5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·选择性必修第三册 变式训练 3.[解]设第三个数为a,公差为d,则这5个数分别为a一2d, a-d,a,a+d,a+2d. 由已知有 (a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5, {a-202+(a-d02+a2+(a+d02+(a+2d2=85, 9； 5a=5, 整理得 2+10e-5解得a=1d=士号。 9 当d=号时，这5个数分别是-日写1，号子： 57 当d=-号时，这5个数分别是号，哥1，日-司 蛛上，这5个数分别是-日日1号号或子号1，日 1 一3 [例3]解方法一因为a1十a7=2a4,a1十a4十a7=3a4 =15,所以a4=5. 又因为a2a4a6=45,所以a2a6=9,所以(a4一2d)(a4十 2d)=9,即(5-2d)(5+2d)=9, 解得d=士2. 若d-2,an=a4+(n-4)d=2n-3,n∈N*; 若d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n,n∈N*. 方法二设等差数列的公差为d,则由a1十a4十a?= 15,得 a1+a1+3d+a1+6d=15,即a1+3d=5.① 由a2a4a6=45,得(a1+d)(a1+3d)(a1+5d)=45, 将①代入上式，得(5-2d)×5×(5+2d)=45,即(5-2d) (5+2d)=9,② 联立①②解得a1=-1,d=2或a1=11,d=-2, 即an=-1+2(n-1)=2n-3,n∈N*;或am=11-2(n 1)=13-2n,n∈N*. 母题变式 [解]设公差为d,则am=a1十(m一l)d, an=a1+(n-1)d,ap=a1+（p-1)d,ag=a1+(q-1)d, ar=a1+(r-1)d,a,=a1+(s-l)d, ∴.am十an+ap=3a1+(m+n+p-3)d,ag十a,十as=3a1 +(q+r+s-3)d, :'m十n十p=q十r+s,∴.am十an十ap=ag十a,十ar 变式训练 4.B[由等差数列的性质，得a1十a2o11=a2十a2010= 2a1006.因为a1,a2o11是方程x2-10x十16=0的两根，所 以a1+a30n=10,所以a+a1os十a200=2×10=15.] [例4]解：设使用n年后，这台设备的价值为am万元，则 可得数列{an}. 由已知条件，得anm=an-1-d(n≥2). 所以数列{an}是一个公差为一d的等差数列. 因为a1=220-d,所以am=220-d+(n-1)(-d)=220 -nd. 由题意，得a10≥11，a11<11. 印，0-1n华释19<d如a 所以，d的求值范围为19<d20.9. ·7 变式训练 5.C[设从2019年开始，该市每年新建住房面积为am万 平方米.由题意可知{an}是等差数列，首项a1=400,公差 d1=50所以an=400+(n-1)50=50n+350,令50n+ 350>820,解得n>号，由于n∈N“,则m≥10,2019+（10 一1)=2028，所以该市在2028年新建住房面积开始大于 820万平方米.] 当堂达标 1.A[由等差数列的性质，得a1十ag=2a5,又a1十ag= 10,即2a5=10,.a5=5.] 2.D[(a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+ 20=19.] 3.解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km 时，每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以可以建立一 个等差数列{amn}来计算车费.令a1=11.2,表示4km处 的车费，公差d=1.2,那么当出租车行至14km处时，n= 11,此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2 (元) 答案：32.2 4.[解]法一：设这三个数为a,b,c(a<b<c), 2b=a+c, a=4, 则由题意得a十b十c=18,解得b=6, (a2+b2+c2=116, c=8. 法二：设这三个数为a一d,a,a十d, 由已知得a-d)+a+(a+d)=l8, ① {(a-d)2+a2+(a+d)2=-116,② 由①得a=6,代入②得d=士2， 该数列是递增的，d=2,∴.这三个数为4,6,8. 5.2.2等差数到的前n项和 第1课时等差数列的前n项和公式 课前预习学案 情境引入 提示：高斯的算法：(1+100)+(2+99)+…+(50+51)= 101×50=5050. 知识梳理 知识点、S,=a1+nn21Dd 2 [思考] [提示]S,=3a十a4）-30,=21 2 预习自测 1.(1)/(2)×(3)/ 2.A[由a4=18-a5,可得a4十as=18,所以S,=8(a十ag) 2 4(a4十a5)=4X18=72.] 3.解析：S19 19(a1十ag2_19X2a10=190. 2 2 答案：190 4[解]S。=…号+02.(-子)=-15，基理得2- 2 7m-60=0,解得n=12或月=-5（舍去）02=号十(12-1） ×(2)=-4 课堂互动学案 [制日解0油是毫释，S-十a》_侣一】 2 2 -5,解得n=15. 又as=8+(15-1Dd=-d=-6n=15,d= （2由已知得S8a十a_84+a)=172,解得ag=39, 2 2 又a8=4+(8-1)d=39,.d=5..a8=39,d=5. 变式训练 1.解7（1)S=5a1+524d5解得a1=-5,d3 (a6=a1+5d=10, .ag=a6+2d=10+2×3=16, 5w=10a+10X94=10X(-5+5x9X3=s5 (2)S=17X(a,+a2=17×(a,+a12-17x40 2 2 2 =340. [例2](1)解析：C[利用等差数列的性质：Sm,S2m一Sm, S3m-S2n成等差数列. 所以Sn十(S3m-S2m)=2(S2m-Sn),即30+(S3m-100) =2(100-30), 解得S3m=210.] (2)解析：因为等差数列共有2n十1项，所以S奇一S偶= a:+1-,即132-120=132+120，解得n=10, 2m+1 答案：10 a1十ag 2 Sg=7×9_21 (3)解析：6-6+奶元。9十34 2 答案号 母题变式 解析：aa,均为等差到，则》-验-炎 管案品 变式训练 2.(1)A[设{an}的公差为d,则a5十a6十a7十ag=Sg-S4 =12,a,十a6十a1+ag)-S4=16d,解得d=子，a1十a2 +a13+a14=a1+10d+a2+10d+a3+10d+a4+10d= S4+40d=18.] (2)解析：因为an=2n十1，所以a1=3,所以Sm= n3+2n+D=m2+2,所以=n十2，所以气}是公差 2 八n了 为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10+ 10×9×1=75. 2 答案：75 ·7 参考答案 [例3][解]：等差数列{an}的首项a1=3,公差d=2, 前n项和5，=a1十nn2Dd=3m+n,1D×2= 2 2 +2a(aeN京-2a-2 1 (分)小写+京++发=[-号)计 (合)+（传）++（是）+ (信川-+合中) 3 2n+3 4一2(m+1)(n+2) 变式训练 3.[解]。，am-2m+D2(22x十}： 1 六S=1X3十3x5十5x7+…+(2m-3)(2m-1) .1 (2m-1)(2n+1)=2 [-)+(合-)+（后-）++(2 2n)十(n与2n中)月=2(（1-2n+）=24 S。-2+ 当堂达标 1.B[2a6-ag=a4=6,S=3a1+a)=7a4=42.] 2.AC[.S9=72,a7=10, 六a+y8xd-,8-4 (a1+6d=10 {d=1a,=4+(m-1x1 =十3，则S,=4++3》=2+7.放连Ac] 2 3.C[,{an}是等差数列，Sn,S2m-Sm,S3m-S2m成等差 数列， Ep 2(S2n-Sn)=Sn+(S3n-S2n), Sn=3,S3m=21, .2(S2m-3)=3十21-S2m,解得S2m=10,故选C.] 4[解]S,=…受+“2》·(）-15，些现得 R-7n一60=0，解得n=12或a=-5(会去)，0g=号十 12-1D×(号)=-4 第2课时等差数列前n项和的应用 课前预习学案 情境引入 提示：椅子总数36+，6X7×8=456(把) 2 知识梳理 知识点一、[思考] [提示](a4十a5十a6)-(a1十a2十a3)=(a4-a1)+(a5 a2)+(a6-ag)=3d+3d+3d=9d, (a?+ag+ag)-(a4+as+a6)=(a?-a4)+(ag-a5)+(ag- a6)=3d+3d+3d=9d.第五章数列 5.2.2等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和公式 课程标准 素养解读 1.经过等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽 1.探索并掌握等差数列前n项和公式. 象和逻辑推理的核心素养。 2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 2.通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推 理和数学运算的核心素养 课前。预习学案 [情境引入] 2思考等差数列{an}中，若已知a2=7,能求出前3 高斯(Gauss,1777 项和Sg吗？ 1855),德国数学家，近代数学 的奠基者之一，他在天文学、 00+100= 大地测量学、磁学、光学等领 域都做出过杰出贡献。 200多年前，高斯的算术老师 提出了下面的问题： 1+2+3+…+100=? 你准备怎么算呢？ [预习自测门 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“√”，错误的打“X”. (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起， 一直到第n项an所有项的和. () (2)若数列{an}的前n项和为Sn,则an=Sn-Sn-1, [知识梳理] n∈N'. () [知识点]等差数列的前”项和公式 (3)等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等 差中项的n倍。 () 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,若a4=18一 求和 a5,则Sg等于 () 公式 S,- n(a1+an） 2 A.72 B.54 C.36 D.18 3.在一个等差数列中，已知a1。=10,则S= 4.已知等差数列1a,巾，a1=是d=-2S=-15, 求n及a12. ·13· 数学B版·选择性必修第三册 课堂。互动学案 题型一等差数列前项和的有关计算“ 规律方法 1.等差数列前n项和的有关性质 [例1]在等差数列{an}中，(1)已知a1= 6,a= (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列 5=-5,求n和d: }也是等差数列，且公差为受 n (2)已知a1=4,Sg=172,求ag和d. (2)若Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项，前2m 项，前3项的和，则Sm,S2m一Sm,S3m一S2m也 成等差数列，公差为m2d. (3)设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为 哈- (4)若等差数列的项数为2n,则S2m=n(am十 规律方法 S偶=ant1 a+1),S0-Ss=nd,S装=a. a1,d,n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都 (5)若等差数列的项数为2n十1，则S2m+1=(2n十 可以用这三个基本量来表示，五个量a1,d,n,an, S。中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和 1aS,-5,=-a豪= 公式联立方程（组）求解，在求解过程中要注意整 2.等差数列前n项和运算的几种思维方法 体思想的运用 (1)邀体思路：利用公式S.=n(a,十a）,设法求 2 ⊙[变式训练] 出整体a1十an,再代入求解. 1.在等差数列{an}中， (2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设 (1)已知a6=10,S5=5,求ag和S10; Sn=An2十Bn(A≠0)，列出方程组求出A,B (2)已知a3+a1s=40,求S17. 即可，或利用5是关于n的一次函数，设 an十b(a≠0)进行计算， (3)利用SSm-S,Sn-S成等差数列进行求解。 ⊙[变式训练] 2.(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=8,S8 =20,则a11十a12十a13十a14= () A.18 B.17 C.16 D.15 题型二等差数列前项和有关的性质问题门 (2)等差数列{an}的通项公式是an=2n十1，其前n [例2](1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和 项和为Sn,则数列 的前10项和为 为100，则它的前3n项的和为 ( n A.130 B.170 题型四 裂项相消法求和 C.210 D.260 [例3] 等差数列{am}中，a1=3,公差d=2,Sn为前 (2)等差数列{a.}共有2n十1项，所有的奇数项之和为 132,所有的偶数项之和为120，则n等于 (3)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn, 汇思路点拔] 根据(an》为等差数列求出其前n项 和，根据 的通项特征，利用裂项相消法求和. 6: [母体变式] 将本例(3)条件变为：am:bn=(2n十1)：(3n一2)， 则 ·14· 第五章数列 规律方法 [当堂达标] 裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a6=ag十 将数列的每一项拆成两项（裂项）之差，并使它们 6,则S,等于 () 在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余 A.49 B.42 C.35 D.28 各项都能前后相消，进而求数列的前n项和 2.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S。 ⊙[变式训练] =72,a2=10,则 () 3.已知数列{a,}的通项公式为a,=(2m-1)(2n+1)’ 1 A.a=n+3 B.an=2n-4 求数列{an}的前n项和Sn cs.=i+名n 7 D.S,=n-n 3.一个正项等差数列前n项的和为3，前3n项的和为 21,则前2n项的和为 () A.18 B.12 C.10 D.6 4已知等差数列a中，a=多d=-言8=-15， 求n及a12, 第2课时 等差数列前n项和的应用 课程标准 素养解读 1.在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并 中，培养数学建模和数学运算的核心素养 能解决相应的问题， 2.在求等差数列前n项和最值过程中达成逻辑推理和 2.会求等差数列前n项和的最值. 数学运算的核心素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 为了达到比较好的音响和观赏效果，很多剧场的 [知识点一]等差数列{an}的前n项和Sn的性质 座位都是排成圆孤形的 等差数列中依次及项之和S,S2一S, 性质1 如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，而且剧场 S一S4,…组成公差为kd的等差数列 座位的排列规律是：第一排36个，以后每一排比前一 若等差数列的项数为2n(n∈N),则S2 排多6个，共有8排，你能帮这个公司算出共需要多 =n(a.+a),Sa-Sa-nd:Ss- S偶_a+l 少椅子吗？ an 性质2 (S奇≠0)； 若等差数列的项数为2n一1(n∈N*),则 S2m-1=(2n一1)an(an是数列的中间项)， S奇 Sa=n-1(S春≠0) S偶=a.'S街 n 性质3 {an}为等差数列→ 为等差数列 ·15