5.1.2 数列中的递推（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

[素养培优练] 13.天干地支年纪法源于中国，中国自古便有十天干 与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、 壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申 西、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干 和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后， 天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲 子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此 类推，排列到“癸西”后，天干回到“甲”重新开始， 即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始， 即“丙子”，…，以此类推，已知2020年为庚子年， 那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年 法为 解析：由题意可知数列天干是10个为一个循环的 循环数列，地支是以12个一个循环的循环数列， 从2020年到2049年一共有30年，且2020年为 庚子年，则30÷10=3,2049年的天千为已，30÷ 12=2余6,2049年的地支为巳，故2049年为已已 年。 答案：已已 5.1.2 数 课程标准 1.了解数列的递推公式. 2.了解数列的前n项和概念及其简单应用， 课前。 [情境引入] 我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式an=n 表示，容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可 用它的前一项表示出来，即an=am-1十1(n≥2)，这就 是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主 要内容：递推公式 [知识梳理] [知识点一]数列的递推关系 如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两 项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则 称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或 递归公式). ?思考1.所有数列都有递推公式吗？ [提示]不一定.例如2精确到1,0.1,0.01， 0.001,…的不足近似值排列成一列数：1,1.4,1. 41,1.414,…没有递推公式. 第五章数列 14.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象 的几何学，它的创立，为解决传统科学众多领域的 难题提供了全新的思路.如图是按照一定的分形 规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点 的个数是 第1行 第2行 第3行 -第4行 第5行 …第6行 解析：由题意及图形知，不妨构造数列{an}表示第 n行实心圆，点的个数的变换规律，其中每一个实 心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心 圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点.故从第 三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心圆 点数之和.即a1=0,a2=1,且n≥3时，an=a,-1十 a。-2,故第1行到第13行中实心圆点的个数分别 为：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144. 答案：144 列中的递推 素养解读 1.通过对数列递推公式的学习，提升数学抽象 的核心素养。 2.通过对数列前n项和的学习，达成数学抽象 逻辑推理的核心素养 预习学案 对应学生用书P4 2思考2.仅由数列{a}的关系式a,=a。-1十2(n≥ 2,n∈N)就能确定这个数列吗？ [提示]不能.数列的递推公式是由初始值和相 邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而 无初始值，那么这个数列是不能确定的. 3.通项公式与递推公式有何关系？ [提示] 类别 区别 联系 通项 an是序号n的函数式an 都是给出数 公式 =f(n) 列的方法， 已知a,(或前几项)及相 都可求出数 递推 邻项（或相邻几项）间的关 列中任意 公式 系式 项 数学B版·选择性必修第三册 [知识点二]数列的前n项和公式 1.数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称 为数列{an}的前n项和，记作S,即Sn=a1十a2十 …十an 2.数列{an}的前n项和公式 如果数列{a,}的前n项和S。与它的序号n之间的 对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫 做这个数列的前n项和公式， S1n=1, 3.an与Sn的关系：an Sn-S。-1,n≥2 [预习自测] 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“√”，错误的打“×”， (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项」 (2)有些数列可能不存在最大项 ● 课堂。 题型一 由递推关系写出数列的项 [例1]已知数列{an}中，a1=1,a2=2,以后各项由 an=am-1十an-2(n≥3)给出. (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式6，=8构造一个新的数列h,,写 an+ 出数列{b,}的前4项. [解](1)：an=an-1十am-2(n≥3)，且a1=1,a2 =2, .a3=a2十a1=3,a4=a3十a2=3+2=5,a5=a4+ a3=5+3=8. 故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3, a4=5,a5=8. 2)b,0:且01=1，a,=2,u,=3,a450 =8， as 5 81 故}的前4项猴次为么=日4=号山一号A 8 (3)递推公式是表示数列的一种方法. (4)所有的数列都有递推公式. ( 答案(1)√(2)√(3)√(4)× 2.数列{an}中，am+1=an+2一an,a1=2,a2=5,则 45= ( A.-3 B.-11 C.-5 D.19 解析：D[a3=a2十a1=5十2=7，a4=a3十a2=7 十5=12，a5=a4十a3=12+7=19,故选D.] 3.已知数列{an}的前n项和S,=n十1，则an= 解析：当n=1时，a1=S1=2, 当n≥2时，an=S,-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1] =2n-1, t2,n=1, a1=2不满足上式.故an 2n-1,n≥2，n∈N. 2,n=1, 答案： (2n-1,n≥2，n∈N 互动学案 对应学生用书P5 规律方法 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清 楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可. (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后 面的项表示前面的项的形式，如an=2an+1 +1. (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前 面的项表示后面的项的形式，如a。+1= a,-1 2 ◇[变式训练] 1.已知数列{an}的第1项a1=1,以后的各项由公式 。24给出，试写出这个数列的前5项 [解]a1=1,a.+1= 2a12 a1+23a3 2a2 2 1 2,a4 24 2X1 2 =2 a2+2 2十2 a,+21+2 3 2 2a 2X2 5 a4十2 2 +2 3 5 2121 故该数列的前5项为1,3,2，行3 题型二 数列的前n项和公式及应用 [例2]（多空题）若数列{a}的前n项和S。=n- 10n(n=1,2,3,…),则数列的通项公式为 ;数 列{nan}中数值最小的项是第 项！ 解析：当n=1时，a1=S1=-9;当n≥2时，an=S S,-1=n2-10n-[(n-1)2-10(n-1)]=2m 11,当n=1时，也成立，.an=2n-11,an=2n2 8 n∈N*,.当n=3时，nan有最小值.] 答案：2n-113 规律方法 已知S。求a,的3个步骤 (1)先利用a1=S1求出a1; (2)用n一1替换S。中的n得到一个新的关系，利 用an=S。-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时 a。的表达式； (3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2 的表达式合并： ◇[变式训练] 2.已知数列{an}的前n项和S。=3n2-2n十1，则an= 解析：Sn=3n2-2n十1，.Sn1=3(n-1)2-2(n -1)+1=3n2-8n十6..当n≥2时，an=Sn Sn-1=(3n2-2n+1)-(3m2-8n十6)=6n-5.又 当n=1时，a1=S1=2不适合上式， ∴.an 2,n=1, 6n-5,n≥2. 答案： (2,n=1, 6n-5,n≥2. 题型三 由递推公式求数列的通项公式 [例3](1)已知数列{an}满足a1=一1，an+1=a,十 n(n十)n∈N,求通项公式a,; 1 (2)设数列{an}中，a1=1,an= -a -1(n≥ 2),求通项公式an 汇思路点拨] (1)先将an+1=am n(n十1)变形 为an+1一an= 1 一n十，照此递推关系写出前n 1 项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别 相加即可求解. (2)先将a,-（-日，1a≥2变为 一1，按此递推关系，写出所有前后两项满足的 72 关系，两边分别相乘即可求解。 9 第五章数列 1 [解](1)：aa+1一a,=n(n+T' 1 .a2-a1=1X2 1 a3-a,-2X3 1 as-a3=3X4i … 1 a。-am=(n-1)元 1 1 以上各式累加得，a,-a1=1X2十2X3十…十 =1- n a+1=1-a,=-}m≥2. n 又n=1时a,=-1,符合上式，∴a,=-1m∈N. n (2ra,=1a.