5.2.1 第1课时 等差数列的定义-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教B版）

第五章数列 课时作业乡 数课时 5.2等差数列 5.2.1等差数列 间 学作业 第1课时 等差数列的定义 纠错空间 [基础达标练] 8.数列{an}的通项公式是an=5n十4. 1 1.在等差数列(a,}中，已知a=3a十a,=4, (1)求证：{an}是等差数列，并求出其公差； (2)判断104、110是否是数列{an}中的项，如 an=35,则n= ( 果是，是第几项？ A.50 B.51 C.52 D.53 2.(2020·武汉市调研)在等差数列{an}中，前n 项和Sm满足S,-S2=45,则a。=() A.7 B.9 C.14 D.18 3.等差数列{an}的首项为70，公差为一9，则这个 数列中绝对值最小的一项为 () A.as B.as 方法总结 C.a10 D.a11 4已知数列a.中，a,=2,=1,若{6十}为 [能力提升练] 等差数列，则a1g= ( 9.(多选)给出下列命题，正确命题的是( A.数列6,4,2,0是公差为2的等差数列； A.0 B.数列a,a-1,a一2，a-3是公差为-1的等 c号 D.2 差数列； C.等差数列的通项公式一定能写成am=kn十 5.(多选题)等差数列{an}的前n项和为Sn,若 a1>0,公差d≠0，则下列命题正确的是 b的形式(，b为常数)； D.数列{2n十1}(n∈N*)是等差数列. ( 10.(多选)设d为正项等差数列{an}的公差，若 A.若S,=S,,则必有S4=0 d>0,a3=2,则 ( B.若S=S。,则必有S,是S中最大的项 C.若S6>S,则必有S,>S8 A.a2·a4<4 B.a+a,≥15 4 D.若S6>S,,则必有S>S。 c.1+1>1 D.a1·a5>a2·a4 6.若一个等差数列的前三项为a,2a一1,3一a, al as 则这个数列的通项公式为 12=1+ 11.在数列{a.)中，若a=1,a=2'an+1-a 7.在数列{an}中，a1=2,2am+1-2an=1,则a1ol 的值为 1(m∈N),则该数列的通项为 an+2 ·5· 世数学B版 选择性必修第三册 空 12.设数列{a.}满足当n>1时，a.=1+4a。- [素养培优练] 13.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为 间 a15 所测量影子的长度.《周脾算经》中记载：一年 纠错空间 1)求证：数列侣}为等装数列， 有二十四个节气，每个节气晷长损益相同.二 十四个节气及晷长变化如图所示.相邻两个 (2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求 节气晷长的变化量相同，周而复始.从冬至日 出是第几项； 起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、 如果不是，请说明理由。 清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其 日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、 春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨 日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为 方法总结 晷长逐渐变小 春分 大寨300 60小满 小寒。 。芒种当 冬至270 90夏至 大雪· “小暑 小雪24 。120大号 立冬210： :150立秋 霜降寒露180白露处暑 秋分 晷长逐渐变大 。。 A.11.5 B.12.5 C.13.5 D.14.5 14.在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成 等差数列 第1列 第2列 第3列 第1列 1 2 3 心 第2列 2 4 6 第3列 3 6 9 那么位于表中的第n行第(n+1)列的数 是 ·6·巴数学B版 所以×x…X0=-×(-号)(-》 a2 a3 as `a100 1 ×(-100)=-700, 所以2=-0又a=1,所以aw=-10,故选D.] 1 a100 1 10.ABC[数列{an}满足aa+1= 12an,0≤am≤2 ，a1 2a,-1,2<a.<1' 3 ，依次取n=1,2,3,4,…代入计算得，a2=2a1-1 .1 2 4 ，a3=2a25,a4=2a日5，a5=2a,-15号 a1,因此继续下去会循环，数列{an}是周期为4的周期 鼓列，所有可能取值为：日，号，号，吉，故选ABC] 1十am+1= 1+1+a 11.解析：a+1=1-a. 中1一a.= 1十a,则a+2=1=a+11-a 1 所以，an+4=一 1一 1 an+2 1 =an, an =1+41=1+2 :a=2,则a,-2号-3，所以数列{a,}是 以4为周期的周期数列，且Qnam+1a+2aa+3=a,·am+1 1）=1,所以{a}的前2022项的积为 a1a2·ag·a4a202=a1a2X1505=2X(-3)= -6. 答案：一6 12.解：将am+1= 。343两边同时取倒数得：1一8，十3 an+1 3a 则2=+即= a1,a3' 1 。=3-=3，…, 把以上这(n-1)个式子累加，得1-1”-1 ana13· a=1ia,2aeN） 13.BCD[对于A,可知数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13， 21,故A错误；对于B,S8=1+1+2十3+5+8+13+21 =54,故B正确；对于C,可得，an=am+1一a1（n≥2)， 则a1十a2十ag十a4+…+an=a1十(ag-a1)+(a4-a2) +(a5一a3)十…+(aa+1-am-1） 即S.=-a2十aa十am+1=an+2-1,.S202o=a2022-1, 故C正确； 对于D,由a.=aa+1一a-1(n≥2)可得，a十a3十as十… 0&B0aFa-a）+一am-a） 14.解：(1)a1=12,a2=48. (2)由“雪花曲线”的作法可知 第n条“雪花曲线”的每条边都可得到第n十1条“雪花 曲线”的四条边. am+1=4a..数列{an}的递推公式为an+1=4an 5.2等差数列 5.2.1等差数列 第1课时等差数列的定义 1 1.D[依题意，a2十a=a1十d+a1+4d=4,代入a1=3, 号.所以a,=a十(m-1d=号+(m-1Dx号 得d= 21 3n-3,令an=35,解得n=53.] 2.B[因为在等差数列{an}中，S,-S2=45,所以a3十a4 十a5十a6十a,=5a5=45,所以a5=9,故选B.] ·4 选择性必修第三册 3.B[lan1=|70+(n-1)×(-9)1=|79-9n|=9 8子-m=9时，a最小.] 4A[因为a。-24,-1,故2-号ah-合所以 /111 1 1 ag十1a3+ +23×16=号+号=1，故a。 4 0,故选A.] 5.ABC[对于A,若S6=Sg,必有Sg-S=a6十a,+ag+ a=2(a,+a)=0,则a,十a4=0,54=14X(a十a12 14×(a,十a82=0,A正确， 2 对于B,若S5=Sg,必有Sg-S=a6十a,十ag十ag=2(a +ag)=0,又由a1>0,则必有S,是S。中最大的项，B 正确； 对于C,若S6>S,则a,=S2-S6<0,又由a1>0,必有 d<0,则ag=Sg-S,<0,必有S,>Sg,C正确； 对于D,若S6>S1,则a,=S,一S:<0,而a6的将号无法 确定，故S>S6不一定正确，D错误.故选ABC.门 6.解析：.a十(3-a)=2(2a-1),.a= 4“这个等差数 5. 列的前三项依次为5,3,7， ’这4心d=1, a,=5+(m 4 1Dx号-号+1，aeN 答案：a,=冬+1，n∈N 7.解析：由题意，数列{an}满足2an+1一2an=1,即a+1一am =是，又由a=2,所以数列a,}首项为2，公差为合的 等差数列，所以a11=a,十100d=2+100×号=52. 答案：52 8.[解](1)：an=5n+4,则a+1=5(n十1)+4=5n+9, .a+1-an=(5n十9)-(5n十4)=5，所以，数列{an}是 等差数列，且公差为5； (2)令am=104,即5n+4=104,解得n=20;令a.=110, 即5m十4=110，解得n=106.所以，104是该数列的第20 51 项，110不是该数列中的项. 9.BCD[对于A项，根据等差数列的定义可知，数列6,4， 2,0的公差为一2，A错误；对于B项，由等差数列的定义 可知，数列a,a一1，a-2,a-3是公差为一1的等差数 列，所以B正确；对于C项，由等差数列的通项公式an= a1+(n-1)d,得an=dn+(a1-d),令k=d,b=a1-d, 则an=kn十b,所以C正确；对于D项，因为a+1一an=2 ·(n十1)+1-(2n十1)=2，所以数列{2n+1}(n∈N) 是等差数列.] 10.ABC[由题知，只需a=2-2d0→0<d<1,a4· ld>o a4=(2-d)·(2+d)=4-d<4,A正确；a+a4=(2 -a0+(2+d)=d-3d+6≥平，B正确：+ a as 2-2a十2+2a1-d>1,C正确a1·a,-a·a4= 1 1 (2-2d)·(2+2d)-(2-d)·(2+d)=-3d2<0,所 以a1·as<a2·a4,D错误.] 11.解析：2=1+1(m∈N),数列{1}是等差 an+1 anan+2 数列.又1-1=2-1=1,2=1十(m-1)=,0 az a an n 答案a.=月 12.[解](1)证明：根据题意a=号及递推关系a≠0.因 .取倒数得1=1十4，即上-1 为am=1+4an-1 an an-1 an an-1 参考答案 =4(n>1),所以数列{上}是首项为5，公差为4的等 差数列」 (2)由(1)，得上=5十4(m-1)=4n十1，a,=4m十 又a=吉X日解得A=山. 1 所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项. 13C[由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、 惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节 气，其日影长依次成等差数列，设冬至的日影长为α1，公 差为d,则a1十a4十a=31.5,a十a6十ag=25.5,两式相减 得-6d=6,解得d=-1,所以a1十a4十a,=3a1+9d= 31.5,解得a1=13.5,故选：C.] 14.解析：由题意可得，第n行的第一个数是n,第n行的数 构成以n为首项，n为公差的等差数列，其中第(n十1) 项为n十n·n=n2十n.所以题表中的第n行第(n十1) 列的数是n2十n. 