5.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第五章数列 2.(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn=2”十a”变 ⊙[变式训练] 为“a1=1,am+1=2an+1”证明数列{an+1}是等比 3.在数列{an}中，若a>0,且am+1=2an十3(n∈N). 数列，并求出数列{a}的通项公式 证明：数列{an十3}是等比数列. [当堂达标] 1.(多选)下列说法错误的是 A.等比数列中的某一项可以为0 B.等比数列中公比的取值范围是（一∞，十∞） C.若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比 为1 D.若b=ac,则a,b,c成等比数列 2.已知数列aa(1一a),a(1-a)2,…是等比数列，则 实数a的取值范围是 A.a≠1 B.a≠0且a≠1 C.a≠0 D.a≠0或a≠1 规律方法 3.已知a是1,2的等差中项，一1，b,一16成等比数 判断一个数列{an}是等比数列的方法 列，则ab等于 (1)定义法：若数列{a}满足2+1=q(g为常数且 4.已知数列{an}是首项为2，公差为一1的等差数列， a 令b.=（2) 1) ,求证数列{bn}是等比数列，并求其 不为零)或0”=q(n≥2,9为常数且不为零)，则 an-1 通项公式 数列{an}是等比数列. (2)等比中项法：对于数列{an},若a+1=an· am+2且an≠0，则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an= a9(a1≠0，g≠0)，则数列{a}是等比数列. 第2课时等比数列的性质及应用 课程标准 素养解读 1.在解决等比数列实际问题中达成数学建模和 1.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应 逻辑推理的核心素养。 的问题， 2.在运用等比数列性质解题过程中提升数学运 2.掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题. 算的核心素养。 ● 课前。预习学案 [知识梳理] ?思考1.当G=ab时，G一定是a,b的等比中 [知识点一]等比中项 项吗？ (1)条件：如果a,G,b成等比数列 (2)结论：那么G叫做a与b的等比中项 (3)满足的关系式是 ·21· 数学B版·选择性必修第三册 [知识点二]推广的等比数列的通项公式 ?思考3.等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列 {an}是等比数列，首项为a1,公比为q,则an 判断正确的是 a (m,n∈N*). (1){3an}是等比数列；(2){3十an}是等比数列； [知识点三“子数列”性质 对于无穷等比数列{an},若将其前飞项去掉，剩余 (3)上}是等比数列；(4){an}是等比数列. a 各项仍为 ,首项为 ,公比为 ;若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为 ,首项为 ,公比为 2思考2.如何推导an-ang”-m? [预习自测] 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“√”，错误的打“X” (1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之 积等于首末两项的积 ( [知识点四]等比数列项的运算性质 (2)当q>1时，{an}为递增数列. ( ) ①在等比数列{an}中，若m十n=十q(m,n,p,q∈ (3)当q=1时，{an}为常数列. ( ) N),则am·an= .特别地，当m十n=2k 2.等比数列{an}中，若a2a6十a=π，则aa5等于 (m,n,k∈N*)时，am·an=a。 () ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之 积等于首末两项的 A晋 ,即a1·an=a2·am-1 ==a%·a-k+1=… C. D [知识点五]两等比数列合成数列的性质 3.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思. 若数列{an},{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数， 今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石， 则数列a,d,a·6,{合}也为 则衰分比例为 课堂。互动学案 题型一 等比数列的性质及应用 题型二 等比数列的应用问题 [例1]（1)在等比数列{an}中，an>0,若a3·a5=4, [例2]某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测 则a1a2a3a4a5a6a,= 这种车每年按10%的速度贬值， (2)在等比数列{an}中，已知a4a,=-512,a3十a8 (I)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值； =124,且公比g为整数，则an= 汇规律方法了“等比数列的运算常用两条思路 (2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能 (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1, 得到多少钱？ q,然后求其他； (2)利用性质巧解，其中m十n=十l=2s(m、n、k、 L、s∈N)台am:a=as:a,=a: ⊙[变式训练] 1.等比数列{an}中，若a12=4,a1g=8,则a36为() A.32 B.64 C.128 D.256 2.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3=5, arasag=10,则a4a5a6等于 A.4√2 B.6 C.7 D.5√2 ·22· 第五章数列 规律方法 规律方法 1.等比数列应用题的两种常见类型 1.已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系 (1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立 求通项，常用am与S.