5.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第五章数列 (2)解：令a,=- 3 16,则n一2=4，n=6∈N B.1+5 2 君是这个等地数列中的项，且是第6项。 C.1+⑤ D.二1+E 2 2 [素养培优练] 13.(多选)关于递增等比数列{a.},下列说法不正确 解析：AB[因为公比g不为1，所以不能删去a1, 的是 a4,设等差数列的公差为d,①若删去a2,则有2a3 A.a1>0 B.q>1 =a1十a4,得2a1q=a1+a1g,即2g2=1+g,整 C.a<1 D.当a1>0时，g>1 理得g(q-1)=(q-1)(q十1)，因为q≠1，所以 “am+1 解析：ABC[由题意，设数列{an}的公比为q,因 日=g十1，因为>0，所以解得g=1,②若甜 为an=a191,得a+1-an=a1g1(q-1)>0,当 去a3,则2a2=a1十a4,得2a1q=a1十a1q,即2q 41>0时，g>1,此时0<8，<1，当a1<0时，0< an+l 1+q,整理得q(q-1)(q+1)=q-1,因为q≠1， q<1,0>1,故不正确的是ABC.] 所以q(q十1)=1，因为q>0,所以解得q= an+ 14.(多选)已知a1,a2,a,a4,依次成等比数列，且公比q 生，能上g=生或g=15,故 2 2 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来 的顺序)是等差数列，则正数q的值是 ) 选：AB.] 第2课时 等比数列的性质及应用 课程标准 素养解读 1.在解决等比数列实际问题中达成数学建模和 1.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应 逻辑推理的核心素养。 的问题 2.在运用等比数列性质解题过程中提升数学运 2.掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题」 算的核心素养。 课前。预习学案 对应学生用书P21 [知识梳理] 2思考1.如何推导a,=ang”m [知识点一] 等比中项 [提示] 由=41·g 0ma1·g=g,a,=an (1)条件：如果a,G,b成等比数列. (2)结论：那么G叫做a与b的等比中项. (3)满足的关系式是G=ab. [知识点四]等比数列项的运算性质 ①在等比数列{an}中，若m十n=p+q(m,n,p,q∈ 2思考当G=ab时，G一定是a,b的等比中项吗？ N),则am·a,=a。·ag,特别地，当m十n=2k(m, [提示]不-定，如数列0,0,5就不是等比数列. n,k∈N*)时，am·an=a [知识点二]推广的等比数列的通项公式 ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之 {an}是等比数列，首项为a1,公比为q,则an= 积等于首末两项的积，即a1·a=a2·a,-1=…= a1q,an=am·q”-m(m,n∈N*). as·a,-k+1=…. [知识点三]“子数列”性质 [知识点四]两等比数列合成数列的性质 对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉，剩余 若数列{an},{bn}均为等比数列，c为不等于0的常 各项仍为等比数列，首项为a+1,公比为q;若取出 数，则数列{ca,},{a},{an·b,,{%}也为等比 所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首 项为a4,公比为g, 数列 ·41· 数学B版·选择性必修第三册 2思考3.等比数列{a}的前4项为1,2,4,8，下列 2.等比数列{an}中，若a2a。十a=元，则aa等于( 判断正确的是 A. B号 C. (1){3an}是等比数列；(2){3十an}是等比数列； (8)份}是等比数列：4a是等比数列。 解析：C[aa,=a=a,a∴aa,=受.] 3.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思。 [提示]由定义可判断出(1)(3)(4)正确 今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石， [预习自测] 则衰分比例为 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 解析：[设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得28石， 打“/”，错误的打“×” (1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之 28石，284石，：28+28+28q=98,∴9=2或2 积等于首末两项的积 ) (2)当q>1时，{an}为递增数列. 又0<q<1,.q= 1 2· (3)当q=1时，{an}为常数列. [答案](1)/(2)×(3)√ 答案：2 课堂。互动学案 对应学生用书P22 ● 题型一 等比数列的性质及应用 2.