5.3.2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第五章数列 设等差数列{an}的公差为d,∴.a=a1十4d=4,又 解析：由题意，a1=20,a2=20十19-2=37，a3= 0=1,故d=子 20十19+18-4=53，则an=20+19十18+…+ a,=1+0m-10x是-子+子 (21-n)-2(m-1)=n41,m-2(n-1） 2 (2)设数列{bn}的前n项和为Sn,由(1)可知Sn -7+37n+4(1≤n≤18). 2 21-2 1-2 =2-11 答案：53cm -n2+37n+4(1≤n≤18，n∈N*) 2 2 [素养培优练] 14.对于数列{an},定义数列{an+1一an}为数列{an}的 13.粗细都是1cm的一组圆环依次相扣，悬挂在某 “差数列”，若a1=2,{an}的“差数列”的通项公式 处，最上面圆环的外直径是20cm,每个圆环的外 为a+1一an=2,数列{an}的前n项和为S。,则 直径皆比它上面的圆环的外直径少1cm,则从上 log(Sn+2)的最大值为 向下数第3个环底部与第1个环顶部距离是 解析：由题意得an+1一an=2”,则an一an-1=2-, ;记从上向下数第n个环底部与第一个环顶 部距离是amcm,则an an-1-a-2=2"2,an-2-aa=20-3,…,a2-a1= 2,将以上各式相加，得，am一a1=21十2”-2十23 +…+2=2X-2=2°-2a,=2,a也 1-2 造合，S。=2+2+22+…+2”=2X(1-2) 1-2 2m+1-2,Sn十2=2+1≥4. 则1og号(S,+2)的最大值为1og号4=-2. 答案：一2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用 课程标准 素养解读 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相1.在运用等比数列知识解决实际问题的过程 应的问题， 中，达成数学抽象、数学建模、数学运算的核 2.掌握等差数列与等比数列的综合应用 心素养 3.能用分组转化方法求数列的和 2.借助分组求和，培养学生的数学运算素养。 课前。预习学案 对应学生用书P27 [情境引入] 如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这 信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、 个信息的人数共有多少？ 计算机等快速的传递有关信息.在这样的背景下，要 求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依 法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？ 如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个 信息传递给3个不同的好友（称为第1轮传播），每个 [知识梳理 [知识点一]等比数列前n项和公式的函数特征 好友收到信息后又都传给了3个不同的好友（称为第 2轮转播)…依次下去，假设传的过程中都是传给 )当公比4≠1时，设A=,”等比数列的前川项 不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人就构成了 和公式是Sn=A(g”-1).即S。是n的指数型 一个等比数列， 函数. (2)当公比g=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1,Sn是n 1,3,9,27,81,… 的正比例函数. 53· 数学B版·选择性必修第三册 [知识点二]数列求和的基本方法 2.已知等比数列{an}的前n项和为S。=x·3”-1 (1)公式法 直接用等比数列的求和公式求解， 日，则的值为 (2)例序相加法 A B.- 1 3 如果一个数列{a,}满足与首末两项等“距离”的两 项的和相等（或等于同一常数），那么求这个数列 C. D.-2 的前n项和可用倒序相加法. 解析：方法一 S=x…31-=号3- (3)裂项相消法 6-3 6 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一 由3=g-D,得号行2 些项可以相互抵消，从而求得其和。 (4)分组求和法 方法三当m=1时a=S=1一日： 一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求 当n≥2时，0=S。-S。-1=2x·3-2, 和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和 {an}是等比数列，∴.n=1时也应适合an=2x 法，分别求和而后相加. ·3”2, (5)并项求和法 一个数列的前n项和中，若项与项之间能两两结 即2…31=合，解得x=分 合求解，则称之为并项求和.形如a,=(一1)”f(n) 3数列1宁3宁，5日16…，2m-10 2…的 类型，可采用并项法求解. 前n项和Sn的值等于 (6)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等 A+1会 B2m-a+1一品 比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n项和可用此法来求，如等比数列的前n项和公 C+1马 D-a+1一是 式就是用此法推导的. 解析：A[S.=[1+3+5+7+…+(2n-1)]+ [预习自测] (+子+++… 1 n(1+2n-1) 20 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“√”，错误的打“X”. (1)等比数列{an}的前n项和S,不可能等于2". 】 1一2 1 (2)若{an}的公比为q,则{an}的公比为q.( 4.已知函数f(x)=2-3x-1,点(n,am)在f(x)的 (3)若{an}的公比为q,则a1十a2十a3,a2十a3十a4ag 图象上，数列{an}的前n项和为S,求S 解：由题得an=2”-3n-1, 十a4十as的公比也为g. (4)等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sm·则{Sn} Sn=a1+a2+…+an=(2+22+…+2")-3(1+2 也是递增数列. +3+…+n)-n ) (5)对于公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式， 2(1-2"2-3.nn+1D 1-2 2 其g”的系数与常数项互为相反数. ( =2t1-n(3+5）-2. 答案：(1)/(2)√(3)/(4)×(5)/ 课堂。互动学案 对应学生用书P28 题型一等比数列前项和公式的函数特征应用！ 规律方法 [例1]数列{an}的前n项和Sn=3”-2.