5.3.1 第1课时 等比数列的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

5．3　等比数列

5．3.1　等比数列

第1课时　等比数列的概念

[情境引入]

1．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列：

9,92,93，…，910　　　　　①

100,1002,1003，…，10010   ②

5,52,53，…，510  ③

2．《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是

，，，，，…  ④

3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是

2,4,8,16,32,64，…  ⑤

类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？

[知识梳理]

[知识点一]　等比数列的概念　

1．等比数列概念

一般地，如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的　前　一项的　比　都等于　同一　常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的　公比　，通常用字母q表示(q≠0)．

1.能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？

[提示]　不能

[知识点二]　等比数列的通项公式　

1. 等比数列的通项公式

以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通项公式an＝　a1qn－1　.

2．等比数列与指数函数的关系

等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列{·qn}中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的　孤立　点．

 

2.除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式．

[提示]　还可以用累乘法．

当n＞2时，＝q，＝q，…，＝q，

∴an＝a1··…·＝a1·qn－1.

[预习自测]

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　 )

(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　 )

(3)常数列一定为等比数列．(　　 )

(4)任何两个数都有等比中项．(　　 )

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．在等比数列{an}中，a4＝4,2比9＝2则a2·a6等于(　　)

A．4  B．8

C．16  D．32

解析：C　[由于a4＝a1q3，∴4＝a1·23，∴a1＝，∴a2＝a1q＝×2＝1，a6＝a1q5＝×25＝16，∴a2a6＝1×16＝16.]

3．若各项均为正数的等比数列{an}满足a3＝3a1＋2a2，则公比q＝　________　.

解析：因为a3＝3a1＋2a2，所以a1q2＝3a1＋2a1q.又a1≠0，所以q2－2q－3＝0.又q＞0，解得q＝3.

答案：3

等比数列的通项公式及应用

[例1]　在等比数列{an}中．

(1)已知a1＝4，q＝－2，求a5；

(2)已知a2＝10，a5＝80，求an.

[解]　(1)由等比数列的通项公式得，a5＝4×(－2)5－1＝64.

(2)设等比数列的公比为q，那么解得

所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.

 

1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．

2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：

(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．

(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．

[变式训练]

1．在等比数列{an}中．

(1)已知a1＝4，q＝－2，求a5；

(2)已知a3＝10，a5＝80，求an.

[解]　(1)由等比数列的通项公式得，a5＝4×(－2)5－1＝64.

(2)设等比数列的公比为q，那么解得

所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.

　　　等比、等差数列的简单综合

[例2]　数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列．

[解]　设前三项的公比为q ，后三项的公差为d，则数列的各项依次为， ,80,80＋d, 80＋2d，于是得解方程组，得或

所以这个数列是20,40,80,96,112，或180,120,80,16，－48.