5.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·选择性必修第三册 晷长逐渐变小 春分 雨水惊蛰0清明谷雨 立春330· ·30立夏 大寒300· 60小满 小寒， 。芒种 冬至270 90夏至 个大雪· ·小暑 小雪24 。120大0/ 立冬210 0150立秋 霜降寒露180白露处暑 秋分 晷长逐渐变大 A.11.5 B.12.5 C.13.5 D.14.5 解析：C[由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒 立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒 种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，设冬 第2课时 等差数 课程标准 1.了解等差数列的有关性质 2.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决 的问题 课前0 [情境引入] 观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题。 ①我国有用12生肖纪年的习惯，例如2017年是 鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017,2029， 2041,2053,2065,2077,…; ②我国确定鞋号的脚长使用毫米来表示，常用确定鞋 号脚长值按从大到小的顺序可排列为275,270,265， 260,255,250。…; ③2022年1月中，每个星期日的日期为 2,9,16,23,30. 数列①②③在数学中都称为等差数列，它们有什么共 同点？ [知识梳理] [知识点一]等差中项 1.条件：如果a,A,b成等差数列. 2结论：那么A叫做a与b的等差中项. 3满足的关系式是2A=a十b. 至的日影长为a1,公差为d,则a1十a4十a,=31.5, a十a6十a=25.5,两式相减得-6d=6,解得d= -1,所以a1十a4十a,=3a1十9d=31.5,解得a1= 13.5,故选：C.] 14.在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差 数列. 第1列第2列第3列 第1列 1 2 3 第2列 4 6 第3列 6 9 那么位于表中的第n行第(n十1)列的数是 解析：由题意可得，第n行的第一个数是n,第n行 的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，其中 第(n十1)项为n十n·n=n2十n.所以题表中的第 n行第(n十1)列的数是n2十n. 答案：n2十n 列的性质及实际应用 素养解读 1.通过对数列有关性质的学习，提升逻辑推理、 数学运算的核心素养。 相应 2.通过等差数列解决实际问题，达成数学建模 的核心素养. 预习学案 对应学生用书P10 。思考1.观察所给的两个数之间，插入一个什么数 后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0. [提示]插入的数分别为3,2，a十b, 2,0. [知识点二]等差数列通项公式的变形及推广 ①an=dn+(a1-d)(n∈N*), ②an=am+(n-m)d(m,n∈N), ③d=a。-a(m,n∈N,且m≠m). n-m 其中①的几何意义是点(n,an)均在直线y=dx十(a1 -d)上 ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不 必求a1. ③即斜率公式=二出，可用来由等差数列任两项 x2一x1 求公差。 [知识点三]等差数列的性质 在等差数列{an}中，若m十n=p十q(m,n,p,q∈ N),则am十a=ap十ag.特别地，若m十n=2p,则 am十an=2ap: [知识点四]由等差数列衍生的新数列 若{an},{bn}分别是公差为d,d'的等差数列， 则有 数列 结论 (c+a 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an十an+k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan十gbn} 公差为pd十qd的等差数列(p,g为常数) [预习自测] 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“/”，错误的打“X” (1)若数列{an}的通项公式an=kn十b,则{an}是公差 为k的等差数列. (2)等差数列{an}中，必有a1w=a1十ag. ( (3)若数列a1,a2,a3,a4,…是等差数列，则数列a1, a3a5,…也是等差数列. () (4)若数列a1,a3,a5,…和a2,a4,a6…都是公差为d 的等差数列，则a1,a2,a3…是等差数列.（) 答案：1./2.×3./4.× 2.已知数列{an}为等差数列，a3=6,a,=18,则公差d 为 () A.1B.3C.2D.4 解析：C[因为数列{an}为等差数列，所以ag=a3 +6d,即18=6+6d,所以d=2.] 3.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59， 则这三个数的积为 课堂 题型一 等差中项 [例1]在-1与7之间顺次插人三个数a,b,c使这 五个数成等差数列，求此数列. [解].-1，a,b,c,7成等差数列，.b是-1与7 的等差中项，b=1。+7=3.又4是-1与3的 2 等差中项，a=二1+3=1.又c是3与7的等差 2 中项，c=37=5.该数列为-1,1,3,5,7. 2 ·1 第五章数列 解析：设这三个数为a一d,a,a十d, 则-d+a十a+d=9, (a-d)2+a2+(a+d)2=59, 好行名仁 .这三个数为-1,3,7或7,3，-1. ∴.这三个数的积为一21. 答案：一21 4.在等差数列{an}中， (1)已知a2十a3十a23十a24=48,求a13; (2)已知a2十a3+a4十a5=34,a2·a5=52,求公 差d. 解：方法一(1)直接化成a1和d的方程如下： (a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d) =48, 即4(a1+12d)=48, .4a13=48,.a13=12. (2)直接化成a1和d的方程如下： (a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a,+4d)=34, (a1+d)·(a1+4d)=52, 解得01·支，=16. d=3d=-3. .d=3或-3. 方法二(1)根据已知条件a2十a3十a23十a24=48, 得4a13=48,∴.a13=12. (2)由a2+a3十a4十a5=34, 得2(a2十a5)=34,即a2十a5=17, 解/a:·a=52, (a2+a5=17, 得4，=4或0：=13. (a5=13a5=4. d=ag=134=3或d=8g=413=-3. 5-2 3 5-23 互动学案 对应学生用书P11 规律方法 三数a,b,c成等差数列的条件是b=a十S(或2b 2 =a十c),可用来解决等差数列的判定或有关等差 中项的计算问题.如若证{an}为等差数列，可证 2a+1=a,十aa+2(n∈N). ⊙[变式训练] 1.已知数列8，a,2,b,c是等差数列，则a,b,c的值分 别为 数学B版·选择性必修第三册 解析：因为8，a,2,b,c是等差数列，所以 8+2=2a, a=5, a十b=2×2,解得{b=-1, 2+c=2b. c=-4. 答案：5-1-4 2.已知数列{an}中，a3=2,a,=1,且数 {a}为 等差数列，则a5= 解析：由数列{十}为等差数列，则有 1 1 2 7 a,十a,干，可解得a,= 答案：号 题型】 灵活的设元解等差数列 [例2]已知四个数成等差数列，它们的和为26，中 间两项的积为40，求这四个数 [解]法一：（设四个变量）设这四个数分别为a,b, [b-a=c-b-d-c, c,d,根据题意，得{a十b十c+d=26,解得 bc=40, fa=2, fa=11, b=5, b=8, 或 c=8, c=5, d=11 ld=2, .这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法二：（设首项与公差）设此等差数列的首项为a1, 公差为d,根据题意， 得，+a,+d)+(a1+2d)+(a,+3d)=26, (a1+d)(a1+2d)=40, 14a1+6d=26, 化简，得 (a+3a1d+2d=40, 解得=2或 (a1=11, (d=3, d=-3, .这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2 法三：（灵活设元）设这四个数分别为a一3d,a一d, a十d,a十3d,根据题意，得 (a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26, (a-d)(a+d)=40, 13 4a=26, a= 2 化简，得 解得 a2-d2=40, a= .这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. · 规律方法 1.当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时， 可直接设首项为a1,公差为d,利用已知条件建 立方程组求出a1和d,即可确定数列. 2.当已知数列有2n项时，可设为a一(2n-1)d,…,a -3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+(2n-1)d,此时公 差为2d 3.当已知数列有2n+1项时，可设为a-nd,a一 (n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,a 十nd,此时公差为d. ◇[变式训练] 3.已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为 智求这5个数。 [解]设第三个数为a,公差为d,则这5个数分别 a-2d,a-d,a,ad,a+2d. 由已知有 ,(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5, a-2d)+a-d02+a2+(a+d02+(a+2d)2_85 50=5, 整理得 +104-5解得a=1d=士号， 91 当d= 时，这5个量分别是3日1，号子 57 当d= 号时这5个最分别是了号1，了，宁 11 始上，这5个数分别是-日方1，营号我子营 题型 等差数列性质及应用 [例3]已知等差数列{an}中，a1+a4十a,=15, a2a4a6=45,求此数列的通项公式. 解方法一因为a1十a7=2a4,a1十a4十a,=3a4 =15,所以a4=5. 又因为a2a4a6=45,所以a2a6=9,所以(a4一2d) (a4+2d)=9,即(5-2d)(5+2d)=9, 解得d=土2. 若d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3,n∈N"; 若d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n,n∈N. 方法二设等差数列的公差为d,则由a1十a4十a =15,得 a1+a1+3d+a1+6d=15,即a1+3d=5.① 由a2a4a6=45,得(a1+d)(a1+3d)(a1+5d)=45, 将①代入上式，得(5-2d)×5×(5+2d)=45,即 (5-2d)(5+2d)=9,② 联立①②解得a1=-1,d=2或a1=11,d=-2, 即an=-1十2(n-1)=2n-3,n∈N*;或an=11 2(n-1)=13-2m,n∈N°. [母体变式] 在本例中，不难验证a1十a,十a,=a2十a4十a6,那 么，在等差数列{an}中，若m十n十p=q十r十s,m, n,p,q,r,s∈N,是否有am十an十ap=ag十a,十a,? [解]设公差为d,则am=a1+(m-1)d, a,=a+(n-1)d,ap=a+(p-1)d,ag=a+(q -1)d,a,=a1+(r-1)d,a,=a1+(s-1)d, .am十an十a。=3a1+(m+n+p-3)d,ag十a,十a =3a1+(g+r+s-3)d, ,m十n十p=q十r十s,.am十an十ap=ag十a,十a,: 规律方法 等差数列的性质 1若{an}是公差为d的等差数列，正整数m,n,p, q满足m十n=p十q,则am十an=a。十ag (1)特别地，当m十n=2k(m,n,k∈N)时，am+ a=2ag. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项 之和等于首末两项的和，即a1十an=a2十an-1 =…=a6十Qm-+1=…. 2.由等差数列衍生的新数列 若{an},{bn}分别是公差为d,d'的等差数列，则有 数列 结论 (c+a 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数，k {an十an+k ∈N*) 公差为pd+qd'的等差数列(p,g {pan十qbn 为常数) ◇[变式训练] 4.等差数列{a}中，若a1,a2o1为方程x2-10x十16 =0的两根，则a2十a1o6十a201w= A.10 B.15 C.20 D.40 解析：B[由等差数列的性质，得a1十a2om=a2十 a21n=2a1w6.因为a1,a21是方程x2-10x十16=0 的两根，所以a1十a2011=10.所以a2十a10o6十a2010 2×10=15.j 题型四 等差数列的应用问题 [例4]某公司购置了一台价值为220万元的设备， 随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少 经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常 数)万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过 10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报 废.请确定d的范围. ·2 第五章数列 解：设使用n年后，这台设备的价值为am万元，则 可得数列{an. 由已知条件，得an=an-1一d(n≥2). 所以数列{an}是一个公差为一d的等差数列. 因为a1=220-d,所以an=220-d+(n-1)(-d) =220-nd. 由题意，得a1≥11，a11<11. -:好学10动8 即： 所以，d的求值范围为19<d≤20.9. 规律方法 等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作 用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法 解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题 中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程. ⊙[变式训练] 5.孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次人选中国 经济百强县.经济的发展带动了市民对住房的需 求.假设该市2019年新建住房400万平方米，预计 在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上 一年增加50万平方米.