5.4 数列的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教B版）

参考答案 12.解：(1)依题意，a+1=an·（1十0.2)-x,整理得：am+1 5x=E(a,5x),2=5,又a1-5x=1000 a,-5x -5x>0,∴教列{a,-5x是以1000-5x为首项，号为 公比的等比数列. ②由)知，8，=5x=1000-5x)·(号)，43 -1 ao0-5)·(号)】 十5x,∴.2029年初资金翻两番 .a11=(1000-5x)· 6 10 5 十5x≥4000，解得x≤84. 4,所以x的最大值是84. 13.ABC[设第n十1分钟之内新感染的文件数为an+1,前 n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn,则am+1=2 (S.+1),且a1=2,由a+1=2(Sn十1)可得an=2(Sn- 十1)，两式相减得：an+1一an=2an,所以an+1=3am,所 以每分钟内新感染的病毒构成以a1=2为首项，3为公 比的等比数列，所以a=2X3-1,在第3分钟内，该计 算机新感染了a,=2X33-1=18个文件，故选项A正 确；经过5分钟，该计算机共有1十a1十a2十ag十a4十a5 =1+2×(13)=3=243个病毒文件，故选项B正 1-3 确；l0分钟后，计算机感染病毒的总数为1十a1十a2十 十a。=1+2X0二3”-3>号×10，所以计算机 1-3 处于瘫痪状态，故选项C正确；该计算机瘫痪前，每分 钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选 项D不正确；故选ABC.] 14.解析：因为a+1一2an一1=0，所以an+1十1=2(am十1)， .数列{an十1}是以a1十1=2为首项，公比为2的等比 数列，a.+1=2”,a,=2”-1.因此S=21-?”）-m 1-2 =2+1-2-n. 所以(-1)"λ≤Sn十2n对Vn∈N·恒成立， 可化为(-1)”1≤2+1十n-2对Vn∈N恒成立. 当n为奇数时，一入≤(2+1十n一2)m,所以一入≤3，即 λ≥-3； 当n为偶数时，A≤(2+1十n一2)mm,解得入≤8.综上，实 数入的取值范围是[一3,8]. 答案：[一3,8] 5.4数列的应用 1.A[设2016年年底总产值为a,年平均增长率为x,则a (1+x)8=4a,得x=2-1,故选A.] 2.B[设鱼原来的质量为a,饲养n年后鱼的质量为am,g =200%=2,则a,=a1+g),a=a1(1+号）=a1+g） ·(1+号），，=a1+2)×1+1)×(1+号)× 1 11405 1+2)×(1+2）=32a≈12.7a,即5年后，鱼的质量 预计为原来的127倍，故选B.] 3.A[小球10次着地共经过的路程为100十100+50+…十 100X(合)广=299≈30（未）.] 64 4B[由已知x=6X8%·a1+8%0) (1+8%)9-1 y= 12×8%。·a1+8%)”,之=+8%)+1<1故工 (1+8%0)2-1 y 2(1十8%0) <y.] 5.BD[由条件，知ab,c依次成公比为2的等比数列，又a十 6叶c=50,所以c+2x+4c=50,所以c=2.] 6.解析：去年产值为a,今年起5年内各年的产值分别为1.la, 1.12a,1.1a,1.1a,1.1a, .1.1a+1.1a+1.1a+1.1a+1.1a=11a(1.15-1). 答案：11a(1.15-1) ·4 课时作业乡 7.解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构 成一等比数列{an},且a1=2,q=2,∴.an=2, 则2"=64×210=218，.n=16. 即病毒共复制了16次. .所需时间为16×3=48（分钟）. 答案：48 8.解：(1)从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为：a1, a2,a3,,at, 由题意，得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),a3=13.5(1- 10%)2,…, 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9, am=a1·g-1=13.5×(0.9)m-1, n年后车的价值为a+1=13.5X0.9"万元. (2)由(1)得a5=a1·q=13.5×0.9≈8.9（万元）， 。用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元 9.C[设年增长率为x,则2012年为： 40(1+x)0=50,则(1+x)0=5 2022年为：40(1+z)=40×[1+x)]2=40×号× 5=62.5≈63（万吨）.] 4 l0.AC[设此人第n天走了am里的路，则数列{an}是首 项为a1,公比g为号的等比数列.国为S。=378,所以 ,1- S6= 1 -=378,解得a1=192.对于A,由于a2= 1一 192X2=96,所以此人第二天走了96里路，所以A正 确对于B,由于0，-192X-48,祭>日所以B错 误；对于C,由于378-192=186,192-186=6，所以此 人第一天走的路程比后五天走的路程多6里，所以C 正确：对于D,由于a,十a,=192×(。+2)=18,所 以D错误.故选AC.] 11.解析：设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组成 一个数列{an},则a1为全部资金，第一名领走资金后剩 aa,=号41-1，像次美推，a1=4,-1,a1十2 =(a,十2)0.十2)是-个等比数列，公比为合， 首项为a1十2.∴.an+2=(a1+2)· (a1+2)· /1 (2 一2..第6名领走资金后剩余为a1 =(a,+2)×(2 1 -2=0..a1=126.即全部资金为 126万元. 答案：126 12.解析：第1年投入为800万元， 第2年投入为800×(（1- )万元. 