5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教B版）

世数学B版 选择性必修第三册 数 课时 间 5.2.2等差数列的前n项和公式 学作业 第1课时 等差数列的前n项和公式 纠错空间 [基础达标练] [能力提升练] 1.已知等差数列{an}中，a2=7,a4=15,则S,等 9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm= 于 ( ) 一2，Sm=0,Sm+1=3,则m= () A.100 B.210 A.3 B.4 C.380 D.400 C.5 D.6 2.在等差数列{an}中，a十a十2a3ag=9,且an 10.(多选)已知数列{an}是等差数列，前n项和 <0,则S1。等于 () 为S.,且2a1十2a3=S,下列结论中正确的 A.-9 B.-11 是 () C.-13 D.-15 A.S,最小 B.S13=0 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S=9, C.S,=Sp D.a2=0 S6=36,则a,十ag+ag等于 () 11.(多空题)设项数为奇数的等差数列，奇数项 A.63 B.45 之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的 C.36 D.27 中间项是 ,项数是 1 等 12.在等差数列{an}中，前n项和为Sn,已知a1 n(n+2) =20,且S1。=S1s,求当n取何值时，Sn取得 于 ( 最大值，并求出它的最大值. 1 A.n(n+2) 方法总结 1-2 n+2 131 c.22 n+1n+2 n-) 5.(多选)已知递减的等差数列{an}的前n项和 为Sn,若S,=S11,则 () A.a1>0 B.当n=9时，Sn最大 C.S1>0 D.S1>0 6,设5.是等差数列1a.)的前m项和，者会=引 则 S 7.已知等差数列{an中，Sn为其前n项和，已知 S3=9,a十a5十a6=7,则Sg-S6= 8.在等差数列{an}中， (1)已知a6=10,S5=5,求a8; [素养培优练] 2已知a,十a,=8求s 13.(多选)已知等差数列{an}的公差d≠0，前n 和为Sn,若S。=S12,则下列结论中正确的 有 () A.a1:d=-17:2 B.S18=0 C.当d>0时，a6十a14>0 D.当d<0时，las>|a14 14.设首项为a1,公差为d的递增等差数列{an)》 的前n项和为Sm,其中a1,d为实数，若S· S4+12=0,则d的取值范围是 ·8 第五章数列 课时作业乡 数课时 第2课时 等差数列前n项和的应用 学作业 纠错空间 [基础达标练] 7.(多空题)某渔业公司年初购进一艘渔船用于 1.为了参加学校的长跑比赛，某中学高二年级小 捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起 李同学制定了一个为期15天的训练计划.已 维修费比上一年增加4万元，则第5年的维修 知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上 费是 万元，前10年维修费总和为 增加相同距离.若小李同学前三天共跑了 万元 3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天 8.如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排 小李同学总共跑的路程为 ( 有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多 A.34000米 B.36000米 2个座位，共有10排座位， C.38000米 D.40000米 ●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●● 2.已知等差数列{am}的前n项和为S.,7as十5ag =0,且ag>as,则Sn取得最小值时n的值为 主席合 ( (1)求第六排的座位数； B.6 (2)某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的 A.5 C.7 D.8 两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要 3.某中学的“希望工程”募捐小组署假期间走上 错位就坐.那么该报告厅里最多可安排多少人 方法总结 街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200 同时参加会议？ 元.他们第一天只得到10元，之后采取了积极 (提示：每一排从左到右都按第一、三、五、… 措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一 的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证 天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为 安排的参会人数最多) ( A.15天 B.16天 C.17天 D.18天 4.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2o14 =S2019,S。=S2012,则正整数k为 A.2018 B.2019 C.2020 D.2021 5.已知数列{an}的通项公式为am ()厂，则数列a} A.有最大项，没有最小项 B.有最小项，没有最大项 C,既有最大项又有最小项 D.既没有最大项也没有最小项 6.等差数列{an}中，已知a>0,a4十a,<0,则 {an}的前n项和Sn的最大值为 ·9·参考答案 =4(n>1),所以数列{上}是首项为5，公差为4的等 差数列」 (2)由(1)，得上=5十4(m-1)=4n十1，a,=4m十 又a=吉X日解得A=山. 1 所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项. 13C[由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、 惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节 气，其日影长依次成等差数列，设冬至的日影长为α1，公 差为d,则a1十a4十a=31.5,a十a6十ag=25.5,两式相减 得-6d=6,解得d=-1,所以a1十a4十a,=3a1+9d= 31.5,解得a1=13.5,故选：C.] 14.解析：由题意可得，第n行的第一个数是n,第n行的数 构成以n为首项，n为公差的等差数列，其中第(n十1) 项为n十n·n=n2十n.所以题表中的第n行第(n十1) 列的数是n2十n. 答案：n十n 第2课时等差数列的性质及实际应用 1.C[设等差数列的性质可知：a2十ag=2a5=18,所以a5 =9.故选：C.」 2.B[由等差数列的性质，得a3十a。十a10十a13=(a3十 a13）十(a6十a1o）=2ag十2ag=4ag=32,∴.ag=8,又d≠ 0,.m=8.] 3.D[由等差数列的性质得a1十a,十ag=3a,=4r,.a7 = 8=tan 3 卡3.∴.tan(a2+a12)=tan(2a,)=tan3 一3.1 4.B[设该网店从第一月起每月的利润构成等差数列 {an},则a2=2500,a5=4000.由a5=a2+3d,即4000 =2500+3d,得d=500.由am=a2+(m-2)×500=5000, 得m=7.] 5.ABD[由题意得：插入k(k∈N*)个数，则a1=b1,a2= 除以学餐到没中药须在新的华花基列么中同隔排 列，且角标是以1为首项，k十1为公差的等差数列，所以 am=b+m-1+1),因为b,是数列{an}的项，所以令1十(n -1)(k+1)=9,n∈N",k∈N", 当n=2时，解得k=7,当n=3时，解得k=3,当n=5 时，解得k=1, 故k的值可能为1,3,7，故选：ABD.门 6.解析：因为数列{an}为等差数列，且a1十ag=4,根据等差 数列的性质，可得a1十ag=2a5=4,解答a5=2,又由a2 +a3十…十ag=7a5=7X2=14. 答案：14 7.解析：由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的 一端的重量为a1,粗的一端的重量为a5,可知a1=2,a5 =4,根据等差数列的性质可知，a1十a5=2a3=6→a3= 3,中间三尺为a2十a3十a4=3a3=9. 答案：9 8.解析：(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d,由a3十 a8十a13=12,则3ag=12,则ag=4,又由a3a8a1g=28,则 有aag=(4-5d)(4十5d》=7,解可得：d=士号，当d =号时a=a+(n-8)d=3n,当d=-号时a, ag+(n-8)d=44-3n 5 (2)由(1)的结论，当d=号时，a.=3n写4，此时aa 5 3X23-4=13,当d=二5时，4，=万一，则a3 5 5 44-3×23=-5,则423=13或-5. 5 9.D[由a=2,a4=8,得数列{a,}的公差d=8,2=3, 2 贫品的公至不为所贸数到以为羊锅最到，所及 结合a6.=3n-1,可得bn=n十1，故b220=2021.] 10.解析：由题意函数y=f(x一2)的图象关于x=1对称， 则函数f(x)的图象关于x=一1对称，且在（一1，十∞） ·4 课时作业马 上单调，因为f(as0)=f(a!),所以aso十a51=一2，因为 数列{an}是公差不为0的等差数列，所以a1十a1o=a0 十a1=-2. 答案：一2 11.[解](1)，a2+a10=a5十a,=7,又.asa,=12, ÷{二：或{：当{8时a,=-合n+号， 1 1a2=4,1 a,=3.-{a2=3. 不恒为正，舍去. 1 (26=a,十i=2n++2,a=n++2n++ 1 =n+2+1 2 ÷4=-名6=言.因为6=号n=6,所以恒 有bm=kba. 12.D[由等差数列的性质可知2(a1+a3十a)十3(ag十a1o) =2×3a3十3×2ag=6X2a6=36,得a6=3,故选D.] 13.A[依题意，拆分后的分数，分子都是1，分母依次变 大，又品二十+十号中合6，黄可分解如 2 下：品-+-++2-十2+ 1 品6-十0十品。+动8=可+++ 31 1 1 又x,y,之是以101为首项的等差数列，故x=101,y= 202,之=303，故y十之=202+303=505，故选A.] 5.2.2等差数列的前n项和 第1课时等差数列的前n项和公式 1.B[d=04-g=15,7=4,又a1十d=7,a41=3. 4-2 2 5。=10a,+10X9d=10X3+45×4=210.] 2 2.D[由a+a+2a3ag=9,得(ag十ag)2=9,an<0, a,+a4=-3,S0=10ca,am2-10(a+a2 2 2 10×(-3)=-15.] 2 3.B[,a,十a8十a=S。-S,而由等差数列的性质可知， S3,S一S,S,-S6构成等差数列，所以S,十(S,一S) =2(S6-S3),即a,十ag十ag=Sg-S6=2S6-3Sg=2× 36-3×9=45.] 1 1/1 4.C[通项a,=n(m+2=立（n 1 n+2 】,原式= [-号)+（合）+（）+ ++（日 1 1 （1+2 1 1 1 n+1n+2) 5.BC[数列{an}是等差数列，由S,=S11,则S11一S,=ag 十ag十ao十a1=2(a十a1o)=0,ag十a1=0,又因为数 列{an}是递减数列，所以ag>0,a1o<0,故A错误、B正 确.S,=17a,+a）=17a,>0,故C正确：5， 2 19(a1十a)=19a0<0,故D错误.故选：BC.] 2 1= 6.解析：由等差数列的前n项和公式可得：3 11(a1+a11） 11X2a6 2 2 5(a1十a5) 5X2a3 号×名-晋×品-1 2 2 答案：1 7.解析：：S3,S6一S3,Sg-S6成等差数列，而S,=9,S6 S3=a4十a5+a6=7,.Sg-S6=5. 答案：5 8.[解](1)方法-·a6=10,S5=5, “侣a629解得{侣25 d=3. 巴数学B版 .ag=a6十2d=16. 方法二S,=S,十a=15,15=6a十a）,即3(a1 2 +10)=15. ÷a,=-5,d=01a=3.a6=a%+2d=16. 5 (②)方法-a:+a,=a+d+a+3d=g,a+2d S=5a+10d=5(a,+2a0=5×4-=24. 方法二e,十a=a十aia十a,=8,S= 5(a+as)=5×48=24. 2 21 5 9.C[:{a,}是等差数列Sn=m(a十a）=0>a1= 2 am=-(Sm-Sm-1)=-2,x amt1=Sm+1-Sm=3,..d 选a1,3=a+1=a1十m=一2十m之m5,故 10.BCD[设等差数列{an}的公差为d.由2a1十2ag=S, 有2a:+2(a,+2d)=5a+544,甲a十6d=0,所以 a,=0,则选项D正确，选项AS=7a,十71=7a1 十3d)=-21d,无法判断其是否有最小值，故A错误. 选项B.S1g=1aX13=13a,=0,故B正确.选项 2 C.SgS4=ag十ag+a,+ag十a5=5a,=0,所以S4= S。,故C正确.故选：BCD.门 11.解析：设等差数列{an}的项数为2n十1，S#=a1十a3十 …+a1=+1)a+a-(n+1Da+1,5=a 2 十a,十a,+…十aa=a:寸a）=a1,所 S一 2 ”十1=44，解得n=3,所以项数2m十1=7，S-S%三 n 02,即a4=44-33=11为所求中间项. 答案：113 12.解：第一步利用已知求出公差d. a1=20,S10=S1s, 10×20+02X94=15×20+15X14. 