5.3.2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教B版）

巴数学B版 各式相加，得，an一a1=2-1十2"-2十2"-3十…十2= 2×1-2"）=2-2,0n=2”,a1也适合，S。=2+2 1-2 +2+…+2=2×022）=2+1-2,Sn+2=21 1-2 ≥4. 则log号(S。+2)的最大值为log24=-2. 答案：一2 第2课时等比数列前n项和的综合应用 1.C[设该女子第一天织布工尺，则-？）=5，解得工 1-2 =引，所以前n天织布的尺数为员(2-1)，由员(2 1)≥30，得2"≥187，解得n的最小值为8.] 2之.A[依题意得口1=言4十品6消去，得a1 an+bn=500, 1 2a,+150.] 3.C[国为a,=22=1-安，所以数列{a,}的前5项和 [-(合 S6=5- =5-1+-器】 1一2 4.A[设第一到第五实验室的设备费用分别为a1,a2,a3, a4,a5;则由题意a1,a2,a,a4,a5成等比数列，设公比为 9:且a3-a1=9,a5-a3=36；a5-a3=a3q2-a192=36, 解得g=2或q=-2(舍)；由a3-a1=3a1=9得a1=3. 所以a,+a2+a,+a4十a,=31-2)=93.] 1-2 5.BCD[根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此 人第n天走a,里路，则{a,}是首项为a1,公比为g=2 的等比数列 所以=92--（受）] 1-9 =378,解得a1 1-号 =192. 选项A:a,=a1q=192X(号)°=6，故A错误，选项B: 由a1=192,则S6-a1=378-192=186,又192-186= 6,故B正确.选项C:a,=a19=192×号=96，而子5，- 94.5,96-94.5=1.5,故C正确.选项D:a1十a2十a3= a,1+q+)-192×(1+号+子)-336，则后3天走 的路程为378-336=42，而且336÷42=8，D正确.故 选BCD.] 6.解析：设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组成一 个数列{an},则a1为全部资金，第一名领走资金后剩a2, a=201-1,依次类推，0+1=2a,-1,0m+1十2= 合（a,+2,a,+2}是-个等比数到，公比为日，首项 为a+2ia+2=a+2):(合)厂a,=a+2) n-1 -1 ·() 一2..第6名领走资金后剩余为a7=(a1十 2)×(2) -2=0.a1=126,即全部资金为126万元. 答案：126 7.解析：设等比数列为{an},其公比为q,由题意知，S= a0g=98,+a=子a可得a十a1g=子ad, 1-9 因为00，所以，1+g=d,解得g=2或g=-号（合 ·4 选择性必修第三册 去)，当g=2时，可得11-2 1-2 =93,解得a1=3. 答案：3 8.解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得{a1+d=4, {(a1+3d)+(a,+6d)=15, 解得C3,所以a,=a,十(m-1)d=n十2. 1d=1. (2)由(1)可得bn=2”十n, 所以b1+b2+b3+…+b。=(2+1)+(22+2)+(23+3) +.+(210+10) =(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10) _21-22+1+10)×10=(21-2)+55=21+53= 1-2 2 2101. 9.C[法一：先把这32人均分为2组，选其中一组16人的 样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则 认定在本组，此时进行了1次检测，继续把认定的这组 的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查，若 为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时 进行了2次检测.继续把认定的这组的8人均分两组，选 其中一组4人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一 组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测，继续 把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本 混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定 在本组，此时进行了4次检测.选认定的这组的2人中一 人进行样本检查，若为阴性则认定是另一个人；若为阳 性，则认定为此人，此时进行了5次检测，所以，最终从这 32人中认定那名感染者需要经过5次检测，故选C. 法二：设第n次检测后余下的人数为am,则a1=l6且a, t红16x(2) 2 ,令a.=1,则n=5,故需 要检测5次，故选C.] 10.AC[由题可知，第一次着地时，S1=100;第二次着地 时，S2=100+200×2名； 第三次着地时，S,=100+200×3 2 +200× (号)… 第n次着地后，5，=100+200×号+200×（号）+… +20×(号)）， 则s.=10+20[号+（号）广++（号）厂]-10 十400[-（号）]显然S.<50,又S.是关于m的 增数列，m≥2，故当n=2时，S.的最小值为100+400_700 33 综上所述，AC正确，故选AC.] 11.解析：设依次所作的第n个正方形的边长为an,第n个 正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为Sm,则第n 个等腰直角三角形的腰长为号。，且a1=1.第n十1 个正方形的边长为=号。=号5=计 an （g,婴 S. a? ()）-(9=里s--是×1-是所 以数列，(5.)是以为首项，为公比的等比数列。 4 s=81-. 答案：5-(-) 参考答案 12.解：(1)依题意，a+1=an·（1十0.2)-x,整理得：am+1 5x=E(a,5x),2=5,又a1-5x=1000 a,-5x -5x>0,∴教列{a,-5x是以1000-5x为首项，号为 公比的等比数列. ②由)知，8，=5x=1000-5x)·(号)，43 -1 ao0-5)·(号)】 十5x,∴.2029年初资金翻两番 .a11=(1000-5x)· 6 10 5 十5x≥4000，解得x≤84. 4,所以x的最大值是84. 13.ABC[设第n十1分钟之内新感染的文件数为an+1,前 n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn,则am+1=2 (S.