=（-.u≥2， a2 azxa a =”号×号×0×…×号×号×1=日 n 又n=1时a=1,符合上式，a,=(mEN [母体变式] 1.(变条件)将例题(2)中的条件“a1=1,a.= 1》.a≥20变为，=28n=3a6a∈ N*)”写出数列的前5项，猜想an并加以证明. [解]由a1=2,an+1=3an,得： a2=3a1=3X2,a3=3a2=3X3X2=32×2, a4=3a3=3×32×2=33×2,a5=3a4=3×33×2= 3×2, 猜想：an=2X3-1, 证明如下：由an+1=3a,得。=3. a。 因此可得2=3，=3,0=3，…， an=3. a a2 n-1 将上面的n一1个式子相乘可得 2..4..=3-1 a a2 a3 a n-1 即=3"1，所以a,=a1·3”1,又a1=2,故a,=2 a ·31 数学B版·选择性必修第三册 2.将例题(1)中的条件“a1=一1，an+1=a,十 n万n∈N”变为a,=号aa.1=a,1-, (n≥2)”求数列{an}的通项公式. [解]aa-1=a-1-a.1-1=1. an an-1 =+)+日)… 侵）- (n-1)个1 =n+1,.a=n十 规律方法 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 an+1=am十f(n)或an+1=g(n)·an,则可以分别 通过累加或累乘法求得通项公式，即： (1)累加法：当an=an-1十f(n)时，常用an=(an 一an-1)十（an-1-am-2)十…十(a2一a1)十a1求 通项公式. (2)累乘法：当a:=g(n)时，常用a.=a。 am-1 an-1 a。L,·a1求通项公式. an-2 a ⊙[变式训练] 3.已知数列a,中，a,=2a,1=a,+ln(1+) 求am [解]由题意得a+1一a,=ln”十1， a.a=h”7a≥2 an-1-an-2=In n-1 n-2 2 a2-a1=ln 当m≥2时a-%=n(马号…) lnn,∴.an=2+lnn(n2). 当n=1时，a1=2+ln1=2,符合上式，∴.an=2十 lnn(n∈N"). [当堂达标] 1.(多选题)符合递推关系式an=√2an-1的数列是 A.1,2,3,4,… B.1w2,2,2√2，… C.√2,2,2√2,4，… D.0,√2,2√2,2，… 解析：BC[B与C中从第2项起，后一项是前一 项的√2倍，符合递推公式an=√2an-1.] 2.已知数列{an}的首项a1=2,an+1=2an+1(n≥1，n ∈N*),则a为 A.7 B.15 C.30 D.47 解析：D[将a1=2代入关系式a,+1=2a,十1得 a2=5,将a2=5再代入an+1=2an十1可得a3=11, 依次类推得a5=47.] 3.数列{an}中，若am+1一a,一n=0,则a221一a202o= 解析：2020[由已知a221一a22n一2020=0， .a2021-a202n=2020.] 4.根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10,…; 11 11 (2)-1X2'2X33X4'4X59 (3)1,0,1,0,； (4)9,99,999,9999,… 解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式 an=2(n+1),n∈N*. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号 加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以 它的一个通项公式a。=（-1)”Xn十Dn∈N, (3)这是一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是0，所 1,n为奇数， 以此数列的一个通项公式an= 或 (0,n为偶数. an=(-1)+11+1 22nN. (4)这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1000 一1,10000-1，所以它的一个通项公式an=10”-1,n ∈N. 课时© 基础达标练] 1.数列1,1,11 乞，4,816…的递推公式可以是（ A.a,=(aN)Ba.=动aeN) Ca1=a.(neN）Dai=2a,n∈N) 解析：C[由题意可知，数列从第二项起，后一项是 前一项的2所以递推公式为a=a,n∈N)] 1 2.在数列{a,}中，a,=3a,=（-1)°·2a。1(n≥2)， 则a5等于 A.9 B. C. 解析：B[对n依次取2,3,4,5得a2=(-1)2·2 3数列a的前n项和5。则a=(. 2 2 A.3n(n+1) B.- ·n(n+1) 1 1 C.n(n+1) D.2n(n+1) 解析：B[当n=1时a1=S1=1,当n≥2时an= S-5=9-20D-=名 n(n十1)，验证，当n =1时a1满足，故选B.] 4.已知数列{a,}的项满足a,+1一十20，而a1=1,通 过计算a2,a,猜想an等于 () A.2 (n+1)3 B.2 n(n+1) 1 1 C.2-1 D.2n-7 2 解析：B[a,=1=1X2a,+1=n十2aa, .2 3 同理山=日=及赫超a 2 n(n+1] 5.(多选)已知数列a,满足a+1=1-1(m∈N),且 an a1=2,则 A.a3=-1 B.a219=2 1 C.S 2019 D.S2019= 2 第五章数列 素养提升 对应学生课时P3 -8 解折：ACD[由题意a=1-之-分a,=1- 2 =-1,A正确，S,=2+2-1=号，C正确：a,=1 马=2数列a,是周期数列，周期为3. a2019=a3×673=a3=-1,B错： Sm=673×号-209，DE确，故选：ACD.] 2 1 6.数列a,}满足a.+1=aa,=2.则a,= 解析：司 [由a+1=1-a 得a,=1一a+ 1 1 ,.a8 =2,a,=1-2=2' 11 a6=1-1 =-1,a,=1-1=2,, a,是以3为周期的数列a,=a,=号.] 7.(多空题)已知数列{an}的通项公式an=n2-4n 12(n∈N"), 则这个数列的第4项是 ;65是这个数列 的第 项. 解析：-1211[由a4=42-4×4-12=-12,得 第4项是-12；由an=n2-4n-12=65,得n=11 或n=-7(舍去)，.65是第11项.] 8.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2一3n十1，n∈ N,求它的通项公式 解：当n=1时，a1=S1=0; 当n≥2时，a,=S。-S。-1=2n2-3n十1-[2(n- 1)2-3(n-1)+1]=4n-5, 又当n=1时，不符合上式. 故a,=0n=1, 14n-5,n≥2. [能力提升练] 9.数列{an}的a1=1,a=(n,an),b=(an+1n十1)，且 a⊥b,则a1w= B-0 C.100 D.-100 解析：D[因为a⊥b,所以nan+1十(n+1)an=0, 0”，,所以三一方，2三-2， an+1 `a2 2'a3 -3'a4 ,=9 3 a10 00 所以4XXX…×=-号X(- a2 a3 as a100 )× (- 1 所以1 a100 100,又4=1，所以am=-100,故选D.] 1 数学B版·选择性必修第三册 10.(多选)若数列{am}满足a+1= f2a0<a.< 3 ,2<a.<1 a1=5 2a。-1,21 则数列{a}中的项的值可能为 A号 c号 n号 解析：ABC[数列{an}满足a+1= 2a0≤a.≤ 2a,-1,2<a,<1 =是依次取n=1,23 4,…代入计算得，a=2a1-1=号a,=2a, 号a,=2a,-专a,=2a,-1=号=01，因此能 续下去会循环，数列{an}是周期为4的周期数 列，所有可能取值为：日号，专载遂ΛC] _1+a,a1=2, 11.若数列{a,}满足4+1，=-a,1 则数列{an}前2022项的积等于 解析：a+1=1一a 1十a,则a+2=-a+ 1十an+1= 1+ 1十am 1-am= 1十am a 1一1一an 1 1 所以，0n十4三一 三一 an+2 an ,a1=2,则a2= 十a=号-3，所以数列 1-a1-1-2 {an}是以4为周期的周期数列，且anam+1a+2aa+3 =aa(动)()1，所以a的前 2022项的积为a1·a2·a3·a4…a2022=a1a2X 1505=2×(-3)=-6. 答案：一6 2.已知数列{a,中，a11a+1。十3(nN),求 通项an 3。两边同时取倒数得 解：将a+1=an十3 1 an+l ,则11+1 am十 a。an+1anT3,即11= a,+1an3 1-1=11-1=1,…111 aa13'aa-3,…a dn an-1 3 ·1 把以上这(n一1)个式子累加，得1-1=”一1 an a 3 a-1.(nEN). [素养培优练] 13.(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁 殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5，…，其 中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后 来人们把这样的一列数组成的数列{am}称为“斐 波那契数列”，记S,为数列{an}的前n项和，则下 列结论正确的是 () A.as=34 B.S8=54 C.S220=a2w2-1 D.a1十a3十a5十…十a2021=a2022 解析：BCD[对于A,可知数列的前8项为1,1， 2,3,5,8,13,21,故A错误；对于B,Sg=1+1+2 十3+5+8十13+21=54，故B正确；对于C,可 得，an=am+1-am-1(n≥2)，则a1十a2十a3十a4十 …十an=a1十(a3-a1)+(a4-a2)+(a5-a3）+ …十(ant1一am-1） 即S,=-a2十an十an+1=an+2-1,∴.S202=a202 一1，，故C正确； 对于D,由an=an+1一am-1(n≥2)可得，a1十a3十 a5+…+a221=a2+(a4-a2)+(a6-a4）+… （a2022一a2020）=a2022,故D正确.] 14.如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条 边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得 到第1条“雪花曲线”（如图（乙）的实线部分)，对 第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2 条“雪花曲线”（如图（丙）)，这样一直继续下去，得 到一系列的“雪花曲线”.设第n条“雪花曲线”有 an条边. 甲 (1)写出a1,a2的值. (2)求出数列{an}的递推公式. 解：(1)a1=12,a2=48. (2)由“雪花曲线”的作法可知， 第n条“雪花曲线”的每条边都可得到第n十1条 “雪花曲线”的四条边. aa+1=4a·.数列{an}的递推公式为a+1 =4am: