第5章 数列 阶段性双测卷1 B卷 素养提升卷-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂单元双测卷（人教B版）

数学B版·选择 .a3十a4=a2十a5=22,又a3a4=117,∴.a3,a4是方 程x2-22x+117=0的两个根. 又公差d>0,.a3<a4,∴.a3=9,a4=l3, a+2d=9,a=1g (a1+3d=13,{d=4, .an=4n-3,n∈N*. (2由1)知，5.=nX1+02DX4=2n2-,b. 2 =Sm=2m2-1 ntc n+c 6 15 1c:b2-2+c63-3c .{bn}是等差数列，.2b2=b十b3,.2c2十c=0,c =-2(c=0含去). 经检整6=一合符合题意，∴c=子 21.解：（1)由题意得57-2=5，解得m=12,所以f） m-1 (5-3(1≤≤12，n∈N*), (93-31(12<n≤30，n∈N*) 当1≤n≤12时，f()可看作首项是2，公差是5的等 差数列 所以前m天的销售总数Sm=S2=12(2+5) 2 =354. (2)因为S12=354,所以前12天不流行，因为S13= 354+f(13)=408,且f(21)=30,f(22)=27. 所以从第13天到第21天，服装销售总数超过400 件，且日销量不低于30件，所以该服装在社会上流 行不会超过10天. 22.解：(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1十(n -1)d. 因为03=8， 所以1十2d=8 ,解 a7=a2十a4 (a1+6d=a1+d+a1+3d 得a1=4,d=2,所以数列{an}的通项公式为an=2m +2. (四由超志如么这（仔）》： 所以s[)十（位吉）十叶（合）】 =2(-)4 71 第五章阶段性双测卷一 B卷·素养提升卷 1.A[因为a,=82,≥10 {3n-2,n≤9 (n∈N*),所以a5= 35-2=33=27.] 2.B[由au=s得a1十使-1Dd=a1+d,将a =0代入得(k-1)d=15d,因为d≠0，所以k-1=15, 得k=16.] 3.C[根据三角函教的周期性可知a=cos无=0，a2 =20s元=-2,46=3c0s誓=0，a4=40s4=4,同 理得a5=0,a6=-6,a7=0,a8=8,可知周期为4. ∴.S2015=503(a1十a2十a3十a4)+a2013十+a2014十 a2015=1006-2014=-1008.] 性必修第三册 4.B[.在等差数列中，2a3=a1十a5, .22a+1)=1+3a十2，解得a=1,即a=1,g=3,5=5, .公差d=1, S4=X1+b5,D×1=6,解得k=11或k 2 -12(舍.] 5.B[用a1,a2,…,ag表示8个儿按照年龄从大到小得 到的绵数，由题意得数列a1,a2,…,ag是公差为17的 等差数列，且这8项的和为996,8a1+87×17= 2 996,解得a1=65..ag=65+7×17=184.选B.] 6.C[观察数列得出规律，数列中的项中，指数、真数、 孤度数是按正整数顺序排列，且指数、对数、余弦值以 3为循环，20=6×3十2，可得第20项为ln20.] 7.A[设递减的等差数列{an}的公差为d(d<0),因为 a=a,所以a=(a1十8d)2,化简得a1=-4d,所以 S,=u1+n2d=-4da+号2-号=号 9d 2h, 对琳勒为m=号因为N,号<0，所以当=4或 9 1=5时，S,取最大值.] 8.A ['.an=S-S-1(n>1),.Sn-an=S, S1-1=(n-1)2,即Sn=n2(n∈N*),∴an=2-(n 1D2=2m-1.易知6>0,6.=2” 0,b+1 ==(,当>1时。 (m+1).b,=(+1)-（n+ n>2+1,.当1≤n≤3时，bw>b+1,当n≥3时，bm <1又公=名=导当n=3时，6有最 小值.] 9.AC[设等差数列{aw}的公差为d,则 低ag4份 d=4 :an=a+(n- 1)d=-4+4(n-1)=4m-8,Sn=a1+n,1)d 2 -4n+21(n-1)=2n2-62.] 10.AC[由通意得a,=h十名十…十片 1十2+3+…十1=”」 n+1 2 诚女（分） 4 2 2 ∴.数列{bn}的前n项和Sn=b1十b2十b3十…十b, [(-)+(合号)+（合）++（位）] =4-)0故选AC] 1.AD[因为a,=+号-8，所以a1=2,g= 3 =2a=子a=g,=号a=，当n 7 1 2 ≥neN+号-8>0a,=a+号8=n+ 参考 9一8，此时数列单调递增，a2<a1,a2<a3a7<a6, a7<a8,所以数列{an}的“谷值点”为2,7.] 