第5章 数列 阶段性双测卷2 A卷 基础达标卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂单元双测卷（人教B版）

数学B版·选择性必修第三册 n2-31,n∈N*:当x=3时，a1=2,d=-2,数列 2.A[Sm为等差数列{an}的前n项和，a3=3,S6= {an}的通项公式为an=2-2(n-1)=4-2,n∈ ,a3=a1+2d=3 N*,S,=2+1-2m=-2+3m,m∈N. 21, 2 8,=a+5=2解得a=1d=1数 综上所述，当x=1时，a,=21-4,S,=n2-3m,n∈ 列{an}的公差为1.] N*;当x=3时，an=4-2,S,n=-2+3,n∈N*. 3.C[由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列 21.解：(1)当a1=1,a2=2,a1a2a3=a1十a2十a3,解得 {an},且a1=100,g=101an=10-1；.乌龟爬行的总 a3=3: (2)当n=2时，6a4=2十3+a4,解得a4=1, 距离为S,=1a8 100-101×5-1的1，若 90 当n=3时，3a5=1十3+a5,解得a5=2, 1-9 1 …, 案C.] 可得an十3=a,当a1=1,a2=2,a3=3； 4.D[由于在等比数列{an}中，由a2a6=64可得：a3a5 故3为教列{a,的一个周期，则2=3，k∈N,则心 =a2a6=64,又因为a3十a5=20,所以有：a3,a5是方 程x2-20x十64=0的二实根，又an>0,q>1,所以a3 =2k元(k∈N): 3 <a5,故解得：ag=4,a5=16,从而公比g-√ a5=2, (3)由(2)可得a,=Asim(经十p)+c, 则1=Ain(号x十p)+c,2=-Asin(受+g)+c,3 a-号-1：*么$-碧岩-81] 5.A[根据定义列举出不超过20的李生素数为3和5， Asino+c, 5和7,11和13,17和19，它们的和依次为8,12,24， 即1-A. 1 36,构成等差数列的三个数分别是12,24,36，它们的 cosg-A·2sing+c,① 和是72.] 2=-A.3。g coing+c 6.B[等比数列{an}中，g>0,.当a1<a2时，可得 a1q2<a2g2,即a3<a4,故B正确；但a4=a1g3和a5= 由①十②，可得3=-Asin9十2c,.c=2,Asing=1, a2g3不能判断大小(g3正负不确定)，故A错误；当S3 ①-②，可得-1=A·√3cose,则tang=-√3， >S2时，则a1十a2十a3>a1十a2,可得a3>0,即a1g 1p<受9=吾4=29战，=-2 >0,可得a1>0,由于q不确定，不能确定a1,a2的大 3 3 小，故CD错误. sm(停吾)+2 7.B[:fx)=5sin2x-cos2r-5=2sin(x-音） 22.解：（1)因为a-a2+1=2a品a1,所以1 a+1a☑ 一5…令fx)=0得：2x-答=号+2x或2x-晋 2,图为=1，所以品1，哉数列债}花首项为1 a 经+2e 公差为2的等差数列. =吾+领或=晋十领，∈Z正数套点从小 (2)由(1)得2=1+2(n-1)=21-1,则a2=2 1 a 到大胸成量到为a1=导语，-平一】 5元 因为bn=a7+1十a品+2十…十a经，+1，所以bn+1=a员+2 十a7+3十…十a吃n+1十a2,u+2十a2,n+3,所以bw+1-b, &C[国为五资代-)=得，十中 -alaalta-iint3 2a+1 1 1 f(-x)=1(x∈R),正项等比数列{amn}满足a50=1, ∴.aag9=a502=1,lna1+-Ina9s=lna2+lnag8…=0, (4n+3)(4u+5)(2u十D<0,则b+1<b,即教列 8+7 则f0na1+fno)++fneg）=2.选C] {b,}是递减数列.故要使b,<2k恒成立，只需b1< 9.AC[当n=1时，a1=S1=a十b+c.当n≥2时，am 26,因为6-a+a暗-子+日-亮所以是<2，解 Sn-Sw-1=an2+b1+c-a(n-1)2-b(n-1)-c= 2an-a十b.当n=1时，上式=a十b.所以若{a,}是等 得> 差数列，则a十b=a十b十c,∴c=0.所以当c=0时， 故存在最小正整数k=1,使得对任意n∈N,b,<2k {an》是等差数列，不可能是等比数列；当c≠0时，{au 恒成立 从第二项开始是等差数列.] 第五章阶段性双测卷二 10.BC[.等比数列{an}中，满足a1=1,公比q=-2, .a,=1×(-2)”-1=（-2)”-1.由此可得2a,十 A卷·基础达标卷 a1+1=2·(-2)”1十(-2)”=0，故A错误；a+1-a 1.B[由此可归纳该数列的通项公式为an=(√2)”，又 =(-2)"-(-2)”1=一3·(-2)”-1，故数列{am+1 16√厄=(2)9，则其为该数列的第9项.门 an}是等比数列，故B正确；aan+1=(-2)”-1(一2)” 44 参考答案 =(-2)2w-1,故数列{a,an+1}是等比数列，故C正 1 确；log2an=log22”-1=1-1,故数列{1og2an}是 所以S,=bb2十02b3bsb 递增数，故D错误.] 11.AD[由已知得：a7>0,ag<0,结合等差数列的性质 (片)+（合号）+（合）+… 可知，d<0,该等差数列是单调递减的数列，∴.A正 确，B错误，D正确，S3=S10,等价于S1-S3=0,即 a4十a5十…十10=0，等价于a4十a0=0,即a1十6d =-2十)+ =0,这在已知条件中是没有的，故C错误.] 19.解：选① 12.ABC[在公比g为整数的等比数列{an}中，Sn是 数列{an}的前n项和，a1·a4=32,a2+a3=12, 因为+1 01·a193=32 an 一201=4，所以{an}是首项为4.公比 (a19+ag2=12 解得=16，g=2(含)或a1 为一 的等比教列， 2,g=2,故A正确，5十2=20-29)+2=2w+1,: 1-2 所以，=1×()-（合）广当n为寺数 数列{S,十2)是等比数列，故B正确；S8=510,故C 正确；，an=2”,.lgaw=lg2,.数列{lgan}不是公 升 差为2的等差数列，故D错误.] 1+司 13.解析：因为等差数列{an》中，a1=-2,a2十a6=2a4= 2,所以a4=1,3d=a4-a1=3,即d=1,则S10= 因为(1+)随着m的增加而减少，所以此时5 101+10X91=10x(-2)+45x1=25. 的最大值为S1=4. 答案：25 14.解析：前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差 为9的等差数列，S,=9X9+98×9=405. =-动)<4 2 答案：405 综上，S,存在最大值，且最大值为4. 15.解析：根据题意大老鼠第n天打洞an=2”1尺，小老 选② 盛第m天打洞6，=（侵）》尺，所以S,=1+2+4十 因为a+1-an= 6a1=4.所以{a,}是首项为4， …+201+1++…+（位）=1 公差为一。的等差数列， 1-(合 g+得 1 =2-1+2- ) 所以a,=4+u-1D(后） =2#+1一21-” 1一2 由-+≥0得25， 答案：2”十1-21-” 所以Sn存在最大值.且最大值为S2(或S24), 16.解析：由题意，根据a,=log2(1··x2…x·4),可得 因为Ss=25X4+2524×(君）=50，所以S a+1log2(1·(1·)·0·(·x2）·x2…x·(x, 的最大值为50. 40·4)=log2 13·x·x3…x2·43\ 4 =3u-2,设aw+1 选③ 十t=3(a,十t),即a+1=3a,十2t,可得t=-1,则数 因为a+1=an十1-8，所以a+1一a,=1-8, 列{a-1}是首项为a1-1=1og242-1=3,公比为3 所以a2一a1=-7,a3一a2=-6,…,aw一aw-1=n 9(1≥2)， 的等比数列，故a,一1=3”，所以an=3”+1,n∈N. 则an-a1=(a2-a1)+(a3-a2）+…+(a,-a,-1） 答案：3"十1 =-7+1-9)(n-D_n2-17m+16 17.解：1d=10号=2，a1=-13,a,=-13+(n 2 2 -1)×2=21-15: 又4=4，所以a,=-17+24.当≥16时，a 2 (2S,--13+2m-15D=2-1,由于是二次画 >0, 2 故S不存在最大值， 数，n=7,Sm最小 20.解：(1)设等比数列{an}的公比为g(q>1).依题 18.解：(1)因为a+2=2aw+1-an+2,所以(n+2 意，有2(a2+1)=1+a3, a+1)-(aw+1一an)=2,因为bn=an+1一an,所以 将a1十a3=2(a2十1)代入a1十a2十a3=14得 b+1-bn=2,且b1=a2-a1=1,所以数列{b,n}是以1 2(a2+1)+a2=14, 为首项，以2为公差的等差数列」 得a2=4. (2由1)的b,=1+(-1DX2=2m-1,所以p 联主+a+ag=14,得十a1g+a1g=14, 11 1 (a2=4 (a1q=4 (2m-1D(2m+D=2(22m+ 两式两边相除消去a1得2g2-5g十2=0， 45 数学B版·选择性必修第三册 解得？=2或9宁（含去，所以@1= 4=2, 第五章阶段性双测卷二 所以，aw=a1g”-1=2X21-1=2”. B卷·素养提升卷 (2因为6，=a,lo8(合）广=-n·2 1.B[因为等差数列{an》的公差为2，若a1,a3,a4成等 比数列，.a=a1a4,即(a1十4)2=a1(a1十6)，解得a1 所以，-Tn=1×2+2×22+3×23+…十n×2”,① =-8.] -2Tm=1×22+2X23+3X24+…+(n-1)×2"+ 2.A[因为210S30-(210+1)S20+S10=0,所以210 nX21+1,② ①-②，得T,n=2+22+23+…+2-1×21+1 Sn一S》-(。一-Sw=0片a2器-动即 =21-2"）-m×2+1=2+1-n·2+1-2. 1-2 十十…十2=g”=因为4，>0，所以g a11十a12+…十a20 所以，数列{bn}的前n项和Tn=2+1一n·21+1一2 =(1-)·2"+1-2. 21.解：(1)当n=1时，a1=S1=1, 3.B[依题意，Sm-Sn=an+1十an+2十…十am,所以 当n≥2时，a,=S。-S。1=号2- 1 要使Sm一Sn的值最大，则au+1十au十2十…十am 2 包含所有的正项，令aw=-n2十101-21>0，得，4≤1 ≤6，代入得Sm-S,=a4十a5+a6=3+4+3=10.] 将n=1代入上式验证显然适合，所以an=31-2. 4.C[d=3,a2+a4=-2,.2a1+4d=-2,解得a (2)因为a4=10,a34=100,a34=1000,a3334 =-7..am=-7+3(n-1)=31-10.其前n项和Sm =10000, (-7+31-10)-n(31-17）..n=1,2,3时，an< 2 2 f0,1≤n≤3 1,4133 0n≥4时，an>0.则数列{an|}的前10项和为-a1 所以b= 2,34≤n≤333 a-a3+a4+…+a10=S0-2Sg=10X(30-172 2 3,334721000 所以T1000=0×3+1×30+2×300+3×667=2631. 2×3×(9-12=89.] 2 22.解：(1)数列{an}的通项公式为a=2n2-7m十6， =1,=2-子2-日 ,≥2时为单调递增 5.C[第一次操作去掉的区间长度为了：第二次操作去 数列， 掉两个长度为日的区间，长度和为号；第三次操作去 .A1=1,B1=a2=0,b1=A1-B1=1-0=1, 同理可得b2=A2-B2=a1-a3=2,b3=A3-B3 排回个长定为7的区间，米度和为引“…第？次操作 =a3-a4=3-10=-7. (2)数列{bn}的通项公式为bn=-21, 去排公个衣度为的的区同，长度和力，于是进 ∴bn单调递减且bn<0.由定义知，An≥an,B,n 行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为S=3 ≤0w+1: .aw+1>aw,数列{an}单调递增，.n≥1时，An=a, B:=an+1 大2十士3—三7 9 (侵)八由题意1-（侵）”≥ .bn=An-Bn=an-an+1=-(an+1-an)=-2n, .a1+2一u+1-(a+1-an）=2,.数列{an+1 是即lg号≤1g六=-1，即g3一lg2》≥1解 an}是等差数列，公差为2. 1 (3)由题可知，数列{b}为公差大于零的等差数列， 得：n≥g3-g20.471-0.300≈5.679，又n为 故设bn=b1+(n-1)d,且公差d>0,bn+1=bn+d 整数，所以n的最小值为6.] →A+1-Bn+1=An-Bn十d, 整理得A,+1-An=Bn+1-B,十d, 6,B[:等接数列前n项和S。