11.4.2 第二课时 平面与平面垂直的性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦平面与平面垂直的性质定理，通过“垂直森林”情境引入问题，结合预习学案回顾线面垂直判定，知识剖析明确定理三条件，构建“线线垂直—线面垂直—面面垂直”转化学习支架。 其亮点在于情境化设计培养数学眼光，例题变式训练强化逻辑推理与直观想象，如翻折问题中性质定理应用。知识转化关系图助力数学语言表达，帮助学生构建知识网络，提升空间观念，教师可直接用于分层教学，提高效率。

第二课时　平面与平面垂直的性质 第十一章 立体几何初步 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 章末归纳提升 05 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 章末归纳提升 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 下一页 上一页 返回导航 第十一章 立体几何初步 数学B版·必修第四册 课程标准 素养解读 1.掌握平面与平面垂直的性质定理，能运用性质定理解决一些简单问题 2．了解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性质定理的相互联系 运用平面与平面垂直的性质定理进行与线面垂直的转化，培养学生的逻辑推理素养和直观想象素养 [情境引入] 　米兰地标建筑垂直森林有望引入南京． 问题　两个平面垂直，有怎样的性质？ 提示　在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面． [知识梳理] [知识点]　平面与平面垂直的性质定理　 1．性质定理的内容 文字语言：两个平面垂直，如果—个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．简记为“若面面垂直，则线面垂直”． 图形语言：如图． 符号语言：α⊥β，α∩β＝l，AB⊂β，AB⊥l于点B⇒AB⊥α. [知识剖析] (1)平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个：①两个平面垂直；②有一条直线在其中一个平面内；③这条直线垂直于两个平面的交线． (2)两个平面垂直，分别在两个平面内的两条直线可能平行、相交(含垂直)或异面． 2．性质定理的作用 (1)证明线面垂直、线线垂直；(2)构造面的垂线． [知识剖析] (1)若题目所给的条件中有面面垂直的条件，一般要注意观察是否有垂直于两平面交线的垂线．若有，则利用性质定理转化为线面垂直、线线垂直；若没有，一般要利用性质定理作交线的垂线，转化为线面垂直、线线垂直． (2)在证明线面垂直、线线垂直，作线面角、二面角的平面角时往往利用性质定理． 3．线面垂直的常用判定方法有哪些？ [提示]　(1)线面垂直的判定定理；(2)线面垂直的性质定理的推论；(3)面面垂直的性质定理． 1.α⊥β，a⊂α，则a⊥β对吗？ [提示]　不对．只有当a与α和β的交线垂直时，a与β才垂直． 2．α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，则a⊥β对吗？ [提示]　不对．只有a⊂α时，a与β才垂直． 3．平面与平面垂直的其他性质与结论 (1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β⇒b⊂α. (2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面．即α⊥β，γ∥β⇒γ⊥α. (3)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．即α⊥β，b⊥β⇒b∥α或b⊂α. (4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ. (5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直．即α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n⇒l⊥m，m⊥n，l⊥n. 4．线、面垂直位置关系的相互转化 [预习自测] 1．已知长方体ABCD－A1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则(　　) A．ME⊥平面AC　　　　 B．ME⊂平面AC C．ME∥平面AC D．以上都有可能 解析：A　[由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.] 2．m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题： (1)若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β； (2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m； (3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β. 其中正确的命题为(　　) A．(1)(2) B．(3) C．(2)(3) D．(1)(2)(3) 解析：B　[对于(1)，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，面n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故(1)不正确．对于(2)，如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′与平面DCC′D′的交线为C′D′，与平面ABCD的交线为AB，但C′D′∥AB.故(2)不正确．对于(3)，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β.故(3)正确．] 3．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是　________　. 解析：∵α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，∴n⊥α，又m⊥α，∴m∥n. 答案：平行 平面与平面垂直的性质 [例1]　(1)已知两个平面互相垂直．下列命题中 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③过一个任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 正确命题的个数是(　　) A．3　B．2　　C．1　　D．0 (2)(多选题)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出如下命题．其中正确的是(　　) A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β B．若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α C．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α D．若α⊥β，m∥α，则m⊥β [思路点拨]　利用垂直的判定与性质判断． [解析]　(1)①不正确，因为没有这条直线垂直于它们的交线这个条件，所以这条直线不一定垂直于另一个平面，因而它也就不一定垂直于另一个平面内的任意一条直线；②正确，无论这一条直线与它们的交线平行或者相交，另一个平面内与两平面交线垂直的直线都垂直于第一个平面，因而也垂直于这个平面内的任一直线；③不正确，这个命题中没有强调在平面内作交线的垂线，过一点作一条直线的垂线有无数多条，只有在两个互相垂直的平面的一个面内作它们交线的垂线，这条垂线才垂直于另一个平面，选C. (2)根据平面与平面垂直的性质知A正确；B中．m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；C中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只能有m∥α，正确；D中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．故选A，C. [答案]　(1)C　(2)AC 一个平面内的直线与另一平面垂直必须具备三个条件：①两平面垂直；②直线在其中一平面内；③直线与两平面的交线垂直． [变式训练] 1．(1)(多选题)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，则下列结论正确的是(　　) A．过P和l垂直的直线在α内 B．过P和β垂直的直线在α内 C．过P和l垂直的直线必与β垂直 D．过P和β垂直的平面必与l垂直 (2)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是(　　) A．PE⊥AC B．PE⊥BC C．