5.3.1 第1课时 等比数列的概念（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·选择性必修第三册 人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增 (50n-30,n≤t 加50人，由于该市医疗部分采取措施，使该病毒 故an= -30m+801-30,n≥t+11≤n≤30，n 的传播速度得到控制，从第t天起，每天的新感染 ∈N". 者比前一天的新感染者减少30人，直到11月30 (2)由1)可知，前t日患者共有S=(20+50t-301 日为止 (1)设11月n日当天新感染人数为am,求{an}的 =(25t2-5t)人. 通项公式（用t表示）； 又第t+1日有-30(t+1)+80t-30=(50t-60) (2)若到11月30日止，该市在这30日感染该病 人，第30日有-30×30+80t-30=80t-930人 毒的患者共有8670人，11月几日，该市感染此病 故t十1日至30日共30一t天的时间里共有S2 毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者 (50t-60+801-930)(30-2=-65t+2445t 2 人数 [解](1)由题意得，当n≤t时是以公差为50， 14850人，故1到30日共有S1+S2=25t-5t 首项为20的等差数列，此时a,=20十50(n-1)= 65t+2445t-14850=-40t+2440t-14850人 故-40t2+2440t-14850=8670→t2-61t+588 50n-30,(1≤n≤t). 0,即(t-12)(t-49)=0,又1≤t≤30，故t=12. 当n≥t十1时是以公差是-30，首项为50t-30的 当天新增患病人数为50×12-30=570人. 等差数列，此时an=50t-30-30(n-t)=一30n 故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最 +80t-30,(t+1n30) 多，这一天的新患者人数为570人 5.3 等比数列 5.3.1等比数列 第1课时 等比数列的概念 课程标准 素养解读 1.通过生活中的实例，理解等比数列的定义和通项公式的 在学习等比数列的定义和通项公式的过程中， 意义. 提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心 2.体会等比数列与指数函数的关系。 素养 课前。预习学案 对应学生用书P19 [情境引入] 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下 发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 面的数列： [知识梳理] 9,92,93,…,910 ① 100,100,1003,…,1000② [知识点一]等比数列的概念 5,52,53,…,510 ③ 1.等比数列概念 2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的 不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那 前一项的比都等于同一常数，那么这个数列叫做等 么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是 11111 比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字 2’481632… ④ 母q表示(q≠0). 3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每 20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从 ?思考1.能将定义中的“每一项与前一项的比”理 第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 解为“每相邻两项的比”吗？ 2,4,8,16,32,64,… ⑤ [提示]不能 ·36· 第五章数列 [知识点二]等比数列的通项公式 [预习自测] 1.等比数列的通项公式 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通项公式 打“/”，错误的打“×”. a.=aq" (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常 2.等比数列与指数函数的关系 数，则该数列为等比数列. ( (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.( 等比数列的通项公式可整理为4，=·g,而y= (3)常数列一定为等比数列. ( 9 (4)任何两个数都有等比中项. ( ·g(g≠1)是一个不为0的常数与指数函数 答案(1)×(2)×(3)×(4)× q 9 2.在等比数列{an}中，a4=4,2比9=2则a2·a6等 g的乘积，从图象上看，表示数列(·g}中的各 于 ( A.4 B.8 项的点是函数y=2·g的图象上的孤立点。 C.16 D.32 解析：C[由于a4=a9,4=a1·2,a1=2 ?思考2.除了课本上采用的不完全归纳法，还能用 a,=a19=×2=1a。=ag=3×2=16 什么方法求数列的通项公式： a2a6=1×16=16.] [提示]还可以用累乘法. 3.若各项均为正数的等比数列{an}满足a3=3a1十 当n>2时，0=g,21=q,…,2=q: 2a2,则公比q= an-1 'am-2 a 解析：因为a3=3a1+2a2,所以a1q=3a1+2a19. ∴a=a1.0=41·g 又a1≠0，所以g2-2g-3=0.