5.3.1 第1课时 等比数列的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

5．3　等比数列 5．3.1　等比数列 第1课时　等比数列的概念 课程标准 素养解读 1.通过生活中的实例，理解等比数列的定义和通项公式的意义． 2.体会等比数列与指数函数的关系. 在学习等比数列的定义和通项公式的过程中，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [情境引入] 1．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列： 9,92,93，…，910　　　　　① 100,1002,1003，…，10010 ② 5,52,53，…，510 ③ 2．《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是 ，，，，，… ④ 3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 2,4,8,16,32,64，… ⑤ 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ [知识梳理] [知识点一]　等比数列的概念　 1．等比数列概念 一般地，如果一个数列从第　2　项起，每一项与它的　前　一项的　比　都等于　同一　常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的　公比　，通常用字母q表示(q≠0)． 1.能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？ [提示]　不能 [知识点二]　等比数列的通项公式　 1. 等比数列的通项公式 以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通项公式an＝　a1qn－1　. 2．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列{·qn}中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的　孤立　点． 2.除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式． [提示]　还可以用累乘法． 当n＞2时，＝q，＝q，…，＝q， ∴an＝a1··…·＝a1·qn－1. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　 ) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　 ) (3)常数列一定为等比数列．(　　 ) (4)任何两个数都有等比中项．(　　 ) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．在等比数列{an}中，a4＝4,2比9＝2则a2·a6等于(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：C　[由于a4＝a1q3，∴4＝a1·23，∴a1＝，∴a2＝a1q＝×2＝1，a6＝a1q5＝×25＝16，∴a2a6＝1×16＝16.] 3．若各项均为正数的等比数列{an}满足a3＝3a1＋2a2，则公比q＝　________　. 解析：因为a3＝3a1＋2a2，所以a1q2＝3a1＋2a1q.又a1≠0，所以q2－2q－3＝0.又q＞0，解得q＝3. 答案：3 等比数列的通项公式及应用 [例1]　在等比数列{an}中． (1)已知a1＝4，q＝－2，求a5； (2)已知a2＝10，a5＝80，求an. [解]　(1)由等比数列的通项公式得，a5＝4×(－2)5－1＝64. (2)设等比数列的公比为q，那么解得 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1. 1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． [变式训练] 1．在等比数列{an}中． (1)已知a1＝4，q＝－2，求a5； (2)已知a3＝10，a5＝80，求an. [解]　(1)由等比数列的通项公式得，a5＝4×(－2)5－1＝64. (2)设等比数列的公比为q，那么解得 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1. 　　　等比、等差数列的简单综合 [例2]　数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列． [解]　设前三项的公比为q ，后三项的公差为d，则数列的各项依次为， ,80,80＋d, 80＋2d，于是得解方程组，得或 所以这个数列是20,40,80,96,112，或180,120,80,16，－48. 等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq. (2)若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设为，，aq，aq3. [变式训练] 2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 解法1：设这四个数依次为a－d，a，a＋d，， 于是得解方程组，得或 所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 解法2：设这四个数依次为－a，，a，aq, 于是得 解方程组，得或 所以当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16； 当a＝3，q＝时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 等比数列的判断与证明 [例3]　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列． [思路点拨]　①如何由求和公式得通项公式？ ②a1是否适合an＝Sn－Sn－1(n≥2)？需要检验吗？ [解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．当n≥2时＝＝2； 当n＝1时，＝＝. 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． [母题变式] 1．(变条件)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列． [证明]　∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1， ∴an＋1＝an.又∵S1＝2－a1， ∴a1＝1≠0.又由an＋1＝an知an≠0， ∴＝，∴{an}是等比数列． 2．(变条件，变结论)将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1，an＋1＝2an＋1”证明数列{an＋1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． [解]　因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)． 由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0. 所以＝2(n∈N*)，所以数列{an＋1}是等比数列． 所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1. 判断一个数列{an}是等比数列的方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)等比中项法：对于数列{an}，若a＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． [变式训练] 3. 在数列{an}中，若an＞0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)． 证明：数列{an＋3}是等比数列． 证明　方法一　定义法∵an＞0，∴an＋3＞0. 又∵an＋1＝2an＋3，∴＝＝＝2. ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列． 方法二　等比中项法∵an＞0，∴an＋3＞0. 又∵an＋1＝2an＋3，∴an＋2＝4an＋9. ∴(an＋2＋3)(an＋3)＝(4an＋12)(an＋3)＝(2an＋6)2＝(an＋1＋3)2. 即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列， ∴数列{an＋3}是等比数列． [当堂达标] 1．(多选)下列说法错误的是(　　) A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞) C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 解析：ABD　[根据等比数列的定义可知，AB显然是错误的；对D，当b＝a＝0，c≠0时，虽有b2＝ac，但a，b，c不成等比数列；对C，根据等比数列的定义可知正确．] 2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是(　　) A．a≠1　　　　　 B．a≠0且a≠1 C．a≠0 D．a≠0或a≠1 解析：B　[由a1≠0，q≠0，得，1－a≠0，所以a≠0且a≠1.] 3．已知a是1,2的等差中项，－1，b，－16成等比数列，则ab等于　________　. 解析：由题意a＝＝，＝－，b＝±4，∴ab＝±6. 答案：±6 4．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式． [解]　依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是bn＝3－n.而＝＝－1＝2. 又b1＝3－1＝， ∴数列{bn}是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3. [基础达标练] 1．以下数列中，是等比数列的有(　　) ①数列1,2,6,18，…； ②数列{an}中，已知＝2，＝2；③常数列a，a，…，a，…；④数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N*. A．1个　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析：A　[①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当a＝0时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列．故选：A.] 2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：D　[因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.] 3．已知公差d≠0的等差数列{an}满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝(　　) A．10 B．20 C．30 D．5或40 解析：C　[由题知(a4－2)2＝a2a6，因为{an}为等差数列，所以(3d－1)2＝(1＋d)(1＋5d)，又d≠0，则d＝3，从而am－an＝(m－n)d＝30.故选C.] 4．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：B　[∵an＝(n＋8)d，又∵a＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d ，解得k＝－2(舍去)或k＝4.] 5．(多选)下列选项中，不是　{an}成等比数列的充要条件是(　　) A．an＋1＝an·q(q为常数) B．an＝a1qn－1(q为常数) C．a＝an·an＋2≠0 D．an＋1＝ 解析：ABD　[对于A，an＋1＝an·q，当q＝0，an＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于B，an＝a1qn－1，当q＝0，a1＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；对于C，根据等比数列等比中项可以判定此数列为等比数列，故正确；对于D.an＋1＝，当an＝0，an＋1＝0，an＋2＝0时，等式成立，此时不是等比数列，故错误．] 6．已知数列{an}是等比数列，函数y＝x2－5x＋3的两个零点是a1，a5，则a3＝　________　. 解析：由韦达定理可知a1＋a5＝5，a1·a5＝3，则a1＞0，a5＞0，从而a3＞0，且a＝a1·a5＝3，∴a3＝. 答案： 7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为　________________　. 解析：设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.∴这4个数依次为80,40,20,10. 答案：80,40,20,10 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式． 证明　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an. ∴an＋1＝2an， 又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0， 又由an＋1＝2an知an≠0，∴＝2，∴{an}是首项为－1，公比为2的等比数列． ∴an＝－1×2n－1＝－2n－1. [能力提升练] 9．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于(　　) A．607.5 B．608 C．607 D．159 解析：C　[∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1＝5×3n－1，∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607.] 10．(多选)已知数列{an}是公比为q的等比数列，bn＝an＋4，若数列{bn}有连续4项在集合{－50，－20，22,40,85}中，则公比q的值可以是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：BD　[∵bn＝an＋4，∴an＝bn－4，∵数列{bn}有连续四项在集合{－50，－20,22,40,85}中，∴数列{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，又∴数列{an}是公比为q的等比数列，∴在集合{－54，－24,18,36,81}中，数列{an}的连续四项只能是：－24,36，－54,81或81，－54，36，－24，∴q＝＝－或q＝＝－，故选BD.] 11．已知某等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－是此数列的第　________　项． 解析：由题意得，(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或x＝－4.当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0，不符合题意，舍去，∴x＝－4.此时，2x＋2＝－6,3x＋3＝－9，∴该等比数列的首项为－4，公比为.设－为此数列的第n项，则－4×n－1＝－，解得n＝4. 答案：4 12．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2a5＝. (1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式； (2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由． 解：(1)证明　∵2an＝3an＋1，∴＝. 又∵数列{an}的各项均为负数，∴a1＜0，∴数列{an}是以为公比的等比数列． ∴an＝a1·qn－1＝a1·n－1，∴a2＝a1·2－1＝a1，a5＝a1·5－1＝a1，又∵a2·a5＝a1·a1＝，∴a＝.又∵a1＜0，∴a1＝－. ∴an＝×n－1＝－n－2(n∈N*)． (2)解：令an＝－n－2＝－，则n－2＝4，n＝6∈N*， ∴－是这个等比数列中的项，且是第6项． [素养培优练] 13．(多选)关于递增等比数列{an}，下列说法不正确　的是(　　) A．a1＞0 B．q＞1 C.＜1 D．当a1＞0时，q＞1 解析：ABC　[由题意，设数列{an}的公比为q，因为an＝a1qn－1，得an＋1－an＝a1qn－1(q－1)＞0，当a1＞0时，q＞1，此时0＜＜1，当a1＜0时，0＜q＜1，＞1，故不正确的是ABC.] 14．(多选)已知a1，a2，a3，a4，依次成等比数列，且公比q不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q的值是(　　) A. B. C. D. 解析：AB　[因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4，设等差数列的公差为d，①若删去a2，则有2a3＝a1＋a4，得2a1q2＝a1＋a1q3，即2q2＝1＋q3，整理得q2(q－1)＝(q－1)(q＋1)，因为q≠1，所以q2＝q＋1，因为q＞0，所以解得q＝，②若删去a3，则2a2＝a1＋a4，得2a1q＝a1＋a1q3，即2q＝1＋q3，整理得q(q－1)(q＋1)＝q－1，因为q≠1，所以q(q＋1)＝1，因为q＞0，所以解得q＝，综上q＝或q＝，故选：AB.] 学科网（北京）股份有限公司 $