答案：n十n 第2课时等差数列的性质及实际应用 1.C[设等差数列的性质可知：a2十ag=2a5=18,所以a5 =9.故选：C.」 2.B[由等差数列的性质，得a3十a。十a10十a13=(a3十 a13）十(a6十a1o）=2ag十2ag=4ag=32,∴.ag=8,又d≠ 0,.m=8.] 3.D[由等差数列的性质得a1十a,十ag=3a,=4r,.a7 = 8=tan 3 卡3.∴.tan(a2+a12)=tan(2a,)=tan3 一3.1 4.B[设该网店从第一月起每月的利润构成等差数列 {an},则a2=2500,a5=4000.由a5=a2+3d,即4000 =2500+3d,得d=500.由am=a2+(m-2)×500=5000, 得m=7.] 5.ABD[由题意得：插入k(k∈N*)个数，则a1=b1,a2= 除以学餐到没中药须在新的华花基列么中同隔排 列，且角标是以1为首项，k十1为公差的等差数列，所以 am=b+m-1+1),因为b,是数列{an}的项，所以令1十(n -1)(k+1)=9,n∈N",k∈N", 当n=2时，解得k=7,当n=3时，解得k=3,当n=5 时，解得k=1, 故k的值可能为1,3,7，故选：ABD.门 6.解析：因为数列{an}为等差数列，且a1十ag=4,根据等差 数列的性质，可得a1十ag=2a5=4,解答a5=2,又由a2 +a3十…十ag=7a5=7X2=14. 答案：14 7.解析：由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的 一端的重量为a1,粗的一端的重量为a5,可知a1=2,a5 =4,根据等差数列的性质可知，a1十a5=2a3=6→a3= 3,中间三尺为a2十a3十a4=3a3=9. 答案：9 8.解析：(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d,由a3十 a8十a13=12,则3ag=12,则ag=4,又由a3a8a1g=28,则 有aag=(4-5d)(4十5d》=7,解可得：d=士号，当d =号时a=a+(n-8)d=3n,当d=-号时a, ag+(n-8)d=44-3n 5 (2)由(1)的结论，当d=号时，a.=3n写4，此时aa 5 3X23-4=13,当d=二5时，4，=万一，则a3 5 5 44-3×23=-5,则423=13或-5. 5 9.D[由a=2,a4=8,得数列{a,}的公差d=8,2=3, 2 贫品的公至不为所贸数到以为羊锅最到，所及 结合a6.=3n-1,可得bn=n十1，故b220=2021.] 10.解析：由题意函数y=f(x一2)的图象关于x=1对称， 则函数f(x)的图象关于x=一1对称，且在（一1，十∞） ·4 课时作业马 上单调，因为f(as0)=f(a!),所以aso十a51=一2，因为 数列{an}是公差不为0的等差数列，所以a1十a1o=a0 十a1=-2. 答案：一2 11.[解](1)，a2+a10=a5十a,=7,又.asa,=12, ÷{二：或{：当{8时a,=-合n+号， 1 1a2=4,1 a,=3.-{a2=3. 不恒为正，舍去. 1 (26=a,十i=2n++2,a=n++2n++ 1 =n+2+1 2 ÷4=-名6=言.因为6=号n=6,所以恒 有bm=kba. 12.D[由等差数列的性质可知2(a1+a3十a)十3(ag十a1o) =2×3a3十3×2ag=6X2a6=36,得a6=3,故选D.] 13.A[依题意，拆分后的分数，分子都是1，分母依次变 大，又品二十+十号中合6，黄可分解如 2 下：品-+-++2-十2+ 1 品6-十0十品。+动8=可+++ 31 1 1 又x,y,之是以101为首项的等差数列，故x=101,y= 202,之=303，故y十之=202+303=505，故选A.] 5.2.2等差数列的前n项和 第1课时等差数列的前n项和公式 1.B[d=04-g=15,7=4,又a1十d=7,a41=3. 4-2 2 5。=10a,+10X9d=10X3+45×4=210.] 2 2.D[由a+a+2a3ag=9,得(ag十ag)2=9,an<0, a,+a4=-3,S0=10ca,am2-10(a+a2 2 2 10×(-3)=-15.] 2 3.B[,a,十a8十a=S。-S,而由等差数列的性质可知， S3,S一S,S,-S6构成等差数列，所以S,十(S,一S) =2(S6-S3),即a,十ag十ag=Sg-S6=2S6-3Sg=2× 36-3×9=45.] 1 1/1 4.C[通项a,=n(m+2=立（n 1 n+2 】,原式= [-号)+（合）+（）+ ++（日 1 1 （1+2 1 1 1 n+1n+2) 5.BC[数列{an}是等差数列，由S,=S11,则S11一S,=ag 十ag十ao十a1=2(a十a1o)=0,ag十a1=0,又因为数 列{an}是递减数列，所以ag>0,a1o<0,故A错误、B正 确.S,=17a,+a）=17a,>0,故C正确：5， 2 19(a1十a)=19a0<0,故D错误.故选：BC.] 2 1= 6.解析：由等差数列的前n项和公式可得：3 11(a1+a11） 11X2a6 2 2 5(a1十a5) 5X2a3 号×名-晋×品-1 2 2 答案：1 7.解析：：S3,S6一S3,Sg-S6成等差数列，而S,=9,S6 S3=a4十a5+a6=7,.Sg-S6=5. 答案：5 8.[解](1)方法-·a6=10,S5=5, “侣a629解得{侣25 d=3.