5.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·选择性必修第三册 第2课时 等差数列的性质及实际应用 课程标准 素养解读 1.通过对数列有关性质的学习，提升逻辑推理、 1.了解等差数列的有关性质. 数学运算的核心素养 2.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应 2.通过等差数列解决实际问题，达成数学建模 的问题 的核心素养. 课前。预习学案 [情境引入] [知识点三]等差数列的性质 观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题。 在等差数列{an}中，若m十n-p十q(m,n,p,q∈ ①我国有用12生肖纪年的习惯，例如2017年是 N”),则am十an=a,十a,.特别地，若m十n=2b,则 鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017,2029， am十an=2ap 2041,2053,2065,2077,…; [知识点四]由等差数列衍生的新数列 ②我国确定鞋号的脚长使用毫米来表示，常用确 若{an},{bn}分别是公差为d,d'的等差数列， 定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275,270， 则有 265,260,255,250。·; 数列 结论 ③2022年1月中，每个星期日的日期为 2,9,16,23,30. {c十an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) 数列①②③在数学中都称为等差数列，它们有什么共 {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 同点？ {an十an+k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N) {pan十qbn} 公差为pd十qd的等差数列(p,q为常数) [知识梳理] [预习自测] [知识点一]等差中项 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 1.条件：如果a,A,b成等差数列 打“√”，错误的打“X”. 2结论：那么A叫做a与b的等差中项， (1)若数列{an}的通项公式an=kn十b,则{an}是公差 3满足的关系式是 为k的等差数列. () ?思考1.观察所给的两个数之间，插人一个什么数 (2)等差数列{an}中，必有a1o=a1十ag: () 后三个数就会成为一个等差数列： (3)若数列a1,a2,a3,a4,…是等差数列，则数列a1, (1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0. a3,a5,…也是等差数列. (4)若数列a1,a3,a5,…和a2,a4,a6…都是公差为d 的等差数列，则a1,a2,a3…是等差数列.（) 2.已知数列{an}为等差数列，a=6,a=18,则公差d 为 () [知识点二]等差数列通项公式的变形及推广 A.1B.3C.2D.4 ①an=-dn+(a1-d)(n∈N'), 3.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59， ②an=am+(n-m)d(m,n∈N'), 则这三个数的积为 ③d=0-0(m,n∈N,且m≠m). 4.在等差数列{an}中， n-m (1)已知a2十a3+a23十a24=48,求a13; 其中①的几何意义是点(n,an)均在直线y=dx十(a1 (2)已知a2十a3十a4十a5=34,a2·a5=52,求公 -d)上. 差d. ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不 必求a1. ③即斜率公式=二出，可用来由等差数列任两项 x2-x1 求公差 ·10 第五章数列 课堂。互动学案 题型一 等差中项 ⊙[变式训练] [例1]在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这 3.已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为 五个数成等差数列，求此数列. 智求这5个数。 规律方法… 三数a,b,c成等差数列的条件是b=a十S(或2b 2 =a十c),可用来解决等差数列的判定或有关等差 题型目 等差数列性质及应用 中项的计算问题.如若证{an}为等差数列，可证 [例3]已知等差数列{an}中，a1十a4十a,=15, 2a+=a.+a.+n∈N a2a4a6=45,求此数列的通项公式. ⊙[变式训练] 1.已知数列8，a,2,b,c是等差数列，则a,b,c的值分 别为 2已知数列a,)中，4=2，。=1，且数列{6十}为 等差数列，则a5= 题型】 灵活的设完解等差数列 [例2]已知四个数成等差数列，它们的和为26，中 间两项的积为40，求这四个数. [母题变式] 在本例中，不难验证a1十a4十a,=a2十a4十a6,那 么，在等差数列{an}中，若m十n十p=q十r十s,m, n,p,q,r,s∈N*,是否有am十am十ap=a,十a,十a,? 规律方法 1当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时， 可直接设首项为a1,公差为d,利用已知条件建 立方程组求出a1和d,即可确定数列 2.当已知数列有2n项时，可设为a一(2n-1)d,…,a -3d,a-d,a十d,a+3d,…,a+(2n-1)d,此时公 差为2d. 3.当已知数列有2n十1项时，可设为a一nd,a- (n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,a 十nd,此时公差为d. ·11· 数学B版·选择性必修第三册 规律方法 规律方法 等差数列的性质 等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作 1若{an}是公差为d的等差数列，正整数m,n,p 用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法 q满足m十n=p十q,则am十an=ap十ag 解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题 (1)特别地，当m十n=2k(m,n,k∈N)时，am十 中去，是用数学方法解决实际问题的二般过程. a,=2ak. ⊙[变式训练] (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项 5.孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次人选中国 之和等于首末两项的和，即a1十an=a2十am-1 经济百强县.经济的发展带动了市民对住房的需 =…=a6十an-k+1=… 求.假设该市2019年新建住房400万平方米，预计 2.由等差数列衍生的新数列 在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上 若{an),{bn}分别是公差为d,d'的等差数列，则有 一年增加50万平方米.那么该市新建住房的面积 数列 结论 开始大于820万平方米的年份为 ( A.2026 B.2027 (c+a,Y 公差为d的等差数列(c为任一常数) C.2028 D.2029 {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) [当堂达标] 公差为2d的等差数列(k为常数，k 1.在等差数列{an}中，a1十a,=10,则a,的值为 {an十an+k ∈N) ( 公差为pd+qd'的等差数列(p,q A.5 B.6 {pan十qbn 为常数) C.8 D.10 2.已知等差数列{an}:1,0,一1，一2，；等差数列 @[变式训练] {bn}:0,20,40,60,…,则数列{an十bn}是（) 4.等差数列{an}中，若a1,a2o11为方程x2-10x十16 A.公差为一1的等差数列 =0的两根，则a2十a1oo6十a2o10= ( B.公差为20的等差数列 A.10 B.15 C.公差为一20的等差数列 C.20 D.40 D.公差为19的等差数列 3.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10 题型四 等差数列的应用问题 元，即最初的4km(不含4km)计费10元.如果某 [例4幻某公司购置了一台价值为220万元的设备， 人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一 随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少， 路畅通，等候时间为0，需要支付车费 元. 经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常 4.已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的 数)万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过 和为18，平方和为116，求这三个数. 10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报 废.请确定d的范围. ·12·(2)由1)知1=1+(m-1D×号=2+"1-n15, 3 33’ .1=2012+5_2017 3 x2012 3 31 2012=2017 当堂达标 1.ABD[根据等差数列的定义，可得：A中，满足an+1一an=3 (常数)，所以是等差数列；B中，lg4-lg2=lg8-lg4=lgl6- 1g8=lg2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24-25≠23-24 ≠22一2，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中， 满足an十1一an=一2（常数），所以是等差数列.] 2解析：ag=a1+2aa2=a1十d=2a,+d0_41十e+2d_ 2 2 1 1 a4十a3_3+23-E-5 2 2 答案W3 3.A[设{an}的首项为a1,公差为d,根据题意 得/a十ag=a+2d+a1+7d=22, (a6=a1+5d=7, 解得a1=47,d=-8.所以a5=47+(5-1)×(-8)=15.] 4.[解]因为an=an-1十2(n≥3)，所以an-an-1=2(常数). 又≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同 一个常数2，而a2一a1=0≠a3一a2,所以数列{an}不是等差 数列. 第2课时等差数列的性质及实际应用 课前预习学案 预习自测 知识点一、3.2A=a十b [思考] 1.[提示]插入的数分别为32,0 1.1.√2.×3.√4.× 2.C[因为数列{an}为等差数列，所以ag=ag十6d,即18=6+ 6d,所以d=2.] 3.解析：设这三个数为a一d,a,a十d, 则-d+a+a+d=9, {(a-d)2+a2+(a+d02=59, 解得0=3支0-3， 1d=41d=-4. .这三个数为-1,3,7或7,3，-1. ∴.这三个数的积为一21. 答案：-21 4.解：方法一(1)直接化成a和d的方程如下： (a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48, 即4(a1+12d)=48, .4a13=48,.a13=12. (2)直接化成a1和d的方程如下： (a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=34, (a+d)·(a1+4d0=52, 解得01=1”支01-=16， 1d=3{d=-3. .d=3或-3. ·7 参考答案 方法二(1)根据已知条件a2十a3十a23十a24=48,得4a13= 48,….a13=12. (2)由a2十a3十a4十a5=34, 得2(a2十a5)=34,即a2十as=17, 解/a2·a5=52, a2+a5=17, 得=4，支g=13, (a5=13{a5=4. dgg-84-3或4-g-49-3 3 5-23 课堂互动学案 [例1][解]-1，a,b,c,7成等差数列，.b是-1与7的等 差中项，b=-1+7-3.又0是-1与3的等差中项，a= 2 -1)十3=1.又c是3与7的等差中项，c=37=5.该数 2 2 列为-1,1,3,5,7. 变式训练 8+2=2a, 1.解析：因为8，a,2,b,c是等差数列，所以a十b=2×2,解 2+c=26. a=5, 得b=-1, c=-4. 答案：5-1 -4 2.