第6章 导数及其应用 阶段性双测卷2 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂单元双测卷（人教B版）

数 新高考 阶段 学 同步单元双测卷 E 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.如图中的阴影部分由直径为2的半圆和底为1， 高为2,3的两矩形构成，设函数S=S(a)(a≥ 整 0),S是图中阴影部分介于平行线y=0和y=a 之间的那一部分的面积，那么函数S=S(a)的 图象大致为 如 2 0 S(a) +S(a) 2 S(a) S(a) 0123 123 C D 2.下列给出四个求导运算： ①(x-1y=x2-1 22 ②(xe)'=e(x+1); 2 毁 ⑧(g2)/=2； ④(x2-x-lnx)' 2 (x一1)(2x十1).其中运算结果正确的个数是 ( 茵 A.1 B.2 C.3 D.4 1 3.曲线y=2lnx上的点到直线2x一y+3=0的 最短距离为 ( A.√5 B.2√5 C.3√5 D.2 4.若曲线f(x)=lnx在(1，f(1))处的切线也是 曲线g(x)=x3一2x一a的切线，则a=( A.-1 B.1 C.-1或3 D.3 29 性双测卷二（全章） 卷·素养提升卷 5.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为 f(x),对任意x∈(0，π)，有f'(x)sinx<f(x) cos,且f(x)+f(-x)=0.设a=-2f(-若)， b=Ef(年)，=f(受)，则 A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<6 D.c<b<a 6.已知函数f(x)=2x3+ax十a.过点M(-1,0) 引曲线C：y=f(x)的两条切线，这两条切线与 y轴分别交于A,B两点，若|MA|=|MB|,则 f(x)的极大值点为 () A.-3② 4 &9 C.-6 3 D 7.已知函数fr)子-后在其定义坡0，+∞) 内既有极大值也有极小值，则实数a的取值范 围是 () A.(0,1)U(1,e)B.(0,1) C.(e,+o∞) D.(1,e) 8.已知偶函数f(x)在R上存在导函数f'(x),当 x>0时，f(2>-f(),且f(2)=1,则不等 式(x2-x)f(x2-x)>2的解集为() A.(-∞，-2)U(1,+o∞) B.(2,+∞) C.(-∞，-1)U(2,+∞) D.(-1,2) 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选 错的得0分 9.若函数y=f(x)的图象上存在不同的两点，使 得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等 于常数t,则称函数y=f(x)为“t型函数”，下列 函数中为“t型函数”的有 () A.y=x-x B.y=x+e* C.y=sinx D.y=x+cosx 10.若定义域为(0，十∞)的函数f(x)的导函数f(x) 满足xf'(x)+1>0,且f(1)=1,则下列结论 中成立的是 (） A.f(e)>0 B)2 C.Hx∈(1，e),f(x)>0 D.3x∈(1，e),f(x)- ) 2<0 11.已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)是f(x)的 导函数，给出如下四个结论，其中正确的是 A.若f(-1)=2,且f'(x)>2,则f(x)>2x十 4的解集为（一1，+o∞） B.若f(x)+f>0,且f(0)=0,则函数 xf(x)有极小值0 C.若f(x)+f(x)>0,且f(0)=1,则不等 式ef(x)<1的解集为(0，十∞) D.若f(）-f()>0,则f2020)>f(2019) e 12.若存在m,使得f(x)≥m对任意x∈D恒成 立，则函数f(x)在D上有下界，其中m为函数 f(x)的一个下界；若存在M,使得f(x)≤M 对任意x∈D恒成立，则函数f(x)在D上有 上界，其中M为函数f(x)的一个上界.如果一 个函数既有上界又有下界，那么称该函数有 界.