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD 解析：(1)A中过P与l垂直的直线可能不在α内；C中若过P和l垂直的直线不在α内，则不与β垂直，B，D正确． (2)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以结论A，B一定成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以结论C一定成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D. 答案：(1)BD　(2)D 平面与平面垂直的性质应用 [例2]　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点．求证： (1)BG⊥平面PAD； (2)AD⊥PB. [思路点拨]　(1)利用面面垂直的性质证明，即只需证明BG⊥AD即可； (2)利用线面垂直得线线垂直，即只需证明AD⊥平面PBG. [证明]　(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面 ABCD＝AD，PG⊂平面PAD， ∴PG⊥平面ABCD，由BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG. 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD. 又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD， ∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG， 又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB. 1．证明或判定线面垂直的常用方法： (1)线面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性质定理； (3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)； (4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)； 2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线． [变式训练] 2．如图1，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2，点E是线段AM的中点． (1)求四棱锥D－ABCM的体积； (2)求证：平面BDE⊥平面ABCM； (3)过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.请说明理由． 解：(1)由已知DA＝DM，E是AM的中点， ∴DE⊥AM. ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM， ∴DE⊥平面ABCM. 四棱锥D－ABCM的体积V＝eq \f(1,3)SABCM·DE＝ eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×3－\f(1,2)×1×1))×eq \f(1,2)×eq \r(2)＝eq \f(5\r(2),12). (2)证明：由(1)可得，DE⊥平面ABCM，DE⊂平面DEB， ∴平面DEB⊥平面ABCM. (3)解：过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.理由： 在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM， ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM， ∴l⊥平面ADM，∴l⊥AD. 线面垂直、面面垂直关系的转化 [例3]　如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，BD⊥CD，且AE＝1. (1)求证：AE∥平面BCD； (2)求证：平面BDE⊥平面CDE. [思路点拨]　(1)利用面面垂直的性质，先证DM⊥平面ABC，从而AE∥DM，进一步证明AE∥平面BCD. (2)根据面面垂直的性质，证AM⊥平面BCD，进一步得CD⊥平面BDE，可证，平面BDE⊥平面CDE. [证明]　(1)取BC的中点M.连接DM，AM， 因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2， 所以DM＝1，DM⊥BC. 又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，DM⊂平面BCD， 所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM， 又DM⊂平面BCD，AE⊄平面BCD， 所以AE∥平面BCD. (2)由(1)知AE∥DM，又AE＝1，DM＝1， 所以四边形DMAE是平行四边形， 所以DE∥AM， 因为△ABC为正三角形，所以AM⊥BC. 又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC， AM⊂平面ABC， 所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD. 又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD. 因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，所以CD⊥平面BDE. 因为CD⊂平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE. 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直．最终达到目的．其转化关系如下： [变式训练] 3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD； (3)求证：EF∥平面PCD. 证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD. 因为底面ABCD为矩形， 所以BC∥AD.所以PE⊥BC. (2)因为底面ABCD为矩形， 所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD. 所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，PB⊂平面PAB， 所以PD⊥平面PAB，又PD⊂平面PCD， 所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如图，取PC中点G，连接FG，DG， 因为F，G分别为PB，PC的中点， 所以FG∥BC，FG＝eq \f(1,2)BC. 因为ABCD为矩形，且E为AD的中点， 所以DE∥BC， DE＝eq \f(1,2)BC. 所以DE∥FG， DE＝FG. 所以四边形DEFG为平行四边形． 所以EF∥DG. 又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD， 所以EF∥平面PCD. 1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足l＝β∩γ，l∥α，m⊂α，m⊥γ，那么必有(　　) A．α⊥γ和l⊥m　　　　　 B．α∥γ和m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β和α⊥γ 解析：A　[∵m⊂α，m⊥γ，∴α⊥γ.∵m⊥γ，β∩γ＝l，∴m⊥l，故选A.] 2．给出下列命题： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角； ②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补； ③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是(　　) A．①③ B．②④ C．③④ D．①② 解析：B　[对于①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对于②，因为a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角或直角，所以应是相等或互补，是正确的；对于③，因为所作射线不一定垂直于棱，所以是错误的；④是正确的．故选B.] 3．在空间中，下列命题正确的是(　　) A．垂直于同一条直线的两直线平行 B．平行于同一条直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 解析：D　[A项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中，平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中，垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确．] 4．如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下面四个结论：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1. 其中正确结论的序号是　________　.(写出所有你认为正确结论的序号) 解析：连接AC，A1C1，A1B，AD1，D1C.因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1.又因为AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1.同理可证AD1∥平面A1BC1，又因为AC⊂平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，且AC∩AD1＝A，所以平面ACD1∥平面A1BC1，因为A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，故②正确．因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面ACD1，所以点P到平面ACD1的距离不变．又因为VA－D1PC＝VP－ACD1，所以三棱锥A－D1PC的体积不变，故①正确． 连接DB，DC1，DP.因为DB＝DC1，所以当P为BC1的中点时才有DP⊥BC1，故③错误，因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1.又因为AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D1D.连接B1D，又因为B1D⊂平面BB1D1D，所以B1D⊥AC.同理可证B1D⊥AD1.又因为AC⊂平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，AC∩AD1＝A，所以B1D⊥平面ACD1.又因为B1D⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，故④正确． 答案：①②④ 5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点． (1)求证：直线A1B1∥平面ABD； (2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1. 证明：(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB. 因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD. (2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1. 又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1. 又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1. [归纳提升] 空间几何体的表面积和体积 1．几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用． 2．常用的计算方法 (1)公式法：根据题意直接套用表面积或体积公式求解． (2)割补法：割补法的思想是通过分割或补形，将原几何体分割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积． (3)等体积变换法：等积变换法的思想是从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理来求原几何体的体积． [例1]　如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　) A.eq \f(\r(2),3)　　　　　B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,2) [解析]　A　[如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH， 容易求得EG＝HF＝eq \f(1,2)， AG＝GD＝BH＝HC＝eq \f(\r(3),2)， 取AD的中点O，连接GO，易得GO＝eq \f(\r(2),2)， ∴S△AGD＝S△BHC＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×1＝eq \f(\r(2),4)， ∴多面体的体积V＝V三棱锥E－ADG＋V三棱锥F－BCH＋V三棱锥AGD－BHC＝2V三棱锥E－ADG＋V三棱锥AGD－BHC＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),4)×eq \f(1,2)×2＋eq \f(\r(2),4)×1＝eq \f(\r(2),3).故选A.] [变式训练] 1．如图所示(单位：cm)的四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分以AB所在直线为旋转轴旋转一周所成几何体的表面积和体积． 解：该平面图形旋转一周后所得的几何体是一个圆台挖掉半个球． 由题意得eq \f(1,2)S球＝eq \f(1,2)×4π×22＝8π(cm2)， S圆台侧＝π(2＋5)eq \r(5－22＋42)＝35π(cm2)，S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，所以该几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm2)． 又V圆台＝eq \f(π,3)×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)， V半球＝eq \f(1,2)×eq \f(4π,3)×23＝eq \f(16π,3)(cm3)， 所以该几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－eq \f(16π,3)＝eq \f(140π,3)(cm3)． 空间中的平行关系 在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理，特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．如下图所示是平行关系相互转化的示意图． [例2]　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由． [解]　当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图，连接BD交AC于点O，连接FO，则PF＝eq \f(1,2)PB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是BD的中点，∴OF∥PD. 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD， ∴OF∥平面PMD.又MAeq \f(1,2)PB， ∴PFMA.∴四边形AFPM是平行四边形． ∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD. ∴AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC， ∴平面AFC∥平面PMD. [变式训练] 2.如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC 证明：∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC. 又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC， ∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC. ∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NCBD. ∴四边形BCND为矩形．∴DN∥BC. 又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴DN∥平面ABC.又∵MN∩DN＝N，MN⊂平面DMN，DN⊂平面DMN，∴平面DMN∥平面ABC. 空间中的垂直关系 1．空间垂直关系的判定方法： (1)判定线线垂直的方法有： ①计算所成的角为90°(包括相交直线所成的角和异面直线所成的角)； ②由线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)； ③面面垂直的定义：若两平面垂直，则两平面相交形成的二面角的平面角为90°； (2)判定线面垂直的方法有： ①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)； ②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α， b∩c＝M⇒a⊥α)； ③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)； ④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)； ⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)； ⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)． (3)面面垂直的判定方法有： ①根据定义(作两平面构成的二面角的平面角，计算：其为90°)； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． 2．垂直关系的转化是： [例3]　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. [证明]　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，PA在平面PAD内且垂直于这两个平面的交线AD， 所以PA⊥底面ABCD. (2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以四边形ABED为平行四边形． 所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因为AB⊥AD，四边形ABED为平行四边形． 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD， AD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 所以BE∩EF＝E，BE⊂平面BEF， EF⊂平面BEF， 所以CD⊥平面BEF. 因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD. [变式训练] 3.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 证明：(1)在四棱锥P－ABCD中． ∵PA⊥底面ABCD， CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°， 可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)，知AE⊥CD，又PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD， ∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE， ∴PD⊥平面ABE. 空间角问题 1．空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角．这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置关系进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何的知识熟练解题．空间角的题目一般都是各种知识的交汇点，因此，它是高考重点考查的内容之一，应引起足够重视． 2．求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)． 3．求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)． 4．常用的三种二面角的平面角的作法：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法． 总之，求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算． [例4]　如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； (2)求证：PD⊥平面PBC； (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值． (1)[解]　由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝eq \r(AD2＋PD2)＝eq \r(5)，故cos∠DAP＝eq \f(AD,AP)＝eq \f(\r(5),5).所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为eq \f(\r(5),5). (2)[证明]　因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.又BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，所以PD⊥平面PBC. (3)[解]　过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角． 由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF＝eq \r(CD2＋CF2)＝2eq \r(5)，在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝eq \f(PD,DF)＝eq \f(\r(5),5). 所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为eq \f(\r(5),5). [变式训练] 4．△ABC所在平面外有一点S，已知SC⊥AB，SC与底面ABC所成角为θ，二面角S－AB－C的大小为φ，且θ＋φ＝90°，求二面角C－SB－A的大小． 解：如图，作SO⊥平面ABC于点O，连接CO并延长交AB于点D，连接SD. 则∠SCO是SC与平面ABC所成的角，∴∠SCO＝θ. ∵SO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴SO⊥AB. 又∵SC⊥AB，SO∩SC＝S，SC⊂平面SDC，SO⊂平面SDC，∴AB⊥平面SDC.∵SD，CD⊂平面SDC，∴AB⊥CD，AB⊥SD. ∴∠SDO是二面角S－AB－C的平面角，即∠SDO＝φ. ∵θ＋φ＝90°，∴SC⊥SD. 又∵SC⊥AB，AB∩SD＝D，AB⊂平面SAB， SD⊂平面SAB，∴SC⊥平面SAB. 又∵SC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB， ∴二面角C－SB－A的大小为90°. 立体几何中的探索性问题 　解决探索性问题一般用分析法，常从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，然后结合已知条件求解． [例5]　在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中(如图)，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝eq \r(2)a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1. (1)证明：PA⊥平面ABCD； (2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论． [证明]　(1)∵底面ABCD是菱形且∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝AC＝a. 在△PAB中，PA2＋AB2＝2a2＝PB2， ∴PA⊥AB，同理PA⊥AD. 又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥平面ABCD. (2)如图，连接BD交AC于G，则G是BD的中点，连接GE.取PE的中点H，连接BH. ∵PE∶ED＝2∶1，∴PH＝HE＝ED，即E是DH的中点． 在△BHD中，EG为中位线， ∴EG∥BH. 取PC的中点F，连接FH，BF，则FH∥CE. ∵BH⊄平面AEC，EG⊂平面AEC，∴BH∥平面ACE， 同理FH∥平面AEC， 又BH∩FH＝H，BH⊂平面BHF，FH⊂平面BHF， ∴平面BHF∥平面AEC，又BF⊂平面BHF， ∴BF∥平面AEC. 故在棱PC上存在一点F，使BF∥平面AEC. [变式训练] 5．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AA1＝AC＝2，A1B＝A1D＝2eq \r(2)，点E在线段A1D上． (1)证明：AA1⊥平面ABCD； (2)当eq \f(A1E,ED)为何值时，A1B∥平面EAC，并求出此时三棱锥E－ACD的体积． (1)证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝AC＝2. ∵AA1＝2，A1B＝2eq \r(2)，AB＝2，∴AAeq \o\al(2,1)＋AB2＝A1B2， ∴AA1⊥AB.同理，AA1⊥AD. 又∵AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， AB∩AD＝A，∴AA1⊥平面ABCD. (2)解：当E为A1D的中点时，A1B∥平面EAC. 证明：连接BD交AC于O，连接OE，则OE∥A1B. 又OE⊂平面EAC，A1B⊄平面EAC， ∴A1B∥平面EAC，此时eq \f(A1E,ED)＝eq \f(BO,OD)＝1. ∴设AD的中点为F，连接EF，则EF∥AA1且EF＝eq \f(1,2)A1A＝1. 又由(1)知AA1⊥平面ACD，∴EF⊥平面ACD， ∴三棱锥E－ACD的体积 VE－ACD＝eq \f(1,3)×1×eq \f(1,2)×2×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),3). $