11.4.2 第二课时 平面与平面垂直的性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦平面与平面垂直的性质定理这一核心知识点，系统梳理其与直线与平面垂直的判定定理、性质定理的内在联系，构建线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化网络，为学生提供清晰的学习支架。 以米兰垂直森林建筑情境引入，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过知识剖析明确定理条件与作用，结合例题、变式训练强化垂直关系转化，培养逻辑推理与直观想象素养。课中助力教师引导学生探究，课后练习题帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第二课时　平面与平面垂直的性质 课程标准 素养解读 1.掌握平面与平面垂直的性质定理，能运用性质定理解决一些简单问题 2．了解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理和性质定理的相互联系 运用平面与平面垂直的性质定理进行与线面垂直的转化，培养学生的逻辑推理素养和直观想象素养 [情境引入] 　米兰地标建筑垂直森林有望引入南京． 问题　两个平面垂直，有怎样的性质？ 提示　在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面． [知识梳理] [知识点]　平面与平面垂直的性质定理　 1．性质定理的内容 文字语言：两个平面垂直，如果—个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．简记为“若面面垂直，则线面垂直”． 图形语言：如图． 符号语言：α⊥β，α∩β＝l，AB⊂β，AB⊥l于点B⇒AB⊥α. [知识剖析] (1)平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个：①两个平面垂直；②有一条直线在其中一个平面内；③这条直线垂直于两个平面的交线． (2)两个平面垂直，分别在两个平面内的两条直线可能平行、相交(含垂直)或异面． 2．性质定理的作用 (1)证明线面垂直、线线垂直；(2)构造面的垂线． [知识剖析] (1)若题目所给的条件中有面面垂直的条件，一般要注意观察是否有垂直于两平面交线的垂线．若有，则利用性质定理转化为线面垂直、线线垂直；若没有，一般要利用性质定理作交线的垂线，转化为线面垂直、线线垂直． (2)在证明线面垂直、线线垂直，作线面角、二面角的平面角时往往利用性质定理． 1.α⊥β，a⊂α，则a⊥β对吗？ [提示]　不对．只有当a与α和β的交线垂直时，a与β才垂直． 2．α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，则a⊥β对吗？ [提示]　不对．只有a⊂α时，a与β才垂直． 3．线面垂直的常用判定方法有哪些？ [提示]　(1)线面垂直的判定定理；(2)线面垂直的性质定理的推论；(3)面面垂直的性质定理． 3．平面与平面垂直的其他性质与结论 (1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β⇒b⊂α. (2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面．即α⊥β，γ∥β⇒γ⊥α. (3)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．即α⊥β，b⊥β⇒b∥α或b⊂α. (4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ. (5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直．即α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n⇒l⊥m，m⊥n，l⊥n. 4．线、面垂直位置关系的相互转化 [预习自测] 1．已知长方体ABCD－A1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则(　　) A．ME⊥平面AC　　　　 B．ME⊂平面AC C．ME∥平面AC D．以上都有可能 解析：A　[由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.] 2．m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题： (1)若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β； (2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m； (3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β. 其中正确的命题为(　　) A．(1)(2) B．(3) C．(2)(3) D．(1)(2)(3) 解析：B　[对于(1)，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，面n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故(1)不正确．对于(2)，如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′与平面DCC′D′的交线为C′D′，与平面ABCD的交线为AB，但C′D′∥AB.故(2)不正确．对于(3)，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β.故(3)正确．] 3．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是　________　. 解析：∵α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，∴n⊥α，又m⊥α，∴m∥n. 答案：平行 平面与平面垂直的性质 [例1]　(1)已知两个平面互相垂直．下列命题中 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③过一个任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 正确命题的个数是(　　) A．3　B．2　　C．1　　D．0 (2)(多选题)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出如下命题．其中正确的是(　　) A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β B．若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α C．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α D．若α⊥β，m∥α，则m⊥β [思路点拨]　利用垂直的判定与性质判断． [解析]　(1)①不正确，因为没有这条直线垂直于它们的交线这个条件，所以这条直线不一定垂直于另一个平面，因而它也就不一定垂直于另一个平面内的任意一条直线；②正确，无论这一条直线与它们的交线平行或者相交，另一个平面内与两平面交线垂直的直线都垂直于第一个平面，因而也垂直于这个平面内的任一直线；③不正确，这个命题中没有强调在平面内作交线的垂线，过一点作一条直线的垂线有无数多条，只有在两个互相垂直的平面的一个面内作它们交线的垂线，这条垂线才垂直于另一个平面，选C. (2)根据平面与平面垂直的性质知A正确；B中．m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；C中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只能有m∥α，正确；D中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．故选A，C. [答案]　(1)C　(2)AC 一个平面内的直线与另一平面垂直必须具备三个条件：①两平面垂直；②直线在其中一平面内；③直线与两平面的交线垂直． [变式训练] 1．(1)(多选题)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，则下列结论正确的是(　　) A．过P和l垂直的直线在α内 B．过P和β垂直的直线在α内 C．过P和l垂直的直线必与β垂直 D．过P和β垂直的平面必与l垂直 (2)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是(　　) A．PE⊥AC B．PE⊥BC C．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD 解析：(1)A中过P与l垂直的直线可能不在α内；C中若过P和l垂直的直线不在α内，则不与β垂直，B，D正确． (2)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以结论A，B一定成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以结论C一定成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D. 答案：(1)BD　(2)D 平面与平面垂直的性质应用 [例2]　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点．求证： (1)BG⊥平面PAD； (2)AD⊥PB. [思路点拨]　(1)利用面面垂直的性质证明，即只需证明BG⊥AD即可； (2)利用线面垂直得线线垂直，即只需证明AD⊥平面PBG. [证明]　(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面 ABCD＝AD，PG⊂平面PAD， ∴PG⊥平面ABCD，由BG⊂平面ABCD， ∴PG⊥BG. 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD. 又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD， ∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG， 又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB. 1．证明或判定线面垂直的常用方法： (1)线面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性质定理； (3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)； (4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)； 2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线． [变式训练] 2．如图1，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2，点E是线段AM的中点． (1)求四棱锥D－ABCM的体积； (2)求证：平面BDE⊥平面ABCM； (3)过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.请说明理由． 解：(1)由已知DA＝DM，E是AM的中点， ∴DE⊥AM. ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM， ∴DE⊥平面ABCM. 四棱锥D－ABCM的体积V＝SABCM·DE＝ ×××＝. (2)证明：由(1)可得，DE⊥平面ABCM，DE⊂平面DEB， ∴平面DEB⊥平面ABCM. (3)解：过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.理由： 在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM， ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM， ∴l⊥平面ADM，∴l⊥AD. 线面垂直、面面垂直关系的转化 [例3]　如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，BD⊥CD，且AE＝1. (1)求证：AE∥平面BCD； (2)求证：平面BDE⊥平面CDE. [思路点拨]　(1)利用面面垂直的性质，先证DM⊥平面ABC，从而AE∥DM，进一步证明AE∥平面BCD. (2)根据面面垂直的性质，证AM⊥平面BCD，进一步得CD⊥平面BDE，可证，平面BDE⊥平面CDE. [证明]　(1)取BC的中点M.连接DM，AM， 因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2， 所以DM＝1，DM⊥BC. 又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，DM⊂平面BCD， 所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM， 又DM⊂平面BCD，AE⊄平面BCD， 所以AE∥平面BCD. (2)由(1)知AE∥DM，又AE＝1，DM＝1， 所以四边形DMAE是平行四边形， 所以DE∥AM， 因为△ABC为正三角形，所以AM⊥BC. 又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC， AM⊂平面ABC， 所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD. 又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD. 因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，所以CD⊥平面BDE. 因为CD⊂平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE. 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直．最终达到目的．其转化关系如下： [变式训练] 3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD； (3)求证：EF∥平面PCD. 证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD. 因为底面ABCD为矩形， 所以BC∥AD.所以PE⊥BC. (2)因为底面ABCD为矩形， 所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD. 所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，PB⊂平面PAB， 所以PD⊥平面PAB，又PD⊂平面PCD， 所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如图，取PC中点G，连接FG，DG， 因为F，G分别为PB，PC的中点， 所以FG∥BC，FG＝BC. 因为ABCD为矩形，且E为AD的中点， 所以DE∥BC， DE＝BC. 所以DE∥FG， DE＝FG. 所以四边形DEFG为平行四边形． 所以EF∥DG. 又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD， 所以EF∥平面PCD. 1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足l＝β∩γ，l∥α，m⊂α，m⊥γ，那么必有(　　) A．α⊥γ和l⊥m　　　　　 B．α∥γ和m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β和α⊥γ 解析：A　[∵m⊂α，m⊥γ，∴α⊥γ.∵m⊥γ，β∩γ＝l，∴m⊥l，故选A.] 2．给出下列命题： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角； ②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补； ③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是(　　) A．①③ B．②④ C．③④ D．①② 解析：B　[对于①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对于②，因为a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角或直角，所以应是相等或互补，是正确的；对于③，因为所作射线不一定垂直于棱，所以是错误的；④是正确的．故选B.] 3．在空间中，下列命题正确的是(　　) A．垂直于同一条直线的两直线平行 B．平行于同一条直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 解析：D　[A项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中，平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中，垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确．] 4．如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下面四个结论：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1. 其中正确结论的序号是　________　.(写出所有你认为正确结论的序号) 解析：连接AC，A1C1，A1B，AD1，D1C.因为AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1.又因为AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1.同理可证AD1∥平面A1BC1，又因为AC⊂平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，且AC∩AD1＝A，所以平面ACD1∥平面A1BC1，因为A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，故②正确．因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面ACD1，所以点P到平面ACD1的距离不变．又因为VA－D1PC＝VP－ACD1，所以三棱锥A－D1PC的体积不变，故①正确．连接DB，DC1，DP.因为DB＝DC1，所以当P为BC1的中点时才有DP⊥BC1，故③错误，因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1.又因为AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D1D.连接B1D，又因为B1D⊂平面BB1D1D，所以B1D⊥AC.同理可证B1D⊥AD1.又因为AC⊂平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，AC∩AD1＝A，所以B1D⊥平面ACD1.又因为B1D⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，故④正确． 答案：①②④ 5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点． (1)求证：直线A1B1∥平面ABD； (2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1. 证明：(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB. 因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD. (2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1. 又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1. 又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1. 1．下列命题错误的是(　　) A．若α⊥β，则α内所有直线都垂直于β B．如果α不垂直于β，那么α内不存在直线垂直于β C．若α⊥β，则α内一定存在直线平行于β D．若α⊥β，则经过α内一点与β垂直的直线在α内 解析：A　[在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1B1B⊥平面ABCD，直线AB1⊂平面AA1B1B，但AB1与平面ABCD不垂直，故A错．] 2．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，点P到三个面的距离分别是3,4,5，则OP的长为(　　) A．5　　　　　　　 B．5 C．3 D．2 解析：B　[∵三个平面两两垂直，∴可以将P与各面的垂足连接并补成一个长方体，∴OP即为对角线，∴OP＝＝＝5.] 3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　) A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β 解析：D　[如图，AB∥l∥m， AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β.故选D.] 4.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的投影H必在(　　) A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 解析：A　[由CA⊥AB，CA⊥BC1，且AB∩BC1＝B，得CA⊥平面BAC1，又CA⊂平面ABC，∴平面ABC ⊥平面ABC1，因此H必在两平面的交线AB上．] 5．(多选题)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B任一点，则下列结论中正确的是(　　) A．PB⊥AC B．PC⊥BC C．AC⊥平面PBC D．平面PAC⊥平面PBC 解析：BD　[∵BC⊥AC，BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，故B正确；又∵BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC，故D正确．] 6．(多选题)下列四个命题中，正确的是(　　) A．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ B．α∥β，β∥γ，则α∥γ C．α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ D．α⊥β，γ⊥β，则α∥γ 解析：AB　[CD不正确，当α⊥β，γ⊥β时，α，γ可以平行、相交(含垂直)．] 7．如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝　________　. 解析：∵侧面PAC⊥底面ABC，∴∠PAC＝90°，即PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝. 答案： 8.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于　________　. 解析：取CD的中点G，连接MG，NG，因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝. 因为平面ABCD⊥平面DCEF， 所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG， 所以MN＝＝. 答案： 9.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，AC＝3，则PC＝　________　，PB＝　________　. 解析：∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即AC⊥PA)， ∴PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC， ∴PA⊥AB， ∴PC＝＝＝， PB＝＝＝. 答案：　 10.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥AB. 证明：在平面PAB内，作AD⊥PB于D. ∵平面PAB⊥平面PBC， 且平面PAB∩平面PBC＝PB， ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC， ∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC，又PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB. 11．(2021·全国甲卷(文)，19)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1. (1)求三棱锥F－EBC的体积； (2)已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE. 解：(1)因为AB＝BC＝2，所以BE⊥AC，又因为是直三棱锥ABC－A1B1C1，不妨设AC＝2a， 因为BF⊥A1B1，所以BF⊥AB，连接AF， E，F分别为AC和CC1的中点，则 AF2＝BF2＋AB2， ⇒4a2＋1＝5＋4⇒a2＝2⇒a＝， 所以BE＝＝， 所以VF－EBC＝S△BEC·FC＝××××1 ＝. (2)连接A1E，取BC中点为H，连接EH，B1H， 因为E，H分别为AC，BC的中点，所以EH∥AB， 又因为A1B1∥AB，所以A1B1∥EH，所以A1EHB1共面， 易知DE⊂平面A1EHB1， 易知△FCB≌△HBB1，所以BF⊥HB1， 又因为BF⊥A1B1，且A1B1∩HB1＝B1， 所以BF⊥平面A1EHB1，所以BF⊥DE. 12.如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于(　　) A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3 解析：A　[如图，连接AB′， A′B.则由已知AA′⊥平面β，∠ABA′＝，BB′⊥平面α，∠BAB′＝.设AB＝a，则BA′＝a，BB′＝a，在Rt△BA′B′中，A′B′＝a， ∴＝.] 13．如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD. 因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC. 学科网（北京）股份有限公司 $