5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·选择性必修第三册 5.2.2等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和公式 课程标准 素养解读 1.经过等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽 1.探索并掌握等差数列前n项和公式. 象和逻辑推理的核心素养。 2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 2.通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推 理和数学运算的核心素养 课前。预习学案 对应学生用书P3 [情境引入] (2)若数列{an}的前n项和为Sn,则an=Sn一S,-1,n 高斯(Gauss,1777 ∈N*. 1855),德国数学家，近代数学 t中0月 (3)等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差 的奠基者之一.他在天文学、 中项的n倍. ( 大地测量学、磁学、光学等领 答案：(1)√ (2)×(3)/ 域都做出过杰出贡献 200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a,=18 1+2+3+…+100=? 你准备怎么算呢？ a,则S。等于 提示：高斯的算法：(1+100)+(2+99)+…+(50+ A.72 B.54 51)=101×50=5050. C.36 D.18 [知识梳理] 解析：A[由a,=18-a5,可得a4十a=18,所以 [知识点] 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 Ss 8(a十as）=4(a4十a)=4X18=72.] 求和 S n(a1+an） S。=na,+nn2-1Dd 3.在一个等差数列中，已知a1w=10,则Sg= 公式 2 2 解析：S1。 19(a,十ao)_19×2an=190. 2 2 ?思考1.等差数列{an}中，若已知a2=7,能求出前 答案：190 3项和S,吗？ [提示] S,=3(a十a) =3a2=21. 4已知等差数列a,中，a=号d=-5.=-15, 2 求n及a12 [预习自测] 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 [解]Sn=n· 2+n2D.(-)=-15,整 2 打“√”，错误的打“×” 理得n2一7n-60=0,解得n=12或n=-5（含 (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一 直到第n项a,所有项的和. )=多+(12-1D×(2)=-4. ·24· 第五章数列 课堂。互动学案 对应学生用书P14 题型一“等差数列前项和的有关计算 (2)等差数列{an}共有2n十1项，所有的奇数项之和为 132,所有的偶数项之和为120，则n等于 [例1]在等差数列{a,}中，(1)已知a1= 6a 解析：10[因为等差数列共有2n十1项，所以S寺一 ,S=-5,求n和4： 3 S。=a品即152-1201密，部得a=10] S2+1 (3)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tm, (2)已知a1=4,S8=172,求a8和d. 5 [解] (1)由题意得，S,=n(a十a) 2 a1十ag =-5,解得n=15. 解析：6 as 2 S4_7×9_21 b1+bs Tg9+341 又a:=号+5-1D1=-d= 6..n 答案 15,d=-6 [母体变式] (2)由已知得S,=8(a十a) 8(4+as）=172,解 将本例(3)条件变为：an:bn=(2n十1)：(3n-2), 2 2 得ag=39,又as=4+(8-1)d=39,.d=5.as= 39,d=5. 解析：{a},{6,}均为等差数列，则三=90 T。=9b 规律方法 2×5+1_11 a1,d,n称为等差数列的三个基本量，a,和S,都 3×5-2131 可以用这三个基本量来表示，五个量a1d,n,an, 答案片 S中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和 公式联立方程（组）求解，在求解过程中要注意整 规律方法 1.等差数列前n项和的有关性质 体思想的运用 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列 ⊙[变式训练] L.在等差数列{an}中， {侣}也是等差数列，且公差为号 (1)已知a6=10,S=5,求a8和S1o; (2)若Sn,Sm,S3m分别为{an}的前m项，前2m (2)已知a3十a1s=40,求S17 项，前3m项的和，则Sn,S2m一Sn,S3m一S2m也 成等差数列，公差为md. [解] S-a=5解4a,=-d-8 (1) (3)设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为 (a6=a1+5d=10, S2m-1 ∴.ag=a6+2d=10+2×3=16, S。=10a,+10X94=10X(-5)+5×9X3=85. (4)若等差数列的项数为2n,则S2m=n(a,十 2 S度_antl (2)S12 17×(a1十a17)_17×(a3十a1s)_17×40 a,+),5-5=d, an 2 (5)若等差数列的项数为2n十1，则S2n+1=(2n十 =340. S=n 题型三等差数列前项和有关的性质问题门 1)a+1,S-S专=一a+1'S秀n十T 2.等差数列前n项和运算的几种思维方法 [例2](1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和 为100，则它的前3n项的和为 ( ) 1)整体思路：利用公式S.=@十a》,设法求 2 A.130 B.170 出整体a1十an,再代入求解. C.210 D.260 (2)待定系数法：利用S,是关于n的二次函数，设 解析：C[利用等差数列的性质：Sn,S2m一Sn,Sm S。=An十Bn(A≠0)，列出方程组求出A,B 一Sn成等差数列. 所以S,十(Sn-Sn)=2(S2,-S),即30十(Sm 即可，或利用》是关于0的一次函数：设》 17 100)=2(100-30), an十b(a≠0)进行计算 解得S3m=210.] (3)利用S,S,-S,S一S成等差数列进行求解. ·25· 数学B版·选择性必修第三册 ⊙[变式训练】 ◇[变式训练] 2.(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=8,S8 =20,则a1十a12十a13十a14= 3.已知数列{a,}的通项公式为a,=(2m-(2n+ A.18 B.17 求数列{an}的前n项和Sn C.16 D.15 解析：A[设{an}的公差为d,则a5十a6十a,十as .S。= 1 1 1 =S8-S4=12,(a5十a6十a,+a8)-S4=16d,解得 1X3+ 3X5 十5×7 d=子an+ae十aa+a:=a+10d+a+10d+ 1 (2n-3)(2n-1)千(2n-1)(2n+1)=2 a3+10d+a4+10d=S4+40d=18.] 【0)计居)（合）++( (2)等差数列{an}的通项公式是an=2n十1，其前n 项和为5则数列倍}的前10项和为 )(】=÷〔-) 解析：因为an=2n十1，所以a1=3,所以Sn= 2n+1 n3+2n+D=m+2m,所以S 2 =n十2，所以 [当堂达标] 1.已知等差数列{an}的前n项和为S。,若2a6=a8十 侣}是公老为1，首项为3的等无数列，所以请10 6,则S,等于 A.49 B.42 项和为3×10十10X9×1=75. C.35 D.28 2 答案：75 解析：B[2a-a。Q,=6,S,三g(a1+a)=7a 题型三 裂项相消法求和 =42.] 2.(多选)记S。为等差数列{an}的前n项和，已知S [例3] 等差数列{an}中，a1=3,公差d=2,Sn为前 =72,a2=10,则 n项和，求号+尽十叶 A.a=n+3 B.an=2n-4 [思路点拨]根据{an》为等差数列求出其前n项 Cs,=+0 D.S,=n2-n 和，根据{}的通项特征，利用裂项相消法求和。 解析：AC[,S。=72,a,=10, s. a1=4 [解]：等差数列{an}的首项a1=3,公差d=2, 0,+98×1=2 (a1+6d=10 d=1 ∴.an=4+(n 小前n项和S,=ma,十nn一-1 2 d=3n+nn-1) 2 1DX1=+8,则5-4+十》=7+ 2 2n.故 1 1 21+2m(n∈N),·5=m十20nm十2万 选AC.] 3.一个正项等差数列前n项的和为3，前3n项的和为 日)：京十京+…+点 21,则前2n项的和为 ( 0)计 A.18 B.12 C.10 D.6 是-)片（居）+…+（已） 解析：C[{an}是等差数列，∴.Sn,Sm-Sn,Sm Sn成等差数列， 日】(1+日十) Ep2(S2n-S)=S+(San-S2n), Sn=3,S3m=21, 3 2n+3 .2(S2n-3)=3十21-Sn,解得S2n=10,故选C.] 2(n+1)(n+2) 4已知等差数列a,中0，=号d=-分S=-15, 规律方法 求n及a12 裂项相消法求数列的前项和的基本思想是设法 [解=…2+a2D.()-15 将数列的每一项拆成两项（裂项）之差，并使它们 在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余 整理得n2-7m-60=0,解得n=12或n=-5(含 各项都能前后相消，进而求数列的前n项和. )=+12-Dx(2)-4 ·26· 第五章数列 课时。素养提升 对应学生课时P8 [基础达标练] 解析：BC[数列{an}是等差数列，由S,=S1,则 1.已知等差数列{an}中，a2=7,a4=15,则S1等于 S11-S,=ag+ag十a1o十a11=2(ag十a1w)=0,ag+ ( a1o=0,又因为数列{an}是递减数列，所以ag>0, A.100 B.210 C.380 D.400 ao<0,故A错误、B正确.S,=17a,十a2 2 解桥：B[d-号-152=4又4十d=7 2 17ag>0,故C正确；S1g 19(a,+a2=19aw<0, 2 a=3.÷5。=10a,+10X9d=10X3+45×4 故D错误.故选：BC.] 2 =210.] 2.在等差数列{an}中，a十a+2a3ag=9,且an<0, 6设5.是等差数列{a,的前n项和，若兰-=品则 则S1。等于 ( Su S A.-9 B.-11 C.-13 D.-15 51 解析：由等差数列的前n项和公式可得： 解析：D[由a十a十2aas=9,得(a十as)2=9, “a,<0,a十as=-3,S。=10aan2_ 11(a1+a1m) 11×2a 2 2 2 5(a1+a5) 5X2as 号×8=号×=1 10(a3十a8）_10×(-3) 2 2 2 =-15.] 3.设等差数列{an}的前n项和为S,若S=9,S。= 答案：1 36,则a,十ag十a等于 7.已知等差数列{an}中，S,为其前n项和，已知S= A.63 B.45 9,a4十a5十a6=7,则S。