5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教B版）

[基础达标练] 1．为了参加学校的长跑比赛，某中学高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划．已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离．若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为(　　) A．34000米　　　　 B．36000米 C．38000米 D．40000米 解析：B　[根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为an，则a1＋a2＋a3＝3a2＝3600，故a2＝1200，a13＋a14＋a15＝3a14＝10800，故a14＝3600，则Sn＝(a1＋a15)×15＝(a2＋a14)×15＝36000.故选：B.] 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9＞a5，则Sn取得最小值时n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：B　[由7a5＋5a9＝0，得＝－.又a9＞a5，所以d＞0，a1＜0.因为函数y＝x2＋x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.] 3．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元．他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元．这次募捐活动一共进行的天数为(　　) A．15天 B．16天 C．17天 D．18天 解析：A　[设他们每天收到的捐款形成数列{an}，则由题可得{an}是首项为10，公差为10的等差数列，∴Sn＝10n＋×10＝1200，解得n＝－16(舍去)或n＝15，所以这次募捐活动一共进行的天数为15天．故选：A.] 4．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 014＝S2 019，Sk＝S2 012，则正整数k为(　　) A．2 018 B．2 019 C．2 020 D．2 021 解析：D　[因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 014＝S2 019，Sk＝S2 012，可得＝，解得k＝2 021.] 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，则数列{an}(　　) A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项 C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项 解析：C　[∵数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，令t＝n－1，t∈(0,1]，t是减函数， 则an＝t2－t＝2－， 由复合函数单调性知an先递减后递增． 故有最大项和最小项，选C.] 6．等差数列{an}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，则{an}的前n项和Sn的最大值为　________　. 解析：∵∴∴Sn的最大值为S5. 答案：S5 7．(多空题)某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则第5年的维修费是　________　万元，前10年维修费总和为　________　万元． 解析：由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费成等差数列．设从第二年起，每年的维修费构成的等差数列为{an}，则an＝12＋4(n－1)＝4n＋8，所以a5＝4×5＋8＝28(万元)，S10＝10×12＋×10×9×4＝300(万元)． 答案：28　300 8．如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位． (1)求第六排的座位数； (2)某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？ (提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参会人数最多) 解析：(1)依题意，得每排的座位数会构成等差数列{an}，其中首项a1＝9，公差d＝2，所以第六排的座位数a6＝a1＋(6－1)d＝19. (2)因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，第一排应坐5人，第二排应坐6人，第三排应坐7人，……，这样，每排就坐的人数就构成等差数列{bn}，首项b1＝5，公差d′＝1，所以数列前10项和S10＝b1＋×d′＝95. 故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议． [能力提升练] 9．(多选)等差数列{an}的前n项和Sn，且Sn＝，Sm＝(m，n∈N*，m≠n)，则下列各值中可以为Sm＋n的值的是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：CD　[因为等差数列{an}的前n项和Sn，所以可设Sn＝An2＋Bn(A，B∈R)，因为Sn＝，Sm＝(m，n∈N*，m≠n)， 所以，即， 解得， 所以Sm＋n＝A(m＋n)2＝＝＋2≥＋2＝4，当且仅当m＝n时等号成立，又m≠n，所以等号不能取得，因此Sm＋n＞4，故CD正确，AB错．故选：CD.] 10．(多选)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝3，an＋3＋(－1)nan＋1＝1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　) A．数列{an}为等差数列 B．a18＝10 C．a17＝12 D．S31＝146 解析：BD　[依题意得，当n是奇数时，an＋3－an＋1＝1，即数列{an}中的偶数项构成以a2＝2为首项，1为公差的等差数列，所以a18＝2＋(9－1)×1＝10，当n是偶数时，an＋3＋an＋1＝1，所以an＋5＋an＋3＝1，两式相减，得an＋5＝an＋1，即数列{an}中的奇数项从a3开始，每隔一项的两项相等，即数列{an}的奇数项呈周期变化，所以a17＝a4×3＋5＝a5，在an＋3＋an＋1＝1中，令n＝2，得a5＋a3＝1，因为a3＝3，所以a17＝－2，对于数列{an}的前31项，奇数项满足a3＋a5＝1，a7＋a9＝1，…，a27＋a29＝1，a31＝a4×7＋3＝a3＝3，偶数项构成以a2＝2为首项，1为公差的等差数列，所以S31＝1＋7×1＋3＋15×2＋＝146.] 11．已知数列{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝1，Sn表示数列{an}的前n项和，若当且仅当n＝20时，Sn取到最大值，则a2＋a4＋a6的取值范围是　________　. 解析：由a1＋a3＋a5＝1，得3a3＝1，即a3＝，a2＋a4＋a6＝3a4＝3a3＋3d，当且仅当n＝20时，Sn取到最大值，则， 则，即，得到d∈， a2＋a4＋a6＝3a4＝3a4＋3d＝1＋3d， 由d∈，可得＜1＋3d＜故答案为：， 答案： 12．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项和最大？ (2)求{|an|}的前n项和Sn. 解：(1)由得∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令an＞0，得n＜，∴当n≤17，n∈N*时，an＞0；当n≥18，n∈N*时，an＜0，∴{an}的前17项和最大． (2)当n≤17，n∈N*时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an ＝na1＋d＝－n2＋n. 当n≥18，n∈N*时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2－＝n2－n＋884. ∴Sn＝ [素养培优练] 13．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影．其正六边形的边长计算方法如下：A1B1＝A0B0－B0B1，A2B2＝A1B1－B1B2，A3B3＝A2B2－B2B3，…，AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn，其中Bn－1Bn＝…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，n∈N*.根据每层边长间的规律．建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0＝6，B0B1＝1.则这五层正六边形的周长总和为(　　) A．100 B．110 C．120 D．130 解析：C　[由已知得：AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn，Bn－1Bn＝…＝B2B3＝B1B2＝B0B1＝1，因此数列{AnBn}(n∈N*,1≤n≤5)是以a1＝A0B0＝6为首项，公差为d＝－1的等差数列，设数列{AnBn}(n∈N*,1≤n≤5)前5项和为S5，因此有，S5＝5a1＋×5×4·d＝5×6－×5×4×1＝20，所以这五层正六边形的周长总和为6S5＝6×20＝120.故选C.] 14．某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流行，感染对象主要是成人和学龄儿童，寒冷季节呈现高发，据资料统计，某市11月1日开始出现该病毒感染者，11月1日该市的病毒新感染者共有20人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部分采取措施，使该病毒的传播速度得到控制，从第t天起，每天的新感染者比前一天的新感染者减少30人，直到11月30日为止． (1)设11月n日当天新感染人数为an，求{an}的通项公式(用t表示)； (2)若到11月30日止，该市在这30日感染该病毒的患者共有8670人，11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数． [解]　(1)由题意得， 当n≤t时是以公差为50，首项为20的等差数列，此时an＝20＋50(n－1)＝50n－30，(1≤n≤t)． 当n≥t＋1时是以公差是－30，首项为50t－30的等差数列，此时an＝50t－30－30(n－t)＝－30n＋80t－30，(t＋1≤n≤30) 故an＝，1≤n≤30，n∈N*. (2)由(1)可知，前t日患者共有S1＝＝(25t2－5t)人． 又第t＋1日有－30(t＋1)＋80t－30＝(50t－60)人，第30日有－30×30＋80t－30＝80t－930人．故t＋1日至30日共30－t天的时间里共有S2＝＝－65t2＋2445t－14850人，故1到30日共有S1＋S2＝25t2－5t－65t2＋2445t－14850＝－40t2＋2440t－14850人故－40t2＋2440t－14850＝8670⇒t2－61t＋588＝0，即(t－12)(t－49)＝0，又1≤t≤30，故t＝12. 当天新增患病人数为50×12－30＝570人． 故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，这一天的新患者人数为570人 学科网（北京）股份有限公司 $