解析：由数列 1}为等差数列，则有主 an+1 a千行，可解得a一了 7 答案日 [例2][解]法一：（设四个变量）设这四个数分别为a,b,c, a=2,a=11, b-a=c-b=d-c, b=5或 b=8, d,根据题意，得a+b+c+d=26,解得 0c=8,1c=5, bc=40, d=11d=2, ∴.这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法二：（设首项与公差）设此等差数列的首项为a1,公差为d, 根据题意， 得a1+a+d+a+20+a+30=26, (a1+d)(a1+2d)=40, 化简，得 4a1+6d=26, a1+3a1d+2d2=40, 解得8=2或01=1， 1d=3,1d=-3, .这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法三：（灵活设元）设这四个数分别为a-3d,a一d,a十d,a十 3d,根据题意，得 (a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26, (a-d)(a+d0=40, 13 (4a=26, a= 2 化简，得 解得 a2-d=40, ∴.这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 数学B版·选择性必修第三册 变式训练 3.[解]设第三个数为a,公差为d,则这5个数分别为a一2d, a-d,a,a+d,a+2d. 由已知有 (a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5, {a-202+(a-d02+a2+(a+d02+(a+2d2=85, 9； 5a=5, 整理得 2+10e-5解得a=1d=士号。 9 当d=号时，这5个数分别是-日写1，号子： 57 当d=-号时，这5个数分别是号，哥1，日-司 蛛上，这5个数分别是-日日1号号或子号1，日 1 一3 [例3]解方法一因为a1十a7=2a4,a1十a4十a7=3a4 =15,所以a4=5. 又因为a2a4a6=45,所以a2a6=9,所以(a4一2d)(a4十 2d)=9,即(5-2d)(5+2d)=9, 解得d=士2. 若d-2,an=a4+(n-4)d=2n-3,n∈N*; 若d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n,n∈N*. 方法二设等差数列的公差为d,则由a1十a4十a?= 15,得 a1+a1+3d+a1+6d=15,即a1+3d=5.① 由a2a4a6=45,得(a1+d)(a1+3d)(a1+5d)=45, 将①代入上式，得(5-2d)×5×(5+2d)=45,即(5-2d) (5+2d)=9,② 联立①②解得a1=-1,d=2或a1=11,d=-2, 即an=-1+2(n-1)=2n-3,n∈N*;或am=11-2(n 1)=13-2n,n∈N*. 母题变式 [解]设公差为d,则am=a1十(m一l)d, an=a1+(n-1)d,ap=a1+（p-1)d,ag=a1+(q-1)d, ar=a1+(r-1)d,a,=a1+(s-l)d, ∴.am十an+ap=3a1+(m+n+p-3)d,ag十a,十as=3a1 +(q+r+s-3)d, :'m十n十p=q十r+s,∴.am十an十ap=ag十a,十ar 变式训练 4.B[由等差数列的性质，得a1十a2o11=a2十a2010= 2a1006.因为a1,a2o11是方程x2-10x十16=0的两根，所 以a1+a30n=10,所以a+a1os十a200=2×10=15.] [例4]解：设使用n年后，这台设备的价值为am万元，则 可得数列{an}. 由已知条件，得anm=an-1-d(n≥2). 所以数列{an}是一个公差为一d的等差数列. 因为a1=220-d,所以am=220-d+(n-1)(-d)=220 -nd. 由题意，得a10≥11，a11<11. 印，0-1n华释19<d如a 所以，d的求值范围为19<d20.9. ·7 变式训练 5.C[设从2019年开始，该市每年新建住房面积为am万 平方米.由题意可知{an}是等差数列，首项a1=400,公差 d1=50所以an=400+(n-1)50=50n+350,令50n+ 350>820,解得n>号，由于n∈N“,则m≥10,2019+（10 一1)=2028，所以该市在2028年新建住房面积开始大于 820万平方米.] 当堂达标 1.A[由等差数列的性质，得a1十ag=2a5,又a1十ag= 10,即2a5=10,.a5=5.] 2.D[(a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+ 20=19.] 3.解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km 时，每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以可以建立一 个等差数列{amn}来计算车费.令a1=11.2,表示4km处 的车费，公差d=1.2,那么当出租车行至14km处时，n= 11,此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2 (元) 答案：32.2 4.[解]法一：设这三个数为a,b,c(a<b<c), 2b=a+c, a=4, 则由题意得a十b十c=18,解得b=6, (a2+b2+c2=116, c=8. 法二：设这三个数为a一d,a,a十d, 由已知得a-d)+a+(a+d)=l8, ① {(a-d)2+a2+(a+d)2=-116,② 由①得a=6,代入②得d=士2， 该数列是递增的，d=2,∴.这三个数为4,6,8. 5.2.2等差数到的前n项和 第1课时等差数列的前n项和公式 课前预习学案 情境引入 提示：高斯的算法：(1+100)+(2+99)+…+(50+51)= 101×50=5050. 知识梳理 知识点、S,=a1+nn21Dd 2 [思考] [提示]S,=3a十a4）-30,=21 2 预习自测 1.(1)/(2)×(3)/ 2.A[由a4=18-a5,可得a4十as=18,所以S,=8(a十ag) 2 4(a4十a5)=4X18=72.] 3.解析：S19 19(a1十ag2_19X2a10=190. 2 2 答案：190 4[解]S。=…号+02.(-子)=-15，基理得2- 2 7m-60=0,解得n=12或月=-5（舍去）02=号十(12-1） ×(2)=-4