5.1.2 数列中的递推-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业（人教B版）

第五章数列 课时作业乡 数课时 5.1.2数列中的递推 学作业 纠错空间 [基础达标练] 6.数列a}满足a1=24=2,则a一 1数列宁宁日方…的递推公式可以定 ) 7.（多空题)已知数列{an}的通项公式an=n2一 2m(n∈N') 1 4n-12(n∈N*), A.a. 则这个数列的第4项是 ;65是这个 B.a,= nE) 数列的第 项 1 8.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n十1，n C.d-4(nEN') ∈N,求它的通项公式. D.an+1=2an(n∈N*) .1 2.在数列{a.}中，a1=3a,=（-1)”·2a-1(n ≥2)，则a5等于 () A.-16 3 ni 方法总结 c-8 D. 3数列a,的前n项和S,2沿则a, ( 2 A.3n(n+1) 2 B.n(n+1) 1 C.n(n+1) D.2m(n+1 4.已知数列{a.的项满足a+1一n十20，而a= n 1,通过计算a2,a3,猜想an等于 () A.(m+1 Ba(D c 1 D.2n-1 5.(多选)已知数列a,满足a1=1-上(m∈ an N*),且a1=2,则 () A.a3=-1 Ra-号 C.S-3 D.S2019= 2019 2 ·3· 世数学B版 选择性必修第三册 [能力提升练] [素养培优练] 9.数列{an}的a1=1,a=（n,an）,b=(am+1,n十 13.(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔 间 1),且a⊥b,则a10= ( 子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3， 纠错空间 A. B.、100 5,…,其中从第三项起，每个数等于它前面两 99 个数的和，后来人们把这样的一列数组成的 C.100 D.-100 数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列 10.(多选)若数列{an}满足am+1= {an}的前n项和，则下列结论正确的是 f2a0≤a.≤ 3 a1= 5 2a.-1,2<a<1 A.as=34 B.S8=54 则数列{an}中的项的值可能为 C.S2020=a2022-1 A司 B号 D.a1+a3+a5+…+a2o21=a2022 14.如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每 c告 一条边上居中的一条线段为边向外作正三角 1十a 1山.若数列{a}满足，a+1,=-a 形，便得到第1条“雪花曲线”（如图（乙）的实 a1=2, 线部分)，对第1条“雪花曲线”的边重复上述 则数列{an}前2022项的积等于 作法，便得到第2条“雪花曲线”（如图（丙）)， 方法总结 12.已知数列{an}中，a1=1,a4+1 3a aw+3(n∈ 这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲 线”.设第n条“雪花曲线”有an条边， N*),求通项an (1)写出a1,a2的值. (2)求出数列{an}的递推公式 。 ·生·参考答案 参芳 第五章数列 5.1数列的基础 5.1.1数列的概念 1.A[a5a.=2+1-2”=2>0,.a.+1>a,即{a}是 递增数列.门 2.A[因为a1=2×1+1,a2=2×3+1,a3=2×2+1,a4 =2X4十1，…，所以am=2n十1，故选A.] 3B[由题意可知4，行益第9项为品】 4.B[由题意可知an一1即是2的倍数，又是3的倍数，即 am-1是6的倍数，则am-1=6(n-1),(n∈N),所以 am=6n-5,所以a0=50×6-5=295,故选：B.] 5.BD[因为数列{a}的前4项为2,0,2,0，选项A:不符 合题设； 选项B:,a1=(-1)°+1=2，a2=(-1)1+1=0,a3=(- 1)2+1=2,a4=(-1)3+1=0,符合题设；选项C:,a1= 2sin受=2，a,=2sinx=0,a=2sin誓=-2不符合题 设；选项D:a1=cos0+1=2,a2=cosπ+1=0，a3=c0s2r 十1=2，a4=c0s3π十1=0，符合题设.] 6.(-∞，0)[am+1-an=k(n+1)-kn=k<0.] 7.解析：令 ==√10-3，即√n十1-√n=v√10 n+w√n+ 3,.n=9. 答案：9 8.解析：(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图象如图1. (2a=2a,=号a,=号a,=号4，=号.图象如图2 3 4 d ank 4 3 3 2· 012345n 012345i 图1 图2 9.ABD[数列(”}的第及项为1十名，A正确：B,令 n n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去)，B正确；C, 将3,5,9,17,33，…的各项减去1，得2,4,8,16,32，…， 设该数列为{b.},则其通项公式为bn=2”(n∈N),因此 数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为an=bn十1=2 十1m∈NC错误Da.n行=1则a:-a, 1 1 1 1 十n十2-(n+1)(m+2分>0，因此数列{a}是递 增数列，D正确，故选：ABD.] 10.B[Va+√ag+…+Va=nn+ 2 .a+Va+…+Va.1=nn21D(m≥2)， 两式相减得√a=nn,1)_nm。1D=, 2 2 ∴.am=n2,(n≥2). 又当n=1时，√a=1义2=， 2 an=n2.n∈N.故选B.] 11.解析：当n≥2时，a,-a1=2n-1十 (2m-3+2产)）=2-会，因为数列a,}为单洞递增数 列，所以2-会>0对n≥2n∈N)恒成立， 即1<2+1对n≥2(n∈N)恒成立，所以A<8, 所以0，=5十合<6，故a,的取值范围为(-∞，6. 答案：(-∞，6) 课时作业乡 答案 12.A 13.解析：由题意可知数列天千是10个为一个循环的循环 数列，地支是以12个一个循环的循环数列，从2020年 到2049年一共有30年，且2020年为庚子年，则30÷10 =3,2049年的天千为已，30÷12=2余6,2049年的地 支为已，故2049年为已已年。 答案：已已 14.解析：由题意及图形知，不妨构造数列{an}表示第n行 实心圆点的个数的变换规律，其中每一个实心圆点的 下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点，每个空 心圆点下一行均为实心圆点.故从第三行开始，每行的 实心圆点数均为前两行实心圆点数之和.即a1=0,a2 =1,且n≥3时，an=a.-1十a-2,故第1行到第13行中 实心圆点的个数分别为：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34， 55,89,144. 答案：144 5.1.2数列中的递推 1.C[由题意可知，数列从第二项起，后一项是前一项的 1 ,所以递推公式为a+1=2a,(n∈N).] 2B[对a猴次取2,34,5得a=(-10·2X写-号， a=专a=-g4=9 4 3.B[当n=1时a1=S=1,当n≥2时a.=S。-Sm-1= n+1 n一nm十D,验证，当n=1时a1满足，故 2n_2(n-1) 2 选B.」 4Ba=1=灵2a平24a=号-最3 2 网理a-言-及精想a品 ,n(n+1)] 5.ACcD[由题意a=1-名名a=1-上=-1，A正 1 2 确，S=2+号-1=号，C正瑞：a,=1-马=2，数 列{an}是周期数列，周期为3. a2019=a3×673=a3=-1,B错； San=673×号-209，D正，放选：ACD.] 6解折：由a1=2得a,=1-da=2a, 1-3-合， 4,=1-=-1a,=1-1=2,… as 1 .{an}是以3为周期的数列，a1=a,=2, 答案：日 7.解析：由a4=42-4×4-12=-12,得第4项是-12；由 an=n2-4n-12=65,得n=11或n=-7(舍去)，∴.65 是第11项. 答案：-1211 8.解：当n=1时，a1=S1=0; 当n2时，a,=S.-S.-1=2n2-3m+1-[2(n-1)2-3 (n-1)+1]=4n-5, 又当n=1时，不符合上式. 故a,=8a≥2. 9.D[因为aLb,所以na+1十(n十1)a,=0,即a=- n开所以2=-，2-2，品=一3 an+1 ’a100 99 100 巴数学B版 所以×x…X0=-×(-号)(-》 a2 a3 as `a100 1 ×(-100)=-700, 所以2=-0又a=1,所以aw=-10,故选D.] 1 a100 1 10.ABC[数列{an}满足aa+1= 12an,0≤am≤2 ，a1 2a,-1,2<a.<1' 3 ，依次取n=1,2,3,4,…代入计算得，a2=2a1-1 .1 2 4 ，a3=2a25,a4=2a日5，a5=2a,-15号 a1,因此继续下去会循环，数列{an}是周期为4的周期 鼓列，所有可能取值为：日，号，号，吉，故选ABC] 1十am+1= 1+1+a 11.解析：a+1=1-a. 中1一a.= 1十a,则a+2=1=a+11-a 1 所以，an+4=一 1一 1 an+2 1 =an, an =1+41=1+2 :a=2,则a,-2号-3，所以数列{a,}是 以4为周期的周期数列，且Qnam+1a+2aa+3=a,·am+1 1）=1,所以{a}的前2022项的积为 a1a2·ag·a4a202=a1a2X1505=2X(-3)= -6. 