5.2.1 第1课时 等差数列的定义（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第五章数列 5.2等差数列 5.2.1等差数列 第1课时 等差数列的定义 课程标准 素养解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念 通过对等差数列概念及其通项公式的学习，达 2.掌握等差数列通项公式的意义， 成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 课前。预习学案 [情境引入] 2.从函数角度认识等差x) (6.af(x)-dx+(a:-d) 我们知道数列是一种特殊的函数， 1357911 数列{an}.若数列{an (5,a 在函数的研究中，我们在理解了函数的 是等差数列，首项为 (4,a) 一般概念，了解了函数变化规律的研究 。。。。。。 a1,公差为d,则an= a (3,a 。。。。◆ 内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研··。··· (2,42 f(n)=a1+(n-1)d= 究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握 0 (1a) 了暴函数，指数函数，对数函数，三角函数等常用的函 nd+(a1-d).(1)点a,-d 0123456 数模型.类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要 (n,an)落在直线y= 研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通 dx+(a1-d)上； 项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和 (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d 数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用 [预习自测] [知识梳理] 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 [知识点一]等差数列的概念 打“/”，错误的打“X” 等差数列概念 (1)文字语言：一般地，如果一个数列{an}从第 (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个 项起，每一项与它的 的差都等于 常数，那么这个数列是等差数列 () 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个 (2)数列0,0,0,0，…不是等差数列. () 叫做等差数列的 ,公差通常用字母 (3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项 表示. 都是它前一项和后一项的等差中项， () (2)递推公式：am+1一an=d(d为常数，n∈N). (4)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差 [知识点二]等差数列的通项公式 都是常数，则这个数列是等差数列. () 1.以首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式 为an (5)等差数列{a.}的单调性与公差d有关.( ) (6)若三个数a,b,c满足2b=a十c,则a,b,c一定是 2思考 由等差数列的通项公式可以看出，要求 等差数列。 () a,需要哪几个条件？ 2.已知等差数列{an}的首项a1=4,公差d=-2,则 通项公式an= () A.4-2n B.2m-4 C.6-2n D.2n-6 3.在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等 于 7。 数学B版·选择性必修第三册 课堂。互动学案 规律方法 题型一 等差数列的概念 1.应用等差数列的通项公式求a1和d,运用了方 [例1]判断下列数列是否为等差数列. 程的思想.一般地，可由am=a,am=b,得 (1)an=3-2n;(2)an=n2-n. a十(m一1)d=a'求出a1和d,从而确定通项 a1+(n-1)d=b, 公式. 2.若已知等差数列中的任意两项am,an,求通项 公式或其他项时，则运用am=an十(m一n)d较为 简捷 规律方法 ⊙[变式训练] 定义法判定等差数列 2.在等差数列{an}中， (1)作差an+1一am； (1)若a5=15,a1,=39,试判断91是否为此数列中 的项。 (2)对差式进行变形； (2)若a2=11,ag=5,求a1o. (3)当an+1一am是一个与n无关的常数时，数列 {an}是等差数列；当a+1一an不是常数，是与 n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列. ⊙[变式训练] 1.判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3,…,-2n+11,…;(2)-1,11,23,35, …,12n-13,…;(3)1,2,1,2,…;(4)1,2,4,6,8, 题型根据递推公式判定与证明等差数列】 10,…;(5)a,a,a,a,a,… [例3] 已知数列{an}满足a1=2,an+1= 2a a,+2 (1)数列) 是否为等差数列？说明理由； la, (2)求a [思路点拨] ①要判断数列 是否为等差数 an 题型二等差数列的通项公式及其应用 列，需要先求1 的表达式， an+1 an [例2](1)在等差数列{an}中，已知a4=7,a1o=25, ②求出数列 )的通项公式. 求通项公式an; an (2)已知数列{a,}为等差数列，a,= 4,a= 7 4 求a1s的值. 思路点拨]设出基本量a1,d,利用方程组的思 想求解，当然也可以利用等差数列的一殷形式an =am十(n-m)d求解. ·8· 第五章数列 [母题变式] ⊙[变式训练] 1.(变条件，变结论)将例题中的条件“a1=2,an+1= 3已知函数f(x)=平g数列{x的通项由云= 24-2换为a=4,a=4n>D,记6与 f(xm-1)(n≥2且x∈N*)确定， an-1 1” an-2 a)求证：侣}是等差数列：(2)当=号时， (1)试证明数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的 求x2012 通项公式. [当堂达标] 1.(多选)下列数列中，是等差数列的是 () A.1,4,7,10 B.1g2,1g4,1g8,1g16 C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2 1 1 2(变条作)将例感中的条作a-21。年2”换 2.已知等差数列{a,)中，a=+2a,=后2则 为“a1=1,a2=2,2an+1=2an十3(n≥2，n∈N“)”试 a2= 判断数列{an}是否是等差数列. 3.已知在等差数列{an}中，a3十ag=22,a6=7,则a5 等于 () A.15 B.22 C.7 D.29 4.已知数列{an},a1=a2=1,an=am-1十2(n≥3)，判 断数列{an}是否为等差数列？说明理由. 规律方法 等差数列的判定方法有以下三种： (1)定义法：an+1-am=d(常数)(n∈N)台{an》 为等差数列； (2)等差中项法：2am+1=an十am+2(n∈N)台{an》 为等差数列； (3)通项公式法：an=an十b(a,b是常数，n∈N°) 台{an}为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定 义法或等差中项法： 。9数学B版·选择性必修第三册 4.解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式 am=2(n+1),n∈N*. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的 积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通 1 项公式a.=（-1)×mm十中Dn∈N (3)这是一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是0，所以此数 列的一个通项公成a,=m为奇数或 10,n为偶数. a=(-10+1+7aeN 1 (4)这个数列的前4项可以写成10一1,100一1,1000一 1,10000-1,所以它的一个通项公式an=10”-1,n∈N*. 5.2等差数列 5.2.1等差数列 第1课时等差数例的概念 课前预习学案 知识梳理 知识点一、(1)2前一项同一个常数公差d 知识点二、1.a1+(n-1)d [思考] [提示]只要求出等差数列的首项a1和公差d,代入公式am =a1十(n-1)d即可. 预习自测 1.(1)×;(2)×;(3)/(4)×(5)/(6)/ 2.C[an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×(-2)=4-2m+2=6 -2n.] 3.解析：因为三内角A、B、C成等差数列，所以2B=A十C,又因 为A十B+C=180°，所以3B=180°，所以B=60°.] 答案：60 课堂互动学案 [例1]解：(1)，a+1-an=[3-2(m+1)]-(3-2m)=-2,是 常数， ∴.数列{an}是等差数列. (2):an+1-an=[(n+1)2-(n+1)]-(n2-n)=2m,不是 常数， ∴.数列{an}不是等差数列. 变式训练 1.解由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4) 不是等差数列 [例2][解](1)：a4=7,a10=25, 则/a1+3d=7, 得8=-2a,=-2+6a-1DX3=3m la1+9d=25,{d=3, -5, ∴.通项公式an=3m-5(n∈N*). 4 (2)法一：（方程组法）由 7 a7= 4 a+2d=5」 4 得 11 7解得a1=4d= 3 (a1+6d、 4 ·7 a6-a1+15-1d-+14x(） 法二：（利用an=am十(n-m)d求解）由a=ag十(7-3)d, 41 ag=a+a5-3d=号+12x(-圣）-里 变式训练 2[解]1)设a,)的公差为1.因为a1十d=15解 1a1+16d=39, 得∫417， d=2. 所以an=7+2(n-1)=2m十5. 令2m十5=91，得n=43.因为43为正整数，所以91是此数列 中的项 (②设a}的公花为d,则1十d1解得0=12， 1a1+7d=5,1d=-1. .an=12+(n-1)×(-1)=13-n,所以a10=13-10=3. [纠解]（①列位}是学麦数列，理由如下： a1=2,an+1= 2a2,1=4+21+1 n+2'…aa+12a2Ta 1-11 的等差数列. (②南上接可知-十a-1d=受a=是 an al 母题变式 1.[解](1)证明：6+1-6，=。1。一1 an+1-2an-2 1 am_1_am-21 （2-2a-32a-8a2a分安 又6购2宁最列认是荷项为分公基为}的等发 数列. @①加=2+6a-1Dx号-2n 6a22+2=是+2 n 2十2 数列{an}的通项公式为an= 2[解]当n≥2时，由2a+1=2弘，十3，得a+1-a.=号但a2 -a=1f2, 故数列{an}不是等差数列. 变式训练 &解J)证明：x=fx-D=3n≥2且nG N*), N*), 一（侣}是公差为号的等差数别 (2)由1)知1=1+(m-1D×号=2+"1-n15, 3 33’ .1=2012+5_2017 3 x2012 3 31 2012=2017 当堂达标 1.ABD[根据等差数列的定义，可得：A中，满足an+1一an=3 (常数)，所以是等差数列；B中，lg4-lg2=lg8-lg4=lgl6- 1g8=lg2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24-25≠23-24 ≠22一2，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中， 满足an十1一an=一2（常数），所以是等差数列.] 2解析：ag=a1+2aa2=a1十d=2a,+d0_41十e+2d_ 2 2 1 1 a4十a3_3+23-E-5 2 2 答案W3 3.A[设{an}的首项为a1,公差为d,根据题意 得/a十ag=a+2d+a1+7d=22, (a6=a1+5d=7, 解得a1=47,d=-8.所以a5=47+(5-1)×(-8)=15.] 4.[解]因为an=an-1十2(n≥3)，所以an-an-1=2(常数). 又≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同 一个常数2，而a2一a1=0≠a3一a2,所以数列{an}不是等差 数列. 第2课时等差数列的性质及实际应用 课前预习学案 预习自测 知识点一、3.2A=a十b [思考] 1.[提示]插入的数分别为32,0 1.1.√2.×3.√4.× 2.C[因为数列{an}为等差数列，所以ag=ag十6d,即18=6+ 6d,所以d=2.] 3.解析：设这三个数为a一d,a,a十d, 则-d+a+a+d=9, {(a-d)2+a2+(a+d02=59, 解得0=3支0-3， 1d=41d=-4. .这三个数为-1,3,7或7,3，-1. ∴.这三个数的积为一21. 答案：-21 4.解：方法一(1)直接化成a和d的方程如下： (a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48, 即4(a1+12d)=48, .4a13=48,.a13=12. (2)直接化成a1和d的方程如下： (a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=34, (a+d)·(a1+4d0=52, 解得01=1”支01-=16， 1d=3{d=-3. .d=3或-3. ·7 参考答案 方法二(1)根据已知条件a2十a3十a23十a24=48,得4a13= 48,….a13=12. (2)由a2十a3十a4十a5=34, 得2(a2十a5)=34,即a2十as=17, 解/a2·a5=52, a2+a5=17, 得=4，支g=13, (a5=13{a5=4. dgg-84-3或4-g-49-3 3 5-23 课堂互动学案 [例1][解]-1，a,b,c,7成等差数列，.b是-1与7的等 差中项，b=-1+7-3.又0是-1与3的等差中项，a= 2 -1)十3=1.又c是3与7的等差中项，c=37=5.该数 2 2 列为-1,1,3,5,7. 变式训练 8+2=2a, 1.解析：因为8，a,2,b,c是等差数列，所以a十b=2×2,解 2+c=26. a=5, 得b=-1, c=-4. 答案：5-1 -4 2.解析：由数列 1}为等差数列，则有主 an+1 a千行，可解得a一了 7 答案日 [例2][解]法一：（设四个变量）设这四个数分别为a,b,c, a=2,a=11, b-a=c-b=d-c, b=5或 b=8, d,根据题意，得a+b+c+d=26,解得 0c=8,1c=5, bc=40, d=11d=2, ∴.这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法二：（设首项与公差）设此等差数列的首项为a1,公差为d, 根据题意， 得a1+a+d+a+20+a+30=26, (a1+d)(a1+2d)=40, 化简，得 4a1+6d=26, a1+3a1d+2d2=40, 解得8=2或01=1， 1d=3,1d=-3, .这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法三：（灵活设元）设这四个数分别为a-3d,a一d,a十d,a十 3d,根据题意，得 (a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=26, (a-d)(a+d0=40, 13 (4a=26, a= 2 化简，得 解得 a2-d=40, ∴.这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.