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3=5, [例1](1)在等比数列{an}中，an>0,若a3·a5=4, a;agas=10,则a4a5a6等于 则a1a2a3asa5a6a,= A.4√2 B.6 解析：128[aa5=a=4,又an>0,所以a4=2, C.7 D.5√2 a1a2a3aa5a6a=(a1·a7）·(a2·a6）·(a3·a5) ·a4=a·a·a·a,=a=2=128.] 解析：D[{an}为等比数列，a1a2a3,a4aa6, (2)在等比数列{an}中，已知a4a,=一512，a3十a8 azasas也成等比数列，.(a4a5a6)2=(a1a2a3)· =124,且公比g为整数，则an= (aasa6)=5X10,又{an}各项均为正数，∴.a4a5a6 解析：在等比数列{an}中，由aa,=-512得aa8 =5√2.] =-512,又a3+ag=124,解得a3=-4,ag=128 或a3=一128，ag=4,因为公比q为整数，所以q= 题型二 等比数列的应用问题 =- 5128 [例2]某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测 4 =-2,故a,=-4X(-2)”3 这种车每年按10%的速度贬值。 =-(-2)n-1 (1)用一个式子表示第n(n∈N)年这辆车的价值； 答案：-（一2）n1 (2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能 [规律方法]等比数列的运算常用两条思路 得到多少钱？ (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1, [解](1)从第一年起，每年车的价值（万元）依次 q,然后求其他； (2)利用性质巧解，其中m十n=十l=2s(m、n、k、 设为：a1,a2,a3,,an,由题意，得a1=10,a2=10 l、∈N)ama,=asa=a ×(1-10%),a3=10(1-10%)2,….由等比数列 ⊙[变式训练] 定义，知数列{an}是等比数列，首项a1=10, 1.等比数列{an}中，若a12=4,a18=8,则a36为( 公比q=1-10%=0.9,所以an=a1·g-1=10× A.32 B.64 0.9”1.所以第n年车的价值为am=10X0.9”1 C.128 D.256 万元 解析：B[由等比数列的性质可知，a12,a18,a24, (2)当他用满3年时，车的价值为a4=10×0.9- a0,a6成等比数列，且18=2=g,故a6=a1s·g a12 =7.29(万元). =8×23=64.] 所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元. ·43· 第五章数列 规律方法 [证明]an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1十2-4an-2 1.等比数列应用题的两种常见类型 =4am+14am: (1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立 bn+1 at3-2a,t=（4a,1-4a,）-2ah= 数学模型，如有关平均增长率、利率（复利）以 an+1-2a am+1一2an 及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立 2a+1-4a=2. an+1-2an 数学模型 所以数列{bm}是公比为2的等比数列，首项为a2 (2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利 -2a1· 用等比数列的通项公式解决 因为S2=a1十a2=4a1十2，所以a2=5,所以b1=a2 2.解决应用题的步骤是 -2a1=3. 构造 判断 寻找 建立 求解 正确 所以bn=3·2m-1 数列 数列 条件 方程 方程 解答 规律方法 ◇[变式训练] 1.已知数列的前n项和或前n项和与通项的关系 3.某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起， 求通项，常用a,与S,的关系求解】 平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一 2.由递推关系a,+1=Aa,十B(A,B为常数，且A 年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？（保留到 ≠0，A≠1)求a.时，由待定系数法设am+1+入 个位，1g6≈0.778,1g1.2≈0.079) =A(an十入)，可得入= 二，这样就构造了等 B 解析：记该糖厂每年制糖产量依次为a1,a2,a3,…, a.,….则依题意可得a1=5,0=1.2(n≥2且n 比数列{an十入}. 'am-1 ◇[变式训练] ∈N"),从而an=5×1.2-1,这里an=30,故1.2-1 4.已知a1=1,a+1=2a十anam+1”,试证明数列{an} 1g6=0.778≈9.85.