求{an}的通 S1,n=1, 项公式 已知Sn,通过an= 求通项公式 S。-S-1,n≥ [解析]当n≥2时，an=Sn一Sn-1=(3”一2) (3”1-2)=2·31. an,应特别注意n≥2时，an=S。一Sn-1. 当n=1时，a1=S,=3-2=1不适合上式. (2)若数列{an}的前n项和Sn=A(g”-1),其中 (1,n=1, A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. ∴.an= {2·3"1,n≥2. ·54· 第五章数列 ⊙[变式训练] 随着n的无限增大 将趋近于0，S。将趋近 1.若{an}是等比数列，且前n项和为S,=3”-1十t,则 于50. 解析：显然q≠1，此时应有S=A(q”一1)， 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 1 规律方法 又5，=33+t= 31 解决此类问题的关键是准确将问题转化为等比数 答案：一日 列模型，再利用等比数列的相关知识求解， ◇[变式训练] 题型二等比数列前项和在几何图形中的应用 2.把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正 [例2]如图，正方形ABCD的边长为5cm,取正方 方形，将中间的一个正方形挖掉（如图①）；再将剩 形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个正方形 余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将 EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J, 中间的一个正方形挖掉（如图②）；如此继续下 K,L,作第3个正方形JKL,依此方法一直继续 去，则 下去. (1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的 面积之和； (2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所 有这些正方形的面积之和将趋近于多少？ ① ② ③ (1)图③中共挖掉了 个正方形； (2)第n个图形共挖掉了 个正方形，这些 正方形的面积和是 解析：(1)73 2→1-(g) [设第n个图 汇思路点拔]可以利用数列表示各正方形的面 形共挖掉am个正方形，则1，a2一a1=8,a3一a2= 积，根据条件可知，这是一个等比数列. 82,…,a,-a,-1=8”1,所以a=1+8+82+…十 [解]设正方形的面积为a1,后续各正方形的面积 81-8,.(1)故图③中共龙择了8=73个 依次为a2,a3,…,an,…, 则a1=25, 正方形：2第”个因形共挖辩了8”，个正方形。 由于第k十1个正方形的顶，点分别是第k个正方形 由于原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形 各边的中点， 的面积和为1×(G)+8×(日)+8×（行）+ 所以a+1=子g 因北（口，}是以25为首项，2为公比的等北数列。 …+8"1 传- 1-8 设{an}的前n项和为S。 题型三等比数列前项和在实际问题中的应用 25× [例3]去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中 (1)S 50 X 1 14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方 式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时， -)"门 25575 512 通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为 了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年 所以，前10个正方形的面积之和为25575c 512cm2. 起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到 (2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积 0.1万吨). 和a1十a2十a3十…十an十…， 2×-1-0×-(传)门 1- ·55· 数学B版·选择性必修第三册 汇思路点拨了由题意可知，每年生活垃圾的总量 第2年旅游业的收入为400 构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量 1+)万元， 构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数 列的知识进行计算。 第n年旅游业的收入为400× 〔1+)万元 解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨） 所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400， 构成数列{an,每年以环保方式处理的垃圾量（单 位：万吨)构成数列{b},n年内通过填埋方式处理 公比为1+)的等比数列 的垃圾总量为S。（单位：万吨)，则a。=20(1十 所以n年内旅游业的总收入 5%),bn=6+1.5n, Sn=(a1-b1)+(a2-b2)十…+(an-bn) 工.=400+40×(1+)+…+40×+4) =(a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)=(20× =1 600 [)-小水万元 1.05+20×1.052+…+20×1.05")-(7.5+9+ …6+1.5n) 故n年内的总投入为4000 [-()]万元 (20×1.05)×(1-1.05" 1-1.05 2-号(.5+6+1.5m) n年内旅游业的总收入为160×[()-刂万元 =420×105-是平m-420当m=5时，8≈ 题型四 分组求和法 63.5 [例4]已知数列{a,}构成一个新数列：a1,(a2 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾 a1),…,(an一am-1),…此数列是首项为1，公比为 总量约为63.5万吨. 日的等比数列 规律方法 解决数列应用题时 (1)求数列{a}的通项公式； 一是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差 (2)求数列{an}的前n项和Sn 数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数 [思路点拨了通过观察，不难发现，新数列的前 列问题； 项和恰为am,这样即可将问题转化为首项为1，公 二是：明确是求an,还是求S,细胞繁殖、利率、增 此为弓的等比数列的前n项和，数列{a,}的通项 长率等问题一般为等比数列问题. 公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了. ◇[变式训练] 2.某地投人资金进行生态环境建设，并以此发展旅游 [解](1)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)十…+(a 产业.据规划，本年度投人800万元，以后每年投入 将比上一年减少号，本年度当地旅游业收人估计为 =1+号+)+…+()厂=引-〔合)] 400万元.由于该项建设对旅游业的促进作用，预 (2)Sn=a1+a2+a3+…+a 计今后的旅游业收人每年会比上一年增长子.求n 号(-)+号[-()]+… 年内的总投人与n年内旅游业的总收人 引-()] 解：由题意知第1年投入800万元，第2年投入800 ×(-)万元 -引-()]2m-1+) 规律方法 分组转化求和法的应用条件和解题步骤 第n年投入800× 万元 (1)应用条件 所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比 （1-一)的等比绕列. 数列或可求和的数列的通项公式相加组成， (2)解题步骤 所以n年内的总投入5.=80+80×(1-号) <分组 分析通项公式或对通项公式适当变形， 分为可求和数列相加的形式 …+00x-号） <求和 分别对分组后的数列求前n项和 400×[1-(借)]水万元). <相加 相加得原数列的前n项和 由题意知，第1年旅游业的收入为400万元， ·56 第五章数列 ⊙[变式训练] 4.求数列2子4日66…，2十2…的前n项 1 的前n项和为 和Sn: [解] 8=24+4+66++(2+2》 -2 =(2+4+6+…+2)+ (+g+…+)片 n(2n+2) -] 2 1- m(m十1)+ 2+· 首m项和5.=〔-)十(-)十…十 [当堂达标] 1.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远 望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一， 答案：1一1十是 请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381 4.为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 量不能超过80吨，该矿区计划从2021年开始出 2倍，则塔的顶层共有灯 ( 口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减 A.1盏 B.3盏 少10%. C.5盏 D.9盏 (1)以2021年为第一年，设第n年出口量为a,吨， 解析：B[设塔的顶层的灯数为a1,七层塔的总灯 试求an的表达式： 数为S,公比为q,则由题意知S,=381,q=2,.S, (2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2021 a11-g)_Q1-2)=381,解得a,=3.] 年最多出口多少吨？(0.9°≈0.35，保留一位小数) 1-9 1-2 解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首 2.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2 项a1=a,公比q=1-10%=0.9,∴.am=a· 棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要 0.91. 的最少天数n(n∈N“)等于 (2)10年的出口总量S。=g目09)=10a0 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an},由题 1-0.9 意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以 -0.910). 由题意可得21-？)≥100，即2≥51，而2=32. :S1w≤80，∴.10a(1-0.9")≤80， 1-2 8 2=64,n∈N",所以n≥6. 即a≤1-0.9a≤12.3.故2018年战多出口 答案：6 12.3吨. 课时。素养提升 对应学生课时P16 [基础达标练] 2.某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有 1.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子 A,B两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期 善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是： 一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种 “一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍， 菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A 已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多 种菜.用an,b,分别表示在第n个星期的星期一选 少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不 A种菜和选B种菜的学生人数，则an+1与an的关 少于30，该女子所需的天数至少为 ( 系可以表示为 A.10 B.9 1 C.8 D.7 A.a,+1=2a,十150 解析：C[设该女子第一天织布x尺，则？) 1 1-2 B.a+1=3a,+200 =5,解臀一哥所以育n天织布的尺数为易〔2 1 C.am+1=5a.+300 10,曲72-1D≥30，得2≥187，解得n的漫小 2 D.a+1=5a,+180 值为8.] ·57· 数学B版·选择性必修第三册 4 解析：A[依题意得1一亏a,十，'消去么， 所以S。= a1(1-g) a-( 1-9 =378,解得 (am+bn=500, 1一2 1 得a+1=20,+150.] a1=192. 3.(2021·湖南湘潭市湘潭一中高二期末)数列{am} 选项A:a,=a19=192X(宁)=6，故A错误，选 的通项公式a,=2,1,则数列{a,的前5项和S 2” 项B:由a1=192,则S6-a1=378-192=186,又 等于 ( 192-186=6,故B正确.选项C:a2=a1q=192× A影 B器 号-96，而5，=94.5,96-94.5=1.5，故C正骑. c鉴 n器 选项D:a,十a:+a,=a,1+g+g)=192X1+号 解折：C[因为a.-2≥=1一，所以数列a, 2 十)=36，则后3天走的路程为378-336=42， 而且336÷42=8，D正确.故选BCD.] 的前5项和S=5 6.某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全 1- 部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一 器 万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第 6名恰好将资金分完，则需要拿出资金 4.某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改 万元 建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费 解析：设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组 和设备费.设备费从第一到第五实验室依次构成等 成一个数列{an},则a1为全部资金，第一名领走资 比数列，已知第三实验室比第一实验室的设备费用 1 高9万元，第五实验室比第三实验室的设备费用高 会后利aa:=74,-1,维次奏推，0,1=20， 36万元.则该研究所改建这五个实验室投人的设 1 备费用为 1.a+1十2= (a。+2),(a.十2}是-个等比 A.93万元 B.45万元 数列，公比为2，首项为a1十2.心a十2 C.189万元 D.96万元 解析：A[设第一到第五实验室的设备费用分别 (a1+2)· ) a,=(a,+2)…(2 -2 为a1a2,ag,a4,a5;则由题意a1,a2,a3,a4,a5成等 比数列，设公比为q,且a3一41=9，a5一a3=36;a5 ∴.第6名领走资金后剩余为a,=(a1十2)X -a3=a3q-a1q=36,解得q=2或q=-2(舍)； -2=0.∴.a1=126,即全部资金为126万元. 由ag-a1=3a1=9得a1=3.所以a1十a2十a3十a4 答案：126 +a,=31-92）=93.] 7.《莱茵德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老 1-2 5.(多选)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三 的数学著作之一.书中有这样一道题目：把93个面 百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半， 包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数 如此六日过其关”.则下列说法正确的是( 列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之 A.此人第六天只走了5里路 三，则最小的一份为 B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 解析：设等比数列为{an},其公比为q,由题意知，S C此人第二天走的路程比全程的还多1.5里 =a12-98a十4，=子4可得a,十4g-是 3 1-4 D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的 8倍 a,周为@10，所以.1十q=?,解得g=2或g 解析：BCD[根据题意此人每天行走的路程成等 = 号（合去），当9=2时，可得，2）=93，解 比数列，设此人第n天走a。里路，则{an}是首项为 1-2 @1公比为q=的等比数列。 得a1=3. 答案：3 ·58· 第五章数列 8.在等差数列{an}中，a2=4,a4十a,=15. 认定那名感染者需要经过5次检测，故选C (1)求数列{an}的通项公式： 法二：设第n次检测后余下的人数为am,则a1=16 (2)设bn=2m2+1,求b1十b2十b3+…+b的值. 且a,=201故,=16X 1-1 2 ,令an=1,则n 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得a十d=4, =5,故需要检测5次，故选C.门 (a1+3d)+(a1+6d)=15, 10.(多选题)(2021·江苏省木渎高级中学高二期末) 解得3， 一个弹性小球从100m高处自由落下，每次着地 所以an=a1+(n-1)d=n+2. d=1. 后又跳回原来高度的号再落下.设它第次者地 (2)由(1)可得b.=2”+n, 时，经过的总路程记为Sn,则当≥2时，下面说法 所以b1十b2+b+…十b。=(2+1)+(22+2)+(2 正确的是 +3)+…+(21°+10) A.Sm<500 B.Sn≤500 =(2+22+23+…+21°)+(1+2+3+…+10) 21-2)+1+10)X10=(21-2)+55=2 CS,的最小值为9四 D.S。的最大值为400 1-2 2 解析：AC[由题可知，第一次着地时，S1=100; +53=2101. [能力提升练] 第二次者地时，S=100+200×号， 9.在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来 第三次着地时，5，=100十200×号十200× 的境外输入，某机场海关在对人境人员进行检测时 采用了“优选法”提高检测效率：每32人为一组，把 每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴 第n次着地后，S,=100十200× 2+200× 2 性，则全部放行；若为阳性，则对该32人再次抽检 3 确认感染者.某组32人中恰有一人感染（鼻咽拭子 +…+200× 样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要31次 才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组，选 则=10+20[号+（号）++（号）] 其中一组16人的样本混合检查，若为阴性，则认定 在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的 100+400[1-(号)]显S<50,又s是 这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混 关于n的增数列，n≥2，故当n=2时，Sn的最小 合检查…依此类推，最终从这32人中认定那名 感染者需要经过()次检测. 值为100+400_700 331 A.3 B.4 综上所述，AC正确，故选AC.] C.5 D.6 11.如图，在平面上作边长为1的正方形，以 解析：C[法一：先把这32人均分为2组，选其中 所作正方形的一边为斜边向外作等腰直 一组16人的样本混合检查，若为阴性则认定在另 角三角形，然后以该等腰直角三角形的一 一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检 条直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的 测，继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一 一边为斜边向外作等腰直角三角形，如此这般的 组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一 作正方形和等腰直角三角形，不断地持续下去，求 组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检 前n个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之 测.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一 和为 组4人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一 解析：设依次所作的第n个正方形的边长为an,第 组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检 n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为 测，继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一 组2人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一 S。,则第n个等腰直角三角形的腰长为 an,且a 组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了4次检 测.选认定的这组的2人中一人进行样本检查，若 =1.心第n十1个正方形的边长为a1=。 20 为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此 5 人，此时进行了5次检测，所以，最终从这32人中 an 2 ..Sa ·59· 数学B版·选择性必修第三册 52 痪状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经 4a+) 防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是() A.在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件 =是×1=，所以数到S}是以为首 5 B.经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件 C.10分钟后，该计算机处于瘫痪状态 项，2为公比的等比列.5=多1 D.该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数 答案：8=引-) 成公比为2的等比数列 解析：ABC[设第n十1分钟之内新感染的文件 12.某工厂2019年初有资金1000万元，资金年平均 数为a+1,前n分钟内新感染的病毒文件数之和 增长率可达到20%，但每年年底要扣除x(x< 为Sn,则a+1=2(Sn+1),且a1=2,由a+1= 200)万元用于奖励优秀职工，剩余资金投人再 2(Sn十1)可得an=2(S。-1十1)，两式相减得：a+1 生产 一an=2an,所以an+1=3an,所以每分钟内新感染 (1)以第2019年为第一年，设第n年初有资金am 的病毒构成以a1=2为首项，3为公比的等比数 万元，用an和x表示a+1,并证明数列{an一5.x} 列，所以an=2X3”1,在第3分钟内，该计算机新 为等比数列； 感染了a3=2×33-1=18个文件，故选项A正确； (2)为实现2029年初资金翻两番的目标，求x的 经过5分钟，该计算机共有1+a1十a2十a3十a4十 最大值（精确到万元） (参考数据：1.2°≈5.160,1.21°≈6.192,1.211≈ 4,=1十2X3)=3=243个璃毒文件，故选 1-3 7.430) 项B正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为1 解：(1)依题意，aa+1=a。·(1+0.2)一x,整理得： 十a,+a,十+aw=1+2X02-3">号× 1-3 Q52=6(am-5x),n+1=长，又a1-52目 an-5x -51 10,所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；该 =1000-5.x>0,.数列{an-5.x}是以1000-5.x 计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公 为首项，号为公比的等比数列。 比为3的等比数列，故选项D不正确；故 选ABC.] (2)由(1)知，a,-5x=(1000-5x) 5 ,a 14.已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=1且 a+1-2an-1=0,若(-1)"入≤Sn+2n对Vn∈ =(1000-5.x 6 5 十5.x,.2029年初资金 N恒成立，则实数入的取值范围是 翻两番.a11=(1000- 5x) 6 +5x≥4000， 解析：因为am+1一2an一1=0，所以an+1十1=2(a 十1)，.数列{an十1}是以a1十1=2为首项，公比 解得x≤84.4，所以x的最大值是84. 为2的等比数列，am十1=2”，an=2”一1.因此 [素养培优练] 13.(多选))计算机病毒危害很大，一直是计算机学家 S.=21-2") 1-2 一n=2+1-2-n. 研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该 所以(-1)"a≤S,+2n对Hn∈N*恒成立， 病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算 可化为（一1）"入≤2+1十n-2对Vn∈N恒成立， 机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数 当n为奇数时，一入≤(2+1十n一2)mm,所以一入≤3 C。,即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文 ,即λ≥-3； 件数，某计算机病毒的传染指数C=2,若一台计 当n为偶数时，入≤(2+1十n一2)mm,解得入≤8.综 算机有105个可能被感染的文件，如果该台计算 上，实数入的取值范围是[一3,8]. 机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫 答案：[-3,8] ·60·