那么该市新建住房的面积 开始大于820万平方米的年份为 ( A.2026 B.2027 C.2028 D.2029 解析：C[设从2019年开始，该市每年新建住房面 积为a,万平方米.由题意可知{an}是等差数列，首 项a1=400,公差d1=50所以an=400+(n-1)50 =50m十350，令50n十350>820，解得>号，由于 n∈N*,则n≥10,2019+(10一1)=2028，所以该市 在2028年新建住房面积开始大于820万平方米. [当堂达标] 1.在等差数列{an}中，a1十a=10,则a5的值为 ) A.5 B.6 C.8 D.10 解析：A[由等差数列的性质，得a1十a,=2a5,又 ,a1+a=10,即2a5=10,.a5=5.] 2.已知等差数列{an}:1,0,-1,一2，…；等差数列 {bn}:0,20,40,60,…,则数列{am十bn}是( A.公差为一1的等差数列 B.公差为20的等差数列 C.公差为一20的等差数列 D.公差为19的等差数列 数学B版·选择性必修第三册 解析：D[(a2+b2)-(a1十b1)=(a2-a1)+(b2- b1)=-1+20=19.] 3.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10 元，即最初的4km(不含4km)计费10元.如果某 人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一 路畅通，等候时间为0，需要支付车费 元 解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4km时，每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以 可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1= 11.2,表示4km处的车费，公差d=1.2,那么当出 租车行至14km处时，n=11,此时需要支付车费 a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元). 答案：32.2 课时@ [基础达标练 1.已知等差数列{an}中，a2十ag=l8,则as=( A.7 B.11 C.9 D.18 解析：C[设等差数列的性质可知：a2十a8=2as= 18,所以a=9.故选：C.] 2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a十a6十 a1w十a13=32,若am=8,则m的值为 ( A.12 B.8 C.6 D.4 解析：B[由等差数列的性质，得a3十a十a1。十a13 =(a3十a13)+(a6十a1n)=2ag+2a8=4a8=32, a8=8,又d≠0，.m=8.] 3.已知数列{an}为等差数列且a1十a7十a13=4元，则 tan(a2十a12)的值为 () A.3 B.±√3 C. D.-3 解析：D[由等差数列的性质得a1十a,十a13=3a tan (a:+ag )=tan (2d:)= 8s-un tan 3 2x=-8.] 4.目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家 农村网店从第二月起利润就成递增等差数列，且第 2个月利润为2500元，第5个月利润为4000元， 第m个月后该网店的利润超过5000元，则m= () A.6 B.7 C.8 D.10 解析：B[设该网店从第一月起每月的利润构成等 差数列{an},则a2=2500,a5=4000.由a5=a2十 · 4.已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的 和为18，平方和为116，求这三个数. [解]法一：设这三个数为a,b,c(a<b<c), 26=a++c, a=4, 则由题意得a十b十c=18, 解得{b=6, a2+b2+c2=116, c=8. 法二：设这三个数为a-d,a,a十d, 由已知得a-d)+a+(a+d)=18, ① (a-d)2+a2+(a+d)2=116,② 由①得a=6,代入②得d=士2， 该数列是递增的，d=2,.这三个数为4,6,8. 素养提升 对应学生课时P7 3d,即4000=2500+3d,得d=500.由am=a2+ (m-2)×500=5000,得m=7.] 5.(多选)在等差数列{an}中，每相邻两项之间都插入 k(k∈N“)个数，使它们和原数列的数一起构成一 个新的等差数列{bn}.若b是数列{an}的项，则 的值可能为 ( A.1 B.3 C.5 D.7 解析：ABD[由题意得：插入k(k∈N”)个数，则 a1=b1,a2=bs+2,a3=b2k+3,a4=b3s+4… 所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{b,}中 间隔排列，且角标是以1为首项，k十1为公差的等 差数列，所以a,=b1+m-1+1D,因为b,是数列{an} 的项，所以令1+(n-1)(k+1)=9,n∈N°，k ∈N, 当n=2时，解得k=7,当n=3时，解得k=3,当n =5时，解得=1， 故的值可能为1,3,7，故选：ABD.] 6.在等差数列{an}中，a1十ag=4,那么a2十a3十…十 ag等于 解析：因为数列{an}为等差数列，且a1十ag=4,根 据等差数列的性质，可得a1十ag=2a5=4,解答a5 =2,又由a2十a3+…+ag=7a5=7X2=14. 答案：14 7.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今 有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二 斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金锤， 长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四 斤；在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各 重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变 化的，中间三尺的重量为 斤. 解析：由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设 细的一端的重量为a1,粗的一端的重量为a;,可知 a1=2,a5=4,根据等差数列的性质可知，a1十a,= 2a3=6→a3=3,中间三尺为a2十a3十a4=3a3=9. 答案：9 8.在等差数列{an}中，若a3十a8十a3=12,a3a8a13 =28. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a3的值. 解析：(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d, 由a3十a8十a13=12,则3a8=12,则ag=4,又由 a3aga13=28,则有a3a13=(4-5d)(4十5d)=7,解 可得d=±号，当d=号时，=a,十(n-8)d 3”,当d=-子时0.=a,十0n-8d=“3, 5 5 (2)由(1)的结论，当d=5时，4，=5三，此时a23 =3X23-4=13,当d=-是时，a.=443m,则 5 5 5 23 44-3×23=-5,则a8=13或-5. 6 [能力提升练] 9.已知等差数列{an},a2=2,a4=8,若a6=3n-1,则 b202n= ) A.2018 B.2019 C.2020 D.2021 解析：D[由a2=2,a4=8,得数列{an}的公差d= 82=3,所以a.=2+(n-2)×3=3n-4,所以 am+1=3n一1.又数列{an}的公差不为0，所以数列 {an}为单调数列，所以结合am=3n一1，可得bn= n十1，故b22w=2021.] 10.已知函数f(x)在（一1，十∞）上单调，且函数y= f(x一2)的图象关于x=1对称，若数列{an}是公 差不为0的等差数列，且f(a5o)=f(a51),则a1十 a1ow等于 解析：由题意函数y=f(x一2)的图象关于x=1 对称，则函数f(x)的图象关于x=一1对称，且在 (-1,十∞)上单调，因为f(a5o)=f(a1),所以 a50十a51=-2,因为数列{an}是公差不为0的等 差数列，所以a1十a1m=a50十a51=一2. 答案：一2 11.在正项无穷等差数列{an}中，已知a5a,=12.a2+ a10=7. (1)求通项公式an (2)设bn=an十t,且对一切n∈N,恒有b2n=2bn, 求t的值.对一切k,n∈N是否恒有bm=kbn？请 说明理由. ·23 第五章数列 [解](1)，a2十a1o=a5十a2=7,又，a5a2=12, （as=4, a5=4, 当{ 时，a,=一n十 号，不饭为正，合去 B3.2中2 11 (a,=4, (26=a,+1=7n1+2A,=n++3n+ .1 1 t+2=n+21+1. =一司么=2因为6，=n=仙，所 以恒有b=bn. [素养培优练] 12.在等差数列{an}中，2(a1十a3+a5)十3(ag十a1w) =36,则a6= () A.8 B.6 C.4 D.3 解析：D[由等差数列的性质可知2(a1十a十a5)十 3(a8+a1w)=2×3a3+3X2a=6×2a6=36,得a6=3, 故选D.] 13.单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛 使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将 所有的真分数都表示为一些单分数的和，例号 号十品易日十员十品十十知如…现 已知品可以表示成4个单分数的和，记品丽 十十号十士其中是以101为首项的等 差数列，则y十之的值为 A.505 B.404 C.303 D.202 解析：A[依题意，拆分后的分数，分子都是1， 分号候次变大，又后6+上十}十号中含 2 6北可分解如下：品-十可=十动 1 11 1 1 1131 12 1 +202107+202+606-101+202606606 可十玩十赢十赢又是以101为黄 11 项的等差数列，故x=101,y=202,之=303，故y十 x=202+303=505,故选A.]