5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教B版）

P第五章数列 数课时 第2课时 等 学作业 [基础达标练] 1.为了参加学校的长跑比赛，某中学高二年级小 李同学制定了一个为期15天的训练计划.已 知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上 增加相同距离.若小李同学前三天共跑了 3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天 小李同学总共跑的路程为 () A.34000米 B.36000米 C.38000米 D.40000米 2.已知等差数列{an}的前n项和为S.,7as十5ag =0,且ag>a,则Sn取得最小值时n的值为 () A.5 B.6 C.7 D.8 3.某中学的“希望工程”募捐小组署假期间走上 街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200 元.他们第一天只得到10元，之后采取了积极 措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一 天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为 () A.15天 B.16天 C.17天 D.18天 4.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2o4 =S219,S4=S2012,则正整数k为 A.2018 B.2019 C.2020 D.2021 5.已知数列{an}的通项公式为am (号)，则数列a. A.有最大项，没有最小项 B.有最小项，没有最大项 C.既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项 6.等差数列{an}中，已知a>0,a4十a,<0,则 {an}的前n项和Sn的最大值为 .9 课时作业乡 空 差数列前n项和的应用 间 纠错空间 7.(多空题)某渔业公司年初购进一艘渔船用于 捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起 维修费比上一年增加4万元，则第5年的维修 费是 万元，前10年维修费总和为 万元 8.如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排 有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多 2个座位，共有10排座位. ●0●0●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●● 主席台 (1)求第六排的座位数； (2)某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的 两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要 错位就坐.那么该报告厅里最多可安排多少人 方法总结 同时参加会议？ (提示：每一排从左到右都按第一、三、五、… 的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证 4+++1++++++++++ 安排的参会人数最多) 。,。,。 世数学B版 [能力提升练] 空 9.(多选)等差数列{an}的前n项和Sn,且Sn= 间 ,Sn=(m,n∈N,m≠n),则下列各值中 纠错空间 n 可以为Sm+n的值的是 ( A.3 B.4 C.5 D.6 10.(多选)在数列{an}中，a1=1,a2=2,a3=3, an+3十(-1)^a+1=1(n∈N*),数列{an}的 前n项和为Sn,则下列结论正确的是() A.数列{an}为等差数列 B.a18=10 C.a17=12 D.S31=146 11.已知数列{am}为等差数列，a1十a3十a5=1, Sn表示数列{an}的前n项和，若当且仅当n =20时，Sn取到最大值，则a2十a4十a6的取 值范围是 12.在等差数列{an}中，a1o=23,a25=一22. 方法总结 (1)数列{an}前多少项和最大？ (2)求{an|}的前n项和Sn 十年。+十。年。+年。+ [素养培优练] 13.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一.风雨桥 由桥、塔、亭组成.其亭、塔平面图通常是正方 形、正六边形和正八边形.如图是风雨桥亭、 塔正六边形的正射影.其正六边形的边长计 算方法如下：AB1=AB。一B。B1,A2B2= A B-BB2,A3 B3=A2 B2-B2 B3,,A,B 10 选择性必修第三册 =A-1Bn-1一Bn-1Bn,其中Bn-1Bn=…= B2B,=B1B2=B。