第n年授为0ox(-号） 万元. 所以n年内的总投入为 a,=800+800×(1-5） 1 +…+800× 1-号) ×-() =800× 1-(1-) =400×[1-(号)] 第1年收入为400万元， 第2年放入为40×(1+)万元， … 9 巴数学B版 第m年收入为400×(1+)万元， 所以n年内总收入为 6.=400+400×号+…+400×(2)月 4 =400× [-(】-1o0 1 [()- 4 13.解析：依题意知，电力型公交车的数量组成首项为128， 公比为1十50%=号的等比数到，混合动力型公交车的 数量组成首项为300，公差为a的等差数列，则5年后 的数量和为 8X（1+30X5+,所 1一2 128×[L-(径]+300X5+4.≥5o0,910a 12 3 2 ≥1812，解得a≥181.2，因为5年内更换公交车的总和 不小于5000，所以a的最小值为182. 答案：182 14.（1)解：当n≤6时，数列{a。}是首项为120，公差为一10 的等差数列，a.=120-10(n-1)=130-10n; 当m≥6时，最到(0，是以@为首项，公比为子的等比 数列， 又a,=70,所以a,=70X(3)- 4 因此，第n年年初M的价值am的表达式为 130-10m,n≤6，n∈N*, an= 170X13) 一6 4 ,n≥7，n∈N" (2)证明设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等 比数列的求和公式，得 当1≤n≤6时，Sn=120n-5n(n-1), A.=120-5(n-1)=125-5n; 当n≥7时，由于S6=570, 故Sn=S6十(a,十ag十…十am) -5+0xx4x-(）】 -70-210×(）, A 70-210×(2) 因为{an}是递减数列，所以{An}也是递减数列. 780-210× 又A8= =82 8 7>80, 31 780-210×(4) =76 79 A= <80.所以必须在第9 96 年年初对M更新 5.5 数学归纳法 1.C[因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n =k到n=k十1时，等式左边增加了[1十2十3十…十2k +(2k+1)+2(k+1)]一(1十2+3·+2k)=(2k+1)+ (2k+2).] 2.C[由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n=3是 否成立.] 3.C[因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S。= 十十2十…+站0 得S1=62+中*…+品+0中2中D@ 1 1 1 由②-①，得S+1-S,=2k+1+2(k+1D一千1 23+120k+D,故S+1=S十2+72k+D] ·5 选择性必修第三册 4.B[依题意得，由n个圆增加到n十1个圆，增加了2n个 交，点，这2n个交，点将新增的圆分成2n段孤，而每一段孤 都将原来的一块区域分成了2块，故增加了2n块区域， 因此f(n十1)=f(n)十2n.] 5.D[n=1的验证及归纳假设都正确，但从n=k到n=k 十1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩 法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求.故应选D.] 6.解析：当n=k时，左端为：(1+1)(2十2)…(k十k),当n =k十1时，左端为：(1+1)(2+2)(k+k)(k十1+k+ 1),由k到k+1需添加的因式为：(2k十2). 答案：2k+2 2 2 2 7.解析：a=2,a2=7,a,=13a=19,猜测a.=6m-5: 2 答案：am一6n-5 8.证明：(1)①当n=1时，左边=12=1， 右边=(-1)°×1X)+1)=1,左边=右边，等式成立. 2 ②假设n=k(k∈N')时，等式成立，即 12-22+32-42+…+(-1)-1k2=(-1)-1 .(k+1) 2 则当n=k十1时， 12-22+32-42+.+(-1)-1k2+(-1)(k+1)2= (-1)-1.6k+1D+(-1)*6+1) 2 =(-1+D:[+)-合] (-1).k+1)[(+1)+1] 2 .当n=十1时，等式也成立， 根据①、②可知，对于任何n∈N*等式成立】 9.D[由题意，n=时，最后一项为头，n=十1时，最后 1 1 1 一项为2市=2*×22十2 所以由刀=为变到n=十1时，左边增加的项为十十 1 2处+2十士2十2增加了2项门 10.C[不等式左端共有n十1项，且分母是首项为n,公差 为1，木项为2m的等差数列，当贝=k时，左格为启十 中十中2十…十0：当=十1时，左滴为6中十 1 1 1 中2十十3…十品十2中十十2对比两式，可得 1 1 1 结论.门 11.解析：假设当=k(k≥2且k为偶数)时，命题成立，即 1合+号-+…+- 1 22+中4十叶)底立，向于是对所有正仍数 1 命题成立，则归纳推广时，应该是再证明取下一个偶数 时，命题也成立，所以应证明当n=k十2时，等式也成 立，故答案为k十2. 答案：k十2 12.解析：1当n=1时，(S,-1D2=,S,=合，当n≥2 时，(5，-1)2=(S。-S-1)S…S=2-S s=号s= 4 猜想Sn= n十1n∈N'; (2)下面用数学归纳法证明： ①当a=1时5=合币合精起正确： ②假设n=k时，猜想正确，即S:=十1' 那么当n=k十1时，世数学B版 数 课时 间 5.4 学 纠错空间 作业 [基础达标练] 1.某工厂2016年年底制订生产计划，要使工厂 的总产值到2024年年底在原有基础上翻两 番，则总产值年平均增长率为 () A.2-1 B.2-1 C.3-1 D.3-1 2.据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量 增长率为200%，以后每年的增长率为前一年 的一半.若饲养5年后，鱼的质量预计为原来 的t倍.下列选项中，与t值最接近的是 ( A.11 B.13 C.15 D.17 3.一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又 跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着 地时所经过的路程和是（结果保留到个位） 方法总结 ( A.300米 B.299米 C.199米 D.166米 4.某医院月初购买一台医疗设备价格为a万元， 实行分期付款（每月底付款），每期付款数相 同，每月为一期，如果按月利率8%，每月复利 一次，若6个月付清，共付x万元，若12个月 付清，共付y万元，则x、y满足 () A.x=y B.x<y C.a>y D.x≥y 5.(多选)我国古代数学专著《九章算术》中有这 样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之 粟五斗，羊主日：“我羊食半马.”马主曰：“我马 食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的 译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗 主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃 的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所 吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还， 他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应 分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下 列判断正确的是 () A.a,b,c依次成公比为2的等比数列 B.a,6,c依次成公比为2的等比数列 选择性必修第三册 数列的应用 C.a D.c=50 7 6.某厂去年产值为a,计划在5年内每年比上一 年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总 产值为 7.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据 内存1KB,然后每3分钟自身复制一次，复制 后所占内存是原来的2倍，那么开机 分钟，该病毒占据内存64MB.(1MB=21 KB) 8.某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预 测这种车每年按10%的速率贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的 价值. (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大 概能得到多少钱？ [能力提升练] 9.某钢厂的年产值由2002年的40万吨，增加到 2012年的50万吨，经历了10年的时间，如果 按此年增长率计算，该钢厂2022年的年产值 将接近 () A.60万吨 B.61万吨 C.63万吨 C.64万吨 10.(多选)在《增删算法综宗》中有如下问题：“三 百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减 一半，六朝才得到其关.”其意思是：“某人到 某地需走378里路，第一天健步行走，从第二 天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走 了6天才到达目的地.”则下列说法正确的是 () 第五章数列 A.此人第二天走了96里路 B.此人第三天走的路程占全程的g C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多 6里 D.此人第五天和第六天共走了30里路 11.某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第 名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩 下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的 一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则 需要拿出资金万元 12.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金 进行生态环境建设，并以此发展旅游业.根据 规划，本年度投入800万元，以后每年投入比 上年减少号；而本年度当地的旅游收入估计 为400万元，由于该项建设对旅游业有促进 作用，预计今后的旅游收入每年会比上一年 增加子.设n年内（本年度为第1年）总投人 为a,万元，旅游业总收入为b。万元，写出 am,bn的表达式. 课时作业乡 [素养培优练] 13.为了加强城市环保建设，某市计划用若干年 空 时间更换5000辆燃油型公交车，每更换 间 辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和纠错空间 混合动力型两种车型.今年年初投人了电力 型公交车128辆，混合动力型公交车300辆， 计划以后电力型车每年的投入量比上一年增 加50%.混合动力型车每年比上一年多投入 a辆.市政府根据人大代表的建议，要求5年 内完成全部更换，则a的最小值为 14.某企业在第1年年初购买一台价值为120万 元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减 少，从第2年到第6年，每年年初M的价值 比上一年年初减少10万元；从第7年开始， 每年年初M的价值为上一年年初的75%. (1)求第n年年初M的价值an的表达式； (2)设A.=a十a十…+a,若A.大于80 万元，则M继续使用；否则，必须在第n年年 初对M更新.证明：必须在第9年年初对M 更新. 方法总结 ++++1+++1++++++ 4444+4++ ++4年4+。++年++。 年年年年年年年年g年年年g■年年年年■ 9·