-S6= C.36 D.27 解析：S,S6一S3,S4一S6成等差数列，而S=9, 解析：B[:a,十ag十ag=S,一S6,而由等差数列 S6-S3=a4十a5十a6=7,∴.Sg-S6=5. 的性质可知，S,S6一S3,S,一S6构成等差数列，所 答案：5 以S3十(Sg-S6)=2(S6-S3),即a,+a8+ag=Sg 8.在等差数列{an}中， -S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.] (1)已知a。=10,S5=5,求a8; 1 1 111. 32X43X54X6十…+m十2 (2)已知ata,袋求s [解](1)方法一a=10,S,=5, A.n(n+2) -4化 (d=3. .a8=a6+2d=16. n+1n+2 方法二S。=S,十a,=15,15=6(a十a),即 2 n(- 3(a1+10)=15. 解析：C [通项a=n=（)》 .41=-5,d=0sa=3.a6=a6+2d=16. 5 “原式= [-)+(合)+（合）… (2)方法-a:ta,=a,十d+a,十d=袋∴a +〔)+日](+号 +2d-兽 ∴5，=5a,十10d=5a,+2d)=5x琴=24. 5.(多选)已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn, 若S,=S1,则 ( 方法二a,ta,=a1 t@s.ia+a,=9S, A.a>0 B.当n=9时，Sn最大 C.S1,>0 D.S>0 5(a十as2=5×48=24. 2 2 ·27· 数学B版·选择性必修第三册 [能力提升练] 第二步写出数列的通项公式，找到正、负分界等 9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Snm-1=一2， 于零的项， Sm=0,Sm+1=3,则m= 由am=20+(n-1) A.3 B.4 C.5 D.6 =0. 解析：C[(a,}是等差数列Sn=m(a,+a 即当n≤12时，am>0,当n≥14时，a,<0. 2 当n=12或n=13时，Sn取得最大值. 0→a1=-am=-（Sm-Sm-1）=-2,又am+1= 第三步找到n后，代入等差数列的前n项和公 Smt-S=3,d=amti-am=1:3=amti=a1+ 式即可求出最大值 m=-2十m→m=5,故选C.] ∴.S,的最大值为S12=S13 10.（多选)已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn, 且2a1十2a3=Ss,下列结论中正确的是( =12×20+1211×( 5 =130. A.S,最小 B.S13=0 [素养培优练] C.S,-S. D.a=0 13.(多选)已知等差数列{a。}的公差d≠0，前n项和 解析：BCD[设等差数列{an}的公差为d.由2a1 为Sn,若S,=S12,则下列结论中正确的有() +2a,=S有2a+2(1+2=50,+4a,即 A.a1:d=-17:2 a1十6d=0,所以a,=0,则选项D正确.选项A. B.S18=0 S=a,+7d=7a十3d)=-21d,元法别断 C.当d>0时，a+a14>0 D.当d<0时，a6>a14 其是否有最小值，故A错误.选项B.S。=十 解析：ABC[因为{an}是等差数列，前n项和为 2 Sn,由S6=S12得：S12-S6=a7十a8十ag+a10十a1 ×13=13a,=0,故B正确.选项C.Sg一S4=ag十 a8十a7十a6十a5=5a7=0,所以S4=S4,故C正 十a12=0,即3(ag十a1w)=0,即ag十a1w=0,对于 确.故选：BCD.] 选项A:由ag十a1=0得2a1+17d=0,可得a1:d 11.(多空题)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和 =一17：2，故选项A正确；对于选项B:S18= 为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 18(a1十a1s)_18(a,十am》=0,故选项B正确；对 2 2 ,项数是 于选项C:a6十a14=ag十a1m=ag十a1n十d=d,若 解析：设等差数列{an}的项数为2n十1，S寺=a1十 d>0,则a6十a14=d>0,故选项C正确；对于选项 a十…十a+1= (n十1)(a,十a2a+）=(n+1) 2 D:当d<0时，a6十a14=d<0,则a6<-a14,因为 +1,S%=a2十a,十a。十…十a2.=na十an2 d<0,所以a6>0,a14<0, 2 所以a<a14|,故选项D不正确，故选：ABC.] 所以中持解学3所以项致 14.设首项为a1,公差为d的递增等差数列{an}的前 n项和为Sn,其中a1,d为实数，若S·S4十12= 2n+1=7,S寺-S%=an+1,即a4=44-33=11为 0,则d的取值范围是 所求中间项. 答案：113 解折：因为S,=3a,+3X2×d=3a,十3d,S. 2 12.在等差数列{an}中，前n项和为Sn,已知a1=20, 且S。=S5,求当n取何值时，S,取得最大值，并 a,+21=4a十6d,所以S·S+12=(3a 求出它的最大值， +3d)(4a1+6d)+12=0,所以2a+5a1d+3d2 解：第一步利用已知求出公差d. 十2=0，因为关于a1的方程有实数根，所以△= .'a1=20,S1w=S15, 25d-4×2×(3d2十2)≥0，即d2≥16，解得d≤ 10×20+10X91=15×20+15X14d. 一4或d≥4，又数列{an}为递增数列，则d≥4， d的取值范围是[4，十∞). .d=-5 答案：[4，十o∞) ·28·