6.2.2 第2课时导数与函数的最值-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教B版）

世数学B版 数 课时 间 第2课时 学 纠错空间 作业 [基础达标练] 1.函数f(x)= 3 十x2-3x-4在[0,2]上的最 小值是 ( A号 B号 C.-4 D.-1 2.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函 数，在[a,b]上连续且(x)<g'(x),则f(x) 一g(x)的最大值为 ) A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b) C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a) 1 3.函数f(x)=2e(sinx十cosx)在区间 [0,]上的值域为 B(分，e) C.[1,e] D.(1,e) 方法总结 4.函数f(x)=x3一3ax-a在(0,1)内有最小 值，则a的取值范围为 () A.0≤a<1 B.0<a<1 C.-1<a<1 D.0<a<号 5.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)+f(x) >1,f(0)=4,则不等式efx)>e2+3(其中 e为自然对数的底数)的解集为 () A.(0,十∞) B.(-∞，0)U(3,+∞) C.(-∞，0)U(0,+∞) D.(3,+∞) 6.（双空题)函数f(x)=4x2(x-2)在[-1,1]上 的最小值为 ,最大值为 7.若函数f(x)=3x-x3在区间(a-1,a)上有 最小值，则实数a的取值范围是 8.设函数f(x)=lnx+ln(2-x)十ax(a>0). (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在(0,1]上的最大值为？，求a 的值. 3 选择性必修第三册 导数与函数的最值 [能力提升练] 9已知函数fx)=千a>0)在[1，+∞]上 的最大值为号，则。的值为 () A.W3-1 B子 c D.√3+1 10.(多选)设fx)=x·cosx,xe[后，]的 最大值为M,则 ) A.当a=-1时，M<√3 Ba=2当时，M<号 C.当a=1时，MD 2 D.当a=3时，M<号 11.已知y=f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时， fx)=lnx-ax(a>号，当xE(-2,0)时， f(x)的最小值为1，则a= 12.已知函数f(x)=x3-ax2+3x,x=3是函数 f(x)的极值点，求函数f(x)在x∈[1,5]上 的最大值和最小值。 [素养培优练] l3.(多选)已知函数f(x)=ax-lnx(a∈R),则 下列说法正确的是 () A.若a≤0，则函数f(x)没有极值 B.若a>0,则函数f(x)有极值 C.若函数f(x)有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是 -o,8) D.若函数f(x)有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是(-，0U{} (2x2,x≤0 14.已知函数f(x)= 若方程 e,x>0 [f(x)]=a恰有两个不同的实数根m,n,则 m十n的最大值是 第六章导数及其应用 课时作业乡 数课时 间 学作业 第3课时 利用导数解决与函数相关的问题 纠错空间 [基础达标练] 5.(多选)已知函数f(x)=x3+ax2十bx+c,下 列结论中正确的是 1.若f(x)= x+b1n(x+2)在(-1，+∞） 2 A.3xo∈R,f(xo)=0 上是减函数，则b的取值范围是 ( B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形 A.[-1,+∞] B.(-1,+∞) C.若x。是f(x)的极小值点，则f(x)在区间 C.(-∞，-1] D.(-∞，-1) (一∞，x。)单调递减 2.若函数f(x)在定义域R内可导，f(1.9+x) D.若xo是f(x)的极值点，则f(xo)=0 =f(0.1-x)且(x-1)f(x)<0,a=f(0),b 6.已知函数f(x)=a+lnx-1(a>0)在定义域 =f(2,c=f(3),则a6,c的大小关系是 内有零点，则实数a的取值范围是 方法总结 ( 7.已知函数f(x)=一 A.a>b>c B.c>a>b 2x+4c-3lnx在[，t+ C.c>b>a D.b>a>c 1]上不单调，则t的取值范围是 3.已知函数f(x)=e一ax2(x>0)无零点，则实 8.设函数f(x)=e”-ex,若对所有x≥0都有 数a的取值范围为 ( f(x)≥a.x,求实数a的取值范围. A(-,号) C. 4,十∞) D.(号，+∞) 4.已知函数f(x)=ax3一3x2+1,若f(x)存在 唯一的零点x。,且x。>0,则实数a的取值范 围是 ( A.(2,十∞) B.(-∞，-2) C.(1,+∞) D.(-∞，-1) ·37·世数学B版 &解：（①国为）=a+加，所以了)=2ax+兰 又西数✉)在x=1处有板值宁 1f(1)=0, 12a+b=0, 1 故 b=-1. (2)由D可知f）=是丈-hx,共定义域为0，十o). 且f(x)=x- 1=(x+1)(x-1) 令f(x)=0,则x=-1(舍去)或x=1. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如表： (0,1) (1,十∞) f'(z) 0 + f(x) 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间 是(1，十0)，且函数在定义城上只有极小值fI)=合， 而无极大值， 9.C[函数y=x十2cosx的导数为y'=1-2sinx,令y =1-2sinx=0得sinx=分，又因为x[0,受]所以 x=吾当x(（0,晋)时>0，当x∈（晋，受）时y <0, 所以函数y=x+2osx在x∈(0，石)上单调递增，在 x∈（后，受）上单调递减，所以使得通教y=x+2osx 取得极大值的x的值为石，故选C.] 10.AC[由题意得，f(x)的定义域为(0，十∞)，且f(x) =e-子，设A()=f(x),则(x)=e+>0, “A()在(0，十∞)上单洞递增，又h(合）=e-2=E -2<0,h(1)=e-1>0,h(x)存在唯一零点，设为 x,当0<x<x时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x>x。 时，f(x)>0,f(x)单调递增，f(x)有唯一极小值点 故选项A正角，◆f红)=-名=0，得= 名两边同时取时教可得五=n女=hf) -的-h-2-去+-222·石-2=0（当 且仅当，=1时等号成立)，又号<<1，“f(,)> 0,即[f(x)]mm>0,∴f(x)无零点，故选项B错误.由f （,)-十五-2，号<<1，可设g)-+x-2, 则g国=-之十+1 当号<<1时，g(x)<0,g(x)在（合，1）上单调递 减.g1)<gx)<g(合)即0<f)<7,故选项 C正确，选项D错误.故选：AC.] 1.解折：由巴知得了(x)=c0sx-6sinx十2-2sin2x, 因为在x=x,处取得极值，∴f(x)=cosx一6sinx0 +2-号sin2=0,cos-6sin十2 3 sin xo cos xo=0, 即(1-3sinx)(2+cosx)=0,因为cosx0|≤1，.2 十C0sxo≠0， 1 1-3sin o=0 sin ocos 2z =1- ·5 选择性必修第三册 2sin2x。=1 2×()=g 答案：日 12.解：(1)：f(x)=alnx+bx2+x,∴f(x)=a+2bx +1. 由极值点的必要条件可知：∫(1)=了(2)=0， ∴a+2b+1=0且号+46+1=0，解方程组得，a= -号=- (2)由1D可知f)=-号nx言2+x 且画数fx)=一号n一合2+x的定义找是(0，十∞)， f)=-号x日+1=---2 3x 当x∈(0,1)时，f(x)<0;当x∈(1,2)时，f(x)>0; 当x∈(2，+∞)时，f(x)<0;所以，x=1是函数f(x) 的极小值点，x=2是函数f(x)的极大值，点. 13.AC[因为f(x)=ln工，所以函数的定义战为(0，+十 ∞，所以f(x)=1=h工，f(1)=1,f1)=0,fx) 的图象在点(1,0)处的切线方程为y一0=f(1)(x 1) 即y=1·(x-1)=x-1,故A正确；在(0，e)上，f(x) >0,∫(x)单调递增，在(e,十∞)上，f(x)<0,f(x)单 调递减，故B错误，f(x)的极大值也是最大值为f(e)= l血e=上，故C正确：方程f(x)=h严=一1的解的个 数，即为lnx=一x的解的个数，即为函数y=lnx与y 一x图象交点的个数，作出函数y=lnx与y=一x 图象如图所示： 3 y=-x2 1 y=Inx 3-2-0小234 -2 -3 由图象可知方程f(x)=一1只有一个解，故D错误.故 选AC.] 14,解析：f()的定义战为(0，十∞)，f()=一ax-b, 由(0)=0，得b=1-a,所以f(x)= ax+1)(x-1).①若a≥0，由f(x)=0,得x=1,当0 x <x<1时，f(x)>0,此时f(x)单调递增，当x>1时， f(x)<0,此时f(x)单调递减，所以x=1是f(x)的极 大值点；②若a<0,由f(x)=0,得x=1或x=-1 a 因为x=1是f(x)的极大值点，所以一>1，解得-1 a <a<0,综合①②：a的取值范围是a>一1. 答案：（一1，+∞） 第2课时导数与函数的最值 1.A[因为f(x)=x2+2x-3=(x-1)(x+3),令f(x) =0,解得x=1或一3；当0<x<1时，f(x)<0,f(x)为 减函数；当1<x<2时，f(x)>0,f(x)为增函数；所以f (x)在x=1上取极小值，也是最小值，所以f(x)mn= f)=日+1-3-4=-] 2.A[令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)=f(x)-g'(x), 又f(x)<g'(x),故F(x)<0,∴F(x)在[a,b]上单调 递减，∴F(x)mx≤F(a)=f(a)一g(a).] 参考答案 3.A [f(sino (coi =ecos,当0≤x≤时，f(x)≥0，f(x)在 [0,受]上是增画数.f(x)的最大值为f(受)=合× e是，5()的最小值为f0)=2.] 4.B[,函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值，. f(x)=3.x2-3a=3(x2-a),①若a≤0，可得f(x)≥0， f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在x=0处取得最小值， 显然不可能，②若a>0,f(x)=0解得x=土√a,当x> √a,f(x)为增函数，0<x<a为减函数，f(x)在x=√a处 取得极小值，也是最小值，所以极小值点应该在（0,1) 内，符合要求.综上所述，a的取值范围为(0,1)，故答案 为B] 5.A[设g(x)=ef(x)-e,(x∈R),则g'(x)=ef(x) +ef(x)-e=e[f(x)+f(x)-1],:'f(x)+f(x) >1,.f(x)+f(x)-1>0,.g(x)>0,.y=g(x)在 定义域上单调递增， ef(x)>e+3,.g(x)>3,又：g(0)=e°f(0)-e°= 4-1=3,∴g(x)>g(0),…x>0.] 6.解析：：f(x)=4x3-8x2,∫(x)=12x2-16x=4x(3x -40.令f()=0,则x=0或x=手又x[-1,1门， f(1)=-4,f(0)=0,f(-1)=-12.∴f(x)的最大值为 0,最小值为-12. 答案：-120 7.解析：f(x)=3-3x2=-3(x-1)(x+1),当x<-1或 x>1时，f(x)<0,当-1<x<1时，f(x)>0,∴.x=- 1是函数f(x)的极小值点.，函数f(x)=3x一x3在区 间(a一1，a)上有最小值，即为极小值..a一1<一1<a, 解得一1<a<0. 答案：（一1,0） 8.解：画数fx)的定义战为0,2，f(x)=子-2z十a （当a=1时，u)=君号所以)的来调影增 区间为(0，√2)， 单调递减区间为（√2,2）. (2当01时，f)=是十a>0,即/)在 (0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1) =a,因光a=分 x 9.A[由fx)=+a,得(x)=2+)2,当>1时， 若x>a,则f(x)<0.f(x)单调递减；若1<x<√a,则 f(x)>0,f(x)单调递增.故当x=Va时，函数f(x)有最 大值女后气保导。一子<1，不持合凝忘当。=1时， 函数f在[1，十©)上单调递减，最大值为fI)=名， 不符合题意.当0<a<1时，函数f(x)在[1，十∞)上单 调近成，此时展大位为)=。市=侣，解得。=尽 1,符合题意.故a的值为√3一1，故选A.] 10.AB[对于选项A,当a=-1时，f(x)=cosx在区间 [百，]上递减， =c0s6=33<3,故选项A正确，对于选项 所以M= π B,当a=2时，f(x)=x2·cosx,则f(x)=x cosx(2 zanm)>0f)在区同[吾，吾]上递增，甲M=后 ·5 课时作业兰 <?,故选项B正确，对于选项C,当a=1时，当z日 (0,受)时，x<ianx恒成立，所以f(x)=xos< tan c=si血<怎，所以M<号，故选项C错溪. 对于选项D,当a=3时，f(x)=x3·cosx,则f(x)= ￡cosz(3-z1amx)>0,fx)在区间[后，]上递 培，M-含：（侵）广>定燕滤项D婚昆订 1 11.解析：：f(x)是奇函数，x∈（一2,0）时，f(x)的最小值 为1，f(x)在(0,2)上的最大值为一1，当x∈(0,2) 时，f)=士-a,令f)=0得x=日，又a>号 0<日<2， 令)>0，则x<合fx)在(0，日上递增： 令f(x)<0,则x> 1 a, fr)在(，2)上递减，f)m=f合)=n 1 a a =-1,n&=0,得a=1 a 答案：1 12.解：根据题意，f(x)=3x2-2ax十3，x=3是函数f(x) 的极值点，得f(3)=0,即27一6a十3=0，得a=5.所 以f(x)=x3-5x2+3x. 令f()=3x-10z+3=0,得x=3或x=}(含去). 当1<x<3时，f(x)<0,函数f(x)在[1,3)上是减 函数； 当3<x<5时，f(x)>0,函数f(x)在(3,5]上是增 函数， 由此得到当x=3时，函数f(x)有极小值f(3)=一9， 也就是函数f(x)在[1,5]上的最小值；又因为f(1)= -1,f(5)=15,即函数f(x)在[1,5]上的最大值为 f(5)=15. 综上，函数f(x)在[1,5]上的最大值为15，最小值为 -9. 13.ABD[由题意得，函数f(x)的定义域为(0，十∞)，且 f(x)=a-上-r,当a≤0时，f(x)<0恒成立， 此时f(x)单调递减，没有极值，又：当x→0时，f(x) →十∞，当x→十∞时，f(x)→一∞， f心x有且只有-个零点，当a>0时，在(0，)上， fa)0,fx)单调递减，在（日+）上，fx)>0, f()单调递增，当工=二时，f(x)取得极小值，同时 a 也是最小值， fx)=f(日）-1+na,当0时，h6o f(x)→+∞，当x+∞时，f(x)→+∞，当1+lna= 0,即a=1时，f(x)有且只有一个零点；当1+1na<0, e 即0<a<上时，f(x)有且仅有两个零点，综上可知 e ABD正确，C错误.] 14解析：作出通数f)-亿：0的图象，如国所示， 由[f(x)]2=a可得f(x)=√a,所以va>1,即a>1,不 妨设m<n,则2m2=e”=√a,令√a=t(t>1),则m=一 √分m=h,所以m+n=la√分，令g)=nt t √写，则g0-4,所以当1<<8时，g0>0 4t 当t>8时，g(t)<0,当t=8时，g(t)取得最大值g(t) =ln8-2=3ln2-2. 世数学B版 a 07 n x 答案：3ln2一2 第3课时利用导数解决与函数相关的问题 1.C[由题意可知f-z+年2<0，在xe(-1,+0)） 上恒成立，即b<x(x十2)在x∈(-1，十∞)上恒成立， 由于x≠一1，所以b≤-1，故C为正确答案.] 2.D[(x-1)f(x)<0,.当x>1时，f(x)<0,此时 函数f(x)单调递减；当x<1时，f(x)>0,此时函数f(x) 单调递增.又f(1.9十x)=f(0.1-x),∴.f(x)=f(2- )f3)=f[2-(-1D]=f(-1),:-1<0<2, f-1D<fo<f(合)…f3)<fo)<f(2）6 >a>c.] 3.B[因为函数f(x)=e一ax2(x>0)无零点，所以方程 ®-ax=0在xE(0,十∞)上无解，即a=在x∈(0) 十上无解，◆8)=号>0，g)=2, x 当x>2时，g(x)>0,函数g(x)单调递增，当0<x<2 时，g(x)<0,函数g(x)单调递减，所以x=2时，函数 g(x)有唯一的极小值，也是最小值. g2)景所以g≥若a=号无解，则a<蛋故 选B.」 4.B[法一由题意a≠0，由f(x)=3a.x2一6x=0得x =0或x=2.当a>0时，f(x)在(-∞，0)和 (侣十)上华调递增，在0，吕)上单调说减且0) =1>0,故f(x)有小于0的零点，不符合题意，排除A, C当a<0时，要使x>0且唯-，只需f(名)>0，即a >4,.a<-2. 法二f(x)有唯一正零点x,等价于方程ax3-3x2十1 =0有唯一正根即a=是一是有唯一正根 元g()-31-)1+ 令g(x)=3-1 x ∴.g(x)在(-∞，-1)上递减，(-1,0)上递增，(0,1)上 递增，(1，十o)上递减. y=d 又g(一1)=-2，g(1)=2,且当x<-1时，g(x)<0,当 x>1时，g(x)>0,g(x)的大致图象如图： .直线y=a与y=g(x)有唯一交点，且横坐标x>0, 只需a≤g(-1)=-2.] 5.ABD[由于三次函数的三次项系数为正值，当x→一∞ 时，函数值→一∞，当x→十∞时，函数值→十∞，又三次 函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定 3x。∈R,f(x。)=0,选项A中的结论正确；函数f(x)的 解析式可以通过配方的方法化为形如(x十m)3十n(x十 m)十h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以 化为y=x3十x的形式，这是一个奇函数，其图象关于 坐标原点对称，故函数「(x)的图象是中心对称图形，选 项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正 值，故函数如果存在极值点x1,x2,则极小值点x2>x1, 即函数在一∞到极小值，点的区间上是先递增后递减的， ·6 选择性必修第三册 所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显 然选项D中的结论正确.门 6.解析：函数f(x)定义域为(0，十∞).因为函数f(x)= x 十lnx-l(a>0)在定义域内有零点，所以a=x-xlnx 有解，令h(x)=x一xlnx,所以'(x)=一lnx,所以 h(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，+∞)，所以h(x)mx =h(1)=1,故0a1. 答案：0<a≤1 7.解析：由题意知(x)=一x十4-3=二x+4x-3 =-（x-1)(x-3) 由f(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t,t十1)内， 函数f(x)在区间[t,1十1]上就不单调， 由t1<t+1或t<3<t+1,得0<t1或2<t3. 答案：(0,1)U(2,3) 8.解：令g(x)=f(x)-ax,由g'(x)=f(x)-a=e十e -a,由于e十e=e十是≥2（当且仅当x=0时等号 成立)，所以当a≤2时，g(x)=e十ex-a≥2-a≥0， 故g(x)在(0，十∞)上为增函数. 所以当x≥0时，g(x)≥g(0)=0,即f(x)≥ax,当a>2 时，方程g(x)=0的根为G,=n一公4<0，， 1n叶会40，此时，若x∈0，)，则g()<0,故 2 g(x)在区间(0，x2)内为减函数，所以x∈(0，x2)时， g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,与题设f(x)≥ax相 矛盾. 综上所述，满足条件的实数a的取值范围为（一∞，2]. 9cf)=+是-岁e1, a≥-1时，f(x)≥0，f(x)在[1，e]上单调递增，不合 题意 当a一e时，f(x)≤0，f(x)在[1，e]上单调递减，也不 合题意. 当-e<a<-1时，则x∈[1，-a)时，f(x)<0,f(x)在 [1,-a)上单调递减，x∈[-a,e]时，f(x)>0,f(x)在 (一a,e]上单调递增，又f(1)=0,所以f(x)在x∈[1，e] 上有两个零点，只需f(e)=1-a+a≥0即可，解得 e 巴e≤a<-l, 综上a的取值范国是[吕。-l)小门 10.C [h(x)=f(x)-g(x)=e+1-ma-ae'+x=(e -a)e-ma十x,则h'(x)=(e-a)e+1,若e-a≥0， 可得h'(x)>0,函数h(x)为增函数，当x→十∞时， h(x)→+∞，不满足h(x)≤0对任意x∈R恒成立；若e 一a<0,由h'(x)=0,得e= a-e,则x=h a当z ∈(oh)时>0.当ze(eto）时， a-e h()<0,..h()mx=h(In 1）=(e-a)·e-ma a-e In-1=-1-ma+l a-e a-e' 若f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立，则-1-ma十ln ≤0(a>e)恒成立，若存在实数a,使得-1-ma十 a-e In ≤0成立，则ma≥1n1-l,m≥-ln(a-e a-e a-e a -(a>e),令F(a)=-ln(a-e-上，则F(a)= a 兰。-lna- 1 a a" +a=-a2(a-e )+na二e)+z一 a -a+(a-e)ln(a-e)ta-e_(a-e)In(a-e)-e a‘(a-e) a2(a-e) )