B1,n∈N.根据每层边长 间的规律.建筑师通过推算，可初步估计需要 多少材料.所用材料中，横向粱梁所用木料与正 六边形的周长有关.某一风雨桥亭、塔共5 层，若AB。=6,B。B1=1.则这五层正六边形 的周长总和为 A.100 B.110 C.120 D.130 14.某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流 行，感染对象主要是成人和学龄儿童，寒冷季 节呈现高发，据资料统计，某市11月1日开 始出现该病毒感染者，11月1日该市的病毒 新感染者共有20人，此后每天的新感染者比 前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗 部分采取措施，使该病毒的传播速度得到控 制，从第t天起，每天的新感染者比前一天的 新感染者减少30人，直到11月30日为止. (1)设11月n日当天新感染人数为am,求 {an}的通项公式（用t表示）； (2)若到11月30日止，该市在这30日感染 该病毒的患者共有8670人，11月几日，该市 感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一 天的新患者人数。巴数学B版 .ag=a6十2d=16. 方法二S,=S,十a=15,15=6a十a）,即3(a1 2 +10)=15. ÷a,=-5,d=01a=3.a6=a%+2d=16. 5 (②)方法-a:+a,=a+d+a+3d=g,a+2d S=5a+10d=5(a,+2a0=5×4-=24. 方法二e,十a=a十aia十a,=8,S= 5(a+as)=5×48=24. 2 21 5 9.C[:{a,}是等差数列Sn=m(a十a）=0>a1= 2 am=-(Sm-Sm-1)=-2,x amt1=Sm+1-Sm=3,..d 选a1,3=a+1=a1十m=一2十m之m5,故 10.BCD[设等差数列{an}的公差为d.由2a1十2ag=S, 有2a:+2(a,+2d)=5a+544,甲a十6d=0,所以 a,=0,则选项D正确，选项AS=7a,十71=7a1 十3d)=-21d,无法判断其是否有最小值，故A错误. 选项B.S1g=1aX13=13a,=0,故B正确.选项 2 C.SgS4=ag十ag+a,+ag十a5=5a,=0,所以S4= S。,故C正确.故选：BCD.门 11.解析：设等差数列{an}的项数为2n十1，S#=a1十a3十 …+a1=+1)a+a-(n+1Da+1,5=a 2 十a,十a,+…十aa=a:寸a）=a1,所 S一 2 ”十1=44，解得n=3,所以项数2m十1=7，S-S%三 n 02,即a4=44-33=11为所求中间项. 答案：113 12.解：第一步利用已知求出公差d. a1=20,S10=S1s, 10×20+02X94=15×20+15X14. 2 d=、5 3 第二步写出数列的通项公式，找到正、负分界等于零 的项. 由a=20+a-10×(号）-号a+5得au=0 即当n≤12时，an>0,当n≥14时，an<0. :当n=12或n=13时，S。取得最大值. 第三步找到n后，代入等差数列的前n项和公式即可 求出最大值. ∴.Sn的最大值为S12=S1g -12×20+12X11×(8）-130. 13.ABC[因为{an}是等差数列，前n项和为Sm,由S6= S12得：S12、-Ss=a,+ag+ag十a10十a1十a12=0,即 3(ag十a10)=0,即ag十a10=0,对于选项A:由ag十a1o =0得2a1十17d=0,可得a1:d=-17:2,故选项A正 确：对于选项B:S=18(a+an)-18a,+a）=0, 2 2 故选项B正确；对于选项C:a6十a4=ag十a11=ag十a1g 十d=d,若d>0,则as十a14=d>0,故选项C正确；对 于选项D:当d<0时，ag十a14=d<0,则a6<-a14,因 为d<0,所以a6>0,a14<0, 所以a6<a14l,故选项D不正确，故选：ABC.] 1.解析：因为S,=30,+32×d=3a:十3d,S=4a十 43d=4a,+6d,所以S,·S4+12=(3a+3d)(4a,+ 2 。4 选择性必修第三册 6d)+12=0,所以2a1+5a1d+3d+2=0,因为关于a1 的方程有实数根，所以△=25d一4X2×(3d2十2)≥0， 即d≥16，解得d一4或d≥4，又数列{a}为递增数 列，则d>4,.d的取值范围是[4，十∞). 答案：[4，十oo) 第2课时等差数列前n项和的应用 1.B[根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设 为am,则a1+a2十a3=3a2=3600,故a2=1200,a13+a14 十ag=3a4=10800,故a4=360,则S.=号(a十a) ×15=7(a十a)×15=3600.故选：B.] 2.B[由7a:+5a,=0,得号=-7又a>a,所以d> 0,0<0.因为函数y-号2+(a-号)r的国象的对 橡轴为工=日台-立十号-号取最提近的整纸6 故S.取得最小值时n的值为6.] 3.A[设他们每天收到的捐款形成数列{an},则由题可得 {an}是首项为10，公差为10的等差数列，∴.S.=10n十 nm-1)×10=1200,解得n=-16(舍去)或n=15,所以 2 这次募捐活动一共进行的天数为15天.故选：A.门 4.D[因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函 数，所以由二次函数的对称性及S2014=S219,S=S2o12, 可得2014十2019=2012+k,解得k=2021.] 2 2 5.C :数列(a,)的通项公式为口，=号)} 2 /21 3 ,t∈(0,1]，t是减函数， 则a.=2-t=（-2) 1 1 一4 由复合函数单调性知口先递减后递增。 故有最大项和最小项，选C.] 6.解析：：a4十a=a+a,<0.a>0S。的最大值 1a5>0, (a6<0, 为S5, 答案：Ss 7.解析：由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元， 即每年的雏修货成等差数列.设从第二年起，每年的维 修费构成的等差数列为{an},则an=12+4(n一1)=4n +8,所以a,=4×5+8=28(万元)，Sw=10X12+号× 10×9×4=300(万元). 答案：28300 8.解析：(1)依题意，得每排的座位数会构成等差数列{an}, 其中首项a1=9,公差d=2,所以第六排的座位数ag=a1 +(6-1)d=19. (2)因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数 最多，第一排应坐5人，第二排应坐6人，第三排应坐7 人，…，这样，每排就坐的人数就构成等差数列{bn》,首 项b1=5,公差d'=1,所以数列前10项和S1。=b1十 10×9×d=95. 2 故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议. 9.CD[因为等差数列{an}的前n项和Sn,所以可设Sn= An2+B,(A,B∈R),因为S.=,Sn=(m,n∈N,m 2 ≠n), (S.=An2+Bn=n (An+B=1 所以 m S=Am2+Bm=n,即1 (Am+B=1' 解得A=1 mn, B=0 所以S.=A(m十n)2-m+n+2mn=m+n十2≥ 171 mn 2mm+2=4,当且仅当m=n时等号成立，又m≠n,所以 m 4 参考答案 等号不能取得，因此Sm+m>4,故CD正确，AB错.故 选：CD. 10.BD依题意得，当n是奇数时，aa女1即数列 {a,}中的偶数项构成以a2=2为首项，1为公差的等差 数列，所以a18=2十(9一1)×1=10，当n是偶数时， a+3十a+1=1,所以am+5,十a+3=l,两式相减，得an+5 =ant,即数列{an}中的奇数项从a3开始，每隔一项的 两项相等，即数列{an}的奇数项呈周期变化，所以a1,= a4×3+5=a5,在a+3十am+1=1中，令n=2,得a5十a3= 1,因为a3=3,所以a1?=一2，对于数列{an}的前31项， 奇数项满足a3十a5=1,a,十a=1，…,a2十a29=1,a3别 差的￥姜酸列，所以救构鹰X节3车6X2车 =a3=3,偶数项构成以a2=2为首项，1为公 15×(15-12=146.] P 11.解析：由a1十a十a6=1,得3a,=1,即a=3,a,十a 十as=3a4=3a3十3d,当且仅当n=20时，Sn取到最大 值，则/a2o>0 (a2101 则6=8108中 =号+17dD0 得到d a1=3+18d<0 1 () 11 a2十a4十a6=3a4=3a4+3d=1十3d, 由dE（京：)可得9<1+3d<总做答案 为：() 答案：(9，) 12屠：0迪但222.得{台50a,-a+n -1)d=-3n+53. 令a,>0,得<，当n≤17，m∈N时，a,>0:当n ≥18，n∈N时，an<0,.{an}的前17项和最大. (2)当n≤17，n∈N*时，|a1|+|a2|+…+am|=a1+ a2十…十an =a+2卫Da=-r+1 当n≥18，n∈N时，a1|+|a2|+…+lanl=a1十a2十 十a17一a18一a19一一aw =2(a1+a2十…+a17)-(a1十a2+…十an) =2(×1+93×17）)（+19) 2×-192+84 ∴.Sn= -2r+193n<17EN {i-19a+84,m≥18，a∈N. 13.C[由已知得：AnBn=A.-1Bn-1-Bn-1Bn,Bn-1Bn=… =B2B3=B1B2=BB1=1,因此数列{ABn}(n∈N",1 ≤n≤5)是以a1=A,B。=6为首项，公差为d=一1的 等差数列，设数列{AB.