 s末的瞬时速度应该为　________　. 解析：∵s′＝2t－，∴v＝s′(4)＝8－＝7 m/s. 答案：7 m/s 4．求下列函数的导数 (1)y＝x3ex　(2)y＝ 解：(1)y′＝(x3ex)′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex (2)y′＝′＝＝＝ [基础达标练] 1．函数f(x)＝(x＋1)2的导函数为(　　) A．f′(x)＝x＋1　　　 B．f′(x)＝2x＋1 C．f′(x)＝x＋2 D．f′(x)＝2x＋2 解析：D　[∵f(x)＝(x＋1)2＝x2＋2x＋1， ∴f′(x)＝2x＋2，故选D.] 2．某汽车的紧急刹车装置在遇到特殊情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为(　　) A．汽车刹车后1 s内的位移 B．汽车刹车后1 s内的平均速度 C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D．汽车刹车后1 s时的位移 解析：C　[由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．] 3．函数y＝2x(ln x＋1)在x＝1处的切线方程为(　　) A．y＝4x＋2 B．y＝2x－4 C．y＝4x－2 D．y＝2x＋4 解析：C　[由已知y′＝2(ln x＋1)＋2x·＝2 ln x＋4，则y′|x＝1＝4，又x＝1时，y＝2，则切线方程为y＝4x－2.] 4．(多选)下列结论中正确的有(　　) A．若y＝sin ，则y′＝0 B．若f(x)＝3x2－f′(1)x，则f′(1)＝3 C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1 D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x ＋sinx 解析：ABC　[选项A中，若y＝sin ＝，则y′＝0，故A正确；选项B中，若f(x)＝3x2－f′(1)　·x，则f′(x)＝6x－f′(1)，令x＝1，则f′(1)＝6－f′(1)，解得f′(1)＝3，故B正确；选项C中，若y＝－＋x，则y′＝－＋1，故C正确；选项D中，若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x－sin x，故D错误．] 5．已知函数f(x)＝ln x－3x＋f′(1)x2，则f(1)＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 解析：D　[因为f(x)＝ln x－3x＋f′(1)x2，则f′(x)＝－3＋2f′(1)x，所以f′(1)＝1－3＋2f′(1)，则f′(1)＝2，所以f(x)＝ln x－3x＋2x2，所以f(1)＝ln 1－3＋2＝－1.] 6．曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为　________　. 解析：因为y′＝2x－，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－1＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0 7．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝2x－ln x，则f′(1)＝　______　. 解析：因为f(ln x)＝2x－ln x，令t＝ln x，则x＝et，所以f(t)＝2et－t，即f(x)＝2ex－x，所以f′(x)＝2ex－1，因此f(1)＝2e－1. 答案：2e－1 8．求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝log2x2－log2x; (3)y＝； (4)y＝－2sin . [解]　(1)y′＝()′＝′＝x－1＝x－＝. (2)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝. (3)法一：y′＝′＝′cos x＋(cos x)′＝′cos x－sin x＝－x－cos x－sin x＝－－sin x＝－－sin x＝－. 法二：y′＝′＝ ＝ ＝－＝－. (4)∵y＝－2sin ＝ 2sin ＝2sin cos ＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x. [能力提升练] 9．已知函数f(x)＝＋x3，其导函数为f′(x)，则f(2020)＋f(－2020)＋f′(2021)－f′(－2021)的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[f′(x)＝＋3x2，f′(－x)＝＋3(－x)2＝＋3x2，所以f′(x)为偶函数，所以f′(2021)－f′(－2021)＝0， 因为f(x)＋f(－x)＝＋x3＋－x3＝＋＝3， 所以f(2020)＋f(－2020)＝3， 所以f(2020)＋f(－2020)＋f′(2021)－ f′(－2021)＝3.] 10．(多选)下列函数在点x＝0处有切线的是(　　) A．f(x)＝3x2＋cos x B．g(x)＝x·sin x C．h(x)＝＋2x D．w(x)＝ 解析：ABD　[f′(x)＝6x－sin x，f′(x)＝0，此时切线的斜率为0，故在点x＝0处有切线；g′(x)＝sin x＋x cos x，g′(0)＝0，，此时切线的斜率为0，故在点x＝0处有切线；h′(x)＝－＋2，在x＝0处不可导，则在x＝0处没有切线；w′(x)＝，w′(0)＝0，此时切线的斜率为0，故在点x＝0处有切线．] 11．若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)＝　________　. 解析：因为函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，所以f(1)＋g(1)＝12－1＝0，g(1)＝－1，对f(x)＋xg(x)＝x2－1两边求导，可得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，所以f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，因此．f′(1)＋g′(1)＝3. 答案：3 12．记f′(x)、g′(x)分别为函数f(x)、g(x)的导函数．把同时满足f(x0)＝g(x0)f′(x0)＝g′(x0)的x0叫做f(x)与g(x)的“Q点”． (1)求f(x)＝2x与g(x)＝x2－2x＋4的“Q点”； (2)若f(x)＝ax2＋与g(x)＝ln x存在“Q点”，求实数a的值． 解：(1)因为f′(x)＝2，g′(x)＝2x－2，设x0为函数f(x)与g(x)的一个“Q”点． 由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)得，解得x0＝2. 所以函数f(x)与g(x)的“Q”点是2. (2)因为f′(x)＝2ax，g′(x)＝， 设x0为函数f(x)与g(x)的一个“Q”点． 由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)得 ， 由②得a＝代入①得ln x0＝1，所以x0＝e. 所以a＝＝. [素养培优练] 13．(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是(　　) A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝xex 解析：ABC　[A中，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x＝ －sin＜0在区间上恒成立；B中，f′(x)＝－2(x＞0)，f″(x)＝－＜0在区间上恒成立；C中，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x在区间上恒小于0；D中，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)＞0在区间上恒成立，故D中函数不是凸函数．故ABC为凸函数．] 14．现有一倒放圆锥形容器，该容器深24m，底面直径为6m，水以5π m3/s的速度流入，则当水流入时间为1s时，水面上升的速度为　________　. 解析：设注入水后水面高度为h，水面所在圆的半径为r， ＝，即：r＝.因为水的体积为πr2h＝v水流·t＝5π·t，即h＝4，h′(t)＝4·t－，所以当t＝1时，h′(1)＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $