6.2.1 第1课时 导数与函数的单调性-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教B版）

世数学B版 选择性必修第三册 空 数 课时 6.2利用导数研究孟数的性质 间 6.2.1导数与函数的单调性 纠错空间 学作业 第1课时 导数与函数的单调性 [基础达标练] 6.函数y=2x十sinx的单调增区间为 1.函数f(x)的导函数f(x)的图象如图，函数y 7.已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f(x)为其 =f(x)的一个单调递减区间是 ( 导函数，且导函数y=f(x)的图象如图所示， 则f(x)<1的解集是 y=f'(x) A.（x1,x3） B.(x2,x1） C.(x4,x) D.(x5,x6） 2.函数f(x)=3x+2的单调递增区间是( 8.已知导函数f(x)的下列信息： ) 当1<x<4时，f(x)>0;当x>4,或x<1 时，f(x)<0;当x=4,或x=1时，f(x)=0. 试画出函数f(x)图象的大致形状. B.(ln2,+∞) c(n20小0，+oy 方法总结 n(-,00,d2) 3.已知函数f(x)=子：2+cosx,f(x)是函数f (x)的导函数，则f'(x)的图象大致是() 米料料 4.下列函数中，在(0，十∞)内为增函数的是 ( A.y=sin x B.y=xe2 C.y=x3-x D.y=In x-x 5.(多选)已知函数f(x)的定义域为R,其导函 数f(x)的图象如图所示，则对于任意x1,x2 ∈R(x1≠x2),下列结论正确的是 () y A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 c作产）小 2 2 ·30· 第六章导数及其应用 课时作业乡 [能力提升练] 12.已知函数fd)=e,gx)=1n艺+的图象 分别与直线y=m(m>0)交于A,B两点，求 间 9.已知函数y=xf(x)的图象如图所示（其中f(x) 纠错空间 |AB的最小值. 是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y= f(x)的图象大致是 2 [素养培优练] 13.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f(x)>2.则f(x)>2x+4的解集为 方法总结 A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞，-1) D.(-∞，+∞) 14.(多选)素数分布问题是研究素数性质的重要 课题，德国数学家高斯提出了一个猜想：π(x) ≈x,其中π()表示不大于x的素数的个 10.(多选)下列函数在其定义域上既是奇函数又 数，即随着x的增大，π(x)的值近似接近n无 的值.从猜想出发，下列推断正确的是( 是减函数的是 A.当x很大时，随着x的增大，π(x)的增长 A.f(x)=2 B.f(x)=sin x-x 速度变慢 B.当x很大时，随着x的增大，π(x)减小 C.f(x)=e *-e* D.f(x)=-xlxl C.当x很大时，在区间(x,x十n)(n是一个 较大常数)内，素数的个数随x的增大而 l1.函数y=xsin x十cosx,x∈（一元，π）的单调 减少 增区间是 D.因为x4)=2,所以x(4)> ·31参考答案 9.D[.f(x)=f(-2)e-2x, f(-2)=f(-2)·e2-2·(-2),解得f(-2) 10.D[由P(0=P,2秀得P'(0=-0·P,·21a2, 因为t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为 -302,即P15)=-802p,=32,解得 10 60 P。=18,则P(t)=18·2茹，当该放射性同位素含量为 4.5贝克时，即P(t)=4.5,所以18·20=4.5，即 2i=,所以-品=-2，解得1=60.故选D] 1.解析：f）=f（3)[(sin/cos2z+mz(cs2'] -=f(5)水asxs2红-2mxm2f(5) r(受)(os营cos经-2sin晋如等） f()f(5)=0)=0, - ∴f(受)=0， 答案：0 12.解：(1).f(x)=esinπx, ∴.f(x)=πe“sinx+πe“cos元x=πe(sin元x十cos元x). ∴f'(合）=xe(sin吾+cos受）=xei (2)设切点的坐标为P(),由题意可知y-。 =0. -2x 一2x0 又y-a+yy1-a+=0. 解得x。=0,此时y=1.即该点的坐标为(0,1)，切线方 程为y-1=0. 13.ACD[在A中，若f(x)=x2,则f(x)=2x,则x2= 2x,这个方程显然有解，故A符合要求；在B中，若f(x) =e,则f)=[(日)]=（日）n是=-e, 即ex=一ex, 此方程无解，故B不符合要求；在C中，若f(x)=lnx, 则了(x)=子，由1ax=是，令y=lnx,y=子（(x>0), 作出两函数的图象如图所示，由两函数图象有一个交 点可知该方程存在实数解，故C符合要求； Y 0 /y=lnx 在D中，若f)=子则f()=-是，由2=-是， 可得x=一1，故D符合要求.] 14解折：根据题意，得到，，)=年8，红，0 y期.12下2号，12》-+2 22 4 =音，因为g.1,2)+g,1,2)=号 答案：号 ·5 课时作业兰 6.2利用导数研究函数的性质 6.2.1导数与函数的单调性 第1课时导数与函数的单调性 1.B[由图象可知，当x∈(x1,x2),(x4,x),(x5,x6)时， f(x)>0,当x∈(x2,x)时，f(x)<0,.函数f(x)在 (x2:x4)上单调递减，在（x,2),(x4,x),(x5,x)上单 调递增，.函数y=f(x)的一个单调递减区间是（x2, x4).故选B.] 2.A[函数f(x)=3z+2,得(x)=l血21)2，令 f=a血2D2>0,解得x>2离数fx)= x 3江士2的单羽递增区间是（品2+∞门 x 3.A[由函数的解析式可得f(x)=合x-sinx,所以 f(-x)=一f(x),故f(x)为奇函数，其图象关于原，点 对称，排除B,D,又当x=受时，f(受）=-sm受 -1<0,排除C.] 4.B[显然y=sinx在(0，十oo)上既有增又有减，故排滁 A;对于函数y=xe2,因e2为大于零的常数，不用求导就 知y=xe2在(0，+o∞)内为增函数；对于C,y=3x2-1 =3(+)(-故数在 (+四)小上为增西数，在(-百)上为减画数：对 33 于D,y=1-1(x>0).故函数在(1，十6∞)上为减函数， 在(0,1)上为增函数，故选B.] 5.AD[由题中图象可知，导函数f(x)的图象在x轴下 方，即f(x)<0,且其绝对值越来越小，因此过函数f(x) 图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的 倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f(x)的大致图象如 图所示. x10 A选项表示x1一x2与f(x1)-f(x2)异号，即f(x)图象 的割线斜率f(工）-)为负，故A正确；B选项表示 x1一x2 工1一x2与f(x1)一f(x2)同号，即f(x)图象的割线斜率 f为正，故B不正骑：f(任）表示 x1一x2 十对应的函数值，即图中点B的纵坐标， f工)十f)表示当x=西和x=x时所对应的函数 2 值的辛均值，即图中点A的纵坐标，显然有f(仁士） <)十f),故C不正确，D正确.故选AD.] 2 6.y=2+cosx,cosx∈[-1,1]，∴.y>0在R上恒成立， 所以函数的单调增区间为（一∞，十∞）. 答案：（一∞，十∞） 7.解析：由f(x)的导函数f(x)的图象知：f(x)在（一∞， 0]上单调递减，在(0，十○)上单调递增，当x≤0时，由 f(x)<1=f(-2),得-2<x≤0，当x>0时，由f(x)< 1=f(4),得0<x<4,综上所述：f(x)<1的解集为( 2,4). 答案：(-2,4) 巴数学B版 8.解：当1<x<4时，f(x)>0,可知 y y=f(x) f(x)在此区间内单调递增；当x> 4,或x<1时，f(x)0,可知f(x) 在这两个区间内单调递减；当x 4,或x=1时，f(x)=0,这两点比 01 4 较特殊，我们称它们为“临界点”.综 上，函数f(x)图象的大致形状如图所示 9.C,[由函数y=xf(x)的图象可知：当x<一1时， xf(x)<0,f(x)>0,此时f(x)单调递增；当一1<x< 0时，xf(x)>0,f(x)<0,此时f(x)单调递减；当0<x <1时，xf(x)<0,f(x)<0,此时f(x)单调递减：当x >1时，xf(x)>0,f(x)>0,此时f(x)单调递增.故 选C.门 10.BCD[对于A,f(x)=22既不是奇函数也不是偶函 数，且单调递增，故A错误；对于B,f(x)的定义域为 R,且f(一x)=sin(一x)十x=-(sinx-x)=一f(x), .f(x)是奇函数，又f(x)=cosx一1≤0恒成立，故是 减函数，故B正确； 对于C,f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-e=一f(x), .f(x)是奇函数，，f(x)=-ez-e<0,故f(x)是 减函数，故C正确；对于D,f(x)的定义域为R,且f(一x) =x|一x|=x|x|=一f(x),∴f(x)是奇函数，又f(x) =一xx=t,0。是减函数，故D正确，故选BCD.] l-x,x≥0 11,解析：y=xc0sx,当-<x<-时，c0sx<0,y =x cos>0; 当-罗<<0时，c0sx>0,y=xc0sx<0:当0K红 <受时，c0sx>0,:y=xc0sx>0:当2<x<元时， cosx<0,.y=x cos x<0,故函数的单调增区间是 (-,-)(0，受） 答案：（一，一 )，0，) 12.解：A(lnm,m),B(2em-言，m),其中，2e言>lnm,且m >0,所以|ABl=2em-z-lnm. 令y=2ei-lnx,>0,则y=2e青-士令y=0, 所以当0<x<时<0，当>合时，>0，所以y =2e号-hx,x>0在(0，)上单调递减，在 (2,+∞)上单调递增. 11 所以x=7时，AB|n=2+ln2. 13.B[构造函数g(x)=f(x)-(2x+4),则g(-1)=2- (-2+4)=0,又f(x)>2,.g(x)=f(x)-2>0, .g(x)是R上的增函数.'.f(x)>2x十4曰g(x)>0曰 g(x)>g(-1),.x>-1.] 14.AC[设函数fx)=品2>0且x≠1，则f(x)= 2d>0且 P()=2-nx xn0x>0且x≠1，当x→+o∞时，f(x)<0, 所以当x很大时，随着x的增大，π(x)的增长速度变 慢，故A正确； 函数f(x)=工的图象如下图所示： In x y ·5 选择性必修第三册 由图象可得随着x的增大，π(x)并不减小，故B错误； 当x很大时，在区间(x,x十n)(n是一个较大常数)内， 函数增长得慢，素数的个数随x的增大而减少，故C正 确：≈2.89>2，故D错误] 第2课时函数单调性的综合问题 1.D[:f)=x+(6>0,…f(x=1-,令f(x） =1-是<0，解得：-6<x<0或0<x<6,f(x)的 单调减区间为（一√6,0），(0wb).] 2.D[a>0,f(x)为增函数，f(x)=3ax2+2bx十c≥ 0恒成立，∴.△=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac≤0，.∴.b2 -3ac≤0.] 3.B[由题意知，f(x)=一3x2+2ax-1,因为y=f(x) 在R上是单调函数，且y=∫(x)的图象开口向下，所以 f(x)≤0在R上恒成立，故△=4a2-12≤0，即-√3≤a √3.] 4.B[根据题意，由f(x)<g'(x),得f(x)-g'(x)<0 令F(x)=f(x)一g(x),则F(x)在[a,b]上递减，由单调 性知，当x∈[a,b]时，必有F(x)≥F(b),即f(x)一g(x) ≥f(b)-g(b),移项整理，得∫(x)-f(b)≥g(x) -g(b).] 5.AC[由f(x)=xln(1+x)知函数的定义域为(-1，十 ∞)，f(x)=h1+x)+千2，当z∈(0，+∞)时，lh1 +x)>01+x ,x>0,f(x)>0,故f(x)在(0，+∞)单 调递增，A正确；由f(0)=0,当-1<x<0时，1n(1+x) <0,f(x)=xln(1+x)>0,当ln(1+x)>0,f(x)>0, 所以f)只有0一个零点，B错误；令，x=-司，f(-名) -1=-ln2-1,故曲线y=f(x)在点 =1n2 (-子f(-合)处切线的斜率为-1-n2,C正确； 由函数的定义城为（一1，十∞），不关于原点对称知， f(x)不是偶函数，D错误.门 6.解析：f(x)=e-e,令f(x)=e-e<0,解得x<1,所 以函，数f(x)的单调递减区间为（一∞，1）. 答案：(-∞，1) 7.解析：f(x)=3x2+2ax+2a-3=(x十1)(3x+2a-3). (1)f(x)的单调减区间为(-1,1)，.一1和1是方程 ∫(x=0的两报，.32a=1,.a=0,a的取值集合 3 为{0}. (2)f(x)在区间（一1,1）内单调递减，.f(x)<0在 (-1,1)内恒成立，又二次函数y=f(x)开口向上，一根 为二1，必有332a>1,a<0,a的取值集合为{ala <0}. 答案：{0}{aa<0} 8.解：f(x)的定义城为(0，十o∞).f(x)=+1+2ax x =2ax2+a+1 x 当a≥0时，f(x)>0,故f(x)在(0，+∞)单调递增. 当a≤-1时，f(x)<0,故f(x)在(0，十∞)单调递减， 当-1<a<0时，令f(x)=0,解得x=√ _a+1 2a1 则当x∈ a十I 时，f(x)>0;x∈ 2a -2a,+∞时，f(x)<0. _a+1, 故f(x)在 0 a+1 2a }上单调递增，在 (厂密，+小上羽道. 2a 6