2 d=、5 3 第二步写出数列的通项公式，找到正、负分界等于零 的项. 由a=20+a-10×(号）-号a+5得au=0 即当n≤12时，an>0,当n≥14时，an<0. :当n=12或n=13时，S。取得最大值. 第三步找到n后，代入等差数列的前n项和公式即可 求出最大值. ∴.Sn的最大值为S12=S1g -12×20+12X11×(8）-130. 13.ABC[因为{an}是等差数列，前n项和为Sm,由S6= S12得：S12、-Ss=a,+ag+ag十a10十a1十a12=0,即 3(ag十a10)=0,即ag十a10=0,对于选项A:由ag十a1o =0得2a1十17d=0,可得a1:d=-17:2,故选项A正 确：对于选项B:S=18(a+an)-18a,+a）=0, 2 2 故选项B正确；对于选项C:a6十a4=ag十a11=ag十a1g 十d=d,若d>0,则as十a14=d>0,故选项C正确；对 于选项D:当d<0时，ag十a14=d<0,则a6<-a14,因 为d<0,所以a6>0,a14<0, 所以a6<a14l,故选项D不正确，故选：ABC.] 1.解析：因为S,=30,+32×d=3a:十3d,S=4a十 43d=4a,+6d,所以S,·S4+12=(3a+3d)(4a,+ 2 。4 选择性必修第三册 6d)+12=0,所以2a1+5a1d+3d+2=0,因为关于a1 的方程有实数根，所以△=25d一4X2×(3d2十2)≥0， 即d≥16，解得d一4或d≥4，又数列{a}为递增数 列，则d>4,.d的取值范围是[4，十∞). 答案：[4，十oo) 第2课时等差数列前n项和的应用 1.B[根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设 为am,则a1+a2十a3=3a2=3600,故a2=1200,a13+a14 十ag=3a4=10800,故a4=360,则S.=号(a十a) ×15=7(a十a)×15=3600.故选：B.] 2.B[由7a:+5a,=0,得号=-7又a>a,所以d> 0,0<0.因为函数y-号2+(a-号)r的国象的对 橡轴为工=日台-立十号-号取最提近的整纸6 故S.取得最小值时n的值为6.] 3.A[设他们每天收到的捐款形成数列{an},则由题可得 {an}是首项为10，公差为10的等差数列，∴.S.=10n十 nm-1)×10=1200,解得n=-16(舍去)或n=15,所以 2 这次募捐活动一共进行的天数为15天.故选：A.门 4.D[因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函 数，所以由二次函数的对称性及S2014=S219,S=S2o12, 可得2014十2019=2012+k,解得k=2021.] 2 2 5.C :数列(a,)的通项公式为口，=号)} 2 /21 3 ,t∈(0,1]，t是减函数， 则a.=2-t=（-2) 1 1 一4 由复合函数单调性知口先递减后递增。 故有最大项和最小项，选C.] 6.解析：：a4十a=a+a,<0.a>0S。的最大值 1a5>0, (a6<0, 为S5, 答案：Ss 7.解析：由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元， 即每年的雏修货成等差数列.设从第二年起，每年的维 修费构成的等差数列为{an},则an=12+4(n一1)=4n +8,所以a,=4×5+8=28(万元)，Sw=10X12+号× 10×9×4=300(万元). 答案：28300 8.解析：(1)依题意，得每排的座位数会构成等差数列{an}, 其中首项a1=9,公差d=2,所以第六排的座位数ag=a1 +(6-1)d=19. (2)因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数 最多，第一排应坐5人，第二排应坐6人，第三排应坐7 人，…，这样，每排就坐的人数就构成等差数列{bn》,首 项b1=5,公差d'=1,所以数列前10项和S1。=b1十 10×9×d=95. 2 故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议. 9.CD[因为等差数列{an}的前n项和Sn,所以可设Sn= An2+B,(A,B∈R),因为S.=,Sn=(m,n∈N,m 2 ≠n), (S.=An2+Bn=n (An+B=1 所以 m S=Am2+Bm=n,即1 (Am+B=1' 解得A=1 mn, B=0 所以S.=A(m十n)2-m+n+2mn=m+n十2≥ 171 mn 2mm+2=4,当且仅当m=n时等号成立，又m≠n,所以 m 4