5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第五章数列 第2课时 等差数列前n项和的应用 课程标准 素养解读 1.在利用等差数列前”项和公式解决实际问题的过程 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并 中，培养数学建模和数学运算的核心素养 能解决相应的问题， 2.在求等差数列前n项和最值过程中达成逻辑推理和 2.会求等差数列前n项和的最值. 数学运算的核心素养 课前。预习学案 对应学生用书P15 [情境引入] 知识点二]等差数列{an}前n项和公式的函数特征 为了达到比较好的音响和观赏效果，很多刷场的 1.公式S。=a,+nm1)d可化成关于n的表达式： 座位都是排成圆孤形的，如图所示 如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，而且剧场 S,= +(a-号)m当d≠0时s,关于n的表 座位的排列规律是：第一排36个，以后每一排比前一 达式是一个常数项为零的二次式，即点(n,Sn)在其 排多6个，共有8排，你能帮这个公司算出共需要多 相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前 少椅子吗？ n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物 椅子总数36+，6X7X8=456(把) 2 线y 号+（口一号）上横坐标为正整数的一 [知识梳理] 系列孤立的点。 [知识点一] 等差数列{an}的前n项和S,的性质 2.等差数列前n项和的最值 等差数列中依次k项之和S。,S2一S, 性质1 (1)在等差数列{an}中， S一S2,…组成公差为b2d的等差数列 当a1>0,d<0时，S,有最大值，使Sn取得最值的 若等差数列的项数为2n(n∈N“),则Sn (am≥0， =n(an十an+1）,S偶-S符=nd, Sman+ n可由不等式组 确定： 格 a+1≤0 an 当a1<0,d>0时，S。有最小值，使Sn取到最值的 (S将≠0)； 性质2 若等差数列的项数为2n一1(n∈N*),则 n可由不等式组？ 0≤0， 确定 (a+1≥0 Sm1=(2n-1)a,(an是数列的中间项)， 5一-5=a-”量Sg0 (2)Sn= +a一号)若d0则从二次函数的 角度看：当d>0时，S,有最小值；当d<0时，S,有最 性质3 {an}为等差数列三 为等差数列 大值.当n取最接近对称轴的自然数时，S,取到最值. n [预习自测] 2思考 若{an}是公差为d的等差数列，那么a1 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 十a2十a3,a4十a5十a6,a,十a8十ag是否也是等差数 打“/”，错误的打“X” 列？如果是，公差是多少？ (1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n [提示](a4十a5十a6)-(a1十a2十a3)=(a4-a1) 的二次函数， ( +(a5-a2)+(a6-a3)=3d+3d+3d=9d, (2)若等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.则 (a,+a8十ag）-(a,+a5十a6)=(a,-a4)+(a8-a5) {倍}的公差为号· +(ag-a6)=3d+3d+3d=9d. (3)数列{a,}的前n项和Sn=n2十1，则{an}不是等差 ∴.a1十a2十a3a4十a5十a6,a,十a8十ag是公差为9d 数列. ( 的等差数列. 答案：(1)×(2)/(3)/ 29· 数学B版·选择性必修第三册 2.等差数列{an}中，a1十a2十a3=一24，a18十a1g十a20 4.设等差数列{an}满足a3=5,a1o=一9. =78,那么此数列前20项的和为 ( ) (1)求{an}的通项公式： A.160 B.180C.200D.220 (2)求{an}的前n项和S,及使得S,最大的自然数 解析：B[由a1十a2十a3=3a2=-24,得a2=-8, n的值 由a18十a19十a2n=3a1g=78,得a1g=26,于是S2,=10 解：(1)由an=a1十(n-1)d及a3=5,a1o=-9, (a1+a2)=10(a2+a1g)=10×(-8+26)=180.] 3.等差数列{an}的前m项和Sm为20，前3m项和Sm为 得 1a1+2d=5, 解得49， 90,则数列{an}的前2m项和S2m的值是 (a1+9d=-9 (d=-2, 解析：由题意知Sn,S2m一Sm,Sm一S2m成等差 所以数列{an}的通项公式为an=11-2n,n∈N”. 数列， (2)由(1)知，5=u,+anD4-10n-. 2(S2m-Sn)-Sn+S3m-S2m' 2 .2(S2m-20)=20+90-S2m,.S2m=50. 因为Sn=-(n-5)2+25, 答案：50 所以当n=5时，Sn取得最大值. 课堂 。互动学案 对应学生用书P16 题型一等差数列前项和性质的应用 (102a+10b=100, [例1](1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m 100a+100b=10, 项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m; 11 a 100 (2)两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为S。 解得 111 和工…已知受-阳号之的做 b= 10 [解析](1)方法一在等差数列中， .S=- 品+ ·Sn,S2m一Sm,Sn一S2n成等差数列， .30,70,Sm-100成等差数列. .S1= ×10+0×10=-10. 11 10 .2×70=30+(Sm-100),∴.S3m=210. 方法二S10一S1w=a1十a12十…十a1m 方法二在等煮列中，器温或等差袋到， =90.dudm=-90, 2 Sn+ S3m m 3m 0tam=-1, 2 即Sm=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210. :.Sn 110×(a1+ao2=-110. 1 2 (a+a) 9(a1十ag) (2) 2 S 7×9+2 9(b1+b) T, 9+3 题型 等差数列前n项和的最值问题 (b,+b） 2 2 [例2]在等差数列{an}中，a1o=18,前5项的和S 65 =-15. (1)求数列{an}的通项公式： 规律方法 (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时 利用等差数列前n项和S。的有关性质在解 取最小值. 题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难 [a1+9d=18, 为易、事半功倍的效果 解：(1)由题意得 5a,+5X4×d=-15, 解得a1= 2 ◇[变式训练] 9,d=3,.an=3n-12. 1.一个等差数列的前10项和为100，前100项和为 10,求前110项之和. (2)方法一 s.-=a,a2-2(3m-21m） 2 解：方法一设S,=an2十bn. :S1。=100,S100=10, 8 ·30· 第五章数列 ∴.当n=3或4时，前n项的和取得最小值S=S 规律方法 =-18. 等差数列前n项和的最值问题的三种解法 方法二设S最小，则，0， 即 13m-120, 1.利用an: (a+1≥0,3(n+1)-12>≥0， (1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数 解得3≤n≤4，又n∈N",当n=3或4时，前n项和 项（或0），所以将这些项相加即得{S,}的最 的最小值S3=S4=-18. 小值 [母题变式] 1.将本例中的条件“S=-15”改为“S=125”,其余 (2)若a1>0,d<0,则数列的前面若于项为正数 不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小 项（或0），所以将这些项相加即得{S}的最 值？并求出这个最大值或最小值 大值 [解1S=号X5X(a,+a,)=×5X2a,=65a 2.利用S:由S.=号+(a-号)m(d≠0，利 =125,故a3=25,a1w-a3=7d,即d=-1<0,故 用二次函数配方法求取得最值时n的值. S,有最大值，an=a+(n-3)d=28-n. 3.利用二次函数的图象的对称性。 设S。最大，则，≥0， 解得27≤n≤28，即S2和 ◇[变式训练] (am+1≤0， Ss最大，又a1=27,故S,=S8=378. 2.在等差数列{an}中a1=25,S1,=S,求其前n项和 2.在本例中，根据第(2)题的结果，若Sn=0,求n. Sn的最大值 [解]方法一因为S,=S4=-18为S,的最小 [解]法一：，S=S1,a1=25, 位，由二次面数的图象可知，其对称柏为工=子，所 ÷9×25+9(9,1D4=17×25+1717-Dd,解得 2 2 以当x=0或x=7时，图象与x轴的交点为(0,0)， d=-2. (7,0),又n∈N",所以S,=0,所以n=7. S.=25m+nn,1DX(-2)=-n2+26n=-(m 方法二因为S=S4,所以a:=S4-S3=0,故S, =2×7Xa十a,)=1a,=0,所以n=7。 -13)2+169. .当n=13时，Sn有最大值169， 3.将本例变为：等差数列{an}中，设S。为其前n项 法二：同法一，求出公差d=-2.∴.an=25十(n 和，且a1>0,S3=S1,则当n为多少时，S。最大. [解]方法一要求数列前多少项的和最大，从函 1)×(-2)=-2n十27. 数的观点来看，即求二次函数Sn=an2+bm的最大 .a1=25>0, 值，故可用求二次函数最值的方法来求当为多少 由2.=-2m+27≥0， m<13, 时，Sn最大 得 由S=s,可得3a+324=1a+"X14,即 (am+1=-2(n十1)+27≤0， 2 ≥122， d=- 2 又.n∈N,.当n=13时，Sn有最大值169. 134. 法三：：S。=S17,.a1w十a11+…十a1=0. 从而8=号+a一号)=m-7y+想。 134, 由等差数列的性质得a13十a14=0. ,a1>0,.d<0.∴.a13>0,a14<0..当n=13时， 又a1>0,所以- <0.故当=7时，5最大 Sn有最大值169. 方法二由于S.=an2十bm是关于n的二次函数， 法四：设Sn=An+Bn..Sg=S1, 由S3=S1,可知Sn=an2十bn的图象关于n= “二次函数对称轴为工=91业=13，且开口方向 =7对称，由方法一可知a=一意<0，故当n 2 2 向下， =7时，Sn最大. ∴.当n=13时，S。取得最大值169. ·31· 数学B版·选择性必修第三册 .数列{an}的通项公式为am=一3n十104(n∈ 题型三 数列{la1}的前n项和 N*) [例3]数列{an}的前n项和S.=33n-n 由a,=-3n十104≥0，得n≤34.7. (1)求{an}的通项公式； 即当n≤34时，an>0;当n≥35时，an<0. (2)设b,=a,求数列{b}的前n项和S。' (1)当n≤34时，Tn=|a1|+|a2|+…+am=a [思路点拨](1)利用S。与am的关系求通项，也 十a十+a=S=是r+2。 2n: 可由Sn的结构特征求a1,d,从而求出通项. (2)当n≥35时， (2)利用a,判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求 Tn=a1|+|a2|+…+|a34|+|a5|+…+|an|= 解，也可以利用S,的函数特征判断项的正负求解. (a1十a2十…十a34)-(a35十a36十…+an) [解](1)法一：（公式法）当n≥2时，an=Sn =2(a1+a2+…+a34）-(a1十a2+…+an)=2S34 Sn-1=34-2n, -S, 又当n=1时，a1=S1=32=34-2×1满足an=34 -2n. =2(2×34+×34(+2) 故{an}的通项公式为an=34-2n. 205m+3502. 法二：（结构特征法）由Sn=一n2十33n知Sn是关 于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数 20 2 nn≤34且n∈N, d =-1, 故Tn 205 n+3502,n≥35且n∈N 列，由S,的结构特征知 =33, a1-2 题型四 等差数列前n项和的应用问题 解得a1=32,d=-2,所以an=34-2n. [例4幻 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰 (2)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an<0. 到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临 所以当n≤17时，Sn′=b1十b2十…+bn=a1|十 时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的 a2l+…+|an 参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗 =a1十a2十…十an=Sn=33n-n2. 车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同 当n≥18时， 型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟 Sn'=a1|+a2+…+|a1z+|a1s+…+an 能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24 =a1+a2+…+a17-(a18+a1g+…十an)=S12 小时内能否构筑成第二道防线？ (S-S)=2S1-S [解]从第一辆车投入工作算起，各车工作时间 =n2-33n+544. (单位：小时)依次设为a1a2,…a25 故Sn'= (33n-n(n≤17)， 由题意可知，此数列为等差数列，且a1=24,公差d {n2-33m+544(n≥18). 3.25辆翻斗车完成的工作量为：a1十a2十… 规律方法 求解数列{an}的前n项和，应先判断{an}的各 +a5=25×24+25X12 ()=50 项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的 而需要完成的工作量为24×20=480. 求和问题. ,500>480,∴在24小时内能构筑成第二道防线， ◇[变式训练] 规律方法 3.数列{an}的前n项和S。=一 2n,求数列 与数列有关的实际问题的求解策略 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列 {a.}的前n项和Tn 知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下 [解]4=5=一含×1+29×1=101. 两点： 2 (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 模型 -（i+婴-【a-+2m-1] (2)深入分析题意，确定是求通项公式an,或是求 -3m+104. 前n项和Sn,还是求项数n. ,n=1也适合上式， ·32· 第五章数列 ◇[变式训练] 2.已知等差数列{an}中，a|=a,公差d>0,则使得 4.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告 前n项和S,取得最小值的正整数n的值是 厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排 解析：由as|=ag|且d>0得a5<0,ag>0,且as 多两个座位.问第1排应安排多少个座位？ +a=0→2a1+12d=0→a1+6d=0,即a,=0,故 解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座 S6=S,且最小. 答案：6或7 位数依次排成一列，构成数列{an},其前n项和为 3.“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算运载“嫦娥”飞 S,.根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数 的“长征3号甲”火箭，点火1min内通过的路程为 列，且S2o=800. 2km,以后每分钟通过的路程增加2km,在到达离 由5m=20a,十20×(20，D×2=800,可得：4， 地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过 2 程大约需要的时间是 min. =21, 解析：由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成 因此，第1排应安排21个座位. 以a1=2为首项，公差d=2的等差数列，nmim [当堂达标] 内通过的路程为S=2m十nn。D×2=m2+n 1.(多选)已知S,是等差数列{an}的前n项和，且S。 2 >S,>S,有下列四个命题正确的是 =n(n十1).即n(n+1)=240,解得n=15. ( 答案：15 A.d0; 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=一7， B.S11>0: S3=-15. C.S12<0; (1)求{an}的通项公式； D.数列{S,}中的最大项为S (2)求Sn,并求S。的最小值. 解析：AB[S6>S,,a,<0,:S,>S,∴.a6十 [解](1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d= 0,>0a,>0dK0,A正痛.又S,=(a十 一15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d=2n-9. an)=1a,>0,B正确.Se=受(a+a)=6(a,十 (2由1)得S.=na,+a,=m-8=(m-4)2 2 a,)>0,C不正确.{Sn}中最大项为S。,D不正确， 16,所以当n=4时，S。取得最小值，最小值为 故正确的是AB.] -16. 课时。素养提升 对应学生课时P9 [基础达标练] 1.为了参加学校的长跑比赛，某中学高二年级小李同 解标：B[由7a十5a,=0,得号=一号 学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天 4s,所以d≥0，a<0.因为函数y=?x2 的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离. 若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑 。号)的国象份对称轴为x号号一日 d 了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为 号-取最接近的整致6，这S取得最小位时” A.34000米 B.36000米 的值为6.] 3.某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头 C.38000米 D.40000米 进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第 解析：B[根据题意：小李同学每天跑步距离为等 一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天 差数列，设为an,则a1十a2十a3=3a2=3600,故a2 起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募 =1200,a13十a14+a15=3a14=10800,故a14= 捐活动一共进行的天数为 3600,则S,=号a,十as)×15=(a,+a)X15 A.15天 B.16天 C.17天 D.18天 =36000.故选：B.] 解析：A[设他们每天收到的捐款形成数列{an}, 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a;十5ag=0, 则由题可得{a,}是首项为10，公差为10的等差数 且a>a5,则Sn取得最小值时n的值为 ( 列，÷5.=10m十nm,1D×10=1200,解得n=- 2 A.5 B.6 16(舍去)或n=15,所以这次募捐活动一共进行的 C.7 D.8 天数为15天.故选：A.] ·33· 数学B版·选择性必修第三册 4.在等差数列{an}中，S,是其前n项和，且S2o14= (1)求第六排的座位数： S219,S6=S212,则正整数k为 ( (2)某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个 A.2018 B.2019 人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就 C.2020 D.2021 坐.那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加 解析：D[因为等差数列的前n项和Sn是关于n 会议？ 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S24 (提示：每一排从左到右都按第一、三、五、…的座 SgS,=502,可得2014十2019_2012+k,解 位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参 2 2 会人数最多) 得k=2021.] 解析：(1)依题意，得每排的座位数会构成等差数列 4)”-1 {an},其中首项a1=9,公差d=2,所以第六排的座 5.已知数列{an}的通项公式为an= 位数a6=a1+(6-1)d=19. ,则数列{an} (2)因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的 ( 人数最多，第一排应坐5人，第二排应坐6人，第三 A.有最大项，没有最小项 排应坐7人，…，这样，每排就坐的人数就构成等 B.有最小项，没有最大项 差数列{b},首项b1=5,公差d'=1,所以数列前 C.既有最大项又有最小项 10项和Sw=+10X9×d=95. D.既没有最大项也没有最小项 2 故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议. 解析：C[,数列{an}的通项公式为an= 9 [能力提升练] ,t∈(0,1]，t是减函数， 9.(多选)等差数列(a}的前n项和S。,且S。=”,S m 则a.=f-1=) 4 =(m,n∈N°，m≠n),则下列各值中可以为S+ n 由复合函数单调性知an先递减后递增. 的值的是 ) 故有最大项和最小项，选C.] A.3 B.4 6.等差数列{an}中，已知a5>0,a4+a2<0,则{an}的 C.5 D.6 前n项和Sn的最大值为 解析：CD[因为等差数列{an}的前n项和Sn,所 解析：十a,=a,十a,<0,. a>0.5.的最 以可设S.=A+B,(A,B∈R),因为S.=册，S。 a5>0, (a<0, 大值为S =(m,n∈N,m≠n), n 答案：S Sn=An2+Bm= An+B=1 m 7.(多空题)某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞， 所以 ,即 第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比 S=Am2+Bm=m n Am+B=1 n 上一年增加4万元，则第5年的维修费是 万元，前10年维修费总和为 万元 解得∫A mn, 解析：由题意，从第二年起维修费比上一年增加4 (B=0 万元，即每年的雏修费成等差数列.设从第二年起， 所以S+a=A(m十n)2=m2十n+2mn=m2+n mn mn 每年的维修费构成的等差数列为{an},则an=12十 4(n-1)=4n十8，所以a=4×5十8=28（万元）， 十2≥2mn+2=4,当且仅当m=n时等号成立，又 mn 5。=10X12+号×10×9×4=300（万元）. m≠n,所以等号不能取得，因此Sm+m>4,故CD正 确，AB错.故选：CD.] 答案：28300 10.(多选)在数列{an}中，a1=1,a2=2,a=3,an+3十 8.如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9 (-1)"a+1=1(n∈N),数列{an}的前n项和为 个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座 S。,则下列结论正确的是 () 位，共有10排座位. A.数列{an}为等差数列 ●●●●●●●。●●●●● B.a18=10 ●●●●●●●●●●● C.a1z=12 主席合 D.S1=146 ·34· 第五章数列 解析：BD[依题意得，当n是奇数时，a+3一an+1 当n≥18，n∈N°时，a1|+|a2|+…+an|=a1 =1,即数列{an}中的偶数项构成以a2=2为首 +a2+…十a17-a18-a19一-an 项，1为公差的等差数列，所以a18=2十(9-1)×1 =2(a1十a2+…+a1z）-(a1+a2+…十an) =10,当n是偶数时，a+3十a+1=1,所以an+5十 a+3=1,两式相减，得a+s=a+1,即数列{a}中 =2(×17+1g×17）(多+1) 的奇数项从？开始，每隔一项的两项相等，即数 列{an}的奇数项呈周期变化，所以a17=a4×3+5= + a5,在ant3十ant1=1中，令n=2,得a5十a3=1,因 +1 n,n≤17，n∈N*, 为a3=3,所以a1,=一2，对于数列{an}的前31 S 项，奇数项满足a3十a5=1,a,十ag=1,…,a27十 a29=1,ag1=a4×7+3=a,=3,偶数项构成以a2=2 -1+84≥18neN 为首项，1为公差的等差数列，所以S1=1十7×1 [素养培优练] +3+15×2+15X)5-1)=146.] 13.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一.风雨桥由桥、 2 塔、亭组成.其亭、塔平面图通常是正方形、正六边 11.已知数列{an}为等差数列，a1十a3十a5=1,Sn表 形和正八边形.如图是风雨桥亭、塔正六边形的正 示数列{an}的前n项和，若当且仅当n=20时，Sn 取到最大值，则a2十a4十a6的取值范围是 射影.其正六边形的边长计算方法如下：AB,= Ao Bo-Bo B,A2 B2=A B-B B2,A3 B3=A2 B2 解析：由a1十a十a=1,得3ag=1,即a=3,a -B2B3,…,ABn=An-1B。-1-B-1Bn,其中 Bn-1Bn=…=B2B2=B1B2=B,B1,n∈N*.根据 十a4十a6=3a4=3a3十3d,当且仅当n=20时，Sn 每层边长间的规律.建筑师通过推算，可初步估计 取到最大值，则0>0， 需要多少材料.所用材料中，横向梁所用木料与正 la210' 六边形的周长有关.某一风雨桥亭、塔共5层，若 则/2n=a,+17d>0 aw=3+17d>0 A,B。=6,B,B,=1.则这五层正六边形的周长总 即 ,得到 (a21=a3+18d<0 和为 a21-3 +18d<0 ae〔品)： a2+a4十a6=3a4=3a4十3d=1+3d, 1 为) A.100 B.110 答案) C.120 D.130 12.在等差数列{an}中，a1。=23,a2s=-22. 解析：C[由已知得：ABn=Am-1Bn-1一Bn-1Bn, (1)数列{an}前多少项和最大？ Bn-1Bn=…=B2B3=B1B2=BB1=1,因此数列 (2)求{an}的前n项和S, {AnBn}(n∈N,1≤n≤5)是以a1=AB,=6为 解：(1)由+9d=23, n得a1=50, 首项，公差为d=一1的等差数列，设数列{ABn} a1+24d=-22,d=-3,:8, (n∈N*,1≤n≤5)前5项和为S,因此有，S,= +(n-1)d=-3n+53. 令a>0,得<号当n≤17，m∈N时a>0: 5a,十号×5X4:d=5X6-2×5X4X1=20,所 以这五层正六边形的周长总和为6S=6×20= 当n≥18，n∈N*时，an<0,∴.{an}的前17项和 120.故选C.] 最大 14.某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流行， (2)当n≤17，n∈N*时，a1+a2|十…+an= 感染对象主要是成人和学龄儿童，寒冷季节呈现 a1十a2十…+an 高发，据资料统计，某市11月1日开始出现该病 2 毒感染者，11月1日该市的病毒新感染者共有20 ·35· 数学B版·选择性必修第三册 人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增 (50n-30,n≤t 加50人，由于该市医疗部分采取措施，使该病毒 故an= -30m+801-30,n≥t+11≤n≤30，n 的传播速度得到控制，从第t天起，每天的新感染 ∈N". 者比前一天的新感染者减少30人，直到11月30 (2)由1)可知，前t日患者共有S=(20+50t-301 日为止 (1)设11月n日当天新感染人数为am,求{an}的 =(25t2-5t)人. 通项公式（用t表示）； 又第t+1日有-30(t+1)+80t-30=(50t-60) (2)若到11月30日止，该市在这30日感染该病 人，第30日有-30×30+80t-30=80t-930人 毒的患者共有8670人，11月几日，该市感染此病 故t十1日至30日共30一t天的时间里共有S2 毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者 (50t-60+801-930)(30-2=-65t+2445t 2 人数 [解](1)由题意得，当n≤t时是以公差为50， 14850人，故1到30日共有S1+S2=25t-5t 首项为20的等差数列，此时a,=20十50(n-1)= 65t+2445t-14850=-40t+2440t-14850人 故-40t2+2440t-14850=8670→t2-61t+588 50n-30,(1≤n≤t). 0,即(t-12)(t-49)=0,又1≤t≤30，故t=12. 当n≥t十1时是以公差是-30，首项为50t-30的 当天新增患病人数为50×12-30=570人. 等差数列，此时an=50t-30-30(n-t)=一30n 故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最 +80t-30,(t+1n30) 多，这一天的新患者人数为570人 5.3 等比数列 5.3.1等比数列 第1课时 等比数列的概念 课程标准 素养解读 1.通过生活中的实例，理解等比数列的定义和通项公式的 在学习等比数列的定义和通项公式的过程中， 意义. 提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心 2.体会等比数列与指数函数的关系。 素养 课前。预习学案 对应学生用书P19 [情境引入] 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下 发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 面的数列： [知识梳理] 9,92,93,…,910 ① 100,100,1003,…,1000② [知识点一]等比数列的概念 5,52,53,…,510 ③ 1.等比数列概念 2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的 不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那 前一项的比都等于同一常数，那么这个数列叫做等 么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是 11111 比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字 2’481632… ④ 母q表示(q≠0). 3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每 20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从 ?思考1.能将定义中的“每一项与前一项的比”理 第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 解为“每相邻两项的比”吗？ 2,4,8,16,32,64,… ⑤ [提示]不能 ·36·