11.4.2 第2课时 平面与平面垂直的性质（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 第二课时平面与平面垂直的性质 课前预习学案 情境引入 提示在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个 平面. 知识梳理 [思考] 1.[提示]不对.只有当a与a和3的交线垂直时，a与3才 垂直. 2.[提示]不对.只有aCa时，a与3才垂直. 3.[提示](1)线面垂直的判定定理：(2)线面垂直的性质 定理的推论：(3)面面垂直的性质定理 预习自测 1.A[由于MEC平面AB1,平面AB1∩平面AC=AB,且 平面AB1⊥平面AC,ME⊥AB,则ME⊥平面AC.] 2.B[对于(1)，依据线面垂直的判定 D 定理，一条直线垂直于一个平面内 A 的两条相交直线，才能得到该直线 与此平面垂直，面只与B内的一条 直线m垂直，不能得到n⊥3，故(1) D 不正确.对于(2)，如图所示，在长方 A B 体ABCD-A'BC'D'中，平面DCC D'⊥平面ABCD,平面ABCD'与平面DCC'D'的交线为 C'D',与平面ABCD的交线为AB,但CD'∥AB.故(2) 不正确.对于(3)，由于m⊥a,m1,则n在平面a内或n ∥a.若n在平面a内，由n⊥3可得a⊥3：若n∥a,过n作 平面与a交于直线l,则n∥l,由n⊥3得l⊥B,从而a⊥. 故(3)正确.门 3.解析：a⊥3，a∩3=l,nC3,n⊥1，.n⊥a,又m⊥a, .∴.m∥. 答案：平行 课堂互动学案 [例1门[解析](1)①不正确，因为没有这条直线垂直于 它们的交线这个条件，所以这条直线不一定垂直于另一 个平面，因而它也就不一定垂直于另一个平面内的任意 一条直线：②正确，无论这一条直线与它们的交线平行或 者相交，另一个平面内与两平面交线垂直的直线都垂直 于第一个平面，因而也垂直于这个平面内的任一直线； ③不正确，这个命题中没有强调在平面内作交线的垂线， 过一点作一条直线的垂线有无数多条，只有在两个互相 垂直的平面的一个面内作它们交线的垂线，这条垂线才 垂直于另一个平面，选C. (2)根据平面与平面垂直的性质知A正确：B中，m还可 能在a内或m∥a或m与a斜交，不正确；C中，a⊥B,m⊥ B,m亡a时，只能有m∥a,正确；D中，m与3的位置关系 可能是m∥3或mC3或m与3相交，不正确.故选A,C. [答案](1)C(2)AC 变式训练 1.解析：(1)A中过P与1垂直的直线可能不在a内：C中若 过P和l垂直的直线不在α内，则不与B垂直，B,D正确， (2)因为PA=PD,E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平 面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所 以PE⊥平面ABCD,所以PE⊥AC,PE⊥BC,所以结论 A,B一定成立.又PE二平面PBE,所以平面PBE⊥平面 ABCD,所以结论C一定成立.若平面PBE⊥平面PAD, 则AD⊥平面PBE,必有AD⊥BE,此关系不一定成立， 故选D. 答案：(1)BD(2)D [例2][证明](1)由题意知△PAD为正三角形，G是 AD的中点，.PG⊥AD. 文平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD= AD,PGC平面PAD, ·1 ∴.PG⊥平面ABCD,由BGC平面ABCD,∴.PG⊥BG. 又四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°， ∴△ABD是正三角形，.BG⊥AD. 又AD∩PG=G,AD,PGC平面PAD, ..BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,BG, PGC平面PBG,所以AD⊥平面PBG, 又PBC平面PBG,所以AD⊥PB. 变式训练 2.解：(1)由已知DA=DM,E是AM的中，点， .DE⊥AM. ".'平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM =AM, .DE⊥平面ABCM. 四梭锥D-ABCM的体积V=子SM·DE=了× (1x3-×1x1）×含×n-9 12 (2)证明：由(1)可得，DE⊥平面ABCM,DEC平面DEB, .平面DEB⊥平面ABCM. (3)解：过B,点存在一条直线1，同时满足以下两个条件： ①1C平面ABCM;②l⊥AD.理由： 在平面ABCM中，过点B作直线l,使I⊥AM, :平面ADM⊥平面ABCM,平面ABCM∩平面 ADM-AM, ..l⊥平面ADM,.L⊥AD [例3][证明](1)取BC的中点M.连接DM,AM, 因为BD=CD,且BD⊥CD,BC=2, 所以DM=1,DM⊥BC. 又平面BCD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC=BC, DMC平面BCD, 所以DM⊥平面ABC,又AE⊥平面ABC, 所以AE∥DM, 又DMC平面BCD,AE丈平面BCD, 所以AE∥平面BCD. (2)由(1)知AE∥DM,又AE=1,DM=1, 所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM, 因为△ABC为正三角形，所以AM⊥BC 又平面BCD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC=BC, AMC平面ABC, 所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD. 又CDC平面BCD,所以DE⊥CD. 因为BD⊥CD,BD∩DE=D,所以CD⊥平面BDE. 因为CDC平面CDE,所以平面BDE⊥平面CDE. 变式训练 3.证明：(1)因为PA=PD, E为AD的中点， 所以PE⊥AD. 因为底面ABCD为矩形， 所以BC∥AD. 所以PE⊥BC (2)因为底面ABCD为矩形， 所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD =AD,ABC平面ABCD, 所以AB⊥平面PAD. 所以AB⊥PD. 文因为PA⊥PD,且PA∩AB=A,PA,PBC平面PAB, 所以PD⊥平面PAB,又PDC平面PCD, 所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如图，取PC中点G,连接FG,DG, 因为F,G分别为PB,PC的中点， 所以PG/BC,PG=2BC 因为ABCD为矩形，且E为AD的中，点， 所以DE∥BC, DE-BC. 所以DE∥FG,DE=FG. 所以四边形DEFG为平行 四边形， 所以EF∥DG. 又因为EF过平面PCD,DGC平面PCD, 所以EF∥平面PCD. 随堂步步夯实 1.A[.'mCa,m⊥y,.∴.a⊥y..m⊥y,B∩y=l,∴.m⊥l,故 选A.] 2.B[对于①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误 的：对于②，因为a,b分别垂直于两个面，所以也垂直于二 面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角或直角，所以 应是相等或互补，是正确的；对于③，因为所作射线不一 定垂直于棱，所以是错误的；④是正确的.故选B.] 3.D[A项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面 或相交；B项中，平行于同一条直线的两个平面可能平行 或相交；C项中，垂直于同一平面的两个平面可能平行或 相交：D项正确.门 4.解析：连接AC,A1C1,A1B, D AD1,DC.因为AA1∥CC, AA1=CC1,所以四边形 A AA1C1C是平行四边形，所以 AC∥AC1.又因为AC丈平面 A1BC1,A1CC平面A1BC, 所以AC∥平面A1BC1.同理 D 可证AD1∥平面A,BC1,文因 为ACC平面ACD1,AD1C平 面ACD1,且AC∩AD1=A,所以平面ACD1∥平面 A1BC1,因为A1PC平面A1BC1,所以A1P∥平面 ACD1,故②正确.因为BC1∥AD1,所以BC1∥平面 ACD1,所以点P到平面ACD1的距离不变.又因为 VA-DPC=Vp-ACD,所以三棱锥A一DPC的体积不 变，故①正确.连接DB,DC1,DP.因为DB=DC1,所以 当P为BC1的中点时才有DP⊥BC1,故③错误，因为 BB1⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以AC⊥BB1,又 因为AC⊥BD,BB1∩BD=B,所以AC⊥平面BB,D1D. 连接B1D,又因为B1DC平面BB1D1D,所以B1D⊥AC. 同理可证B1D⊥AD1.又因为ACC平面ACD1,AD1C 平面ACD1,AC∩AD1=A,所以B1D⊥平面ACD1.又因 为B1DC平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,故 ④正确. 答案：①②④ 5.证明：(1)由直三棱柱ABC-A1B1C1,得A1B1∥AB. 因为A1B1丈平面ABD,ABC平面ABD,所以直线A1B1 ∥平面ABD. (2)因为三棱柱ABC-A,B,C1为直三棱柱，所以AB ⊥BB1. 又因为AB⊥BC,BB1C平面BCC1B1,BCC平面 BCCB1,且BB1∩BC=B,所以AB⊥平面BCC1B1. 又因为ABC平面ABD,所以平面ABD⊥平面BCC1B1. ·1 参考答案 章未归纳提升 [例1]A[如图，分别过点A,B E 作EF的垂线，垂足分别为G,H, 连接DG,CH, 客易求得BG=HF=名 D '0 AG-GD-BH-He 取AD的中点O,连接G0,易得GO= 2 -1xx1- ∴.S△AGD=S△BHC=2X2 4 ∴.多面体的体积V=V三枝维E-ADG十V三棱维F-CH十 V三棱维AGD-BHC=2V三被维E-ADG十V三技维AGD-BHC 41 变式训练 1.解：该平面图形旋转一周后所得的几何体是一个圆台挖 掉半个球. 由随店得分9=古×4X2=8ax(m2), S图台侧=π(2+5)W(5-2)2+4=35π(cm2),S图台下底= 元×52=25π(cm2),所以该几何体的表面积为8x十35x十 25π=68π(cm2). 又V国台=号×(22+2×5+52)×4=52x(cm3),V华球 合×5×2-1gcm), 所以该几何体的体积为V圈台一V半球=52π 16x 3 =140x(cm3). 3 [例2][解]当，点F是PB的中点 时，平面AFC∥平面PMD,证明如 下：如图，连接BD交AC于点O,连 接FO,则PF=2PB. ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.O是BD的中点，∴OF∥PD. 又OFt平面PMD,PDC平面PMD, :OF∥平面PMD.又MAL?PB, PF LMA.∴.四边形AFPM是平行四边形. .AF∥PM.又AF丈平面PMD,PMC平面PMD. .∴.AF∥平面PMD. 又AF∩OF=F,AFC平面AFC,OFC平面AFC, ,'.平面AFC∥平面PMD. 变式训练 2.证明：，M,N分别是EA与EC的中点，∴.MN∥AC. 又，ACC平面ABC,MN中平面ABC, ∴.MN∥平面ABC, 'DB⊥平面ABC,EC⊥平面ABC,'.BD∥EC. N为EC中点，EC=2BD,∴.NC LBD. .四边形BCND为矩形.∴.DN∥BC. 又DNE平面ABC,BCC平面ABC, ∴.DN∥平面ABC.又，MN∩DN=N,MNC平面 DMN,DNC平面DMN,∴.平面DMN∥平面ABC. [例3][证明](1)因为平面PAD⊥底面ABCD,PA在 平面PAD内且垂直于这两个平面的交线AD, 所以PA⊥底面ABCD. (2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点， 所以AB∥DE,且AB=DE. 5数学B版·必修第四册 随堂。步步夯实 1二面角是 5.如图，过S点引三条长度相等 A.两平面相交所成的角 但不共面的线段SA,SB,SC, B.一个平面绕该平面的一条直线旋转所成的图形 且∠ASB=∠ASC=60°， C.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 ∠BSC=90°， D.从一个平面内一条直线出发的一个半平面与该 求证：平面ABC⊥平面BSC. 平面所组成的图形 2.下列命题中正确的是 A.平面a和3分别过两条互相垂直的直线，则α⊥3 B.若平面α内的一条直线垂直于平面阝内的两条 平行直线，则α⊥3 C.若平面α内的一条直线垂直于平面B内的两条 相交直线，则a⊥3 D.若平面a内的一条直线垂直于平面3内的无数 条直线，则a⊥3 3.把等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一 个二面角，此时∠BAC=60°，则此二面角的大小是 4.在长方体ABCD-A,B,C,D1中，AB=AD=2√5， CC,=√2，则二面角C一BD一C的大小为 C温馨提污 学习至此，请完成配套训练 第二课时 平面与平面垂直的性质 课程标准 素养解读 1.掌握平面与平面垂直的性质定理，能运用性质定理解决 运用平面与平面垂直的性质定理进行与线面垂 一些简单问题 直的转化，培养学生的逻辑推理素养和直观想 2.了解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性 象素养 质定理的相互联系 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 米兰地标建筑垂直森林有望引入南京. [知识点]平面与平面垂直的性质定理 1.性质定理的内容 文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直 线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一 个平面垂直.简记为“若面面垂直，则线面垂直” 图形语言：如图. 符号语言：a⊥B,a∩B=l,ABCB, 问题 两个平面垂直，有怎样的性质？ AB⊥L于点B→AB⊥a [知识剖析] (1)平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个： ①两个平面垂直；②有一条直线在其中一个平面 内；③这条直线垂直于两个平面的交线 ·82· 第十一章立体几何初步 (2)两个平面垂直，分别在两个平面内的两条直线可 (3)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂 能平行、相交（含垂直）或异面. 线平行于另一个平面或在另一个平面内.即α⊥3， 2.性质定理的作用 b⊥3→b∥a或bCa. (1)证明线面垂直、线线垂直；(2)构造面的垂线： (4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它 [知识剖析] 们的交线垂直于第三个平面.即a∩B=l,a⊥y,3 (1)若题目所给的条件中有面面垂直的条件，一般要 ⊥y→l⊥Y. 注意观察是否有垂直于两平面交线的垂线.若有， (5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.即α⊥3， 则利用性质定理转化为线面垂直、线线垂直；若设 a∩3=l,3⊥y,3∩y=m,y⊥a,y∩a=n→l⊥m,m 有，一般要利用性质定理作交线的垂线，转化为线 ⊥n,l⊥n. 面垂直、线线垂直. 4.线、面垂直位置关系的相互转化 (2)在证明线面垂直、线线垂直，作线面角、二面角的 空间儿何的定理 平面角时往往利用性质定理 2思考1.aL3,aCa,则a⊥3对吗？ 线垂直 线面垂直的判定定理 线面垂直的性 2.a⊥3，a∩3=l,a⊥1，则a⊥3对吗？ 线面垂直 面面垂直的性质定理 面面垂直的判定定理面面垂直 [预习自测] 1.已知长方体ABCD-A1B,C,D,,在平面AB,上任 3.线面垂直的常用判定方法有哪些？ 取一点M,作ME⊥AB于E,则 ( A.ME⊥平面AC B.MEC平面AC C.ME∥平面AC D.以上都有可能 2.m,n表示直线，a,3,y表示平面，给出下列三个 命题： (1)若a∩B=m,nCa,n⊥m,则n⊥B; 3.平面与平面垂直的其他性质与结论 (2)若a⊥3，a∩y=m,g∩y=n,则n⊥m; (1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内 (3)若m⊥a,n⊥3，m⊥n,则a⊥3. 其中正确的命题为 一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. A.(1)(2) B.(3) 即a⊥B,A∈a,A∈b,b⊥B→bCa. C.(2)(3) D.(1)(2)(3) (2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平 行的平面垂直于另一个平面.即a⊥3，y∥3 3.平面a⊥平面3，a∩B=l,nCB,n⊥l,直线m⊥a,则 直线m与n的位置关系是 →y⊥a. 课堂。互动学案 题型一平面与平面垂直的性质 A.若a⊥B,a∩3=m,nCa,n⊥m,则n⊥B [例1](1)已知两个平面互相垂直.下列命题中 B.若a⊥3，且n⊥3，n⊥m,则m⊥a ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内 C.若a⊥3，m⊥B,m寸a,则m∥a 的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直 D.若a⊥3，m∥a,则m⊥3 于另一个平面内的无数条直线；③过一个任意点作 汇思路点拔利用垂直的判定与性质判断. 交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 [尝试解答](1) (2) 正确命题的个数是 A.3B.2C.1D.0 规律方法 (2)(多选题)设m,n是两条不同的直线，a,3是两 一个平面内的直线与另一平面垂直必须具备三个 个不同的平面，给出如下命题.其中正确的是 条件：①两平面垂直；②直线在其中一平面内： ( ③直线与两平面的交线垂直. ·83· 数学B版·必修第四册 ◇[变式训练] 1.(1)(多选题)已知平面a⊥平面3，a∩3=l,点P∈ 1,则下列结论正确的是 ( A.过P和1垂直的直线在a内 图1 图2 B.过P和3垂直的直线在a内 (1)求四棱锥D-ABCM的体积； C.过P和l垂直的直线必与3垂直 (2)求证：平面BDE⊥平面ABCM; D.过P和3垂直的平面必与l垂直 (3)过B点是否存在一条直线1，同时满足以下两 (2)如图，点P为四边形ABCD外 个条件：①lC平面ABCM;②l⊥AD.请说明理由. 一点，平面PAD⊥平面ABCD,PA =PD,E为AD的中点，则下列结 论不一定成立的是 A.PE⊥AC B.PE⊥BC C.平面PBE⊥平面ABCD D.平面PBE⊥平面PAD 题型二平面与平面垂直的性质应甬 [例2]如图所示，P是四边形 ABCD所在平面外的一点，四边形 ABCD是∠DAB=60°且边长为a 题型三线面垂直、面面垂直关系的转化 的菱形.侧面PAD为正三角形，其 [例3]如图，△ABC是边长为2的 所在平面垂直于底面ABCD.G为 正三角形，AE⊥平面ABC,平面 AD边的中点.求证： BCD⊥平面ABC,BD=CD,BD (1)BG⊥平面PAD: ⊥CD,且AE=1. (2)AD⊥PB. (1)求证：AE∥平面BCD: [思路点拔]()利用面面垂直的性质证明，即只 (2)求证：平面BDE⊥平面CDE. 需证明BG⊥AD即可； [思路点拨](1)利用面面垂直的性质，先证DM (2)利用线面垂直得线线垂直，即只需证明AD⊥ :⊥平面ABC,从而AE∥DM,进一步证明AE∥ 平面PBG. 平面BCD. [尝试解答] (2)根据面面垂直的性质，证AM⊥平面BCD,进 一步得CDL平面BDE,可证，平面BDE⊥平面 CDE. [尝试解答] 规律方法 1,证明或判定线面垂直的常用方法： (1)线面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性质定理； (3)若a∥b,a⊥a,则bLa(a,b为直线，a为平面)； (4)若a⊥a,a∥B,则a⊥(a为直线，a,3为平面)： 2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直 规律方法 转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面 (找)与交线垂直的直线. 垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都 ◇[变式训练] 是从某一垂直开始转向另一垂直.最终达到目的. 2.如图1，在矩形ABCD中，AD=1,AB=3,M为 其转化关系如下： CD上一点，且CM=2MD.将△ADM沿AM折 判定 起，使得平面ADM⊥平面ABCM,如图2，点E是 线面垂直判定 线线垂直 线而垂直的 线面垂直面面垂直判定 面面垂直 线段AM的中点. 性质是线线 预的 垂直的判定 垂直的判定 性质 ·84· 第十一章立体几何初步 ◇[变式训练] (2)求证：平面PAB⊥平面PCD; 3.如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为矩 (3)求证：EF∥平面PCD. 形，平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD, E,F分别为AD,PB的中点. (1)求证：PE⊥BC: 随堂。步步夯实 1.如果直线l,m与平面a,3,y满足l=3∩y,l∥a,m 5.在直三棱柱ABC-AB1C1中，AB⊥BC,D为棱 Ca,m⊥y,那么必有 () CC1上任一点. A.a⊥y和l⊥m B.a∥y和m∥B (1)求证：直线A,B1∥平面ABD; C.m∥3且l⊥m D.a∥3和a⊥y (2)求证：平面ABD⊥平面BCC,B1, 2.给出下列命题： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角； ②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直， 则a,b所成的角与这个二面角相等或互补； ③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个 面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置 没有关系.其中正确的是 ( A.①③ B.②④ C.③④ D.①② 3.在空间中，下列命题正确的是 A.垂直于同一条直线的两直线平行 B.平行于同一条直线的两个平面平行 C,垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 4.如图，点P在正方体ABCD一A,B,C,D1的面对角 线BC1上运动，则下面四个结论：①三棱锥A D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1:③DP⊥ BC,:④平面PDB1⊥平面ACD1: 其中正确结论的序号是 .(写出所有你认 为正确结论的序号) D ©温馨提 学习至此，请完成配套训练 ·85·