11.4.2 第2课时 平面与平面垂直的性质（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十一章立体几何初步 13.(2021·全国乙卷（文），18)如 (2)M为BC的中点， 图，四棱锥P一-ABCD的底面 是矩形，PD⊥底面ABCD,M ÷BM=2AD,且AB=DC=1①. 为BC的中点，且PB⊥AM. ,AM⊥平面PBD,BDC平面PBD, (1)证明：平面PAM⊥平 .AM⊥BD 面PBD; 则有∠BAM+∠MAD=90°，∠MAD+∠ADB (2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积. =90°，即∠BAM=∠ADB, 解析：(1)证明：，PDL平面ABCD, AMC平面ABCD, 刚有△BAADB,.利有器-合祭， ∴.PD⊥AM. 将①式代入②，解得AD=√2. .PD⊥AM,PB⊥AM,PB∩PD=D,PBC平面 所以SBABCD=AD·DC=√2X1=√2. PBD,PDC平面PBD, .AM⊥平面PBD. Vp-ANCD= 又.AMC平面PAM. 答案：(1)见解析；(2)Vp-ABcD 2 .平面PAM⊥平面PBD 第二课时平面与平面垂直的性质 课程标准 素养解读 1.掌握平面与平面垂直的性质定理，能运用性质定理解决 运用平面与平面垂直的性质定理进行与线面垂 一些简单问题 直的转化，培养学生的逻辑推理素养和直观想 2.了解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性 象素养 质定理的相互联系 课前。预习学案 对应学生用书P82 [情境引入] [知识剖析] 米兰地标建筑垂直森林有望引入南京. (1)平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个： ①两个平面垂直；②有一条直线在其中一个平面 内；③这条直线垂直于两个平面的交线， (2)两个平面垂直，分别在两个平面内的两条直线可 能平行、相交（含垂直）或异面. 问题两个平面垂直，有怎样的性质？ 2.性质定理的作用 提示在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另 (1)证明线面垂直、线线垂直；(2)构造面的垂线. 一个平面. [知识剖析] [知识梳理] (1)若题目所给的条件中有面面垂直的条件，一般要 [知识点]平面与平面垂直的性质定理 1.性质定理的内容 注意观察是否有垂直于两平面交线的垂线.若有， 文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直 则利用性质定理转化为线面垂直、线线垂直；若设 线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一 有，一般要利用性质定理作交线的垂线，转化为线 个平面垂直.简记为“若面面垂直，则线面垂直” 面垂直、线线垂直. 图形语言：如图。 (2)在证明线面垂直、线线垂直，作线面角、二面角的 符号语言：a⊥3，a∩3=l,ABC3, 平面角时往往利用性质定理. AB⊥I于点B→AB⊥a. ·155· 数学B版·必修第四册 ?思考1.a⊥3，aCa,则a⊥3对吗？ [预习自测] [提示]不对.只有当a与a和3的交线垂直时， 1.已知长方体ABCD-A,B,C,D,在平面AB1上任 a与3才垂直. 取一点M,作ME⊥AB于E,则 A.ME⊥平面AC B.MEC平面AC 2.a⊥3，a∩3=l,a⊥1，则a⊥3对吗？ [提示]不对.只有aCa时，a与B才垂直. C.ME∥平面AC D.以上都有可能 3.线面垂直的常用判定方法有哪些？ 解析：A[由于MEC平面AB1,平面AB,∩平面 [提示](1)线面垂直的判定定理；(2)线面垂直 AC=AB,且平面AB1⊥平面AC,ME⊥AB,则 的性质定理的推论；(3)面面垂直的性质定理。 ME⊥平面AC.] 2.m,n表示直线，a,3,y表示平面，给出下列三个 3.平面与平面垂直的其他性质与结论 命题： (1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内 (1)若a∩3=m,nCa,n⊥m,则nL3; 一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. (2)若a⊥3，a∩y=m,3∩y=n,则n⊥m; 即a⊥3，A∈a,A∈b,b⊥B→bCa. (3)若m⊥a,n⊥3，m⊥n,则a⊥3. (2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行 其中正确的命题为 的平面垂直于另一个平面.即a3,Y∥B→y⊥a. A.(1)(2) B.(3) (3)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂 C.(2)(3) D.(1)(2)(3) 线平行于另一个平面或在另一个平面内.即a⊥B, 解析：B[对于(1)，依据线面 D b⊥B→b∥a或bCa. 垂直的判定定理，一条直线垂直A (4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它 于一个平面内的两条相交直线， 们的交线垂直于第三个平面.即a∩3=l,a⊥y, 才能得到该直线与此平面垂直， B⊥y→l⊥Y. A 面n只与3内的一条直线m垂 (5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.即a⊥3， 直，不能得到n⊥3，故(1)不正确.对于(2)，如图所 a∩3=l,B⊥y,β∩y=m,Y⊥a,y∩a=n→l⊥ 示，在长方体ABCD一A'B'C'D'中，平面DCC'D m,mn,ln. ⊥平面ABCD,平面ABCD'与平面DCC'D'的交 4.线、面垂直位置关系的相互转化 线为C'D',与平面ABCD的交线为AB,但CD'∥ 空间儿何的定理 AB.故(2)不正确.对于(3)，由于m⊥a,m⊥n,则n 线垂直 在平面a内或n∥a.若n在平面a内，由n⊥B可得 线面垂直的判定定理 a⊥3；若n∥a,过n作平面与a交于直线l,则n∥l, 垂直的性质 由n⊥3得l⊥B,从而a⊥3.故(3)正确.] 3.平面a⊥平面3，a∩B=l,nC3,n⊥l,直线m⊥a,则 线 直线m与n的位置关系是 面面垂直的性质定理 线面垂直日 面面垂直 解析：：a⊥B,a∩B=l,nCB,n⊥l,∴.n⊥a,又m⊥ 面面垂直的判定定理 a,∴.m∥n. 答案：平行 课堂。互动学案 对应学生用书P83 题型一平面与平面垂直的性质 (2)(多选题)设m,n是两条不同的直线，a,3是两 [例1幻(1)已知两个平面互相垂直.下列命题中 个不同的平面，给出如下命题.其中正确的是 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内 的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直 A.若a⊥B,a∩3=m,nCa,nLm,则n⊥3 于另一个平面内的无数条直线：③过一个任意点作 B.若a⊥3，且n⊥3，n⊥m,则m⊥a 交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 C.若a⊥B,m⊥3，m寸a,则m∥a 正确命题的个数是 ( D.若a⊥3，m∥a,则m⊥3 A.3B.2C.1D.0 思路点拔丁利用垂直的判定与性质判断. ·156· 第十一章立体几何初步 [解析](1)①不正确，因为没有这条直线垂直于 ABCD=AD,所以PE⊥平面ABCD,所以PE⊥ 它们的交线这个条件，所以这条直线不一定垂直于 AC,PE⊥BC,所以结论A,B一定成立.又PEC平 另一个平面，因而它也就不一定垂直于另一个平面 面PBE,所以平面PBE⊥平面ABCD,所以结论C 内的任意一条直线；②正确，无论这一条直线与它 一定成立.若平面PBE⊥平面PAD,则AD⊥平面 们的交线平行或者相交，另一个平面内与两平面交 PBE,必有AD⊥BE,此关系不一定成立，故选D. 线垂直的直线都垂直于第一个平面，因而也垂直于 答案：(1)BD(2)D 这个平面内的任一直线；③不正确，这个命题中没 题型二平面与苹面垂直的性质应甬 有强调在平面内作交线的垂线，过一点作一条直线 [例2]如图所示，P是四边形 的垂线有无数多条，只有在两个互相垂直的平面的 ABCD所在平面外的一点，四边形 一个面内作它们交线的垂线，这条垂线才垂直于另 ABCD是∠DAB=60°且边长为a 一个平面，选C. 的菱形.侧面PAD为正三角形，其 (2)根据平面与平面垂直的性质知A正确；B中.m 所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点. 还可能在a内或m∥a或m与a斜交，不正确；C 求证： 中，a⊥B,m⊥B,m中a时，只能有m∥a,正确；D中， (1)BG⊥平面PAD: m与B的位置关系可能是m∥3或mCB或m与3 (2)AD⊥PB. 相交，不正确.故选A,C [思路点拨](1)利用面面垂直的性质证明，即只 [答案](1)C(2)AC 需证明BG⊥AD即可； 规律方法 (2)利用线面垂直得线线垂直，即只需证明ADI 一个平面内的直线与另一平面垂直必须具备三个 平面PBG. 条件：①两平面垂直；②直线在其中一平面内； [证明](1)由题意知△PAD为正三角形，G是 ③直线与两平面的交线垂直： AD的中点，.PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面 ◇[变式训练] ABCD=AD,PGC平面PAD, 1.(1)(多选题)已知平面a⊥平面3，a∩3=1，点P∈ ∴.PG⊥平面ABCD,由BGC平面ABCD, ,则下列结论正确的是 ( ∴.PG⊥BG A.过P和l垂直的直线在a内 又.·四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°， B.过P和B垂直的直线在a内 ∴.△ABD是正三角形，.BG⊥AD. C.过P和l垂直的直线必与3垂直 又AD∩PG=G,AD,PGC平面PAD, D.过P和3垂直的平面必与l垂直 .BG⊥平面PAD. (2)如图，点P为四边形ABCD外 (2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G, 一点，平面PAD⊥平面ABCD,PA BG,PGC平面PBG,所以AD⊥平面PBG, =PD,E为AD的中点，则下列结 又PBC平面PBG,所以AD⊥PB. 论不一定成立的是 A.PE⊥AC 规律方法 B.PE⊥BC 1.证明或判定线面垂直的常用方法： C.平面PBE⊥平面ABCD (1)线面垂直的判定定理； D.平面PBE⊥平面PAD (2)面面垂直的性质定理； 解析：(1)A中过P与L垂直的直线可能不在a内； (3)若a∥b,a⊥a,则bLa(a,b为直线，a为平面)： C中若过P和L垂直的直线不在a内，则不与3垂 (4)若a⊥a,a∥B,则a⊥3(a为直线，a,3为平面)； 直，B,D正确 2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直 (2)因为PA=PD,E为AD的中点，所以PEI 转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作 AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面 (找)与交线垂直的直线， ·157· 数学B版·必修第四册 ◇[变式训练] [思路点拨](1)利用面面垂直的性质，先证DM 2.如图1，在矩形ABCD中，AD=1,AB=3,M为 ⊥平面ABC,从而AE∥DM,进一步证明AE∥ CD上一点，且CM=2MD.将△ADM沿AM折 平面BCD. 起，使得平面ADM⊥平面ABCM,如图2，点E是 (2)根据面面垂直的性质，证AM⊥平面BCD,进 线段AM的中点 一步得CD⊥平面BDE,可证，平面BDE⊥平面 CDE. [证明](1)取BC的中，点M.连接DM,AM, E 图1 图2 (1)求四棱锥D-ABCM的体积； (2)求证：平面BDE⊥平面ABCM; (3)过B点是否存在一条直线(，同时满足以下两 因为BD=CD,且BD⊥CD,BC=2, 个条件：①lC平面ABCM;②1⊥AD.请说明理由. 所以DM=1,DM⊥BC. 解：(1)由已知DA=DM,E是AM的中点， 又平面BCD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC= .DE⊥AM. BC,DMC平面BCD, 所以DM⊥平面ABC,又AE⊥平面ABC,所以 ,平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面 AE∥DM, ABCM=AM, 又DMC平面BCD,AE丈平面BCD, ∴.DE⊥平面ABCM. 所以AE∥平面BCD. 四投维D-ABCM的体积V-子S·DE (2)由(1)知AE∥DM,又AE=1,DM=1, 所以四边形DMAE是平行四边形， 号×(xa×Ix小xg×g-盟 所以DE∥AM, (2)证明：由(1)可得，DE⊥平面ABCM,DEC平 因为△ABC为正三角形，所以AM⊥BC, 又平面BCD⊥平面ABC,平面BCD∩平面ABC 面DEB, =BC, .平面DEB⊥平面ABCM AMC平面ABC, (3)解：过B点存在一条直线1，同时满足以下两个 所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD. 条件：①C平面ABCM;②l⊥AD.理由： 又CDC平面BCD,所以DE⊥CD. 在平面ABCM中，过点B作直线I,使l⊥AM, 因为BD⊥CD,BD∩DE=D,所以CD⊥平 ,平面ADM⊥平面ABCM,平面ABCM∩平面 面BDE. ADM=AM, 因为CDC平面CDE,所以平面BDE⊥平面CDE. ∴.I⊥平面ADM,∴.1⊥AD. 规律方法 题型三线面垂直、面面垂直关系的转化 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面 垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都 [例3]如图，△ABC是边长为2的 是从某一垂直开始转向另一垂直.最终达到目的 正三角形，AE⊥平面ABC,平面 其转化关系如下： BCD⊥平面ABC,BD=CD,BD 判定 ⊥CD,且AE=1. 线面垂直判定 线线垂直 线面垂直 面面垂直判定、 线而垂直的 面面垂直 面面垂直的 性质是线线 性质是线面 (1)求证：AE∥平面BCD: 垂直的判定 垂直的判定 性质 (2)求证：平面BDE⊥平面CDE. ·158· 第十一章立体几何初步 ⊙[变式训练] 所以AB⊥平面PAD. 3.如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为矩 所以AB⊥PD. 形，平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD, 又因为PA⊥PD,且PA∩AB=A,PA,PBC平 E,F分别为AD,PB的中点. 面PAB, 所以PD⊥平面PAB,又PDC平面PCD, 所以平面PAB⊥平面PCD (3)如图，取PC中，点G,连接FG,DG, 因为F,G分别为PB,PC的中点， (1)求证：PE⊥BC; (2)求证：平面PAB⊥平面PCD: 所以FG/BC,FG=2BC (3)求证：EF∥平面PCD. 因为ABCD为矩形，且E为AD的中点， 证明：(1)因为PA=PD,E为AD的中点， 所以DE∥BC, 所以PE⊥AD. DE-专BC 因为底面ABCD为矩形， 所以DE∥FG, 所以BC∥AD.所以PE⊥BC DE=FG. (2)因为底面ABCD为矩形， 所以四边形DEFG为平行四边形. 所以AB⊥AD. 所以EF∥DG. 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面 又因为EF寸平面PCD,DGC平面PCD, ABCD=AD,ABC平面ABCD, 所以EF∥平面PCD. 随堂⊙步步夯实 对应学生用书P85 1.如果直线l,m与平面a,3,y满足l=3∩Y,l∥a,m 3.在空间中，下列命题正确的是 Ca,m⊥y,那么必有 A.垂直于同一条直线的两直线平行 A.a⊥y和l⊥m B.a∥y和m∥3 B.平行于同一条直线的两个平面平行 C.m∥3且l⊥m D.a∥3和a⊥Y C,垂直于同一平面的两个平面平行 解析：A[.mCa,m⊥Y,a⊥X.,m⊥y,3∩y= D.垂直于同一平面的两条直线平行 1,∴.m⊥l,故选A.] 解析：D[A项中，垂直于同一条直线的两直线可 2.给出下列命题： 能平行、异面或相交：B项中，平行于同一条直线的 ①两个相交平面组成的图形叫做二面角； 两个平面可能平行或相交；C项中，垂直于同一平 ②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直， 面的两个平面可能平行或相交；D项正确.门 则a,b所成的角与这个二面角相等或互补： 4.如图，点P在正方体ABCD一A,B,C1D1的面对角 ③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个 线BC,上运动，则下面四个结论：①三棱锥A 面内作射线所成角的最小角； DPC的体积不变；②A1P∥平面ACD1;③DP⊥ ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置 BC,;④平面PDB1⊥平面ACD1: 没有关系.其中正确的是 其中正确结论的序号是 ,(写出所有你认 A.①③ B.②④ 为正确结论的序号) C.③④ D.①② D 解析：B[对于①，显然混淆了平面与半平面的概 念，是错误的；对于②，因为a,b分别垂直于两个 面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所 成的角为锐角或直角，所以应是相等或互补，是正 确的；对于③，因为所作射线不一定垂直于棱，所以 D 是错误的；④是正确的.故选B.] ·159· 数学B版·必修第四册 解析：连接AC,A,C1, 5.在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB⊥BC,D为棱 A1B,AD1,D1C.因为AA CC1上任一点. ∥CC1,AA1=CC1,所以四 A (1)求证：直线A,B1∥平面ABD: 边形AACC是平行四边 形，所以AC∥A,C1.又因 (2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1. 为AC丈平面A1BC1,AC C平面ABC1,所以AC∥ B 平面A1BC1.同理可证AD1∥平面A1BC1,又因为 ACC平面ACD,,AD,C平面ACD1,且AC∩AD1 =A,所以平面ACD1∥平面A1BC1,因为A1PC平 面ABC1,所以A,P∥平面ACD1,故②正确.因为 B BC,∥AD,所以BC1∥平面ACD,,所以点P到平 证明：(1)由直三棱柱ABC一A1B1C1,得A1B, 面ACD1的距离不变.又因为VA-DP心=Vp-ACD, ∥AB. 所以三棱锥A一D,PC的体积不变，故①正确，连 因为A1B1史平面ABD,ABC平面ABD,所以直线 接DB,DC1,DP.因为DB=DC1,所以当P为BC1 的中，点时才有DP⊥BC1,故③错误，因为BB1⊥平 A,B1∥平面ABD. 面ABCD,ACC平面ABCD,所以AC⊥BB1·又因 (2)因为三棱柱ABC-ABC1为直三棱柱，所以 为AC⊥BD,BB,∩BD=B,所以AC⊥平面 AB⊥BB1. BB1D1D.连接B1D,又因为B1DC平面BB,D1D, 又因为AB⊥BC,BB,C平面BCC1B1,BCC平面 所以B1D⊥AC.同理可证B,D⊥AD.又因为AC BCC,B1,且BB,∩BC=B,所以AB⊥平 C平面ACD1,AD1C平面ACD1,AC∩AD1=A, 所以B,D⊥平面ACD1.又因为B,DC平面PDB1, 面BCC1B1. 所以平面PDB1⊥平面ACD1,故④正确. 又因为ABC平面ABD,所以平面ABD⊥平 答案：①②④ 面BCC,B1. 课后。素养提升 对应学生课时P44 基础过关 A.AB∥m B.AC⊥m JI CHU GUO GUAN 1.下列命题错误的是 ( C.AB∥g D.AC⊥3 A.若a⊥3，则a内所有直线都垂直于3 解析：D[如图，AB∥l∥m, B.如果a不垂直于B,那么a内不存在直线垂直于9 C.若a⊥3，则a内一定存在直线平行于3 D.若a⊥3，则经过a内一点与B垂直的直线在a内 B 解析：A[在正方体ABCD一A,B,C,D1中，平面 AA1B1B⊥平面ABCD,直线AB,C平面AA,B1B, AC⊥I,m∥→AC⊥m,AB∥l→AB∥B.故选D.] 但AB1与平面ABCD不垂直，故A错.] 4.如图所示，在斜三棱柱ABC 2.三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O,点P AB,C中，∠BAC=90°，BC⊥ 到三个面的距离分别是3,4,5，则OP的长为 AC,则点C在底面ABC上的 投影H必在 A.5√5 B.5√2 A.直线AB上 C.35 D.2√5 B.直线BC上 解析：B[:三个平面两两垂直，.可以将P与各 C.直线AC上 面的垂足连接并补成一个长方体，∴.OP即为对角 D.△ABC内部 线，∴.OP=/32+4+5=√50=5√2.] 解析：A[由CA⊥AB,CA⊥BC,且AB∩BC1= 3.已知平面a⊥平面3，a∩3=1，点A∈a,A庄l,直线 B,得CA⊥平面BAC,,又CAC平面ABC,∴.平面 AB∥1，直线AC⊥l,直线ma,m∥B,则下列四种 ABC⊥平面ABC1,因此H必在两平面的交线AB 位置关系中，不一定成立的是 ( ) 上. ·160· 第十一章立体几何初步 5.(多选题)如图，PA垂直于以 9.如图，在三棱锥P一ABC内，侧 AB为直径的圆所在的平面，点 面PAC⊥底面ABC,且∠PAC C是圆周上异于A,B任一点， =90°，PA=1,AB=2,AC=3, 则下列结论中正确的是() 则PC= ,PB= A.PB⊥AC B.PC⊥BC 解析：，侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC, C.AC⊥平面PBC ∠PAC=90(即AC⊥PA), D.平面PAC⊥平面PBC ∴.PA⊥平面ABC,又ABC平面ABC 解析：BD[BC⊥AC,BC⊥PA,∴.BC⊥平面 .PA⊥AB, PAC,PCC平面PAC,.BC⊥PC,故B正确；又 .PC=√PA+AC=√I+9=√10， ,BCC平面PBC,.平面PAC⊥平面PBC,故D PB=√/PA2+AB=√1+4=√5. 正确.] 答案：√10√5 6.(多选题)下列四个命题中，正确的是 ( 10.如图，在三棱锥P一ABC中，PAP A.a∥B,3⊥y,则a⊥y ⊥平面ABC,平面PAB⊥平 B.a∥B,B∥y,则a∥y C.a⊥B,y⊥3，则a⊥y 面PBC 求证：BC⊥AB. D.a⊥3，y⊥3，则a∥y 证明：在平面PAB内，作AD 解析：AB[CD不正确，当a⊥B,Y⊥3时，a,y可以 平行、相交（含垂直）.门 PB于D. 7.如图，在三棱锥P一ABC中，侧面PAC⊥底面 ,平面PAB⊥平面PBC, ABC,且∠PAC=90°，PA=1,AB=2,则PB=_ 且平面PAB∩平面PBC=PB, ∴.AD⊥平面PBC 又BCC平面PBC, ∴.AD⊥BC. 又，PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, .PA⊥BC,又PA∩AD=A,.BC⊥平面PAB. 解析：，侧面PAC⊥底面ABC,∴∠PAC=90°，即 又ABC平面PAB,.BC⊥AB. PA⊥AC,.PA⊥平面ABC,.PA⊥AB,∴.PB= 11.(2021·全国甲卷（文），19)A √PA+AB=√1+4=√5. 已知直三棱柱ABC 答案W5 A1B1C1中，侧面AAB1B 为正方形，AB=BC=2,E, 8.如图所示，已知两个正方形ABCD M F分别为AC和CC1的中 和DCEF不在同一平面内，M,NB( 分别为AB,DF的中点.若CD= 点，BF⊥A1B1 (1)求三棱锥F一EBC的 2,平面ABCD⊥平面DCEF,则线 段MN的长等于 体积； 解析：取CD的中，点G,连接MG, (2)已知D为棱A1B,上的点，证明：BF⊥DE. NG,因为ABCD,DCEF为正方M B 解：(1)因为AB=BC=2,所以BE⊥AC,又因为 形，且边长为2，所以MG⊥CD, 是直三棱锥ABC-AB,C,不妨设AC=2a, MG=2,NG=√2. G 因为BF⊥A,B1,所以BF⊥AB,连接AF, 因为平面ABCD⊥平面DCEF, E,F分别为AC和CC1的中点，则 所以MG⊥平面DCEF,可得MG⊥NG, AF2=BF2+AB2, 所以MN=√JMG+NG=√6. →4a2+1=5+4>a2=2→a=√2， 答案：√6 所以BE=√BC-EC=√2， ·161· 数学B版·必修第四册 所以Vr-c= 解析：A[如图，连接AB, A'B.则由已知AA'⊥平面B, ∠ABA'= 吾BB上年面a, (2)连接AE,取BC中点为 D B ∠BAB= H,连接EH,B,H, 设AB=,则B C 因为E,H分别为AC,BC 2a,BB'-2 a,在R△BA'B'中，AB 2, 的中点，所以EH∥AB, 又因为AB1∥AB,所以 B 0异别 A1B1∥EH,所以A1EHB 13.如图，在三棱锥A-BCD中， 共面， AB⊥AD,BC⊥BD,平面 易知DEC平面A,EHB1, ABD⊥平面BCD,点E,F(E 易知△FCB≌△HBB1,所以BF⊥HB1, 与A,D不重合)分别在棱 又因为BF⊥AB1,且AB1∩HB1=B1, AD,BD上，且EF⊥AD. 所以BF⊥平面A,EHB1,所以BF⊥DE. 求证：(1)EF∥平面ABC: (2)AD⊥AC. 能力提升 NENG LI TI SHENG 证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD,EF⊥ 12.如图所示，平面a⊥平面3，A∈a, AD,则AB∥EF.又因为EF中平面ABC,ABC B∈B,AB与两平面a,3所成的角 平面ABC,所以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABDL平面BCD,平面ABD∩平面 分别为平和否过A,B分别作两 BB BCD=BD,BCC平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥ 平面交线的垂线，垂足分别为A', 平面ABD. B,则AB:A'B等于 因为ADC平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥ AD,BC∩AB=B,ABC平面ABC,BCC平面 A.2:1 B.3:1 ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为ACC平面 C.3:2 D.4:3 ABC,所以AD⊥AC 章末归纳提升 对应学生用书P86 [网络构建] 空间几何体直观图一 斜二测画法 直线与直线 空间几何体基本元素 长方体 直线与平面 空间 平面与平面 几何体 结构特征 多面体 棱柱、棱锥、棱台 侧面积（表面积） 祖啦原理，体利 立 结构特征 旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球 表面积 几 平面的基本事实与推论 何初步 直线与直线平行 空间中的平行关系 直线与平面平行 平面与平面平行 判定 直线与直线垂直 性质 空间中的垂直关系 直线与平面垂直 平面与平面垂直 ·162·