12.CD[对A,若an=3,则aw+1-au=3(n十1)-3n =3,所以{a+1一an〉不为递减数列，故A错误；对 B,若an=n2+1,则a+1-an=(n十1)2-n2=21十 1,所以{an+1一an}为递增数列，故B错误；对C,若 a,=,则a+1-,=干打-厅=于十 1 二，所 以{au+1一an}为递减数列，故C正确；对D,若a, n开则a1-a,=n-n中 71+2 1n(名·）=h(+2)由商数y=lnd 十2在0+eo)上造成，所以列1a1-a, 为递减数列，故D正确.门 13.解析：由a,=cos(x)得a+2=cos(1r+2π)= cos(1π)=an,所以数列{an}以2为周期，又a1= cosx=-1,a2=cos2x=1,所以S2020=1010×(a1 十a2)=0. 答案：0 14.解析：已知数列{an}是公差d>0的等差数列，则a1 <a6,由等差数列的求和公式可得S=6〔a1+as》 2 /a1+a6=16 48,所以，a1十a6=16,则有{a1·a6=39,解得a1= aa6 3a6=13,d=06a1=2,因此，S10=10a1+ 5 10×9d=10×3+90=120. 2 答案：120 15.解析：1an-(n-1)a+1=1,心气 an an+1 n 1 =二1一，2一1=” nnn-1n-n ≥2) “{当}为含教列气警吉 2(≥2)∴.an=2n-1(≥2)，n=1,a1=1适合上式 ÷an=2-1,n∈Nb,aaw-2n-D2+Td 1 1 =(六）工 2(-号)十2（合-号）十…+ 2(n中)(-中)F 答案：20片7 16:解析：”教列产}是首项为子，公差为的等差数 心十，当n=1时1=S=是-合，当≥2时a 4 答案 =s,-s.1=-a-+a-D-分又a 4 4 =7∴，=分[ga]=[lg],当-1<lg,< 0时，n=1,当0≤1gaw<1时，n=2、3、…,19, 当1≤lgam<2时，n=20、21、…、199, 当2≤lgam<3时，n=200、201、…、1999,当lgan=3 时，1=2000，故数列{[1gau]}的前2000项的和为： [lga1]+[lga2]+[lga3]+…+[lga2ooo]=-1×1 +18×0+1×180+2×1800+3×1=3782.] 答案：a,=号 3782 17.解：设等差数列{an}的公差为d,因为a1=2且a号 =2a4,所以(2+d)2=2(2+3d),即d2=2d,解得d =0或d=2,当d=0时数列{an}的前10项的和S10 =2×10=20,当d=2时数列{an}的前10项的和 S10=2×10+10X9×2=110. 2 18.解：(1)因为数列{an}为等差数列，所以a2十a5= a+a1=2,解得g=9 ag+a4=22,所以a4=117 (a4=13 {a=9,又数列{a,}的公差0，所以0=13， 或=13 (a4=91 所以1+2d=13 、0,+3d=9,解得1=21 (d=-41 所以数列{an}的通 项公式为a=a1+(n-1)d=-4n十25. (2)由(1)知a1=21,d=-4, 所以S,=a1+u,Dd=-2n2+231= 2 --)+婴 所以当n=6时，Sm最大，最大值为S6=66. 18.解：1号+学++气=+n =1时可得a1=4,≥2时，号+号十叶总号 (n-1)2+1-1. 尚号+号+叶+n 两式相减可得年=(2-1)+1=2， 2m(1十1).1=1时，池满足，∴.an=2(n十1). 2这m（日） s=[(-)十（合）++（日南川 =号(1-有)又s>0可得n>9,可得最小正 整数n为10. 20.解：f(x)=x2-4x十2，.a1=f(x十1)=(x十 1)2-4(.x+1)+2=x2-2.x-1,a3=f(x-1)=（x 1)2-4(x-1)十2=x2-6.x十7，：数列{an}是等差 数列，∴.a1十a3=2a2,即(x2-2x-1)十（x2-6.x+ 7)=2x2-8.x+6=0,解得x=1或x=3,当x=1 时，a1=一2，d=2,数列{an}的通项公式为am=-2 +2(n-1)=21-4,n∈N*,Sn=0(-2+2m-4 2 43 数学B版·选择性必修第三册 n2-31,n∈N*:当x=3时，a1=2,d=-2,数列 2.A[Sm为等差数列{an}的前n项和，a3=3,S6= {an}的通项公式为an=2-2(n-1)=4-2,n∈ ,a3=a1+2d=3 N*,S,=2+1-2m=-2+3m,m∈N. 21, 2 8,=a+5=2解得a=1d=1.数 综上所述，当x=1时，a,=21-4,S,=n2-31,n∈ 列{an}的公差为1] N*;当x=3时，an=4-2,S,n=-2+3,n∈N*. 3.C[由题意知，鸟龟每次爬行的距离构成等比数列 21.解：(1)当a1=1,a2=2,1a2a3=a1十a2十a3,解得 {an},且a1=100,g=10-1an=10-1；.乌龟爬行的总 a3=3: (2)当n=2时，6a4=2十3十a4,解得a4=1, 距离为S,=01a9 100-101×苑-2101，茶 90 当n=3时，3a5=1十3十a5,解得a5=2, 1-q 10 案C.] 可得an十3=an,当a1=1,a2=2,a3=3； 4.D[由于在等比数列{an}中，由a2a6=64可得：a3a5 故3为教列{a,}的一个周期，则2=3，k∈N,则心 =a2a6=64,又因为a3十a5=20,所以有：a3,a5是方 程x2-20x+64=0的二实根，又a>0,q>1,所以a3 =2k还(k∈N)； 3 <a5,故解得：ag=4,a5=16,从而公比g-√ a5=2, (3)由(2)可得a,=Asim(径十p)+c, 则1=Ain(号x+p)+c,2=-Asin(管+g)+c,3 号=1，那么$，号-31.] 5.A[根据定义列举出不超过20的李生素数为3和5， Asino+c, 5和7,11和13,17和19，它们的和依次为8,12,24， 即1=A. 吾cog-A·7ng+e,① 36,构成等差数列的三个数分别是12,24,36，它们的 和是72.] 2=-A.3。g cag-A·7 sing,@ 6.B[:等比数列{an}中，g2>0,.当a1<a2时，可得 a1q2<a2g2,即a3<a4,故B正确；但a4=a1g3和a5= 由①+②，可得3=-Asin9十2c,∴.c=2,Asing=1, a2g3不能判断大小(g3正负不确定)，故A错误；当S3 ①-②，可得-1=A·√3cos9,则tang=-√3， >S2时，则a1十a2十a3>a1十a2,可得a3>0,即a1g2 :1p<受9=吾A=29故，=-2 >0,可得a1>0,由于q不确定，不能确定a1,a2的大 3 3 小，故CD错误.」 sm(停-吾)+2 7.B[:fx)=5sin2x-cos2x-5=2sin(2x-吾)） 22.解：（1)因为a-a层+1=2a品a+1,所以1 a+1a7 -B.令f(x)=0得：2x-=号+2km或2x- 2,图为1=1，所以品1，哉数列{侵债}是首项为1 a +2,∈z. 公差为2的等差数列. =吾+领或x=晋十，∈Z正数套点从小 (2)由(1)得2=1+2(m-1)=21-1,则a2=21- 1 5π a 到大胸量到为a1=导-语，-平一】 因为bn=a7+1十a品+2十…十a经，+1，所以bn+1=a员+2 十a品+3十…十a吃n+1十a2,u+2十a2n+3,所以bw+1一b,n &C[国为五资代-)=得，十六中 -alatalra-aiint3 2+1 1 1 f(-x)=1(x∈R),正项等比数列{an}满足a50=1, ∴.aag9=a502=1,lna1+-Inags=lna2+lnag8…=0, (4n+3)(4u+5)(2u十D<0,则6+1<b,即数列 8+7 则fna1+fnog)++fnag）=2.选C] {bn}是递减数列.故要使bn<2k恒成立，只需b1< 9.AC[当n=1时，a1=S1=a+b+c.当n≥2时，an= 26,因为6-a+a话-子+日-亮所以是<2k,解 Sn-Sw-1=an2+b1+c-a(n-1)2-b(n-1)-c= 2a1-a十b.当n=1时，上式=a十b.所以若{an》}是等 得> 差数列，则a十b=a十b十c,∴c=0.所以当c=0时， 故存在最小正整数k=1,使得对任意n∈N,b,<2k {an}是等差数列，不可能是等比数列；当c≠0时，{au} 恒成立 从第二项开始是等差数列.] 第五章阶段性双测卷二 10.BC[.等比数列{an}中，满足a1=1,公比q=-2, ∴.an=1×(-2)”-1=(-2)”-1.由此可得2an十 A卷·基础达标卷 a1+1=2·(-2)”-1+(-2)”=0,故A错误；a1+1- 1.B[由此可归纳该数列的通项公式为an=(√2)”，又 =(-2)"-(-2)”-1=一3·(-2)”-1，故数列{an+1 16√2=（√2）9，则其为该数列的第9项.] an}是等比数列，故B正确；aan+1=(-2)”-1(-2)” 44数 新高考 第五章数列 学 阶段性双测卷一（数列基础、等差数列） 同步单元双测卷 B卷·素养提升卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 合题目要求的： 求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的 3n-2,n≥10 1.若数列{an}的通项公式为an (n 3H- 2,n≤9 得0分) 整 ∈N),则a ( 9.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3=0,a A.27 B.21 =8,则 ( C.15 D.13 A.S =2n2-6n B.S,=n2-3n 2.在等差数列{an}中，首项a1=0,公差d≠0，S, 是其前n项和，若a=S6,则k= ( ) C.a=4n-8 D.a,-2n. A.15 B.16 11,21 如 C.17 D.18 10.(多选)已知数列{a}:2,3十34 2 4 3.数列{an}的通项公式a,=ncos 罗，其前n项和 3 0,…,若6 为Sn,则S2o15= ( 1 A.1008 B.2015 设数列{bn}的前n项和Sn,则 an·an+1 嘉 C.-1008 D.-504 4.已知在等差数列{an}中，a1=1,a3=2a十1，a= 3a十2，若Sn=a1十a2十…十an,且S6=66,则k Aa,=号 B.an=n 的值为 ( A.9 B.11 D.5=w C.10 D.12 C&鹄 5.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题： 11.对于数列{an},若存在正整数b(k≥2)，使得a “九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人 <a-1,a<a+1,则称a5是数列{an}的“谷值， 多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵 是数列{an}的“谷值点”，在数列{an}中，若a 分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺 序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵， 9 8 则数列{an}的“谷值点”为 那么第8个儿子分到的绵是 ( A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤 A.2 B.3 6.观察数列2，ln2,cos3,2,ln5,cos6,2,ln8,cos C.5 D.7 9,…,则该数列的第20项等于 ( ) 夺 A.230 12.若数列{an}满足：对任意正整数n,{a+1一a} B.20 C.In 20 D.cos 20 为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列” 7.已知递减的等差数列{an}满足a=a号，则数列 给出下列数列{a,}(n∈N),其中是“差递减数 {a,}的前n项和取最大值时n= 列”的有 ( A.4或5 B.5或6 A.a=3n B.a=n+1 C.4 D.5 8.已知数列{an}的前n项和Sn,且S。一an=(n C.a=n D.a=In- +1 1)2,b, ,则数列么，的最小项为 2 题号 2 3 6 101 12 A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 答案 5 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共 18.(本小题满分12分)已知公差小于零的等差数 20分.) 列{an}的前n项和为Sn,且满足aa4=117,a2 13.已知数列{an}的前n项和为Sn,an=cos(n元)， 十a5=22. (n∈N*),则S2020 (1)求数列{am}的通项公式； 14.已知数列{an}是公差d>0的等差数列，{an} (2)求S。的最大值， 的前n项和为Sn,a1·a。=39,S6=48,则S10 15.已知在数列{an}中，a6=11且nan一(n一1) +11,设6.2。n∈N”,则数列6的 n项和T,= 16.已知数列{a,}的前n项和为S,数列三}是首 项为？，公差为子的等差数列，则{a,}的通项 公式为 ;若[x]表示不超过x的最大 整数，如，[0.5]=0，[1g499]=2,则数列{[1g am]}的前2000项的和为 四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)等差数列{an}中，a1=2且 a=2a4,求数列{an}的前10项的和S1o: 6 19.(本小题清分12分)数列a,满足：号+号十 20.(本小题满分12分)数列{am}是等差数列，a1= f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x 十n=+aneN. 一4x十4，求通项公式a,以及前n项和Sn· (1)求{an}的通项公式： (2)设b,=】,数列b,}的前n项和为S。,求满 a 足5，>易的最小正整数 7 21.(本小题满分12分)数列{an}满足a,a+1am+2 22.(本小题满分12分)在数列{an}中，a1=1,a =an十a+1十a+2(aa+1≠1，n∈N),且a,= a+1=2aat1… 1,a2=2.规定{an}的通项公式只能用Asin (or+9)+cA≠0，w>0,gl<号)的形式 ①证明，数列侣}起等差数列。 (2)设bn=a+1十a+2十…十aa+1,是否存在正 表示。 整数k,使得对任意n∈N",b,<2k恒成立？ (1)求a2的值； 若存在，求出k的最小值；若不存在，说明 (2)证明3为数列{am}的一个周期，并用正整 理由. 数k表示w; (3)求{an}的通项公式. 8