又q>0,解得q=3. a a2 an2 an-1 答案：3 课堂。互动学案 对应学生用书P20 题型一 等比数列的通项公式及应用 ⊙[变式训练] [例1]在等比数列{a}中. 1.在等比数列{an}中. (1)已知a1=4,q=-2,求a5; (1)已知a1=4,g=-2,求a5; (2)已知a2=10,a5=80,求an (2)已知a3=10,a5=80,求an… [解](1)由等比数列的通项公式得，a5=4×( [解](1)由等比数列的通项公式得，a=4X(一2)5-1 2)5-1=64. =64. (2)设等比数列的公比为g,那么9=10， /a19=10, 解 (2)设等比数列的公比为q,那么 解 (a1g=80, (a1g=80, 得9=2， 得92， (a1=5. (a1=5. 所以an=a1g-1=5X2-1. 所以an=a1g”-1=5X2-1 规律方法 题型二 等比、等差数列的简单综合 1.等比数列的通项公式涉及4个量a1,am,n,q,只 [例2] 数列{a,}共有5项，前三项成等比数列，后三 要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这 项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的 四个量中，a1和g是等比数列的基本量，只要 和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个 求出这两个基本量，问题便迎刃而解。 数列. 2.关于a1和q的求法通常有以下两种方法： [解] 设前三项的公比为g,后三项的公差为d, (1)根据已知条件，建立关于a1,q的方程组，求出 则数列的各项依次为89,80,80,80十d,80十2d, a1,9后再求an,这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再 80+(80+d)=136, 求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧 于是得 解方程组，得 80 性，能简化运算。 +(80+2d)=132, ·37· 数学B版·选择性必修第三册 2 当n=1时，0+1=2=2 ana12十a (d=-64, 故当a=一1时，数列{an}成等比数列，其首项为1， 所以这个数列是20,40,80,96,112，或180,120， 公比为2；当a≠一1时，数列{am}不是等比数列. 80,16,-48. [母题变式] 规律方法 1.(变条件)将例题中的条件“Sn=2”十a”变为“Sn=2 等比数列中的设项方法与技巧 一a”.求证数列{an}是等比数列. (I)若三个数成等比数列，可设三个数为a,aq, [证明]，S。=2-an∴.S,+1=2-an+1' ∴an+1=Sm+1-S,=(2-an+)-(2-an)=a g或号a,ag 一a+1, (2)若四个数成等比数列，可设为a,aq,aq,ag; 六a+1=0.又S,=2-a1, 若四个数均为正（负）数，可设为二，只，ag, 1 a1=1≠0.又由a+1=20,知a.≠0， ad: ◇[变式训练】 。-了a是等北载列。 an 2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成 2.(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn=2”+a”变 等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第 为“a1=1,an+1=2a,十1”证明数列{an十1}是等比 二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 数列，并求出数列{an}的通项公式. 解法1：设这四个数依次为a一d,a,a十 [解]因为an+1=2an+1,所以an+1十1=2(an十 d,(a+d)2 1). a 由a1=1,知a1十1≠0，从而an十1≠0. 于是得 ∥a-d+a+d)=16, a 解方程组，得 所以2士=2(m∈N),所以教列a.十1是等 an十1 (a+a+d=12, 比数列 所以{an十1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等 比数列， 所以当a=4,d=4时，所求的四个数为0,4,8,16： 所以an十1=2·2"-1=2”，即an=2”-1. 当a=9,d=-6时，所求的四个数为15,9,3,1. 规律方法 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1， 判断一个数列{an}是等比数列的方法 解法2：设这四个数依次为巴-4，号，a,9,于是得 9 (1)定义法：若数列{a}满足a±=q(q为常数且 a. 24-a十ag=16, /a=3, 不为零)或a。=q(m≥2,9为常数且不为零)，则 an-1 号+4=12. 解方程组，得口=8 或 g=2, 数列{an}是等比数列. 所以当a=8,q=2时，所求的四个数为0,4,8,16； (2)等比中项法：对于数列{an},若a+1=am· an+2且an≠0，则数列{an}是等比数列. 当a=3,g=号时，所求的回个数为15,93,1 (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为a,= 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. a19”(a1≠0，g≠0)，则数列{a,}是等比数列. 题型 等比数列的判断与证明 ⊙[变式训练] [例3]已知数列的前n项和为S,=2”十a,试判断 3.在数列{an}中，若an>0,且an+1=2am十3(n∈ {an}是否是等比数列. N). [思路点拨]①如何由求和公式得通项公式？ 证明：数列{an十3}是等比数列. ②a1是否适合a=S,-S,-1(n≥2)？需要检验吗？ 证明方法一定义法an>0,an十3>0. [解]an=S。-S,-1=2”十a-2-1-a=2-1(n≥ 又a+1=2a,+3,2++3-2a,+3+3 a,+3 an十3 2).当n≥2时0+1=2” 2(a+3)=2. an+3 ·38· 第五章数列 .数列{am十3}是首项为a1十3，公比为2的等比 解析：B[由a1≠0，q≠0，得，1一a≠0，所以a≠0 数列. 且a≠1.] 方法二等比中项法am>0,∴an十3>0. 3.已知a是1,2的等差中项，一1，b,一16成等比数 又：am+1=2an+3,.amt2=4an十9. 列，则ab等于 ∴.(a+2十3)(an+3)=(4an+12)(an+3)=(2an十 6)2=(an+1+3)2. 解析：由题言4士2-号，=26=士4 2=2'-1 即am十3，am+1十3，an+2十3成等比数列， ab=±6. ∴.数列{an十3}是等比数列. [当堂达标] 答案：士6 1.(多选)下列说法错误的是 ( ) 4.已知数列{an}是首项为2，公差为一1的等差数列， A.等比数列中的某一项可以为0 1“ 令6，=（乞），求证数列6}是等比数列，并求其 B.等比数列中公比的取值范围是（一∞，十∞） C.若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比 通项公式。 为1 [解]依题意an=2十(n-1)×(-1)=3-n,于是 D.若b=ac,则a,b,c成等比数列 解析：ABD[根据等比数列的定义可知，AB显然 ) 是错误的；对D,当b=a=0,c≠0时，虽有b2=ac, 2 但a,b,c不成等比数列；对C,根据等比数列的定义 可知正确. 2.已知数列a,a(1一a),a(1一a)2,…是等比数列，则 实数a的取值范围是 数列{6，}是首项为，公比为2的等比数列，通 A.a≠1 B.a≠0且a≠1 项公式为bn=2”3. C.a≠0 D.a≠0或a≠1 课时。素养提升 对应学生课时P11 [基础达标练] 解析：D[因为an=a1g”-1,所以1X2”-1=64,即 1.以下数列中，是等比数列的有 2-1=2,得n-1=6,解得n=7.] ①数列1,2,6,18，…；②数列{an}中，已知4=2， 3.已知公差d≠0的等差数列{an}满足a1=1,且a2, a4一2，a6成等比数列，若正整数m,n满足m一n= =2:③常数列，a,…,a,…；④数列{an}中，中 a, 10,则am一am= =g(g≠0)，其中n∈N*. A.10 B.20 A.1个 B.2个 C.30 D.5或40 C.3个 D.4个 解析：C[由题知(a4一2)2=a26,因为{an}为等 解析：A[①中，数列不符合等比数列的定义，故 差数列，所以(3d-1)2=(1+d)(1十5d),又d≠0， 不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项 则d=3,从而am一an=(m-n)d=30.故选C.] 时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当a 4.设等差数列{an}的公差d不为0，a1=9d,若a是 =0时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的 a1与a2的等比中项，则k等于 () 定义，是等比数列.故选：A.] A.2 B.4 2.在首项a1=1,公比q=2的等比数列{an}中，当an C.6 D.8 =64时，项数n等于 解析：B[:an=(n十8)d,又a=a1·a2,…[(k A.4 B.5 +8)d]=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去)或 C.6 D.7 =4.] ·39· 数学B版·选择性必修第三册 5.(多选)下列选项中，不是{an}成等比数列的充要条 10.（多选)已知数列{an}是公比为q的等比数列，bn 件是( an十4，若数列{bn}有连续4项在集合{一50， A.an+1=an·q(g为常数) 一20,22,40,85}中，则公比g的值可以是（) B.an=a1g1(q为常数) A- 2 C.ai+1=an·am+2≠0 D.at1=√an·an+2 c- n-含 解析：ABD[对于A,a+1=an·q,当q=0,a,=0 解析：BD[,bn=an十4，∴.an=bn一4，，数列 时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于B, {bn}有连续四项在集合{-50，一20,22,40,85》 an=a1g”1,当q=0,a1=0时，等式成立，此时不是 中，.数列{an}有连续四项在集合{一54，一24， 等比数列，故错误；对于C,根据等比数列等比中项 18,36,81}中，又.数列{an}是公比为q的等比数 可以判定此数列为等比数列，故正确；对于D.a+1 列，.在集合{-54，一24,18,36,81}中，数列{an} 的连续四项只能是：-24,36，一54,81或81， =√a,·aa+2,当an=0,a+1=0,an+2=0时，等式 成立，此时不是等比数列，故错误.门] -5486,-24g=9=2或g=01 6.已知数列{an}是等比数列，函数y=x2-5.x十3的 两个零点是a1,a5,则a3= 号故减BD] 解析：由韦达定理可知a1十a5=5,a1·a=3,则a1 11.