-号7十(a一号 若Bn+1=m,则Bn≤m,故Bn+1-Bn十d>0→An+1 由S18=13a>0.S14=14×01十08<0可得a7>0,a8 >A, 2 因为A1=a1,所以当1=1时，A2>A1→A2=a2, <0,d<0:故S,最大值为S7,又d<0,an递减，前7 当n=2时，Ag>A2→A3=a3, 类似的可以证明Aw=an, 项中Sn递增，故Sn最大且a,取最小正值时三有最 an 因为Au+1>Au,故有a1≤a2<ag<a4<a5<<an 大值，即最大] <am+1<, 故数列{a}是单调递增数列， 7.A[{an}为等差数列，则使a1|十a2|十…十a|= 所以当n≥1时，An=a,Bn=au+1, a1+1+a2+1+…+|an+1=a1-2+la2-2 故bn=An-Bn=an-an+1=-（an+1-an）=b1+(n |+…十an-2|=2019,所以数列{an}中的项一定有 -1)d, 正有负，不妨设a1<0,d>0,因为a1|十|a2|十…十 所以数列{au+1一an}是等差数列，公差为一d. |an|=a1+1+|a2+1+…+|an+1|=a1-2|+ 46数 新高考 阶 学 同步单元双测卷 [基础达标练] 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知数列√2,2,2√2,4，…，则16√2是这个数列 整 的 A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项 2.记S,为等差数列{an}的前n项和，若a3=3,S。 =21,则数列{an}的公差为 如 A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名 的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前 n 面1000米处开始和阿基里斯赛跑，并且假定阿 基里斯的速度是鸟龟的10倍.当比赛开始后， 若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他 100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟 仍然前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10 米时，乌龟仍然前于他1米…，所以，阿基里 斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里 斯和乌龟的距离恰好为101米时，乌龟爬行的 总距离为 A.103-9 B.10-1 90 900 C.10-1 D.10-9 90 900 4.等比数列{an}的前n项和为Sn,若an>0,q>1, a3十a5=20,a2a6=64,则S,= ( A.48 B.36 茵 C.42 D.31 5.“孪生素数猜想”是数学史上著名的未解难题， 早在1900年国际数学家大会上，德国数学家希 尔伯特提出.所谓“孪生素数”是指相差为2的 “素数对”，例如3和5.从不超过20的素数中， 找到这样的“孪生素数”，将每对素数作和.从得 到的结果中选择恰当的数，构成一个等差数列， 则该等差数列的所有项之和为 A.72 B.68 C.56 D.44 段性双测卷二（全章） A卷·基础达标卷 6.等比数列{an}中 A.若a1<a2,则a4<a B.若a1<a2,则a3<a C.若Sg>S2,则a1<a2 D.若S>S2,则a1>a2 7.函数f(x)=√3sin2x-cos2.x-√3的正数零点 从小到大构成数列{an},则a3= () A. B贸 c. n.号 8已知函数f)（x∈R),正项等比数列 {an}满足ao=1,则f(lna1)+f(lna2)十…十 f(In ass)= A.99 B.101 c号 D.101 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选 错的得0分 9.无穷数列{an}的前n项和Sn=an2十bn十c,其 中a,b,c为实数，则 () A.{an}可能为等差数列 B.{an}可能为等比数列 C.{an}中一定存在连续三项构成等差数列 D.{an}中一定存在连续三项构成等比数列 10.已知等比数列{an}中，满足a1=1,公比q= 2,则 () A.数列{2an十an+1}是等比数列 B.数列{an+1一an}是等比数列 C.数列{anan+1}是等比数列 D.数列{log2an}是递减数列 11.已知无穷等差数列{an}的前n项和为Sn,S。< S2,且S>S8,则 () A.在数列{an}中，a1最大 B.在数列{an}中，a3或a4最大 C.S3=S10 D.当n≥8时，an<0 12.在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列 {an}的前n项和，若a1·a4=32,a2十a3=12, 则下列说法正确的是 () A.q=2 B.数列{S,十2}是等比数列 C.S8=510 D.数列{lgan}是公差为2的等差数列 题号 1 234 567 8 9 101112 答案 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20分 13.记S。为等差数列{an}的前n项和.若a1= 一2，a2十a6=2,则S1。= 14.我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以 中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设 计.例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石 板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕 它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一 圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石 板总数是 15.《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”的问题：“今 有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日 一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相 逢？各穿几何？”其大意为：“今有一堵墙厚五 尺，两只老鼠从墙的两边沿一条直线相对打洞 穿墙，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前 一天的2倍；小老鼠第一天也打洞1尺，以后 每天是前一天的？.问大、小老鼠几天后相遇？ 各自打洞几尺？”如果墙足够厚，S,为前n天两 只老鼠打洞长度之和，则S。= 尺 16.在数列的每相邻两项之间插人此两项的积，形 成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次 “扩展”.将数列1,4进行“扩展”，第一次得到 数列1,4,4；第二次得到数列1,4,4,16,4； …;第n次得到数列1，x1,x2,…,x,4,并记 am=l0g2(1·x1·x2…x,·4),其中t=2” 1,n∈N”.则{an}的通项an= 四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)设等差数列{an}满足a3= -9,a10=5. (I)求数列{an}的通项公式； (Ⅱ)求{an}的前n项和Sm及使得S。最小的n 的值. 18.(本小题满分12分)数列{an}满足a1=1,a2= 2,an+2=2an+1-an十2 (1)设b.=a+1一a,证明数列{b,}是等差数列 (2)求数列{6}的能n项和5. 19(本小题满分12分)在①。=一号，@a+1 a a,=一行，③a+1=0,十n-8这三个条件中任 选一个，补充在下面的问题中，若问题中的S, 存在最大值，则求出最大值；若问题中的S。不 存在最大值，请说明理由.问题：设S,是数列 {an}的前n项和，且a1=4, ,求{an} 的通项公式，并判断S,是否存在最大值.注： 如果选择多个条件分别解答，按第一个解答 计分. 20.(本小题满分12分)设{a.}是公比大于1的等 比数列，a1十a2十a3=14,且a2十1是a1,a3的 等差中项 (1)求数列{an}的通项公式： (2若6=a,16x(合八，求数列6的前a项 和Tm 11 21.(本小题满分12分)已知数列{a,}的前n项和 为5.=- (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列b,=[1gan],[x]表示不超过x的最大 整数，求{bn}的前1000项和T100. 22.(本小题满分12分)记无穷数列{a,}的前n项 a1,a2,…,an的最大项为An,第n项之后的各 项am+1,an+2…的最小项为Bn,bn=An一Bn. (1)若数列{an}的通项公式为an=2n2一7n十 6,写出b1,b2,b3 (2)若数列{bn}的通项公式为bn=一2n,判断 {an+1一an}是否为等差数列， 若是，求出公差；若不是，请说明理由： (3)若数列{b}为公差大于零的等差数列，求 证：{am+1一an}是等差数列. 12