的关系求解 数学模型，如有关平均增长率、利率（复利）以 2.由递推关系an+1=Aan十B(A,B为常数，且A 及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立 ≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设am+1十入 数学模型. =A(an十λ)，可得λ= A二，这样就构造了等 B (2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利 用等比数列的通项公式解决。 比数列{an十入}. 2.解决应用题的步骤是 ⊙[变式训练] 构造判断 寻找 建立 求解 正确 4.已知a1=1,a+1=2a员十anam+1”,试证明数列{an} 数列 数列 条件 方程 方程 解答 是等比数列，并求{an}的通项公式. ◇[变式训练] 3.某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起， 平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一 年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？（保留到 个位，lg6≈0.778，lg1.2≈0.079) [当堂达标] 1.(多选)已知数列{an}是等比数列，则下列数列中一 定是等比数列的是 ( A.(la1) B.(an-an+1) 题型三由递推公式转化为等比数列求通项 [例3]已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=2a c侣 D.(ka 2.在流行病学中，基本传染数R。是指在没有外力介 +n-4. 入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染 (1)求a1的值； 者平均传染的人数.R。一般由疾病的感染周期、感 (2)若bn=an一1，试证明数列{bn}为等比数列. 染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的 汇思路点拨](1)由n=1代入Sn=2an十n-4求 概率决定，假定某种传染病的基本传染数R。=3, 得；(2)先由Sn=2an十n-4,利用Sn和am的关系 那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大 得{an}的递推关系，然后构造出数列{an一1}利用 约需要的传染轮数为 () 定义证明 注：初始感染者传染R。个人为第一轮传染，这R。 个人再传染人为第二轮感染 A.5 B.6 C.7 D.8 3.已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3=9,则 logsa+logs a2+logs as+logs a+logs as [母题变式] 4.已知数列{an}为等比数列， 将本例条件“Sn=2an十n-4”改为“a1=1,Sn+1= (1)若a1十a2+a3=21,a1a2a3=216,求an; 4an十2”，“bn=an一1”改为“bn=an+1一2an”,试证 (2)若a3a5=18,a4ag=72,求公比q. 明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式. ·23·4.[解]依题意am=2+(n-1)×(-1)=3-n,于是bn () 1 (合) -n “数列，是首项为子，公比为2的等北数列，通项公式 为bn=2m-3. 第2课时等比数列的性质及应用 课前预习学案 知识梳理 知识点一、2.G=ab [思考] 1.[提示]不一定，如数列0,0,5就不是等比数列. 知识点二、a1g”-1an·q-m 知识点三、等比数列a+1q等比数列a% [思考] 2.[提示]由=0·g- ama1·gn-g-m∴a,=am‘g-m 知识点四、ap·ag积 知识点五、等比数列 [思考] 3.「提示]由定义可判断出(1)(3)(4)正确. 预习自测 1.(1)√(2)×(3)/ 2C[aas=a好=ag4aa=.] 3.解析：[设衰分比例为，则甲、乙、丙各分得28石，28石，28g 石28+28+284=98∴9=2或2又09<1,9=合.] 9 答案日 课堂互动学案 [例1](1)128[a3a5=a=4,又an>0,所以a4=2, a1a2a3a4a5a6a?=(a1·a7）·(a2·a6）·(a3·a5)·a4=af· a·af·a4=a=2=128.] (2)解析：在等比数列{an}中，由a4a7=一512得a3ag= 512,又a3十ag=124,解得a3=-4,ag=128或a3=-128,a8 =4,因为公比g为整数，所以g一√ag=√4 =-2,故am =-4×(-2)m-3=-(-2)”-1. 答案：-（一2）n-1 变式训练 1.B[由等比数列的性质可知，a12,a18,a24,a30,a36成等比数 列，且218=2=g5,故a36=a18‘q8=8×23=64.] a12 2.D[{an}为等比数列，∴a1a2ag,a4a5a6,azagag也成等比 数列，∴.(a4a5a6)2=(a1a2a3）·(a7agag)=5X10,又{an}各项 均为正数，.a4a5a6=5√瓦.] [例2][解](1)从第一年起，每年车的价值（万元）依次设 为：a1,a2a3,,an,由题意，得a1=10,a2=10×(1-10%), ·7 参考答案 a3=10(1一10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比 数列，首项a1=10, 公比q=1-10%=0.9,所以an=a1·q-1=10X0.9”-1.所 以第n年车的价值为am=10×0.9-1万元. (2)当他用满3年时，车的价值为a4=10×0.94-1=7.29(万 元) 所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元. 变式训练 3.解析：记该糖厂每年制糖产量依次为a1,a2,a3,…,au,….