下列说法正确的是 () A.2是函数f(x)=x十1(x>0)的一个下界 B.函数f(x)=xlnx有下界，无上界 C.函数f代)一号有上界，无下界 D.函数f(x)= sinx有界 x2+1 题号 1 2 34 567 9 101112 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.设f(x)为可导函数，且满足 1imf)-f1-3》=1,则曲线y=f(x)在 0 点(1，f(1)处的切线的斜率是 14.设函数f(x)=e在x=0处的切线与x,y轴 围成的区域为2，点P是2内一动点，点Q是 函数y=√1一(x-3)一3上的动点，则线段| PQ的最小值为 15.若函数f(x)=ax一lnx,对于任意的x1,x2∈ (1,+∞)，（其中x≠2）不等式(x2-)[f(x) -f(x2)门<0恒成立，则a的取值范围为 16.对于三次函数f(x)=a.x3+bx2十cx十d(a≠ 0),给出定义：设f(x)是函数y=f(x)的导 数，f(x)是f(x)的导数，若方程f”=0有实 数解xo,则称点(xo,f(xn)为函数y=f(x)的 “拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都 有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心， 且“拐点”就是对称中心.设函数g（x)=2x3 3r+号则g(0)+s(品)+（品）+… 1 2 2019 +g2020) 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知二次函数f(x)=x2 十2x. (1)求f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)讨论函数g(x)=f(x)+al1n(x+1)的单调 性 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=12-x2. (I)求曲线y=f(x)的斜率等于一2的切线 方程； (Ⅱ)设曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切线与 坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的 最小值. x2+ 19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=号x (1-a)x-alnx,a∈R (1)若f(x)存在极值点1，求a的值； (2)若f(x)存在两个不同的零点x1,x2,求证： x1十x2>2. 20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2一2a.x +2lnx(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2(x2>x1), 求证：f(x2)-f(x1)<(2-a)(x2-x1). 31 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3一 2a.x2+a2x+a,a∈R (I)若a=0,求证：当x∈[1，十∞)时，f(x)≥ x恒成立； (Ⅱ)当a=1时，求f(x)在区间[0,2]上的最 大值和最小值； (Ⅲ)若函数f(x)存在极大值和极小值，且极 大值和极小值的差不超过4，求a的取值范围. 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=xc0sx -sinx+子(x)为f)的导函数。 （1)若x∈[0，]fx)≥ar2-sinx恒成立， 求a的取值范围； (2)证明：函数g(x)=f(x)+2cosx在 [0,受)上存在唯一零点. 32参考 第六章阶段性双测卷二 B卷·素养提升卷 1.解析：C[根据图象可知在[0,1]上面积增长速度越 来越慢，在图形上反映出切线的斜率在变小：在[1,2] 上面积增长速度恒定，在[2,3]上面积增长速度恒定， 而在「1,2]上面积增长速度大于在「2,3]上面积增长 速度，在图形上反映出[1,2]上的切线的斜率大于在 [2,3]上的切线的斜率，因此C项符合题意.] 2.B[06红y=1+子学故错送.©0y =+=+1),故正确.@(}=受 2 故错误.④(.x2-x-lnxy=2x-1-1=2x2-x-】 x =x-1)(2x十，故正确.] 3.A[设与直线2x-y十3=0平行且与曲线y=2lnx 相切的直线方程为2x一y十m=0.设切，点为P(x0, 0时画数y=21nx求导得)-兰，由品-2，可得 x0=1,则y0=2ln1=0,所以，切点为P(1,0).则点P 到直线2r-y十3=0的距离d=2=0+3L=5. W22+(-1)2 .曲线y=2lnx上的，点到直线2x-y十3=0的最短 距离是√5.] 4.C[由fx)=nx得f1)=0f(x)=2,故f1) =1,故切线方程为y=x一1. 由g(x)=x3-2.x-a得g'(x)=3.x2-2. 令g'(x)=3x2-2=1,解得x=士1.代入切线方程y =x一1，求得切点为(1,0)或(-1，-2).将切点坐标 代入g(x)=x3-2x-a,求得a=-1或a=3.] 5.D 设g（x)三，·g（2) f(x)sinx-f(x)cosx,:x∈(0，π)时，f(x)sinx sinx <f(x)cosx,x∈(0，π)时，g'(x)<0,g(x)在(0， π)上是减函数，又x∈R时，f(x)十f(-x)=0,f(x) 是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，a= 8(-)=g(）b=g()c=g()<6 <a.」 6.A[设切点坐标为(t,2t3十at十a),y=6.x2十a, :62+a=23+a1+0,即4r3+62=0,解得1=0或t t+1 =-号：MA=MB1.∴y1,=0十y1,-专=0， 即2a+6x(号)=0.则a=-翠f)=62 华.当<39我>32时fx>0当3 4 4 4 <32时，f(x)<0.故fx)的极大值点为-3.] 4 .D[f=r2-.要使高数f)=合-品在 其定义域(0，十∞)内既有极大值也有极小值，只需方 程x2-ar=0在(0，十∞)有两个不相等实根.即lna 答案 =2n上，令g(x)=2n上，则g(x）=2-n. x x g(x)在(0，e)递增，在(e,十o∞)递减. 其图象如下： i.hae.) 8.C[令g(x)=xf(x),由于f(x)是偶函数，则g(一 x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),g(x)是奇函 数，当x>0时，f>-f(x),即f)+xf(四 >0, ∴g'(x)=f(x)十xf(x)>0,g(x)在(0，十∞)递增， g(x)在R递增，f(2)=1,∴.g(2)=2f(2)=2,又 不等式(x2-x)f(x2-x)>2,则g(x2-x)>g(2), x2-x>2,解得：x>2或x<-1,综上，x∈(-o∞， -1)U(2,+∞).] 9.CD[对于A,函数的导数y=1-3x2,由1-3x+1 -3x号=2，得3.x+3.x号=0，得x1=x2=0,故A不是 “t型函数”：对于B,y=x十e的导数为y'=1十e,可 得函数图象上在这两点处的切线的斜率之和大于2， 故B不是“t型函数”；对于C,y=cosx,由cox1十 c0s.x2=2,得c0sx1=c0sx2=1,可取x1=0,x2=2x, 故C是“t型函数”；对于D,y=x十cosx的导数为y =1-sin.x,若1-sin.x1+1-sin.x2=2,即sin.x1= sinx2,此时有无数多个解，故D是“t型函数”.故CD 是“t型函数”.] 10.ABC[根据题意，若定义域为(0，+o∞)的函数f(x) 的导函数f)满足xf)+1>0,剥有f(x)+ >0,则有(f(x)+lnx)'>0,设g(x)=f(x)+lnx, 则g)=f()+>0,则gx)在(0，十)上为 增函数，依次分析选项：对于A,e>l,则g(e)>g (1),即f(e)+lne>1,则有f(e)>0,A成立；对于 B是<1，则s(日)<,剥f(日)十+n f(日)1K1,即有f(日)<2，故B成立：对于C, g(x)在(1，e)上为增函数，且g(1)=1,则有f(x)十 lnx>l,则f(x)>1-lnx,又当1<x<e时，0<lnx <1,则f(x)>0,符合题意；对于D,当x∈(1，e)时， 有>>。>0，此时有g)>g(）即f)+ e n>f()+ln()支形可得f)-f()十 2lnx>0,又当1<x<e时，0<lnx<1,则f(x) f()十2>0恒成立，不特合题意，故选AB.C] 11.ABD[对选项A:设g(x)=f(x)-2x-4,因为 f(-1)=2,且f'(x)>2,则g'(x)=f(x)-2>0, 所以g(x)在R上为增函数，又因为g(一1)=f(-1) 十2-4=0，所以当x>-1时，g(x)=f(x)-2x-4 55 数学B版·选择 >0,即f(x)>2x十4的解集为(-1，十∞)，故A正 确.对选项B,设g(x)=xf(x),g'(x)=f(x)十xf (,图为f()+f_fm)+f0,所以当 x∈(-∞，0)时，g'(x)=f(x)+xf'(x)<0,g(x)为 减函数，当x∈(0，十o∞)时，g'(x)=f(x)十xf(x) >0,g(x)为增函数，故当x=0,g(x)=xf(x)取得 极小值，极小值为g(0)=0,故B正确.对选项C,设 g(x)=e"f(x),g(x)e"f (x)e"f'(x) =ex[f(.x)+f(x)]. 因为f(x)十f(x)>0,e>0,所以g'(x)>0,g(x) 在R上为增函数.又因为f(0)=1,所以g(0)=e°f(0) =1. 所以当x∈(0，十∞)时，g(x)=ef(x)>1,故C 错误. 对选项D,设g)=g)=）飞四，因 e 为f(x)-f(x)>0,所以g(x)=f)fm>0, g(x)在R上为增函数.所以g(2020)>g(2019), T2020）f2019,即f20202>f(2019).故D e2020 e 正确.] 12.ABD[对于A,当>0时x+≥22·=2， 当且仅当x=1时取等号，f(x)≥2恒成立，∴.2是 f(x)的一个下界，故A正确；对于B,因为f(x)= lnx+1(x>0),∴.当x∈(0，e1)时，f(x)<0;x∈ (e1,十o∞)时，f(x)>0, .f(x)在(0，e1)上单调递减，在(e-1,十oo)上单调 递增， f(x)≥f(e1)=-1 心f(x)有下界，又x→十 ∞时，f(x)→十o∞，.f(x)无上界，故B正确：对于 C.r2>0,e>0fu)=号>0成主.f） 有下界，故C错误：对于D,sinx∈[-1,1]， “吊片又吊>-1h -L≤sin≤1 .-1≤sn≤1，f(x)既有上界又有下界，即 x2+1 f(x)有界，故D正确.] 13.解析：因为1imf)-f1-3=1,所以 31imf)-f1-3z）=1,所以1imf)-f1-32 子，所以f)=子，所以曲线)=f)在点11》 处的切线的斜率为了 答案：号 14.解析：f'(x)=er,f(0)=1,f(0)=1.故切线为：y -1=x,即y=x+1.函数y=√1-(x-3)2-3可化 为：(x一3)2+(y十3)2=1，(y≥一3).表示的是圆心 为(3，一3)，半径为1的半圆(y=一3上的点及上方 的部分)，画出图象如下：阴影部分为2区域，半圆为 函数y=√1-(x-3)7-3的图象.易知|PQ|mim= 56 性必修第三册 √32+(-3)2-1=3√2-1.（即原点到圆心(3，-3） 的距离减去半径1). =x+1 0 入y=-3 6,-3) 答案：3√2-1 15.解析：由题意，函数f(x)在(1，十∞)上是单调递增函 数，所以fx)=a->≥0即a≥子在1，+o∞)上恒 成立，因为当x∈(1，十∞)时，<1，所以a≥1，所 以a的取值范围为[1，十o) 答案：[1，十o∞) 16.解析：由g(r)=2x2-3x2+2可得g(x)=62 6x,g"(x)=12x-6,令g"(x)=12.x-6=0解得x 3g2)=2(侵）-3（侵）+司 =0,由题意可得 画数g(x)=2x2-3x2+2关于点（分，0）中心对 称，所以g(1-x)十g(x)=0,所以g(2020) (品)】 3 +g（2020) 十…十g 2019 2020 s()+(器)十(（品）+（器）】 2018 +s(合)=0 答案：0 17.解：(1)由f(x)=x2+2x得f'(x)=2x+2, 则f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为k=(1)= 4,又f(1)=3, 所以f(x)在，点(1，f(1)处的切线方程为y一3=4(x -1),即4x-y-1=0. (2)因为g(x)=x2+2x+aln(x+1)(x>-1) 所以)=2红+2+-2+ x+1 当a≥0时，g'(x)在(-1，十o∞)上恒正，所以g(x)在 (-1,十∞)上单调递增； 当a<0时，由g()=0得x=-1+√号， 所以在xe（-1,-1√厂号时，g（)<0,g) 单调递减： x∈（-1+√+上，g()>0,gx)单调 递增： 综上所述，当a≥0时，g(x)在(-1，十o∞)上单调 递增。 当a<0时，在r（-1,-1√厂受上g)单词 递减 在(1√厂受+)小上g)单调道增。 参考答 18.解：(I)f(x)=12-x2的导数f(x)=-2x, 令切点为(m,n),可得切线的斜率为一2m=-2, .m=1,∴.1=12-1=11，.切线的方程为y =-2.x+13. (Ⅱ)曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切线的斜率为k =-2t, 切线方程为y-(12-t2)=一2t(x-t), 令x=0,可得y12+令y=0,可得=之+ t s)=7+912+). 由S(一t)=S(t),可知S(t)为偶函数， 不坊设1>0，则S0)=子+号)12+)， s)=(a2+244) 3.2-4)(2+12 12 由S'(t)=0,得t=2, 当t>2时，S'(t)>0,S(t)递增；当0<t<2时，S(t) 0,S(t)递减， 则S(t)在t=2处取得极小值，且为最小值32， 所以S(t)的最小值为32. 19.解：(1)f(x)=x十1-Q-·,因为f(x)存在极值点 为1，所以f(1)=0, 即2-2a=0,a=1,经检验符合题意，所以a=1. (2f)=+1-a-是=+D(-)>0 ①当a≤0时，f(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，十 ∞)上为增函数，不符合题意： ②当a>0时，由f(x)=0得x=a, 当x>a时，f'(x)>0,所以f(x)为增函数， 当0<x<a时，f(x)<0,所以f(x)为减函数， 所以当x=a时，f(x)取得极小值f(a). 又因为f(x)存在两个不同零点x1,x2,所以f(a)< 0.即2a2+1-aa-alna<0 叁理得1na>1-0, 作y=f(x)关于直线x=a的对称曲线g(x) =f(2a-x), 令h(x)=g(x)-f(x)=f(2a-x)-f(x)=2a-2.x -aln 2a-z, 2a2 2a2 )=-8+2a2nx-8+-u0+a20. 所以h(x)在(0,2a)上单调递增， 不妨设x1<a<x2<2a,则h(x2)>h(a)=0, 即g(x2)=f(2a-x2)>f(x2)=f(x1), 又因为2a-x2∈(0，a),x1∈(0，a)且f(x)在(0，a) 上为减函数， 故2a-x<,即x1十n>2a,又lnm>1-2a,易 知a>1成立， 故x1十x2>2. 57 案 20.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，十o∞)，f(x)=2x -2a+2=22-a+D,则4=a2-4. ①当a≤0时，对Hx∈(0，十o∞)，f(x)>0,所以函 数f(x)在(0，十∞)上单调递增： ②当0<a≤2时，△≤0，所以对Hx∈(0，十∞)， f(x)≥0，所以函数f(x)在(0，+o∞)上单调递增； ③当a>2时，令f(x)>0,得0<<4=√024或 2 >中，所以数fx)在0， 2 (a+y互，+o上单调增：令f（x)<0,得 2 a=<x<4,所以f(x)在 2 2 三，国上单道成 2 (2)证明：由1)知a>2且{+0“所以0<1< (x1x2=1, 1<x2 又由f(x2)-f(x1)=(x-2a.x2+2lnx2)-(x 2a.+2lnx)=(x号-x)-2a(x2+x1)+2n2 (x号-x)-2(x十x)(x2-x1）+21n=-(x号 +2n器 又因为(2-a)(x2-x1)=2(x2-x1)-a(x2-T）= 2(x2-x1)-(x2+x1)(x2-x1)=2(x2-x1)-(.x号 -x). 所以要证f(x2)-f(x1)<(2-a)(x2一x1),只需证 21n2<2(x2-x). 因为1=1所以只需证n<即证 -1-21nx2>0. 令g(x)=x-1 -2lnx(x>1),则g'(x)=1+ 三（仕-）小≥0，所以西数g在1，+∞)上单 调递增， 所以对Vx>≥L8>g)=0,所以号-2h2 >0. 所以若f(x)存在两个极值点x1,x2(x2>x1),则 f(x2)-f(x1)<(2-a)(x2-x1). 21.解：(I)证明：当a=0时，f(x)=x3. 设g(x)=x3-x,则g'(x)=3x2-1.因为x∈[1，十 o∞)，所以g'(x)>0. 所以g(x)在[1，十∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1) =0. 所以当x∈[1，十oo)时，f(x)≥x恒成立. (Ⅱ)当a=1时，f(x)=x3-2x2+x+1. 所以f(x)=3.x2-4x+1=(3x-1)(x-1). 数学B版·选择性必修第三册 令f()=(3x-1Dx-1D=0得x=号或x=1 :xe(,]p'(x)<0心p()在(0，]上单 当x在[0,2]上变化时，f(x),f(x)的变化情况如 调递减， 下表： ∴.p(x)min= ()子∴a<子 0K0, 1 3 31 1 (1,2)2 (2)证明：f(x)=-sin+2x, "(r) 0 0 + 1 f(z)1 31 小g(x)=2cosx-a sin+2x,g'(x）= 27 3sinx-x cos x+号 所以，当x∈[0,2]时，函数f(x)的最大值为f(2) =3, 则g"(x)=-4cosx十c sin x,则g"(x)=5sinx+x 函数f(x)的最小值为f(0)=f(1)=1. cos I. (Ⅲ)因为f(x)=x3-2ax2+a2x+a, 所以f(x)=3x2-4a.x十a2=(3.x-a)(.x-a). :当x(0,2)时g(x)>0, 令f()=(3x-a)-a)=0得x=号或x=a, 六g(x)为增画数，且g(0)=-4<0.g(受）=受 依题意，函数f(x)存在极大值和极小值，所以a≠0. >0, (1)当a>0时a>号.当x变化时，f(x),f(r)的 存在唯-的∈(0，受)使得g"(x)=0, 变化情况如下表： 当x∈(0，z)时，g()<0:当x∈(0，)时 00, a (a,十∞) g"(x)>0. 3 3 3 g(x)在(0，o)上单调递减，在(0）上单调 f'(x) 0 0 递增， f(x) 极大值 极小值 又“g0)=号>0g(受）=名<0… 所以函教f)的板大值为f(侣) 27 十a,极小值 存在唯一的t∈(0，x0),使得g'(t0)=0, 为f(a)=a. 当x∈(0，o)时，g(x)>0:当x∈(（o,)时， 依题意有f(）-f(u) 4a3 27 十a-a≤4，所以a≤ g'(x)<0. 3.所以a∈(0,3]. g(x)在(0，o)上单调诡增，在(，受)上单调 (i)当a<0时，a<当x变化时，f(x),f(x)的 递减。 变化情况如下表： :80)=2>0g(受）=-<0， (-o∞，a) 3 (学+o) 存在唯一的r∈(o,受)使得go)=0, f (x 0 0 gx)在(0，受）上存在唯一零点。 f(x) 极大值 极小值 模块双测卷A卷·基础达标卷 所以函数f(x)的极大值为f(a)=a,极小值为 1.B[由题意可知，{an}为等差数列，所以S f(号)努+a 5(a1+a5)_5×2a3-5X2X5=25.] 2 2 依题意有fa)-f(学)=a-(号+a)下4，所以a 2.A[fx)=3-f)·r-f)=2 ≥-3. 2f(1)·x-1,∴.f(1)=1-2f(1)-1,∴.f(1) 所以a∈[-3,0).综上所述，a∈[-3,0)U(0,3]. =0.] 22.解：(1)当x=0时，f(0)=0≥a×0-0成立， 当x∈(0，]时，f(x)≥ar2-inx台a≤9 3.N[:等比教列{a,中a1十ag=7a-a,=子， [a1+a19=2 十4 ,解得a1=1g=-a4=a1g 设p(x)=+子，x∈(0，受]则(r) a1-ag2=3 4 =二r sin c-cosx =1x()°-合] 4.D[y'=a-e2-1,y|x=1=a-1=2,则a=3.] 58