5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·选择性必修第三册 5.3.2等比数列的前n项和公式 第1课时 等比数列的前n项和公式 课程标准 素养解读 1.在推导等比数列前n项和公式的过程中达成逻辑推理、 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式 数学抽象的核心素养， 2.理解等比通项公式与前n项和公式的关系. 2.在运用等比前n项和公式的过程中提升逻辑推理和数学 运算的核心素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]等比数列前n项和的性质 国际象棋起源于古代印 1.数列{an}为公比不为一1的等比数列（或公比为- 度.相传国王要奖赏国际象棋 1,且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则S.,S2m 的发明者，问他想要什么.发 Sn,S3m一S2m仍构成等比数列. 明者说：“请在棋盘的第1个 2.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn十q”Sm 格子里放上1颗麦粒，第2个 (n,m∈N). 格子里放上2颗麦粒，第3个 3.若{an}是公比为q的等比数列，S,S奇分别是数列 格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦 粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64 的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2m项中，。 个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉 =q; 得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质 ②在其前2n十1项中，S奇一S偶=a1一a2十a3一a4十 量为40克，据查，2016一一2017年度世界年度小麦 产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能 a十an=9-4gg-0. 1+q 实现他的诺言. [知识点三]错位相减法 1.推导等比数列前n项和的方法 一般地，等比数列{an}的前n项和可写为： Sn=a1+a1q十a1g2+…+a1g"-1, ① [知识梳理] 用公比q乘①的两边，可得 [知识点一] 等比数列的前n项和公式 gSn=a19+a1g2+…+a1q"-1十a1g", ② 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 由①-②，得(1-q)Sn=a1-a1q, 求和 a(1-q (q≠1)， a1一a9(gf1), 整理得S.=a,1二2g≠1D. 1-q S 1-9 1-9 公式 2.我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列 na1(q=1) na1(q=1) {an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列， {bn}为等比数列，且q≠1. 的思考1.类比等差数列前n项和是关于n的二次 ?思考2.等比数列的前n项和公式的推导还有其 型函数，如何从函数的角度理解等比数列前项 他的方法吗？ 和Sn? 24· 第五章数列 [预习自测] (4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3,S6,S,成等 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 比数列 ( ) 打“√”，错误的打“X” 2.等比数列{an}中，公比q=-2,S=44,则a1的值为 (I)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sm =a(1-g）来求。 ( ) 1-9 ( ) A.4 B.-4 (2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则 其前n项和为Sn=na. C.2 D.-2 () (3)若某数列的前n项和公式为Sn=一ag”十a(a≠0， 3.已知数列{an}为等比数列，且前n项和为Sn,S,= q≠0且q≠1，n∈N*),则此数列一定是等比数列. 3,S。=27,则公比q= ( 课堂。互动学案 题型一 等比数列前项和的应用 题型二 等比数列前n项和的性质 [例1]在等比数列{an}中， [例2](1)等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=7, (1)S2=30,S3=155,求Sn; S。=91,则S4为 (2a十a,=10a,+a,=号求S: A.28 B.32 C.21 D.28或-21 (3)a1十a.=66,a2am-1=128,Sn=126,求g. (2)等比数列{an}中，公比q=3,S0=32,则a2十a4 十a6十…十a0= 规律方法 1.等比数列前n项和的性质 (①)等比数列{a,}中，若项数为2m,则=g若项 S 数为2m十1，则S。a=g. S俄 规律方法 (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2 1.在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中，已 Sn,Sm一S2n…成等比数列（其中Sn,S2m 知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两 Sn,S3m一S2m…均不为0). 个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体 (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Ag”-A 应用。 (A≠0，q≠0，n∈N*),则数列{an}为等比数 2.在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公 列，即Sn=Aq”一A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈ 比q=1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能， N)台数列{an}为等比数列. 则要分类讨论。 2.结合等比数列前n项和的性质解题 ◇[变式训练] (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和性质 1.在等比数列{an}中. 是基础. (1)若a1=√2，an=16√2，Sn=11√2，求n和q; (2)运用方程思想、整体化思想是解题的关键， (2)已知S4=1,Sg=17,求am· ⊙[变式训练] 2.(1)已知等比数列{an}的公比g=- 3,则 a,十a,十a,十a1等于 a2+as+as+as A.-3 B.- 3 C.3 D.3 ·25 数学B版·选择性必修第三册 (2)设等比数列{a.}的前n项和为Sn,若 =3,则 2.本题中设dn=(2n一1)am,求数列{dn}的前n项 和T ( A.2 c号 D.3 (3)一个项数为偶数的等比数列{an},全部各项之 和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列 的通项公式. 规律方法 错位相减法的适用范围及注意事项 (1)适用范围：它主要适用于{am}是等差数列， {bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和. (2)注意事项： ①利用“错位相减法”时，在写出S.与gS.的 表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差， 题型 错位相减法求和 正确写出(1一q)Sn的表达式. [例3] 已知等比数列a.满足：a,=号aa,a ②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1 的情况. 日成等差数列，公比9∈(0,1， ⊙[变式训练] (1)求数列{an}的通项公式； 3.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列 是公差 (2)设bn=nam,求数列{bn}的前n项和Sn. 为1的等差数列，且a2=3,a3=5. [思路点拨](1)根据a1a2,a,一8成等差数列 (1)求数列{an}的通项公式； 求得公比q,写出通项公式： (2)设bn=am·3”,求数列{bn}的前n项和Tm (2)由bn=nan可知利用错位相减法求和。 [当堂达标] [母题变式] 1.等比数列1，x,x2,x3,…的前n项和Sn等于 本题中设c.,求数列c.的前n项和S A苦 B.1x1 1-x C.1-xx≠1且x≠0 1-x" (n,x=1 ,1-x”-1 D. 1-xx≠1且x≠0 (n,x=1 ·26· 第五章数列 2.(多选)已知各项均为正数且单调递减的等比数列 4.求数列{})的前n项和。 (a,}满足a,号a2a,成等差数列，其前n项和为 12 Sn,且S=31,则 A.a= ) B.a =2"+1 C.S.=32- 2-5 D.Sn=2+4-16 3.在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1十a4= 18,a2+a3=12,则这个数列的前8项之和S8 第2课时 等比数列前n项和的综合应用 课程标准 素养解读 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相1.在运用等比数列知识解决实际问题的过程 应的问题， 中，达成数学抽象、数学建模、数学运算的核 2.掌握等差数列与等比数列的综合应用 心素养。 3.能用分组转化方法求数列的和 2.借助分组求和，培养学生的数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] (2)当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1,Sn是n 信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、 的正比例函数 计算机等快速的传递有关信息.在这样的背景下，要 [知识点二]数列求和的基本方法 求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依 (1)公式法 法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？ 直接用等差、等比数列的求和公式求解. 如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个 (2)例序相加法 信息传递给3个不同的好友（称为第1轮传播），每个 好友收到信息后又都传给了3个不同的好友（称为第 如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两 2轮转播)…依次下去，假设传的过程中都是传给 项的和相等（或等于同一常数），那么求这个数列 不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人就构成了 的前n项和可用倒序相加法. 一个等比数列， (3)裂项相消法 1,3,9,27,81,… 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一 如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这 些项可以相互抵消，从而求得其和。 个信息的人数共有多少？ (4)分组求和法 一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求 和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和 法，分别求和而后相加， (5)并项求和法 一个数列的前n项和中，若项与项之间能两两结 合求解，则称之为并项求和.形如an=(-l)”f(n) 类型，可采用并项法求解. [知识梳理] (6)错位相减法 [知识点一]等比数列前n项和公式的函数特征 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等 (1D当公比q≠1时，设A=g二气，等比数列的前n项 比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 和公式是Sn=A(q”一1).即Sn是n的指数型 n项和可用此法来求，如等比数列的前n项和公 函数. 式就是用此法推导的 ·27数学B版·选择性必修第三册 2000时，解得≥6，因此感染人数由1个初始感染者增加 到2000人大约需要的传染轮数为6轮.] 3.解析：因为等比数列{an}的各项均为正数，且a3=9所以 log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3as=log3 (a1 a2 ·a3·a4·a5)=log3(a35)=log3(95)=log3(310)=10. 答案：10 4.[解](1)a1a2a3=a2=216,.a2=6,.a1a3=36. 又.a1十a3=21-a2=15, .a1a3是方程x2-15x十36=0的两根3和12. 当a1=3时，q =a2=2,an=3·2m-1, 当a12时9合=12（位） 1 (2)a4ag=a3q·a5q3=a3a5q4=18g=72, q4=4,q=士2. 5.3.2等比数到的前n项和公式 第1课时等比数列的前n项和公式及应用 课前预习学案 知识梳理 知识点二、 [思考] 1.[提示]可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数 型函数. 知识点三、 [思考] 2[提示]根据等比数列的定义，有：2=2=4=…= al a2 a3 a1=q,再由合比定理， an-1 则得t士t02=g,即§二1=g,进雨可 a1+a2+a3十…+an-1 Sn-an 求S 预习自测 1.(1)× (2)√(3)√(4)× 2.A[由S,-a二（二2》门=44，得a1=4.] 1-(-2) 3.解析g=S6。S=2723=8,所以g=2. S3 3 答案：2 课堂互动学案 [例1][解](1)由题意知11+q）)=30, a1(1+q+q2)=155, a1=180, 解得5或 (9=5 从而S=号×51-5成S 1o8o×[1-(8)] 4 1a1十a1g2=10, a1=8, (2)法一：由题意知 1从而 9=2 S=11-g)-31 1-q 2 ·8 法二：由(a1十agg3=a十a,得g=日，从两g= 1 又a1十a3=a1(1+q2)=10,所以a1=8,从而S5= a1(1-g5)_31 1-q 2 (3)因为a2an-1=a1an=128,所以a1,an是方程x2-66z 十128=0的两根。 从而01=2，或0，=2，又5.=-09=126，所以g 1an=64,{a1=64. 1-q 为2或2 变式训练 1.[解](1)由S。-1-a9,得112-2-162，g= 1-q 1一9 -2, 又由an=a1g”-1,得16√2=√2(-2)n-1,.n=5. (2)若q=1,则S8=2S4,不合题意，∴.q≠1， 54-a10二g）-1,5-10二-17. 1-9 1-9 两式相除得等=11=1十9，q=2成g=一2a1= ,=620-1浅-号(-2》- [例2](1)A[{am}为等比数列，.S2,S4-S2,S6-S4 也为等比数列，即7，S4一7,91一S4成等比数列，(S4 7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21. :S4=a1+a2十a3十a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+ a2)(1+q2)=S2(1+q2)>S2,∴.S4=28.] (2)24[设S1=a2十a4十a6十…十a80,S2=a1十a3十a5 十…十a则爱=q=3,即S=3S, 又S1+S2=S0=32,号5=32，懈得S=24,即a十 a4十a6十…+a80=24.] 变式训练 2.(1)A[,a2+a4+a6+a8=a1q+a3q+a5q十a79=q(a1 +ata,ta2会-合3] (2)B[由等比数列的性质：S3,S6一S3,Sg一S6仍成等 比数列，于是，由S6=3S3,可推出Sg-S6=4S3,Sg= 7…爱-名1 (3)解：设数列{am}的首项为a1,公比为q,所有奇数项、偶 数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S寺十S偶= 4S偶，即S奇=3S偶.因为数列{an}的项数为偶数，所以有q =S%=1 S奇3 又因为a1·a19·a192=64,所以a1·q3=64,即a1=12, 故所求莲项公式为，=12×（付）》 [例】[解](1①茂半比数列a}的公比为ga1=宁， 因为a1a2ag日成等差数列，所以2a:=a1十ag-g, 即得4女2-89十3=0，解得g=分或g=2, 3 又因为q(0,10,所以g=合，所以，=合·（合）” (2)根据题意得6=n,=品， 2n ① 2+7, ② -a+2(合）八 母题变式 1.[解]由题意知cm=n·2”, 所以Sm=1×21+2X22+3×23+…+(n-2)×2n-2+ (n-1)×2m-1+n·2", 2Sm′=1×22+2×23+3×24+…+(n-2)×2m-1+(n- 1)×2m+n·2n+1, 两式相减得：一Sn'=1×21+22+23+24+…+2m-1+2m :21-2二2-·21=1-w201-2,所 以Sm'=(n-1)·2n+1+2. 2.[解]由题意可得： 工=1x号+3x空++2m-10×2 2五.=1x2+3×京++(2m-3)×会+(2m-10 X、1 m+7, 两式相减得 合。=1x号+2×是+…+2×会-(2m-D× 2+7 1 1一 品，所以T.=3是-2=3209 2n2n 2n 变式训练 3.[解]（①）数列}是公差为1的等差数列，：三=41 1n了1 n +n-1, 可得Sn=n(a1十n-1),.a1十a2=2(a1+1),a1十a2十a3 =3(a1+2),且a2=3,a3=5. 解得a1=1.∴.Sn=n2. .n≥2时，an=Sm-Sm-1=n2-(n-1)2=2n-1(n=1 时也成立). ∴.an=2n-1. (2)bn=an·3”=(2n-1)·3”,.数列{bn}的前n项和 Tm=3+3×32+5×33+…+(2n-1)·3”,① 3Tm=32+3×33+…+(2n-3)·3"+(2n-1)· 3+1,② ①一②得 ·8 参考答案 -2Tm=3+2×(32+33+…+3n)-(2n-1)·3m+1=3 +2×9(381-D-（2m-1）·3+1, 3-1 可得Tn=3十(n-1)·3m+1. 当堂达标 1C[含=1时，S=当21且≠0时，S-是] 2.AC[由a,a4,2a5成等差数列，得3a4=a十2a.设 (a}的公比为9，则242-39+1=0，解得g=7或g=1 (舍去)， 所以S5= 31,解得a1=16.所以数列{an}的 1 2 通项公式为a,=16·(合)=（合），8， 16-(位门-2-点选 1 12 3.解析：a1+a4=a1(1+q3)=18,a2+十a3=a1(q+q2)=12, 两式联立解得9=2或7，而q为整数，所以q=2,1=2, 代入公式求得5=21-？)=510. 1-2 答案：510 解]说8一名十员十多十…+安别有位5一是十 是+…+”2+ 2m2m+’ n=1-1-n 1一2 2n2m+1 =2-=2-”是 2n 第2课时等比数列前n项和的综合应用 预习自测 1.(1)/(2)/(3)√(4)×(5)/ 2解析：C[方法-S=2·31-日=音3n-合 由S,=Ag-1D,得号=G= 1 方法二当n=1时，a1=S,=x- 6 当n≥2时，an=Sm-Sm-1=2x·3m-2, ,{an}是等比数列，.n=1时也应适合an=2x·3-2, 即2z·31=x-行，解得x=2] 3.A[Sm=[1+3+5+7+…+(2n-1)]+ (+++++)=+经0- 十 2 】4-会1 12 1