}(n∈N”,1≤n≤5)前5项和 为5，因北有，5，=5a十2X5×4·1=5×6-2×5 ×4×1=20,所以这五层正六边形的周长总和为6S5= 6×20=120.故选C.] 14.[解](1)由题意得，当n≤t时是以公差为50，首项为 20的等差数列，此时an=20十50(n-1)=50n-30,(1 ≤n≤t). 当n≥t十1时是以公差是-30，首项为50t一30的等差 数列，此时an=50t-30-30(n-t)=-30n+80t-30, (t+1≤n30) (50n-30,n≤t 故a,={p30n+802-30,m≥+11≤n≤30，n∈N, (2)由(1)可知，前t日患者共有S=20+50t-30t_ 2 (25t-5t)人. ·4 课时作业色 又第t+1日有-30(t+1)+80t-30=(50t-60)人，第 30日有一30×30十80t一30=(80t一930)人.故t+1日 至30日共30一t天的时间里共有S。= (50t-60+80t-930)(30-2=(-65t+2445t- 2 14850)人，故1到30日共有S,+S2=25t2一5t一65t+ 2445t-14850=(-40t+2440t-14850)人，故-40t +2440t-14850=8670→t-61t+588=0,即(t-12)(t 一49)=0，又1≤t30,故t=12.当天新增患病人数为 50×12-30=570(人). 故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，这 一天的新患者人数为570人 5.3等比数列 5.3.1等比数列 第1课时等比数列的概念 1.A[①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数 列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故 不能判定是等比数列；③中，当α=0时，不是等比数列； ④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.故选：A.门 2.D[因为an=a1g-1,所以1X2-1=64,即2"-1=2°，得 n-1=6,解得n=7.] 3.C[由题知(a4一2)2=a2a6,因为{an}为等差数列，所以 (3d-1)2=(1+d)(1+5d),又d≠0，则d=3,从而am an=(m-n)d=30.故选C.] 4.B[an=(n十8)d,又a=a1·a24,.[(k十8)d]2= 9d·(2k十8)d,解得k=-2(舍去)或k=4.] 5.ABD[对于A,a+1=an·q,当q=0,an=0时，等式成 立，此时不是等比数列，故错误；对于B,an=a1g1,当g =0,a1=0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对 于C,根据等比数列等比中项可以判定此数列为等比数 烈故正时琴我室，元的保是花藏：我与 ,当am=0,0+1= 6.解析：由韦达定理可知a1十a5=5,a1·as=3,则a1>0, a5>0,从而a3>0,且a号=a1·a5=3,a3=√3. 答案：W3 7.解析：设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160g, 9=329=7.一这4个数依次为80,40,20,10. 答案：80,40,20,10 8.证明“S。=2a,十1，.Sn+1=2a+1十1. .am+1=Sm+1一Sn=(2an+1+1)-(2a.+1)=2am+1-2a: an+=2an, 又.S1=2a1+1=a1,.a1=-1≠0， 又由an+1=2an知an≠0，.a=2,{a,}是首项为- 1,公比为2的等比数列. .an=-1X2m-1=-2"-1 9.C[.1+2a=(1+2a1)X3"-1=5X3"-1,.1+2a6=5 X3,a6=5X243-1=607.] 2 10.BD[,bn=an十4，∴.an=bn-一4，数列{bn}有连续四 项在集合-50，-20,22,40,85}中，.数列{an》有连续 四项在集合{-54，-24,18,36,81}中，又.数列{an}是 公比为9的等比数列，在集合{-54，-24,18,36,81} 中，数列{an}的连续四项只能是：一24,36，一54,81或 81,-54,36,-24,g=38=-号或g=364= 36 3,故选BD.] 11.解析：由题意得，(2x十2)2=x(3x十3)，解得x=一1或 一4.当x=一1时，2x十2=3x十3=0，不符合题意， 舍去，x=一4.此时，2x十2=-6,3x十3=-9，.该 等比数列的首项为一4，公比为。·设二？为此数列的 第n项，则一4× (31-1 2 一号解得以=4 答案：4 12.解：(1)证明2a,=3a,+1,a±1=号 an 3 又：数列{an}的各项均为负数，a1<0,.数列{an}是 以子为公比的等比数列，