+1),且a1=2,由a+1=2(Sn十1)可得an=2(Sn- 十1)，两式相减得：an+1一an=2an,所以an+1=3am,所 以每分钟内新感染的病毒构成以a1=2为首项，3为公 比的等比数列，所以a=2X3-1,在第3分钟内，该计 算机新感染了a,=2X33-1=18个文件，故选项A正 确；经过5分钟，该计算机共有1十a1十a2十ag十a4十a5 =1+2×(13)=3=243个病毒文件，故选项B正 1-3 确；l0分钟后，计算机感染病毒的总数为1十a1十a2十 十a。=1+2X0二3”-3>号×10，所以计算机 1-3 处于瘫痪状态，故选项C正确；该计算机瘫痪前，每分 钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选 项D不正确；故选ABC.] 14.解析：因为a+1一2an一1=0，所以an+1十1=2(am十1)， .数列{an十1}是以a1十1=2为首项，公比为2的等比 数列，a.+1=2”,a,=2”-1.因此S=21-?”）-m 1-2 =2+1-2-n. 所以(-1)"λ≤Sn十2n对Vn∈N·恒成立， 可化为(-1)”1≤2+1十n-2对Vn∈N恒成立. 当n为奇数时，一入≤(2+1十n一2)m,所以一入≤3，即 λ≥-3； 当n为偶数时，A≤(2+1十n一2)mm,解得入≤8.综上，实 数入的取值范围是[一3,8]. 答案：[一3,8] 5.4数列的应用 1.A[设2016年年底总产值为a,年平均增长率为x,则a (1+x)8=4a,得x=2-1,故选A.] 2.B[设鱼原来的质量为a,饲养n年后鱼的质量为am,g =200%=2,则a,=a1+g),a=a1(1+号）=a1+g） ·(1+号），，=a1+2)×1+1)×(1+号)× 1 11405 1+2)×(1+2）=32a≈12.7a,即5年后，鱼的质量 预计为原来的127倍，故选B.] 3.A[小球10次着地共经过的路程为100十100+50+…十 100X(合)广=299≈30（未）.] 64 4B[由已知x=6X8%·a1+8%0) (1+8%)9-1 y= 12×8%。·a1+8%)”,之=+8%)+1<1故工 (1+8%0)2-1 y 2(1十8%0) <y.] 5.BD[由条件，知ab,c依次成公比为2的等比数列，又a十 6叶c=50,所以c+2x+4c=50,所以c=2.] 6.解析：去年产值为a,今年起5年内各年的产值分别为1.la, 1.12a,1.1a,1.1a,1.1a, .1.1a+1.1a+1.1a+1.1a+1.1a=11a(1.15-1). 答案：11a(1.15-1) ·4 课时作业乡 7.解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构 成一等比数列{an},且a1=2,q=2,∴.an=2, 则2"=64×210=218，.n=16. 即病毒共复制了16次. .所需时间为16×3=48（分钟）. 答案：48 8.解：(1)从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为：a1, a2,a3,,at, 由题意，得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),a3=13.5(1- 10%)2,…, 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9, am=a1·g-1=13.5×(0.9)m-1, n年后车的价值为a+1=13.5X0.9"万元. (2)由(1)得a5=a1·q=13.5×0.9≈8.9（万元）， 。用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元 9.C[设年增长率为x,则2012年为： 40(1+x)0=50,则(1+x)0=5 2022年为：40(1+z)=40×[1+x)]2=40×号× 5=62.5≈63（万吨）.] 4 l0.AC[设此人第n天走了am里的路，则数列{an}是首 项为a1,公比g为号的等比数列.国为S。=378,所以 ,1- S6= 1 -=378,解得a1=192.对于A,由于a2= 1一 192X2=96,所以此人第二天走了96里路，所以A正 确对于B,由于0，-192X-48,祭>日所以B错 误；对于C,由于378-192=186,192-186=6，所以此 人第一天走的路程比后五天走的路程多6里，所以C 正确：对于D,由于a,十a,=192×(。+2)=18,所 以D错误.故选AC.] 11.解析：设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组成 一个数列{an},则a1为全部资金，第一名领走资金后剩 aa,=号41-1，像次美推，a1=4,-1,a1十2 =(a,十2)0.十2)是-个等比数列，公比为合， 首项为a1十2.∴.an+2=(a1+2)· (a1+2)· /1 (2 一2..第6名领走资金后剩余为a1 =(a,+2)×(2 1 -2=0..a1=126.即全部资金为 126万元. 答案：126 12.解析：第1年投入为800万元， 第2年投入为800×(（1- )万元. 第n年授为0ox(-号） 万元. 所以n年内的总投入为 a,=800+800×(1-5） 1 +…+800× 1-号) ×-() =800× 1-(1-) =400×[1-(号)] 第1年收入为400万元， 第2年放入为40×(1+)万元， … 9世数学B版 选择性必修第三册 数 课时 间 第2课时 等比数列前n项和的综合应用 学 纠错空间 作业 [基础达标练] 5.(多选)在《增减算法统宗》中有这样一则故事： 1.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有 “三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛 女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？” 减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的 意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前 是 一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女 A.此人第六天只走了5里路 子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件， B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多 若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需 6里 的天数至少为 ( ) A.10 B.9 C.此人第二天走的路程比全程的子还多1.5里 C.8 D.7 D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之 2.某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期 和的8倍 一有A,B两种菜可供选择，调查资料表明，凡 6.某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名 是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有 得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的 20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期 一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多 一会有30%改选A种菜.用an,bn分别表示在 一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿 第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的 出资金 万元. 学生人数，则an+1与an的关系可以表示为 7.《莱茵德纸草书》(Rhind Papyrus))是世界上最 方法总结 古老的数学著作之一.书中有这样一道题目： ( 1 把93个面包分给5个人，使每个人所得面包 A.a+1=2a,+150 个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中 1 间一份的四分之三，则最小的一份为 B.a+1=3a.+200 8.在等差数列{an}中，a2=4,a4十a=15. 5a,+300 C.a+= (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=2-2+n,求b1十b2十b3十…十b10 2 D.a+1=5a,+180 的值. 3.(2021·湖南湘潭市湘潭一中高二期末)数列 (a,的通项公式a,=2”1 2n 则数列{an}的前5 项和S,等于 ( A影 c罗 D罗 4.某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计 划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分 为装修费和设备费.设备费从第一到第五实验 室依次构成等比数列，已知第三实验室比第一 实验室的设备费用高9万元，第五实验室比第 三实验室的设备费用高36万元.则该研究所 改建这五个实验室投人的设备费用为() A.93万元 B.45万元 C.189万元 D.96万元 ·16. 第五章数列 课时作业乡 [能力提升练] (2)为实现2029年初资金翻两番的目标，求 9.在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场 x的最大值（精确到万元）. (参考数据：1.2≈5.160,1.21°≈6.192,1. 带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进 211≈7.430) 行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每 纠错空间 32人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌 物混合检查，如果为阴性，则全部放行；若为阳 性，则对该32人再次抽检确认感染者.某组32 人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是 阳性)，若逐一检测可能需要31次才能确认感 染者.现在先把这32人均分为两组，选其中 组16人的样本混合检查，若为阴性，则认定在 另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定 的这组的16人均分两组，选其中一组8人的 [素养培优练] 样本混合检查…依此类推，最终从这32人 13.(多选)计算机病毒危害很大，一直是计算机 中认定那名感染者需要经过( )次检测. 学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒 感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被 A.3 B.4 感染文件.计算机学家们研究的一个数字为 C.5 D.6 计算机病毒传染指数C。,即一个病毒文件在 10.(多选题)(2021·江苏省木渎高级中学高二 一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病 期末)一个弹性小球从100m高处自由落下， 毒的传染指数C。=2,若一台计算机有105个 每次者地后又跳回原来高度的号再落下，设 可能被感染的文件，如果该台计算机有一半 以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状 方法总结 态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经 它第n次着地时，经过的总路程记为Sn,则 防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是 当n≥2时，下面说法正确的是 () A.Sm<500 A.在第3分钟内，该计算机新感染了18个 B.Sn≤500 文件 B.经过5分钟，该计算机共有243个病毒 C.S。的最小值为700 3 文件 C.10分钟后，该计算机处于瘫痪状态 D.S.的最大值为400 D.该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文 11.如图，在平面上作边长为1的正方 件数成公比为2的等比数列 形，以所作正方形的一边为斜边向外 14.已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1 作等腰直角三角形，然后以该等腰直 且an+1-2an-1=0,若(-1)入≤Sn十2n对 角三角形的一条直角边为边向外作正方形， Hn∈N"恒成立，则实数λ的取值范围是 再以新的正方形的一边为斜边向外作等腰直 角三角形，如此这般的作正方形和等腰直角三 角形，不断地持续下去，求前n个正方形与前n 个等腰直角三角形的面积之和为 12.某工厂2019年初有资金1000万元，资金年 平均增长率可达到20%，但每年年底要扣除 x(x<200)万元用于奖励优秀职工，剩余资 金投人再生产 (1)以第2019年为第一年，设第n年初有资 金am万元，用an和x表示am+1,并证明数列 {an一5x}为等比数列； ·17.