5.1.1数列的的概念（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第五章数列 第五章 数列 5.1 数列基础 5.1.1数列的的概念 课程标准 素养解读 通过数列概念及数列与函数关系及通项公 1.通过实例，了解数列的概念和表示方法 式的学习，达成数学抽象、逻辑推理、数学运算 2.了解数列是一种特殊函数. 的核心素养。 对应学生用书P] ● 课前。预习学案 [情境引入] ?思考1.(1)数列的项和它的项数是否相同？ 古语云：“勤学如春起之 (2)数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与{1,2,3,4， 苗，不见其增，日有所长”，如 5}有什么区别？ 果对“春起之苗”每日用精密 [提示](1)数列的项与它的项数是不同的概念 数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是 仪器度量，则每日的高度值按 一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数. 日期排在一起，可组成一个数 (2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不 列.那么什么叫数列呢？ 同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1， 2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上 [知识梳理] 不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性， [知识点一]数列的有关概念 [知识点二]数列的通项公式 1.数列相关概念 如果数列{an}的第n项a,与它的序号n之间的对 一般地，我们把按照一定的次序排列的一列数称为 应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做 这个数列的通项公式 数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列 的第一个位置上的数叫做首项，常用符号a1表示， ?思考2.(1)所有的数列都有通项公式吗？ (2)同一数列的通项公式唯一吗？ 第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an [提示](1)并不是所有的数列都有通项公式. 表示 (2)同一数列的通项公式，其表达形式可以是不唯 数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每 一的，例如数列一1,1，一1,1，一1,1，…的通项公 一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的 式可以写成an=(-1),an=(-1)+2,an= 第1项（或首项），第2项，…，第n项，… C0snπ等， [知识点三]数列的单调性 2.数列的表示 递增 从第2项起，每一项都大于它的前一项的 数列的一般形式是a1,a2a3,…,an,…,简记为 数列 数列 {am}. 递减 从第2项起，每一项都小于它的前一项的 3.数列的表示方法 数列 数列 数列的表示方法一般有三种：通项公式、列表法、图 常数列 各项都相等的数列 象法， 数学B版·选择性必修第三册 [知识点四]数列与函数 [预习自测] 数列{an}是从正整数集N(或它的有限子集{1,2， 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 …,n})到实数集R的函数，其自变量是序号n,对 打“/”，错误的打“X” 应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n). (1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}. 2思考3.数列的通项公式a,=f(n)与函数解析式 (2)数列的项不能相等. y=f(x)有什么异同？ (3)数列可以用图形表示 [提示]如图，数列可以 (4)数列的通项公式不唯一 f(n 看成以正整数集N"(或 答案：(1)×(2)×(3)√(4) -a1 它的有限子集{1,2，…， 2.已知an+1一an=0,n∈N,则数列{an}是 -a2 A.递增数列 B.递减数列 n})为定义域的函数，a, -a3 C.常数列 D.不能确定 =f(n),当自变量按照从 小到大的顺序依次取值 解析：C[am+1=an,n∈N“,即数列的各项相同， -an : 故数列{an}是常数列.] 时所对应的一列函数值. 不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始 3.若数列{an}的通项公式为an=2n2一3n,则a2 且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空 数集 解析：2[a2=2×22-3×2=2.] 课堂。互动学案 对应学生用书P2 题型一 数列的概念及分类 (4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可 [例1]已知下列数列： 以代表除数字外的其他事物. ①2016,2017,2018,2019,2020,2021； 2.判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及 11 1 ②1,2…2 数列的特点，对于递增、递减、摆动还是常数列， 要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数 2n-1 列，则看项的个数有限还是无限。 ④1.0.-1…sin2%… ◇[变式训练] ⑤2,4,8,16,32，… 1.(1)(多选)下面四个结论正确的是 ⑥-1，-1，-1，-1. A.数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列 其中，有穷数列是 ,无穷数列是 B.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有 递增数列是 ,递减数列是 ,常数 限子集1,2,3…，n})上的函数 列是 ,摆动数列是 (填序号) C.数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立 [解析]①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、 递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是 的点 无穷数列，也是周期为4的周期数列：⑤为递增数 D.数列的项数是无限的 列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列. 解析：BC[对A,因为数列的项是有顺序的，因此 [答案]①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④ 两个数列是不同的数列，故A是错误的；对B,由数 列和函数的关系可知是正确的；对C,由数列的表 规律方法 1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性 示可知正确；对D,由于数列的项数可以是有限的， 质具有以下特点： 也可以是无限的，故D错误.门 (1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确 (2)给出下列数列： 定的，集合中的元素也具有确定性； ①2014~2021年某市普通高中生人数（单位：万 (2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的 人)构成数列82,93,105,118,132,147,163,180； 元素不能重复出现（即互异性）； (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有 ②无穷多个√3构成数列3，√3，，√3，…； 关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中 ③一2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数 的元素与顺序无关（即无序性）： 列-2,4，-8,16，-32，… 第五章数列 其中，有穷数列是 ,无穷数列是 ◇[变式训练] 递增数列是 ,常数列是 ,摆动数 2.写出下列数列的一个通项公式： 列是 (1)0,3,8,15,24,… 解析：①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是 (2)1,-3,5,-7,9,… 递增数列；②为常数列；③为摆动数列. (3)1,11,111,1111,…. 答案：①②③①②③ [解](1)观察数列中的数，可以看到0=1一1,3 题型 由数列的前几项写通项公式 =4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以 [例2]写出下列数列的一个通项公式，使它的前四 它的一个通项公式是a,=n2-1(n∈N). 项为下列各数. (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的 12号324… 4 正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以 它的一个通项公式为a,=(-1)+1(2n-1)(n∈ (2)11,102,1003,10004,…; N). (3)9,99,999,9999,…: (3)原数列的各项可变为号×9，号×99，号×99， [思路点拨]①求数列的通项公式时，是否应考 999,,易知数列9,99.999,9999 虑将个别项或各项进行适当的变形？②数列的通 个通项公式为4。=10”一1，所以原数列的一个通项 项公式唯一吗？ [解](1)这个数列各项的整数部分分别为1,2， 公式为a,=号10-1Dm∈N). 3,4,…,恰好是序号m:分数部分分别为豆，子， 123 题型 数列通项公式的应用 号…，与序号n的关系是升所以这个数到的一 [例3]已知数列{an}的通项公式为an=3n2一28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； 个道项公式是。，=叶，马牛 (2)问一49是否是该数列的一项？如果是，应是哪 一项？68是否是该数列的一项？ (2)这个数列可以改写为10+1,100+2,1000+3， 10000十4，…，所以这个数列的一个通项公式是a 汇思路点拨](1)将n=4,n=6分别代入an求出 数值即可； =10"+n. (3)这个数列可以改写为10-1,100一1,1000一1， (2)由3n2-28n=-49和3n2-28n=68,求得n 10000一1，…，所以这个数列的一个通项公式是an 是否为正整数并判断， =10”-1. [解](1)a,=3×4-28×4=-64,a6=3×62 (④)将每一项都统一写成分母为2的分数，即 28×6=-60. 22,空，空，所以它的一个通项公式是a 491625 (2)由3m-28m=-49,解得n=7或W=号（会 去)，所以一49是该数列的第7项；由3n2-28n= 2 68解得n=一2或n三4，均不合题意，所以68才 规律方法 由数列的前几项求通项公式的思路 是该数列的项」 (1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号 [母题採究] 之间的关系. 若本例中的条件不变， (2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一 (1)试写出该数列的第3项和第8项； 个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通 (2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪 项公式 一项？ (3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、 [解](1)因为an=3n2-28n,所以a3=3×32-28 正整数的平方数列、奇数列、偶数列等. ×3=-57,a8=3×82-28X8=-32. (4)符号用(-1)”或（一1）+1来调整. (⑤)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助 (2)令3m-28n=20,解得m=10成n=-号（合 分子、分母的关系： 去)，所以20是该数列的第10项. ·3· 数学B版·选择性必修第三册 规律方法 因此0≤1一 1.由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进 }<1:即05.<1 行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已 知函数解析式和自变量的值求函数值. 2)为a-4,=1-)-1-) 1 2.判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可 n(n+1) 由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程 有无正整数根便可确定这个数是否为数列中 nn+1)>0, 又因为n十1>n≥1，所以 的项. 从而amt1一an>0,即an+1>an 3.在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意 因此{an}是递增数列. 它的定义域是N(或它的有限子集{1,2,3， 规律方法 …,n})这一约束条件 数列增减性的判定方法 ◇[变式训练] (1)作差比较法 3.数列a,}的通项公式是a,=-,21(n∈N°). ①若a+1一a,>0恒成立，则数列{a,}是递增 2 数列； (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是 ②若a+1一a,<0恒成立，则数列{an}是递减 第几项？ 数列； (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存 ③若a+1一an=0恒成立，则数列{an}是常数列。 在，分别是第几项？ (2)作商比较法 [解](1)若0是{a,}中的第n项，则21n=0, 2 类别 a+1>1 am+1∠1 an an 因为n∈N,所以n=21.所以0是{an}中的第21项. an a0 递增数列 递减数列 常数列 若1是{a,}中的第n项，则心21m=1, 2 a<0 递减数列 递增数列 常数列 所以n2-21n=2,即n2-21n-2=0. 因为方程n2一21n-2=0不存在正整数解，所以1 ◇[变式训练] 不是{an}中的项！ (2)假设{an}中存在第m项与第m十1项相等，即 4.已知函数f(x)=x一 1,数列{a.}满足f(a,)= am=am+1,解得m=10. -2n,且an>0. 所以数列{an}中存在连续的两项，即第10项与第 (1)求数列{a}的通项公式： 11项相等. (2)判断数列{an}是递增数列还是递减数列，并说 题型四 数列的函数性质 明理由。 [例4] 已知函数f(x)=二1，设数列{a,}的通项公 解：：f)=-fa,)=-2n 式为a,=f(n),其中n∈N -1=-2m,即a2+2na。-1=0, .dn一an (1)求证：0≤an<1; 解得an=一n土√n+1, (2)判断{a,}是递增数列还是递减数列，并说明 a>0,∴a,=√n+1-n 理由 (2)(方法一：作差法) [思路点拨了(1)由不等式的性质判断a。的 :a+1-a,-√(n+1)+1-(n+1)-(Wm+1-) 范围， (2)利用作差法判断函数的单调性， =√(n+1)+1-√n+1-1 [解](1)由题意可知a.=f(n)=”二1=1-1 _(n+1)+1一√m+1W(n+1)+1+Wm+工_ n √/(n+1)2+1+√m2+1 又因为n∈N,所以0<1≤1， (n+1)+n 一1， √(n+1)2+1+√n2+1 第五章数列 又√/n+1)2+1>n+1wn2+1>n, 解析：ACD[由通项公式知a1=,A不正确；易 (n+1)+n 1 知B正确；由于两数列中数的排列次序不同，因此 √(n+1)2+1+√n2+1 不是同一数列，故C不正确；D中的数列为递减数 ∴.amt1-an<0,即an+1<an 列，所以D不正确.] .数列{an}是递减数列. (方法二：作商法) 3.已知数列√3，√7√1I√15…，则5√是该数列的第 项 :a,>0,.=/n+1)+1-(n+1) an n+1-n 解析：观察可得数列的一个通项公式是a,= √4n-1,而5√3=√75=√/4×19-1，所以5√5是该 √n+1+n <1 数列的第19项. √(n+1)+1+(n+1) 答案：19 ∴.an+1<am ∴.数列{an}是递减数列. 4.已知数列/9n-9n+2) 9n2-11 [当堂达标] (1)求这个数列的第10项； 1.下列各项表示数列的是() A.△，○，☆，□ (2)器是不是该数列中的项，为什么？ B.2008,2009,2010,…,2021 (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内. C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 [解] 设f(n)=9n-9m+2-(3m-1D(3n-2) D.a+b,a-b,ab,入a 9n2-1 (3n-1)(3n+1) 解析：B[数列是指按照一定次序排列的一列数， 3n-2 3n+1: 而不能是图形、文字、向量等，只有B项符合.] 2.(多选)下列命题错误的是 (1)令n=10,得第10项a1。=f(10)=2 1 A.数列号，台骨…的一个道项公式是@ (2)令3n-2=98 3n+,得9m=30. n n+1 此方程无正整款解，所以器不是被款列中的项。 B.数列的图象是一群孤立的点 C.数列1，一1,1，一1，…与数列一1,1，一1,1，…是 （3江明，-8-片3-1-n2 同一数列 又n∈N,03m+ 3 <1,.0<an<1. D数列子… ,是递增数列 即数列中的各项都在区间(0,1)内. 课时。素养提升 对应学生课时P1 [基础达标练] 1234 32,分行…的第9项是 1.若数列{an}满足an=2”,则数列{an}是 A.递增数列 B.递减数列 8 B号 C.常数列 D.摆动数列 c. D.以上均不对 解析：A[a+1-a,=2+1-2”=2”>0,.a,+1> an,即{an}是递增数列.] 解桥：B[由凝意可知a,十故第9项为品] 4.在1,2,3，…，2020这2020个自然数中，将能被2 2.数列3,5,7,9，…的一个通项公式是 除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成 A.an=2n+1 B.an=2"+1 一列，构成数列{an},则a5o= ) C.an=2+1 D.an=2+1-1 A.289B.295C.301D.307 解析：B[由题意可知an-1即是2的倍数，又是3 解析：A[因为a1=2×1+1,a2=2×3+1,a3=2 的倍数，即an一1是6的倍数，则an一1=6(n一1)， ×2+1,a=2X4+1,…,所以an=2n十1，故 (n∈N),所以an=6n-5,所以ao=50×6-5= 选A.] 295,故选：B.] ·5· 数学B版·选择性必修第三册 5.(多选)已知数列{am}的前4项为2,0,2,0，则该数 列的通项公式可能为 ( 解析：BD[线列巴}的第么项为1十名A正 (0,n为奇数 确；B,令n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(含 A.a= (2,n为偶数 B.an=(-1)"-1+1 去)，B正确；C,将3,5,9,17,33，…的各项减去1， c.a.=2sm受 得2,4,8,16,32，…，设该数列为{bn},则其通项公 D.an=cos(n-1)元+1 式为bn=2"(n∈N),因此数列3,5,9,17,33，…的 解析：BD[因为数列{a}的前4项为2,0,2,0，选 一个通项公式为an=b.十1=2”+1(n∈N*)C错 项A:不符合题设； 送Da,片-1-别a1-a.= 1 选项B:,a1=(-1)°+1=2，a2=(-1)1+1=0,a3 =(-1)2+1=2,a4=（-1)3十1=0，符合题设；选 n+2(n十1D(n十2)>0，因此数列(a,}是递增数 1 项Ca,=2sin受=2，a,=2sin=0,a=2sin号 列，D正确，故选：ABD.] =一2不符合题设；选项D:a1=cos0十1=2，a2= 10.(2019·咸阳市二模)已知正项数列{an}中，√a c0s元+1=0，a3=c0s2x+1=2,a4=c0s3x十1=0， +a+…+a=nn1(nN),则数列 符合题设.] 2 6.已知递减数列{an}中，an=kn(k为常数)，则实数 {an}的通项公式an= ( ) 的取值范围是 A.n B.n c受 解析：(-o∞，0)[a,+1-an=k(n+1)-kn=k <0.] 解析：B[V瓜十V瓜+…+√a,=n,1, 2 1 7数列a,)的通项公式a,+√n行则而-3 a+a+…+a.=nn,D(m≥2， 2 是此数列的第 项 两式相减得√a,=nn,1卫-，D=n, 1 2 2 解析：9[令 =√10-3，即√n+1-√m √m+√n+1 .an=n2,(n≥2). =/10-3,n=9.] 又当=1时瓜-12=1： 8.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图 .an=n2.n∈N.故选B.] 象表示出来， (1)a,=(-1)”+2,(2)a,=+1 11.若数列(a,}为单调递增数列，且a。=2n一1+ 20 n 则a3的取值范围为 解析：(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图象如 图1. 解折：当n≥2时a,一a1=2m-1十会 (2a1=2,a2= 3 4 6 =a,= .图象如 (2m-3+产)=2-会，国为数列a,}为单调递 图2. au卡 增簧列，所以2会>0对n≥2n∈N恒成立， 即入<2m+1对n≥2(n∈N)恒成立，所以入<8， 所以4=5十音<6，放4，的取位范国为(-，0 012345n 012345n 答案：（一∞，6） 图1 图2 12.(2021·山东青州检测)有下列命题； [能力提升练] 9.（多选)下列四个命题中，正确的有 ①数列号子专音…的通项公式是，中 A数列{出}的第项为1+名 ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列1，-1,1，-1,1，…与数列-1,1，-1,1， B.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,n∈ …是同一数列： N,则一8是该数列的第7项 C.数列3,5,9,17,33…的一个通项公式为an=2”-1 ①数列分，子…六是道增数列 D数列a.的通项公式为a,行ncN,则数 其中正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.0 列{an}是递增数列 答案：A ·6 第五章数列 [素养培优练] 14.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象 13.天干地支年纪法源于中国，中国自古便有十天干 的几何学，它的创立，为解决传统科学众多领域的 与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、 难题提供了全新的思路.如图是按照一定的分形 壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申 规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点 西、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干 的个数是 和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后， 第1行 天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲 .第2行 子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此 第3行 类推，排列到“癸西”后，天干回到“甲”重新开始， -第4行 即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始 …第5行 即“丙子”，…，以此类推，已知2020年为庚子年， 第6行 那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年 解析：由题意及图形知，不妨构造数列{an}表示第 法为 n行实心圆点的个数的变换规律，其中每一个实 解析：由题意可知数列天千是10个为一个循环的 心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心 循环数列，地支是以12个一个循环的循环数列， 圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点故从第 从2020年到2049年一共有30年，且2020年为 三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心圆 庚子年，则30÷10=3,2049年的天千为已，30÷ 点数之和.即a1=0,a2=1,且n≥3时，am=aw-1十 12=2余6,2049年的地支为巳，故2049年为已已 an2,故第1行到第13行中实心圆点的个数分别 年。 为：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144. 答案：已已 答案：144 5.1.2 数列中的递推 课程标准 素养解读 1.通过对数列递推公式的学习，提升数学抽象 1.了解数列的递推公式. 的核心素养 2.了解数列的前n项和概念及其简单应用. 2.通过对数列前n项和的学习，达成数学抽象 逻辑推理的核心素养 课前。预习学案 对应学生用书P4 [情境引入] ?思考2.仅由数列{an}的关系式an=an-1十2(n≥ 我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式an=n 表示，容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可 2,n∈N)就能确定这个数列吗？ 用它的前一项表示出来，即an=an-1十1(n≥2)，这就 [提示]不能.数列的递推公式是由初始值和相 是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主 邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而 要内容：递推公式 无初始值，那么这个数列是不能确定的. [知识梳理] 3.通项公式与递推公式有何关系？ 知识点一]数列的递推关系 [提示] 如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两 项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则 类别 区别 联系 称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或 通项 an是序号n的函数式an 都是给出数 递归公式). 公式 =f(n) 列的方法， ?思考1.所有数列都有递推公式吗？ 已知a1（或前几项)及相 都可求出数 递推 [提示]不一定.例如√2精确到1,0.1,0.01， 公式 邻项（或相邻几项）间的关 列中任意 0.001,…的不足近似值排列成一列数：1,1.4,1. 系式 一项 41,1.414,…没有递推公式。 7