故n =6,即n-1=1og1.26=1g1.20.0791 是等比数列，并求{an}的通项公式 =11.即从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过 [解]由已知得a+1一aam+1一2a=0,所以(an+l -2an)(an+1十an)=0. 30万吨. 所以an+1一2an=0或an+1十an=0, 题型由递推公式转化为等比数列求通项 [例3]已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=2a (1)当a+1-2a,=0时，0中=2.又41=1，所以数 an +n-4. 列{an}是首项为1，公比为2的等比数列.所以an= (1)求a1的值： 2”-1 (2)若b,=a。一1，试证明数列{bn}为等比数列， (2)当a+1十a,=0时，0中=-1，又41=1，所以 [思路点拨j“(1)由n=1代入S,=2a,十n-4求 a 数列{an}是首项为1，公比为一1的等比数列， 得；(2)先由Sn=2an十n-4,利用S。和an的关系 所以an=1×(-1)”-1=(-1)”-1.综上：an=2”- 得{an}的递推关系，然后构造出数列{an一1}利用 或an=(-1)n-1」 定义证明. [当堂达标] [解](1)因为Sn=2an十n-4,所以当n=1时，S 1.(多选)已知数列{a,}是等比数列，则下列数列中一 =2a1十1-4，解得a1=3. 定是等比数列的是 ( ) (2)证明：因为Sn=2an十n-4,所以当n≥2时， A.(a1) B.(a-an+1 Sm-1=2am-1+(n-1)-4,S,-S-1=(2an十n 4)-(2a。-1+n-5),即an=2a。-1-1,所以a,-1 c份} D.(ka =2(a。-1-1),又bn=a。-1,所以b.=2b。-1,且b 解析：AC[当数列{an}为1,1,1,1，…时，数列{a, =a1一1=2≠0，所以数列{b,}是以b=2为首项，2 am+1}不是等比数列；当k=0时，数列{kan}不是 为公比的等比数列 [母体变式] 等比数列，而{a1}和g}一定是等比数列.] 将本例条件“S。=2an十n一4”改为“a1=1,Sn+1= 2.在流行病学中，基本传染数R。是指在没有外力介 4an十2”，“bn=am-1”改为“bn=an+1-2an”,试证 入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染 明数列{b}是等比数列，并求{bn}的通项公式. 者平均传染的人数.R。一般由疾病的感染周期、感 ·43· 数学B版·选择性必修第三册 染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的 解析：因为等比数列{an}的各项均为正数，且a3=9 概率决定，假定某种传染病的基本传染数R。=3, 所以loga1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5 那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大 log3(a1·a2·a3·a4·a5）=log3(a35)=log3(95) 约需要的传染轮数为 ) =log3(31°)=10. 注：初始感染者传染R。个人为第一轮传染，这R。 答案：10 个人再传染人为第二轮感染. 4.已知数列{an}为等比数列 A.5 B.6 (1)若a1+a2十a3=21,a1a2a3=216,求am; C.7 D.8 (2)若a3a=18,aa=72,求公比g. 答案：B[设经过第n轮传染，感染人数为am,经 [解](1)a1a2a3=a=216,.a2=6,.a1a3 过第一轮感染后，a1=1十3=4，经过第二轮感染 =36. 后，a2=4十4×3=16，于是可以得知经过传染，每 又.'a1十a3=21-a2=15, 一轮感染总人数构成等比数列，所以经过第n轮传 .a1,a3是方程x2-15.x十36=0的两根3和12. 染，感染人数为an=4”,当an≥2000时，解得n≥6， 因此感染人数由1个初始感染者增加到2000人大 当a1=3时，g=2=2,0.=3·21； a 约需要的传染轮数为6轮.] 1 3.已知等比数列{an}的各项均为正数，且a3=9,则 当a1=12时，9= logsa+log3a2+logs a3 logsa:logsas (2)a4ag=a3q·a5q=a3a59=18q=72, .q=4,.q=±√2. 课时。素养提升 对应学生课时P12 [基础达标练] 解析：A[因为数列{an}是公比为4的等比数列， 1.已知等比数列{an}中，a2=一4，a= 2,则公比g 且a1=2,所以an=2X4”1=22-1,l0g2a。= 10g222m-1=2n-1.所以数列{10g2an}是公差为2的 ( 等差数列，故选A.门 A.-2 B.-1 1 C.2 D.2 5.(多选)据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年， 2 人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚 解析：B[,as=a2g3,即 1 =一4g3,解得g= 至要达到每73天翻一番的空前速度.因此，基础教 1 育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切 2故选B.] 人学会学习.已知2000年底，人类知识总量为a,假 2.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6十a4a,=18, 如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从 若a1am=9,则m的值为 ( 2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年 A.8 B.9 C.10 D.11 (按365天计算)是每73天翻一番，则下列说法正 解析：C[由题意得，2asa6=18,a5a6=9,∴.a1am 确的是( =a5a6=9,∴.m=10.] A.2006年底人类知识总量是2a 3.在各项均为正数的等比数列{bn}中，若b,·b=3, B.2009年底人类知识总量是8a 则1ogb1十1og3b2十…十logb14等于 ( C.2019年底人类知识总量是213a A.5 B.6 C.7 D.8 D.2020年底人类知识总量是218a 解析：C[1og3b1十1log3b2+…+log3b14=log3(bb2 解析：BCD[2000年到2006年每三年翻一番，则 …b14)=log3(b,bg)7=71og3=7.] 总共翻了2006.2000=2番.2000年底，人类知识 3 4.若数列{an}是公比为4的等比数列，且a1=2,则数 总量为a,则2006年底，人类知识总量为a·2= 列{log2an}是 ) 4a故A错，2000年到2009年每三年翻一番，则总 A.公差为2的等差数列 B.公差为1g2的等差数列 共翻了2009,2000=3香，则2009年底，人类知识 3 C.公比为2的等比数列 总量为a·23=8a,故B正确，2009年到2019年每 D.公比为lg2的等比数列 一年翻一番，则总共翻了2019-2009=10番，则 ·44· 第五章数列 2019年底，人类知识总量为8a·21"=23a,故C正 10,即2"≥3.8×1012，所以1g2"≥1g3.8+12,即n 确，2020年是每73天翻一音，则总共翻了营=5 g206叶12，标得：≥长42，所以至少对新 番，则2020年底，人类知识总量为213a·2=218a, 的次数n是42，故选C.] 故D正确.故选BCD.] 10.(多选)设{an}是公比为2的等比数列，下列四个 6.(多空题)已知{an}是等差数列，公差d不为零.若 选项中是正确的命题有 ( a2,a3,a,成等比数列，且2a1十a2=1,则a1= ,d= A侣}是公比为号的等比数列 解析：：a2,a3,a,成等比数列，a号=a2a,.(a1十 B.{a2n}是公比为4的等比数列 2d)2=(a1十d)(a1+6d),即2d+3a1=0.①，又 C.〈2an}是公比为4的等比数列 2a1十a2=1,.3a1+d=1.②由①②解得a1= D.{ana+1}是公比为2的等比数列 子d=-1 解析：AB[由于数列{an}是公比为2的等比数 答案号 列，则对任意的n∈N,a,≠0，且公比为g=a山 -1 an 1 7.画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的 对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对 =之对于A这项空品=号公即发列 an 角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正 方形，则第10个正方形的面积等于 平方 {侣}是公此为号的等比数列，A速项正确：对于B 厘米 解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，√2为 选项，an+2=g2=4,即数列{a2n》是公比为4的等 a2n 公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*),则第10 比教列，B选项正确：对于C选项，三9=2 个正方形的面积S=a。=22×2=21=2048. 答案：2048 即数列{2a,}是公比为2的等比数列，C选项错 8.已知数列{cn},其中cn=2”十3”，数列{cn+1一pcn} 误；对于D选项，0++-0+2=q=4,即数列 a,an+i a 为等比数列，求常数p. 〈a,an+1}是公比为4的等比数列，D选项错误.故 解：因为数列{Cn+1一pcn}为等比数列，所以(cn+1 选AB.] 一pcn)2=(cn一pcn-1)(cn+2一pcn+1),将cn=2”十 3代入上式得，[2+1十3+1一p(2”+3")门2=[2+ 11.已知数列{an}中，a1=2,a+m=a,·am(n,m∈ 3”-p(2-1+3-1)门·[2+2+3+2-p(2+1+ N),若a+1十a+2十as+3十a+4=480,则飞= 3+)刀，整理得日(2-p)(3-p)·2·3=0,解得 A.3 B.4 p=2或p=3. C.5 D.6 [能力提升练] 解析：B[因为数列{an}中，a1=2,aa+m=a。·am 9.2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回 (n,m∈N),所以取m=1,则an+1=a。·a1= 器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地 2an,所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比 外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一 数列，所以an=2”,又a+1十a+2十a5+3十a+4三 大步.月球距离地球约38万千米，有人说：在理想 480,即2+1十2+2十2+3十2+4=480，即30×2 状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次 =480,解得k=4.] 其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折 12.等比数列{am}同时满足下列三个条件：①a1十a 的次数n是(1g2=0.3,lg3.8=0.6) ( =1,@aa,=号.③三个数号a,+号依 A.40 B.41 次成等差数列，试求数列{a}的通项公式. C.42 D.43 解析：C[设对折n次时，纸的厚度为am,每次对 解：由等比数列的性质知a0,=aa:=号，所 折厚度变为原来的2倍，由题意知{an}是以a1= [a1+a6=11, 0.1×2为首项，公比为2的等比数列，所以an=0.1 以 _32 ×2×2m-1=0.1×2",令an=0.1×2"≥38×10× a1·a=9 ·45· 数学B版·选择性必修第三册 1 32 解析：BCD[当=0时，根据“等差比数列”的 a=3,a=3 解得 或 32 1 定义，有+一a2=0,即有a+2一a+1=0,这与 a=3·a=31 an+lan 分母不为0矛盾，.k≠0，故选项A正确；当am 1 a1= 当 2时9=2，所以0，=号·2，这时号 1时青=1为常 数列{an}为“等差比数列”，且a1=0,故选项B错 生成 -号2a-号所以号aia,+ 误；又当数列{an}为非零常数列时，数列{an}既是 9 9 等差数列又是等比数列，但an+1一an=0,此时数 等差数列，故a,=号 列{am}不是“等差比数列”，故选项C、D错误，故 3 ·20-1 选BCD.] 32 a 14.若数列{a,}满足1一二=0，则称a.}为“梦想数 当 时9=za=3·2,号 1 1 4 3a十a:+9 antl an a6= 3 列”，已知正项数列公}为“梦想数列”，且4十么 ≠2a,不符合题意，故通项公式a,= ·2”-1 十b3=1,则b十b,十b= 解析：由题意可知，若数列{an}为“梦想数列”，则 [素养培优练] 1 13.(多选)在数列{a,}中，若2+a=k(k为常 an+1 =0，可得。=了，所以，“梦想数列” an an 数)，则称{an}为“等差比数列”，下列对“等差比数 《a,是公比为号的等比数列，若正项数列{}为 列”的判断错误的是 ( A.k不可能为0 “梦每袋列，则安所以完=2甲正项 B.“等差比数列”中的项不可能为0 数列{bn}是公比为2的等比数列，因为b1十b2十b3 C.等差数列一定是“等差比数列” =1,因此，b十b十b8=25(b1十b2十b3)=32. D.等比数列一定是“等差比数列” 答案：32 5.3.2 等此数列的前n顷和公式 第1课时 等比数列的前n项和公式 课程标准 素养解读 1.在推导等比数列前n项和公式的过程中达成逻辑推理、 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式. 数学抽象的核心素养， 2.理解等比通项公式与前n项和公式的关系. 2.在运用等比前n项和公式的过程中提升逻辑推理和数学 运算的核心素养 课前。预习学案 对应学生用书P24 [情境引入] 依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放 国际象棋起源于古代印 的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦 度.相传国王要奖赏国际象棋 粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然 的发明者，问他想要什么.发 同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016 明者说：“请在棋盘的第1个 一2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据 格子里放上1颗麦粒，第2个 以上数据，判断国王是否能实现他的诺言. 格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒， ·46·