5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第五章数列 规律方法 [当堂达标] 裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a6=ag十 将数列的每一项拆成两项（裂项）之差，并使它们 6,则S,等于 () 在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余 A.49 B.42 C.35 D.28 各项都能前后相消，进而求数列的前n项和 2.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S。 ⊙[变式训练] =72,a2=10,则 () 3.已知数列{a,}的通项公式为a,=(2m-1)(2n+1)’ 1 A.a=n+3 B.an=2n-4 求数列{an}的前n项和Sn cs.=i+名n 7 D.S,=n-n 3.一个正项等差数列前n项的和为3，前3n项的和为 21,则前2n项的和为 () A.18 B.12 C.10 D.6 4已知等差数列a中，a=多d=-言8=-15， 求n及a12, 第2课时 等差数列前n项和的应用 课程标准 素养解读 1.在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并 中，培养数学建模和数学运算的核心素养 能解决相应的问题， 2.在求等差数列前n项和最值过程中达成逻辑推理和 2.会求等差数列前n项和的最值. 数学运算的核心素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 为了达到比较好的音响和观赏效果，很多剧场的 [知识点一]等差数列{an}的前n项和Sn的性质 座位都是排成圆孤形的 等差数列中依次及项之和S,S2一S, 性质1 如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，而且剧场 S一S4,…组成公差为kd的等差数列 座位的排列规律是：第一排36个，以后每一排比前一 若等差数列的项数为2n(n∈N),则S2 排多6个，共有8排，你能帮这个公司算出共需要多 =n(a.+a),Sa-Sa-nd:Ss- S偶_a+l 少椅子吗？ an 性质2 (S奇≠0)； 若等差数列的项数为2n一1(n∈N*),则 S2m-1=(2n一1)an(an是数列的中间项)， S奇 Sa=n-1(S春≠0) S偶=a.'S街 n 性质3 {an}为等差数列→ 为等差数列 ·15 数学B版·选择性必修第三册 p思考 若{an}是公差为d的等差数列，那么a1 [预习自测] 十a2十a3,a4十a5十a6,a,十ag十a,是否也是等差数 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 列？如果是，公差是多少？ 打“/”，错误的打“×”. (1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n 的二次函数， () (2)若等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn则 {倍}的公差为号 () [知识点二]等差数列{an}前n项和公式的函数 n ””” 特征 (3)数列{am}的前n项和Sn=n2+1,则{an}不是等差 1.公式S.=a,+nn,1d可化成关于m的表达式： 数列 () 2 2.等差数列{an}中，a1十a2十a3=一24，a18十a1g十a20 S,= 当d≠0时，S,关于n的表达式是 =78,那么此数列前20项的和为 一个常数项为零的二次式，即点(n,Sn)在其相应的 A.160 B.180C.200D.220 函数的图象上，这就是说等差数列的前 3.等差数列{an}的前m项和Sm为20，前3m项和 项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线 号：+(一号)上横坐标为正整数的系列 Sm为90，则数列{an}的前2m项和S2m的值是 y 孤立的点 4.设等差数列{an}满足a3=5,a10=一9. 2.等差数列前n项和的最值 (1)求{an}的通项公式； (1)在等差数列{an}中， (2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的自然数 当a1>0,d<0时，Sn有 值，使Sn取得最 n的值. 值的n可由不等式组 an≥0， 确定； 当a1<0,d>0时，Sn有 值，使Sn取到最 值的n可由不等式组{ an≤0， 确定 ②s=号+ a一号)，若d≠0，则从二次函数 的角度看：当d>0时，Sn有 值；当d<0 时，Sn有 值.当n取最接近对称轴的自然 数时，Sn取到最值： 课堂。互动学案 -● 题型一 等差数列前n项和性质的应用 ⊙[变式训练] [例1](1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m 1.一个等差数列的前10项和为100，前100项和为 项和为100，求数列{an}的前3m项的和Sm; 10,求前110项之和. (2)两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn 和工已蜘2-号会的位 规律方法… 利用等差数列前n项和S,的有关性质在解 题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难 为易、事半功倍的效果： ·16· 第五章数列 题型二等差数列前n项和的最值问题 规律方法 [例2]在等差数列{an}中，a1o=18,前5项的和S 等差数列前n项和的最值问题的三种解法 =-15. 1.利用am: (1)求数列{am}的通项公式； (1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数 (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时 项（或0），所以将这些项相加即得{Sn}的最 取最小值. 小值 (2)若a1>0,d<0,则数列的前面若千项为正数 项（或0），所以将这些项相加即得{S}的最 大值. 2利用S.:由S.=号d+a号)n(d≠0)，利 用二次函数配方法求取得最值时n的值， 3利用三次函数的图象的对称性 [母题变式] ⊙[变式训练] 1.将本例中的条件“S=-15”改为“S=125”,其余 2.在等差数列{an}中a1=25,S1,=S。,求其前n项和 不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小 Sn的最大值. 值？并求出这个最大值或最小值 2.在本例中，根据第(2)题的结果，若Sn=0,求n. 题型三 数列{a}的前n项和 [例3]数列{an}的前n项和Sn=33n一n (1)求{an}的通项公式； (2)设bn=an,求数列{bn}的前n项和Sn' 汇思路点拨“(1)利用S。与a。的关系求通项，也 可由Sn的结构特征求a1,d,从而求出通项. (2)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求 解，也可以利用S的函数特征判断项的正负求解. 3.将本例变为：等差数列{an}中，设S.为其前n项 和，且a1>0,S3=S1,则当n为多少时，Sn最大. 规律方法… 求解数列{|a.}的前n项和，应先判断{an}的各 项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的 求和问题 ·17· 数学B版·选择性必修第三册 ⊙[变式训练] ⊙[变式训练] 3数列1a,的前n项和5.=一琴+2，求数列 4.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告 2 厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排 {lan|}的前n项和Tm 多两个座位.问第1排应安排多少个座位？ [当堂达标] 1.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6 题型四等差数列前项和的应用问题 >S,>S,有下列四个命题正确的是 () A.d<0; [例4]某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰 B.S1>0; 到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临 C.S12<0; 时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的 D.数列{Sn}中的最大项为S11 参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗 2.已知等差数列{an}中，a,|=al,公差d>0,则使得 车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同 前n项和S,取得最小值的正整数n的值是 型号翻斗车目前只有一辆投人使用，每隔20分钟 3.“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算运载“嫦娥”飞 能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24 的“长征3号甲”火箭，点火1min内通过的路程为 小时内能否构筑成第二道防线？ 2km,以后每分钟通过的路程增加2km,在到达离 地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过 程大约需要的时间是 min. 4.记S,为等差数列{an}的前n项和，已知a1=一7， S3=-15. (1)求{a}的通项公式 (2)求Sn,并求Sn的最小值. 规律方法 与数列有关的实际问题的求解策略 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列 知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下 两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列 模型。 (2)深入分析题意，确定是求通项公式an,或是求 前n项和Sn,还是求项数n. ·18课堂互动学案 [制日解0油是毫释，S-十a》_侣一】 2 2 -5,解得n=15. 又as=8+(15-1Dd=-d=-6n=15,d= （2由已知得S8a十a_84+a)=172,解得ag=39, 2 2 又a8=4+(8-1)d=39,.d=5..a8=39,d=5. 变式训练 1.解7（1)S=5a1+524d5解得a1=-5,d3 (a6=a1+5d=10, .ag=a6+2d=10+2×3=16, 5w=10a+10X94=10X(-5+5x9X3=s5 (2)S=17X(a,+a2=17×(a,+a12-17x40 2 2 2 =340. [例2](1)解析：C[利用等差数列的性质：Sm,S2m一Sm, S3m-S2n成等差数列. 所以Sn十(S3m-S2m)=2(S2m-Sn),即30+(S3m-100) =2(100-30), 解得S3m=210.] (2)解析：因为等差数列共有2n十1项，所以S奇一S偶= a:+1-,即132-120=132+120，解得n=10, 2m+1 答案：10 a1十ag 2 Sg=7×9_21 (3)解析：6-6+奶元。9十34 2 答案号 母题变式 解析：aa,均为等差到，则》-验-炎 管案品 变式训练 2.(1)A[设{an}的公差为d,则a5十a6十a7十ag=Sg-S4 =12,a,十a6十a1+ag)-S4=16d,解得d=子，a1十a2 +a13+a14=a1+10d+a2+10d+a3+10d+a4+10d= S4+40d=18.] (2)解析：因为an=2n十1，所以a1=3,所以Sm= n3+2n+D=m2+2,所以=n十2，所以气}是公差 2 八n了 为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10+ 10×9×1=75. 2 答案：75 ·7 参考答案 [例3][解]：等差数列{an}的首项a1=3,公差d=2, 前n项和5，=a1十nn2Dd=3m+n,1D×2= 2 2 +2a(aeN京-2a-2 1 (分)小写+京++发=[-号)计 (合)+（传）++（是）+ (信川-+合中) 3 2n+3 4一2(m+1)(n+2) 变式训练 3.[解]。，am-2m+D2(22x十}： 1 六S=1X3十3x5十5x7+…+(2m-3)(2m-1) .1 (2m-1)(2n+1)=2 [-)+(合-)+（后-）++(2 2n)十(n与2n中)月=2(（1-2n+）=24 S。-2+ 当堂达标 1.B[2a6-ag=a4=6,S=3a1+a)=7a4=42.] 2.AC[.S9=72,a7=10, 六a+y8xd-,8-4 (a1+6d=10 {d=1a,=4+(m-1x1 =十3，则S,=4++3》=2+7.放连Ac] 2 3.C[,{an}是等差数列，Sn,S2m-Sm,S3m-S2m成等差 数列， Ep 2(S2n-Sn)=Sn+(S3n-S2n), Sn=3,S3m=21, .2(S2m-3)=3十21-S2m,解得S2m=10,故选C.] 4[解]S,=…受+“2》·(）-15，些现得 R-7n一60=0，解得n=12或a=-5(会去)，0g=号十 12-1D×(号)=-4 第2课时等差数列前n项和的应用 课前预习学案 情境引入 提示：椅子总数36+，6X7×8=456(把) 2 知识梳理 知识点一、[思考] [提示](a4十a5十a6)-(a1十a2十a3)=(a4-a1)+(a5 a2)+(a6-ag)=3d+3d+3d=9d, (a?+ag+ag)-(a4+as+a6)=(a?-a4)+(ag-a5)+(ag- a6)=3d+3d+3d=9d. 数学B版·选择性必修第三册 ∴.a1+a2十a3,a4十a5+a6,a7十ag十ag是公差为9d的 数列. 知识点二L号+(a一号)加二次 2.最大a+1≤0最小a+1≥0最小最大 预习自测 1.(1)×(2)√(3)/ 2.B[由a1十a2十a3=3a2=-24,得a2=-8, 由a18+a19+a20=3a1g=78,得a19=26,于是S20=10(a a20)=10(a2+a19)=10X(-8+26)=180.] 3.解析：由题意知Sm,S2m一Sm,S3m一S2m成等差数列， 2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m' .2(S2m-20)=20+90-S2m∴.S2m=50. 答案：50 4.解：(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9, 得十=5，。解得=9， {a1+9d=-9,1d=-2, 所以数列{an}的通项公式为an=11-2m,n∈N*. (2)由(1D知，Sn=a1+un2Da=10mn-2. 2 因为Sn=-(n-5)2+25, 所以当n=5时，Sn取得最大值， 课堂互动学案 [例1][解析](1)方法一在等差数列中， Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列， .30,70,S3m-100成等差数列. .2X70=30+(S3m-100),.S3m=210. 方法三在学数列中，产器二成等基数列， 2m m 3m' 即S3m=3(S2m-Sm)=3X(100-30)=210. 9(a1+ag) 2>a5Ca1+a9) 2 S9_7×9+2_65 2+o) 9(61+bg) T99+3121 2 变式训练 1.解：方法一设Sn=an2十bm. S10=100,S10=10, ÷102a+106=10, 100a+1006=10, 11 解得{ a=一100 111 6= 10 8=+ So=品×10e+0×10=-10 10 方法二S1o0-S10=a11十a12十.十a100 =90.a1+a10=-90, 2 :anta40=-1, 2 .S110 110×(a1十a10）=-110. 2 差 a1+9d=18, [例2]解：(1)由题意得 5a1+54xd=-15, 解得a1=-9, 2 d=3,.an=3n-12. (2)方法一 8-a2-2ar-2m=2(a-)月 2 147 81 ∴.当n=3或4时，前n项的和取得最小值S3=S4=-18. 方法二设S,最小，则0，即3-120， 1a+1≥0,13(n+1)-12>0, 解得3≤n≤4，又n∈N*,当n=3或4时，前n项和的最小 值S3=S4=-18. 母体变式 1.[解]s,=合×5×a1+a)=号×5×2a,=5ag=125, 故a3=25,a10一a3=7d,即d=-1<0,故Sn有最大值， an=a3+(n-3)d=28-n. 设S.最大，则0，≥0，解得27≤4≤28，即S,和50最 (am+1≤0， 大，又a1=27,故S27=S28=378. 2.[解]方法一因为S3=S4=-18为Sm的最小值，由 二次函数的图象可知，其对称轴为x=子，所以当。=0 或x=7时，图象与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n∈ N*,所以S7=0,所以n=7. 方法二因为5=S4,所以a4=5,-S,=0,故5，=号× 7X(a1十a7)=7a4=0,所以n=7. 3.[解]方法一要求数列前多少项的和最大，从函数的 观，点来看，即求二次函数Sn=an2十bn的最大值，故可用 求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sm最大. 由s-5,可得3a+324=10+X10,甲d= 2 从而S= 号2+(a-号)n=-器a-2+铝a 又a1>0,所以一3<0.故当n=7时，S,最大 方法二由于Sn=an2+bm是关于n的二次函数，由S3 =S1,可知S。=an2十bm的图象关于n=3+1=7对称. 2 由方法一可知a=g<0,故当1=7时，S。最大. 变式训练 2.[解]法一：：Sg=S17,a1=25, 9×25+9(9,1Da=17×25+1717-1Dd,解得d= 2 2 -2. 5.=25n+nn21D×(-2)=-n2+26m=-(m-13)2 2 +169. .当n=13时，Sm有最大值169. ·76· 法二：同法一，求出公差d=-2.an=25+(n-1)X(- 2)=-2n十27. a1=25>0, 由/a.=-2n+27≥0， 得 (am+1=-2(n+1)+27≤0， 1 n>122, 又.n∈N*,.当n=13时，Sm有最大值169. 法三：Sg=S17,a10十a11十…十a17=0. 由等差数列的性质得a13十a14=0. a1>0,.d<0.∴a13>0,a14<0..当n=13时，Sm有 最大值169. 法四：设Sn=An2十Bn.:Sg=S17 :二次函数对称轴为工=91？=13，且开口方向向下， 2 .当n=13时，Sm取得最大值169. [例3][解](1)法一：（公式法）当n≥2时，an=Sm Sn-1=34-2n, 又当n=1时，a1=S1=32=34-2×1满足am=34-2n. 故{an}的通项公式为an=34-2n. 法二：（结构特征法）由Sn=一n2十33n知Sm是关于n的 缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sm的 =-1 2 结构特征知 a1-号=3， 解得a1=32,d=-2,所以an=34-2n. (2)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an<0. 所以当n≤17时，Sn'=b1+b2+…+bn=a1|+|a2|+… +lanl =a1+a2+…+an=Sn=33n-n2. 当n≥18时， Sm'=|a1|+la2|+…+|a1zl+|a18l+…+lanl =a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an)=S17-(Sn- S17)=2S17-Sm =n2-33n+544. 故S,'=/33n-≤17. 1n2-33n+544(n≥18). 变式训练 3.[解]a=5=-号×12+2%×1=101， 当n≥2时，an=Sn-Sm-1 =(+弯）-【6a1+要w]=-m +104. ,n=1也适合上式， ∴.数列{an}的通项公式为an=-3n十104(n∈N*). 由am=-3n十104>0，得n≤34.7. 即当n≤34时，an>0;当n≥35时，an<0. (1)当n≤34时，Tn=|a1|+|a2+…+|an|=a1十a2十 +a=s=-号2+2gg 2n; ·7 参考答案 (2)当n≥35时， Tn=la1+|a2+…+|a34l+|a35|+…+lan|=(a1十 a2+…+a34)-(a35十a36+…十an) =2(a1十a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn =2(-号×34+2%5×34-（←2+29，=82 25+3502. +2 2 n,n≤34且n∈N*, 故Tn= 8r-2+3502m≥85且neN。 [例4幻[解]从第一辆车投入工作算起，各车工作时间 (单位：小时)依次设为a1a2,…,a25· 由题意可知，此数列为等差数列，且a1=24,公差d=一 号25锅翻+车完成的工作量为：a1十a十…十a2=25 ×24+25×12x(-号）=50， 而需要完成的工作量为24×20=480. ,500>480,.在24小时内能构筑成第二道防线. 变式训练 4.解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依 次排成一列，构成数列{an},其前n项和为Sm.根据题意， 数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20=800. 由S20=20a1+20×20,1×2=800,可得：a1=21, 2 因此，第1排应安排21个座位. 当堂达标 1.AB[S6>S7,.a7<0,.S,>S5,∴.a6+a7>0,.a6 >0,∴dK0,A正确.又S1=号a1+a)=1las>0,B 正确.5g=号a十ag）=6a6十ar)>0,C不正璃.5，) 中最大项为S6,D不正确.故正确的是AB.] 2.解析：由|a5=|ag且d>0得as<0,ag>0,且a5十ag= 0→2a1+12d=0→a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7且 最小. 答案：6或7 3.解析：由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以α1= 2为首项，公差d=2的等差数列，∴.nmin内通过的路程 为Sn=2n+m21D×2=n2+n=n(+1).即n(m+1) 2 =240,解得n=15. 答案：15 4.[解](1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=a1十(n -1)d=2n-9. (2)由1)得S,=na十a2=m2-8n=(m-4)2-16,所 2 以当n=4时，Sm取得最小值，最小值为一16.