则 依题意可得a1=5,a1=1,2(m≥2且n∈N*),从而a,=5 an-1 ×1.21-1,这里an=30,故1.2m-1=6,即n-1=1og1.26= 品品合得0版故1=11即从2021年开始，篷指厂年 制糖量开始超过30万吨. [例3][解](1)因为Sn=2am十n-4,所以当n=1时，S1= 2a1十1-4，解得a1=3. (2)证明：因为Sn=2an十n-4,所以当n≥2时，Sn-1=2an-1 +(n-1)-4,Sn-Sm-1=(2an+n-4)-(2au-1+n-5),即 an=2an-1-1,所以an-1=2(an-1-1),又bn=an-1,所以 bn=2b-1,且b1=a1-1=2≠0，所以数列{6n}是以b1=2为 首项，2为公比的等比数列 母题变式 [证明]an+2=Sn+2-S+1=4am+1+2-4an一2 =4an+1-4am bn+1_am+2-2an+1_（4am+1-4am)-2an+1_2an+1-4am an+1-2an an+1-2an an+1-2an =2. 所以数列{bn}是公比为2的等比数列，首项为a2一2a1. 因为S2=a1十a2=4a1十2，所以a2=5,所以b1=a2-2a1 =3. 所以bn=3·2n-1. 变式训练 4.[解]由已知得a品+1-a,n+1-2a品=0，所以(an+1-2an) (an+1十an)=0. 所以an+1-2an=0或an+1十an=0, (1)当a4+1-2an=0时，0+1=2.又a1=1,所以数列{an}是 an 首项为1，公比为2的等比数列.所以an=2n-1 (2)当a+1十a.=0时，%2=-1，又a1=1,所以教列{a}是 an 首项为1，公比为一1的等比数列， 所以a=1X(-1y1=(-1)”1.综上n=21或a,=(-1y1. 当堂达标 1.AC[当数列{an}为1,1,1,1，…时，数列{an-an+1}不 是等比数列；当=0时，数列{kan}不是等比数列，而{anI} 和1}一定是等比数列] lan 2.B[设经过第n轮传染，感染人数为an,经过第一轮感 染后，a1=1十3=4，经过第二轮感染后，a2=4十4X3= 16,于是可以得知经过传染，每一轮感染总人数构成等比 数列，所以经过第n轮传染，感染人数为an=4",当an≥ 数学B版·选择性必修第三册 2000时，解得≥6，因此感染人数由1个初始感染者增加 到2000人大约需要的传染轮数为6轮.] 3.解析：因为等比数列{an}的各项均为正数，且a3=9所以 log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3as=log3 (a1 a2 ·a3·a4·a5)=log3(a35)=log3(95)=log3(310)=10. 答案：10 4.[解](1)a1a2a3=a2=216,.a2=6,.a1a3=36. 又.a1十a3=21-a2=15, .a1a3是方程x2-15x十36=0的两根3和12. 当a1=3时，q =a2=2,an=3·2m-1, 当a12时9合=12（位） 1 (2)a4ag=a3q·a5q3=a3a5q4=18g=72, q4=4,q=士2. 5.3.2等比数到的前n项和公式 第1课时等比数列的前n项和公式及应用 课前预习学案 知识梳理 知识点二、 [思考] 1.[提示]可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数 型函数. 知识点三、 [思考] 2[提示]根据等比数列的定义，有：2=2=4=…= al a2 a3 a1=q,再由合比定理， an-1 则得t士t02=g,即§二1=g,进雨可 a1+a2+a3十…+an-1 Sn-an 求S 预习自测 1.(1)× (2)√(3)√(4)× 2.A[由S,-a二（二2》门=44，得a1=4.] 1-(-2) 3.解析g=S6。S=2723=8,所以g=2. S3 3 答案：2 课堂互动学案 [例1][解](1)由题意知11+q）)=30, a1(1+q+q2)=155, a1=180, 解得5或 (9=5 从而S=号×51-5成S 1o8o×[1-(8)] 4 1a1十a1g2=10, a1=8, (2)法一：由题意知 1从而 9=2 S=11-g)-31 1-q 2 ·8 法二：由(a1十agg3=a十a,得g=日，从两g= 1 又a1十a3=a1(1+q2)=10,所以a1=8,从而S5= a1(1-g5)_31 1-q 2 (3)因为a2an-1=a1an=128,所以a1,an是方程x2-66z 十128=0的两根。 从而01=2，或0，=2，又5.=-09=126，所以g 1an=64,{a1=64. 1-q 为2或2 变式训练 1.[解](1)由S。-1-a9,得112-2-162，g= 1-q 1一9 -2, 又由an=a1g”-1,得16√2=√2(-2)n-1,.n=5. (2)若q=1,则S8=2S4,不合题意，∴.q≠1， 54-a10二g）-1,5-10二-17. 1-9 1-9 两式相除得等=11=1十9，q=2成g=一2a1= ,=620-1浅-号(-2》- [例2](1)A[{am}为等比数列，.S2,S4-S2,S6-S4 也为等比数列，即7，S4一7,91一S4成等比数列，(S4 7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21. :S4=a1+a2十a3十a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+ a2)(1+q2)=S2(1+q2)>S2,∴.S4=28.] (2)24[设S1=a2十a4十a6十…十a80,S2=a1十a3十a5 十…十a则爱=q=3,即S=3S, 又S1+S2=S0=32,号5=32，懈得S=24,即a十 a4十a6十…+a80=24.] 变式训练 2.(1)A[,a2+a4+a6+a8=a1q+a3q+a5q十a79=q(a1 +ata,ta2会-合3] (2)B[由等比数列的性质：S3,S6一S3,Sg一S6仍成等 比数列，于是，由S6=3S3,可推出Sg-S6=4S3,Sg= 7…爱-名1 (3)解：设数列{am}的首项为a1,公比为q,所有奇数项、偶 数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S寺十S偶= 4S偶，即S奇=3S偶.因为数列{an}的项数为偶数，所以有q =S%=1 S奇3 又因为a1·a19·a192=64,所以a1·q3=64,即a1=12, 故所求莲项公式为，=12×（付）》 [例】[解](1①茂半比数列a}的公比为ga1=宁， 因为a1a2ag日成等差数列，所以2a:=a1十ag-g, 即得4女2-89十3=0，解得g=分或g=2, 3