答案：一6 12.解：将am+1= 。343两边同时取倒数得：1一8，十3 an+1 3a 则2=+即= a1,a3' 1 。=3-=3，…, 把以上这(n-1)个式子累加，得1-1”-1 ana13· a=1ia,2aeN） 13.BCD[对于A,可知数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13， 21,故A错误；对于B,S8=1+1+2十3+5+8+13+21 =54,故B正确；对于C,可得，an=am+1一a1（n≥2)， 则a1十a2十ag十a4+…+an=a1十(ag-a1)+(a4-a2) +(a5一a3)十…+(aa+1-am-1） 即S.=-a2十aa十am+1=an+2-1,.S202o=a2022-1, 故C正确； 对于D,由a.=aa+1一a-1(n≥2)可得，a十a3十as十… 0&B0aFa-a）+一am-a） 14.解：(1)a1=12,a2=48. (2)由“雪花曲线”的作法可知 第n条“雪花曲线”的每条边都可得到第n十1条“雪花 曲线”的四条边. am+1=4a..数列{an}的递推公式为an+1=4an 5.2等差数列 5.2.1等差数列 第1课时等差数列的定义 1 1.D[依题意，a2十a=a1十d+a1+4d=4,代入a1=3, 号.所以a,=a十(m-1d=号+(m-1Dx号 得d= 21 3n-3,令an=35,解得n=53.] 2.B[因为在等差数列{an}中，S,-S2=45,所以a3十a4 十a5十a6十a,=5a5=45,所以a5=9,故选B.] ·4 选择性必修第三册 3.B[lan1=|70+(n-1)×(-9)1=|79-9n|=9 8子-m=9时，a最小.] 4A[因为a。-24,-1,故2-号ah-合所以 /111 1 1 ag十1a3+ +23×16=号+号=1，故a。 4 0,故选A.] 5.ABC[对于A,若S6=Sg,必有Sg-S=a6十a,+ag+ a=2(a,+a)=0,则a,十a4=0,54=14X(a十a12 14×(a,十a82=0,A正确， 2 对于B,若S5=Sg,必有Sg-S=a6十a,十ag十ag=2(a +ag)=0,又由a1>0,则必有S,是S。中最大的项，B 正确； 对于C,若S6>S,则a,=S2-S6<0,又由a1>0,必有 d<0,则ag=Sg-S,<0,必有S,>Sg,C正确； 对于D,若S6>S1,则a,=S,一S:<0,而a6的将号无法 确定，故S>S6不一定正确，D错误.故选ABC.门 6.解析：.a十(3-a)=2(2a-1),.a= 4“这个等差数 5. 列的前三项依次为5,3,7， ’这4心d=1, a,=5+(m 4 1Dx号-号+1，aeN 答案：a,=冬+1，n∈N 7.解析：由题意，数列{an}满足2an+1一2an=1,即a+1一am =是，又由a=2,所以数列a,}首项为2，公差为合的 等差数列，所以a11=a,十100d=2+100×号=52. 答案：52 8.[解](1)：an=5n+4,则a+1=5(n十1)+4=5n+9, .a+1-an=(5n十9)-(5n十4)=5，所以，数列{an}是 等差数列，且公差为5； (2)令am=104,即5n+4=104,解得n=20;令a.=110, 即5m十4=110，解得n=106.所以，104是该数列的第20 51 项，110不是该数列中的项. 9.BCD[对于A项，根据等差数列的定义可知，数列6,4， 2,0的公差为一2，A错误；对于B项，由等差数列的定义 可知，数列a,a一1，a-2,a-3是公差为一1的等差数 列，所以B正确；对于C项，由等差数列的通项公式an= a1+(n-1)d,得an=dn+(a1-d),令k=d,b=a1-d, 则an=kn十b,所以C正确；对于D项，因为a+1一an=2 ·(n十1)+1-(2n十1)=2，所以数列{2n+1}(n∈N) 是等差数列.] 10.ABC[由题知，只需a=2-2d0→0<d<1,a4· ld>o a4=(2-d)·(2+d)=4-d<4,A正确；a+a4=(2 -a0+(2+d)=d-3d+6≥平，B正确：+ a as 2-2a十2+2a1-d>1,C正确a1·a,-a·a4= 1 1 (2-2d)·(2+2d)-(2-d)·(2+d)=-3d2<0,所 以a1·as<a2·a4,D错误.] 11.解析：2=1+1(m∈N),数列{1}是等差 an+1 anan+2 数列.又1-1=2-1=1,2=1十(m-1)=,0 az a an n 答案a.=月 12.[解](1)证明：根据题意a=号及递推关系a≠0.因 .取倒数得1=1十4，即上-1 为am=1+4an-1 an an-1 an an-1