已知某等比数列的前三项依次为x,2x十2,3x十 >0,a5>0,从而a3>0,且a=a1·a5=3,∴.a3 3,那么-号是此数列的第 项 =√5. 解析：由题意得，(2x十2)2=x(3x+3),解得x= 答案：√ -1或x=-4.当x=-1时，2x十2=3.x+3=0, 7.在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成 不符合题意，舍去，∴x=一4.此时，2x十2=一6， 等比数列，则这4个数依次为 3十3=一9，.该等比数列的首项为一4，公比为 解析：设这6个数所成等比数列的公比为q,则5= 多设一罗为此教列的第”项，则一4X 2 160时g=品g=合这4个数猴次为80， 1 子解得=4 40,20,10. 答案：80,40,20,10 答案：4 8.已知数列{an}的前n项和Sn=2an十1，求证：{an} 12.在各项均为负数的数列{an}中，已知2an=3an+1, 是等比数列，并求出通项公式。 且aa,=27 证明Sn=2an+1,∴.Sn+1=2an+1+1. (1)求证：{am}是等比数列，并求出其通项公式； .am+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1)= 2an+1-2an. (2)试问是这个等比数列中的项吗？如果是， .an+1=2an, 指明是第几项；如果不是，请说明理由， 又S1=2a1+1=a1,∴.a1=-1≠0， 解：1)证明2a,=3a+10-号 31 又由a+1=2a,知a≠0,0中=2，{a,}是首 a 又：数列{an}的各项均为负数，a1<0,.数列 项为一1，公比为2的等比数列. a,是以号为公比的等比数列。 .an=-1X2"-1=-2”-1. [能力提升练] ∴an=a1·g”-1=a1· 2 3 ,.a2=a1, 9.设a1=2,数列{1十2an}是公比为3的等比数列，则 a6等于 ( ) 87a1,又a2 A.607.5 B.608 2 C.607 D.159 解析：C[,1+2an=(1+2a1)×3"1=5×3"-1, a1=-2 1+2a,=5X3,a,=5X248-1=607.] 2 a.=（)x()”=-()N ·40· 第五章数列 (2)解：令a,=- 3 16,则n一2=4，n=6∈N B.1+5 2 君是这个等地数列中的项，且是第6项。 C.1+⑤ D.二1+E 2 2 [素养培优练] 13.(多选)关于递增等比数列{a.},下列说法不正确 解析：AB[因为公比g不为1，所以不能删去a1, 的是 a4,设等差数列的公差为d,①若删去a2,则有2a3 A.a1>0 B.q>1 =a1十a4,得2a1q=a1+a1g,即2g2=1+g,整 C.a<1 D.当a1>0时，g>1 理得g(q-1)=(q-1)(q十1)，因为q≠1，所以 “am+1 解析：ABC[由题意，设数列{an}的公比为q,因 日=g十1，因为>0，所以解得g=1,②若甜 为an=a191,得a+1-an=a1g1(q-1)>0,当 去a3,则2a2=a1十a4,得2a1q=a1十a1q,即2q 41>0时，g>1,此时0<8，<1，当a1<0时，0< an+l 1+q,整理得q(q-1)(q+1)=q-1,因为q≠1， q<1,0>1,故不正确的是ABC.] 所以q(q十1)=1，因为q>0,所以解得q= an+ 14.(多选)已知a1,a2,a,a4,依次成等比数列，且公比q 生，能上g=生或g=15,故 2 2 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来 的顺序)是等差数列，则正数q的值是 ) 选：AB.] 第2课时 等比数列的性质及应用 课程标准 素养解读 1.在解决等比数列实际问题中达成数学建模和 1.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应 逻辑推理的核心素养。 的问题 2.在运用等比数列性质解题过程中提升数学运 2.掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题」 算的核心素养。 课前。预习学案 对应学生用书P21 [知识梳理] 2思考1.如何推导a,=ang”m [知识点一] 等比中项 [提示] 由=41·g 0ma1·g=g,a,=an (1)条件：如果a,G,b成等比数列. (2)结论：那么G叫做a与b的等比中项. (3)满足的关系式是G=ab. [知识点四]等比数列项的运算性质 ①在等比数列{an}中，若m十n=p+q(m,n,p,q∈ 2思考当G=ab时，G一定是a,b的等比中项吗？ N),则am·a,=a。·ag,特别地，当m十n=2k(m, [提示]不-定，如数列0,0,5就不是等比数列. n,k∈N*)时，am·an=a [知识点二]推广的等比数列的通项公式 ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之 {an}是等比数列，首项为a1,公比为q,则an= 积等于首末两项的积，即a1·a=a2·a,-1=…= a1q,an=am·q”-m(m,n∈N*). as·a,-k+1=…. [知识点三]“子数列”性质 [知识点四]两等比数列合成数列的性质 对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉，剩余 若数列{an},{bn}均为等比数列，c为不等于0的常 各项仍为等比数列，首项为a+1,公比为q;若取出 数，则数列{ca,},{a},{an·b,,{%}也为等比 所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首 项为a4,公比为g, 数列 ·41·