5.2.1 第1课时 等差数列的定义（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第五章数列 5.2等差数列 5.2.1等差数列 第1课时 等差数列的定义 课程标准 素养解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念。 通过对等差数列概念及其通项公式的学习，达 2.掌握等差数列通项公式的意义， 成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 课前。预习学案 对应学生用书P7 [情境引入] [预习自测] f(x) (6.af(x)-dx+(a:-d) 我们知道数列是一种特殊的函数， 1357911 1.判断下列说法是否正 (5,a 在函数的研究中，我们在理解了函数的 确，正确的在它后面的括 (4,a) 一般概念，了解了函数变化规律的研究 (3,a 号里打“√/”，错误的打 (2,a2/ 内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研 。。。。 “X” 究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握 (15,a) (1)如果一个数列的每一a-d以 了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等常用的函 项与它的前一项的差 0123456 数模型.类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要 是一个常数，那么这个数列是等差数列.( 研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通 项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和 (2)数列0,0,0,0，…不是等差数列. 数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用. (3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项 [知识梳理] 都是它前一项和后一项的等差中项， () [知识点一]等差数列的概念 (4)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差 1.等差数列概念 都是常数，则这个数列是等差数列. (1)文字语言：一般地，如果一个数列{an}从第2项起， (5)等差数列{an}的单调性与公差d有关.( 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那 (6)若三个数a,b,c满足2b=a十c,则a,b,c一定是 么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差 等差数列. () 数列的公差，公差通常用字母d表示。 答案(1)×；(2)×；(3)/(4)×(5)/ (2)递推公式：an+1一an=d(d为常数，n∈N”). (6)/ [知识点二]等差数列的通项公式 2.已知等差数列{an}的首项a1=4,公差d=一2，则 1.以首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式 通项公式an= ( ) 为an=a1+(n-1)d. A.4-2n B.2n-4 ?思考由等差数列的通项公式可以看出，要求am, C.6-2n D.2n-6 需要哪几个条件？ 解析：C[an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×(-2) [提示]只要求出等差数列的首项a1和公差d, =4-2n+2=6-2m.] 代入公式a,二a,十(n-1)d即可： 3.在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等 2.从函数角度认识等差数列{an}.若数列{an}是等差 于 数列，首项为a1,公差为d,则an=f(n)=a,十(n一 解析：因为三内角A、B、C成等差数列，所以2B=A 1)d=nd+(a1-d).(1)点(n,an)落在直线y=dx +C,又因为A+B+C=180°，所以3B=180°，所以 +(a1-d)上： B=60°.] (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d 答案：60 ·13· 数学B版·选择性必修第三册 课堂。互动学案 对应学生用书P8 题型 等差数列的概念 a3= 4 [例1门判断下列数列是否为等差数列」 (2)法一：（方程组法）由 7 (1)an=3-2n;(2)an=n2-n. 4 解：(1)：an+1-an=[3-2(n+1)]-(3-2n)= a+2d=5 一2，是常数， 得 解得a,-d=- .数列{an}是等差数列. a1+6d=- 7 4 (2):an+1-an=[(n+1)2-(n+1)]-(n2-n) a。=a1十(15-10d=+14×()= 2n,不是常数， 法二：（利用an=am十(n一m)d求解）由a,=a3十 ∴数列{an}不是等差数列. (7-3)d, 规律方法 即一 定义法判定等差数列 (1)作差an+1一am9 a=a+15-30d=+12x(-) 4 (2)对差式进行变形； 规律方法 (3)当an+1一am是一个与n无关的常数时，数列 1.应用等差数列的通项公式求a1和d,运用了方 {an}是等差数列；当a十1一a,不是常数，是与 程的思想.一般地，可由am=a,a,=b,得 n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列. (a1+(m-1)d=a, 求出a1和d,从而确定通项 ◇[变式训练] (a1+(n-1)d=b, 1.判断下列数列是不是等差数列？ 公式. (1)9,7,5,3,…,-2n+11,…;(2)-1,11,23,35, 2.若已知等差数列中的任意两项am,an,求通项 …,12n-13,…;(3)1,2,1,2,…;(4)1,2,4,6,8, 公式或其他项时，则运用am=an十(m一n)d较为 10,…;(5)a,a,a,a,a, 简捷， 解由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数 ◇[变式训练] 列，(3)，(4)不是等差数列. 2.在等差数列{an}中， 题型二等差数列的通项公式及其应用 (1)若a5=15,a17=39,试判断91是否为此数列中 [例2](1)在等差数列{an}中，已知a4=7,a1w=25, 的项 求通项公式a,; (2)若a2=11,ag=5,求a1o. 7 [解](1)设《an}的公差为d.因为 （2)已知数列{a,为等差数列0，=子a,= 4 十1.解得= 求a1s的值， a1+16d=39,1d=2. [思路点拨]设出基本量a1,d,利用方程组的思 所以a,=7十2(n-1)=2n十5. 想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式a, 令2n十5=91，得n=43.因为43为正整数，所以91 是此数列中的项 =am+(n-m)d求解， [解](1)，a4=7,a1w=25, (2)设{an}的公差为d,则 得2， .an=-2+(n-1) 得，12， d=-1. ×3=3m-5, .an=12+(n-1)×(-1)=13-n,所以a10=13 ∴.通项公式an=3n-5(n∈N*). -10=3. ·14· 第五章数列 题型三根据递推公式判定与证明等差数列 2am”换 2.(变条件)将例题中的条件“a=2,a+1=a。干2 [例3]已知数列{an}满足a1=2,an+1 2an am+21 为“a1=1,a2=2,2a+1=2an+3(n≥2，n∈N)”试 判断数列{an}是否是等差数列 1)数列 是否为等差数列？说明理由； a. [解]当n≥2时，由2am+1=2an十3，得am+1一a。 (2)求an 号，但a,-a=1≠受 [思路点拨] ①要判断数列 是否为等差数 故数列{an}不是等差数列， 规律方法 列，需要先求 等差数列的判定方法有以下三种： an+1 1的表达式， (1)定义法：an+1-an=d(常数)(n∈N*)台{an} ②求出数列 的通项公式 为等差数列； an (2)等差中项法：2an+1=an十an+2(n∈N)台{am) 解 (1)数列{}是等差数列，理由如下 为等差数列； (3)通项公式法：an=an十b(a,b是常数，n∈N) .a1=2,am+1 1=+21+1 an十2’… 2a2Tan 台{an}为等差数列. an+1 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定 an+1 即侣}是首为日公花为 1-1= 义法或等差中项法： d=司的等差数列。 ⊙[变式训练] 3.已知函数f(x)= (2)由上说可知1=十(n-1)d=受a,=品 兰数列伍的通项由， 2 an a f(xn-1)(n≥2且x∈N*)确定， [母体变式] 1)求证·{得}是等差数列，(2当=时，求e 1.(变条件，变结论)将例题中的条件“a1=2,an+1= [解] 2a,"换为“a1=4,a,=4- (1)证明：x,=f(x。-1)=于 a,十2 4(n>1),记b,= 且n∈N), 1” =十3气3 1 1 1 an-2' 3xn-1 x。1x。x13n (1)试证明数列{b}为等差数列；(2)求数列{an}的 2且n∈N), 通项公式 一侣}是公差为号的等差数列。 1 1 [解](1)证明：bn+1一bn= an+1-2an-2 (2)由1)知2-+(m-1)×号=2+"。 x 1 an 1 2a,-2=2a-2-.-2 =+5 3 a-2_1 1=2012+5_201 x2012 3 3 ,20e=2017 3 2(a-2)2 [当堂达标] 又么。三行或到认是首项为安公长为 1.(多选)下列数列中，是等差数列的是 A.1,4,7,10 B.1g2,1g4,1g8,1g16 的等差数列. C.25,2,2,2 D.10,8,6,4,2 解析：ABD[根据等差数列的定义，可得：A中，满 (2)由1)知6=+(m-1DX 1 22” 足a+1一an=3(常数)，所以是等差数列；B中，lg4 -lg2=1g8-lg4=lg16-lg8=lg2(常数)，所以是 -2a,=+2=+2 1 .b 等差数列；C中，因为24一25≠23-2≠22一23，不 ·数列{0，}的通项公式为a,=2十2. 满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满 足an+1一an=一2（常数），所以是等差数列.] ·15· 数学B版·选择性必修第三册 2.已知等差数列{a,中.a5十5a,=5- 1 1 ,则 解析：A[设{an}的首项为a1,公差为d,根据题意 得a十as=a+2d+a1+7d-=22. a2= (as=a+5d=7, 解析：a3=a1+2d,.a2=a1+d= 2(a1+d) 解得a1=47,d=-8.所以a,=47+(5-1)×(- 8)=15.] 1 4.已知数列{an},a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3)，判 a+a+2d_a1+a3-3+23-2 2 2 2 =5. 断数列{an}是否为等差数列？说明理由. 答案：W5 [解]因为an=a-1十2(n≥3)，所以a,一a,-1=2 (常数).又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一 3.已知在等差数列{an}中，a3十a8=22,a6=7,则as 项的差都等于同一个常数2，而a2一a1=0≠a3一 等于 ( a2,所以数列{an}不是等差数列. A.15 B.22 C.7 D.29 课时。素养提升 对应学生课时P5 -0 [基础达标练] 解析：A[因为，a=2,a,=1,故1 11 a+13'a,十1 1.在等差数列{a,}中，已知a=3a,十a,=4,a. 11 所以 1 35,则n= a+1 as+1 +2,31×16=3+ A.50 B.51 C.52 D.53 号=1，故ae=0,故选A. 解析：D[依题意，a2+a5=a1十d+a1十4d=4,代 5.(多选题)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1> 0,公差d≠0，则下列命题正确的是 ( 入a,=3得d-景所以a,=a+(a-1Dd 1 3 A.若S=S,则必有S14=0 B.若S=Sg,则必有S,是Sn中最大的项 2_21 十(n-1)X3=n3,令a,=35,解得n=53.] C.若S>S,则必有S,>S D.若S>S,,则必有S>S 2.(2020·武汉市调研)在等差数列{an}中，前n项和 解析：ABC[对于A,若S,=Sg,必有S-S;=a6 S.满足S,一S2=45,则a5= ( ) 十a,十a8十ag=2(a,十a8）=0,则a,十a8=0,S14= A.7 B.9 14×(a,十a)_14X(a,十a2=0,A正确； C.14 D.18 2 2 解析：B[因为在等差数列{an}中，S,一S2=45,所 对于B,若S5=Sg,必有Sg-S5=a6+a?十ag十ag 以a3十a4十a5十a6十a,=5a5=45,所以a5=9,故 =2(a,十ag)=0,又由a1>0,则必有S,是Sn中最 大的项，B正确； 选B.] 对于C,若S6>S,则a=S,-S6<0,又由a1>0, 3.等差数列{an}的首项为70，公差为一9，则这个数列 必有d<0,则ag=Sg-S,<0,必有S,>S8,C 中绝对值最小的一项为 正确； A.as B.ao 对于D,若S6>S,则a,=S,一S,<0,而a6的符号 C.a10 D.an 无法确定，故S>S。不一定正确，D错误.故 解析：B[an=|70+(n-1)×(-9)=79-9n 选ABC.] 6.若一个等差数列的前三项为a,2a一1,3一a,则这 1=98号-m=9时，a.最小. 个数列的通项公式为 4.已知数列{a,中a=2,a,=1,若{2，}为等差 解析：a+(3-a)=2(2a-1),a=5 “这个 数列，则a1g三 等差量到的前三项袋大为导，是，子d=子0 40, A.0 子+(m-1Dx-号+1aN. c号 D.2 答案：a,=号十1，n∈N ·16· 第五章数列 7.在数列{an}中，a1=2,2an+1一2an=1,则a1om的值 B正+止a十中aa>1.心正 1 为 解析：由题意，数列{an}满足2an+1一2an=1,即 确；a1·a5-a2·a4=(2-2d)·(2+2d)-(2 a+1一a,=2,又由a1=2,所以数列{a}首项为2 .1 d)·(2+d)=-3d<0,所以a1·a<a2·a4,D 错误.] 公差为号的等差数列，所以a1=a1十10d=2十 1山在数列a.冲若a=1,=分兰-+ 10×7-52. (n∈N),则该数列的通项为 答案：52 解析：“2=上+L(m∈N)教列}是 8.数列{an}的通项公式是an=5n十4. an+1 an an+2 (1)求证：{an}是等差数列，并求出其公差； 等差数列.又1-1=2-1=1，“.1=1十(m-1) a2 a an (2)判断104、110是否是数列{an}中的项，如果是， 1 是第几项？ =n,n=n [解](1)，an=5n+4,则am+1=5(n+1)+4=5n 十9，∴.a+1-an=(5n十9)-(5n十4)=5，所以，数 答案0升 列{an}是等差数列，且公差为5； (2)令an=104,即5n十4=104，解得n=20:令an= am-1一，且a1 12.设数列{a,}满足当n>1时，a.=1十4a。 10,即5n十4=10，解得m=196所以，104是孩 =号 数列的第20项，110不是该数列中的项。 (1)求证：数列}为等差数列： [能力提升练] (a 9.(多选)给出下列命题，正确命题的是 (2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是 A.数列6,4,2,0是公差为2的等差数列； 第几项； B.数列a,a-1,a一2，a一3是公差为一1的等差 如果不是，请说明理由。 数列； [解](1)证明：根据题意a1= C.等差数列的通项公式一定能写成an=n十b的 号及递推关系a, 形式(k,b为常数)； a.取倒数得 ≠0.因为am=1十4an- 1一十4 D.数列{2n十1}(n∈N)是等差数列. a an 解析：BCD[对于A项，根据等差数列的定义可 即11 -=4(n>1),所以数列 是首项为 an an a 知，数列6,4,2,0的公差为一2，A错误；对于B项， 5,公差为4的等差数列. 由等差数列的定义可知，数列a,a一1，a-2,a-3 是公差为一1的等差数列，所以B正确；对于C项， (2)由1)，得1=5+4(m-1)=4+1,a 由等差数列的通项公式a,=a1十(n一1)d,得an= 1 dn十(a1-d),令k=d,b=a1-d,则an=kn十b,所 4n+1 以C正确；对于D项，因为a+1一an=2(n十1)十1 1×1=1=1 -(2n十1)=2，所以数列{2n十1}(n∈N*)是等差 又a1a2= 5义9-行4m十，解得n=11. 数列.] 所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项. 10.(多选)设d为正项等差数列{an}的公差，若d> [素养培优练] 0,a3=2,则 13.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量 A.a2·a4<4 B.a+a,≥15 影子的长度.《周脾算经》中记载：一年有二十四个节 4 气，每个节气晷长损益相同.二十四个节气及晷长变 c.1+1>1 a as D.a1·a5>a2·a4 化如图所示.相邻两个节气晷长的变化量相同，周而 解折：ABC[由题知，只需=2-2>0 复始.从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 →0 d>0 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日 d<1,a2·a4=(2-d)·(2+d)=4-d2<4,A正 影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长 确a+a:=(2-d)2+(2+d)=d2-3d+6≥15 之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5 41 尺，则冬至日影的长为 ( ·17· 数学B版·选择性必修第三册 至的日影长为a1,公差为d,则a1十a十a,=31.5, a十a6十ag=25.5,两式相减得-6d=6,解得d= -1,所以a1十a1十a,=3a1+9d=31.5,解得a1= 13.5,故选：C.] 14.在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差 晷长逐渐变小 数列. 春分 雨水惊蛰0清明谷雨 第1列 第2列第3列 立春330· ·30立夏 大寒300： 60小满 第1列 1 2 3 … 小寒。 ·芒种 冬至270 90夏至 第2列 2 6 大雪” 小暑 小雪24 120大/ 第3列 3 6 9 立冬210 150立秋 霜降寒露180白露处暑 … 秋分 晷长逐渐变大 那么位于表中的第n行第(n十1)列的数是 A.11.5 B.12.5 解析：由题意可得，第n行的第一个数是n,第n行 C.13.5 D.14.5 的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，其中 解析：C[由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、 第(n十1)项为n十n·n=n2十n.所以题表中的第 立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒 n行第(n十1)列的数是n2+n. 种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，设冬 答案：n2+n 第2课时 等差数列的性质及实际应用 课程标准 素养解读 1.通过对数列有关性质的学习，提升逻辑推理、 1.了解等差数列的有关性质 数学运算的核心素养， 2.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应 2.通过等差数列解决实际问题，达成数学建模 的问题， 的核心素养 课前。预习学案 对应学生用书P10 [情境引入] ?思考1.观察所给的两个数之间，插人一个什么数 观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题。 后三个数就会成为一个等差数列： ①我国有用12生肖纪年的习惯，例如2017年是 (1)2,4;(2)-1,5;(3)a,b;(4)0,0. 鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017,2029， 2041,2053,2065,2077,…; [提示]插入的数分别为3,2，a十b, ,0. 2 ②我国确定鞋号的脚长使用毫米来表示，常用确定鞋 [知识点二]等差数列通项公式的变形及推广 号脚长值按从大到小的顺序可排列为275,270,265， ①an=dn+(a1-d)(n∈N), 260,255,250。…; ②an=am+(n-m)d(m,n∈N), ③2022年1月中，每个星期日的日期为 2,9,16,23,30. ③d=a,-am(m,n∈N',且m≠). n-m 数列①②③在数学中都称为等差数列，它们有什么共 其中①的几何意义是点(n,an)均在直线y=dx十(a 同点？ -d)上. [知识梳理] ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不 [知识点一]等差中项 必求a1 1.条件：如果a,A,b成等差数列. ③即斜率公式=二当，可用来由等差数列任两项 2结论：那么A叫做a与b的等差中项. x2一x1 3满足的关系式是2A=a十b. 求公差 ·18·