11.4.1 第1课时 直线与平面垂直的判定（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十一章立体几何初步 11.4空间中的垂直关系 11.4.1直线与平面垂直 第一课时直线与平面垂直的判定 课程标准 素养解读 1.了解直线与平面所成的角，会求直线与平面所成的角 通过对直线与平面垂直的判定与性质的运用， 2.了解直线与平面垂直的概念，掌握直线与平面垂直的判 培养学生的直观想象素养和逻辑推理素养 定定理 课前。预习学案 [情境引入] [知识点二]直线与平面垂直及其判定定理 鲁班是我国古代一位出色的发 1.直线与平面垂直的定义 明家，他在做木匠活时，常遇到 文字语言 图形语言 符号语言 直角，为省事他经过改进做成 如果直线（与平 一把“L”形的木尺，叫曲尺.现在的木工要检查一根 面a内的任意一 条直线都垂直， 木棒是否和板面垂直.只需用曲尺在不同的方向 就说直线L与平 (不是相反方向)检查两次，曲尺的两边分别与木棒 面α互相垂直， P l⊥a台Hmca, 和板面密合即可. 直线1叫做平面 a l⊥m 问题这种操作得出木板与板面垂直的依据是 a的垂线，平面a 什么？ 叫做直线！的垂 面，它们唯一的 公共点P叫做 垂足 2.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 [知识梳理] 如果一条直线与 lm, [知识点一]直线与直线所成的角 一个平面内的两 ln, 1.两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得 条相交直线垂 /m mCa, →la n/ 到的 的角的大小. 直，则这条直线 nCa, 2.一般地，如果a,b是空间中的两条异面直线，过空 与这个平面垂直 m∩n=P 间中 ,分别作与a,b 的直线a', 3.判定定理的理解 b,则a',b所成角的大小，称为异面直线a与b所 (1)定理中“平面内两条相交直线”是关键性条件，若 成角的大小 没有此条件即使直线垂直于面内的无数条直线， 3.规定空间中两条平行直线所成角的大小为一.两 也不能判定直线垂直于平面. 条直线所成的角α也称为两条直线的夹角，范围是 (2)要判定线面垂直，只需在平面内找到两相交直线 ,特别地，空间中两条直线l,m所成角的 与已知直线垂直即可，至于这两条直线是否与已 知直线有交点，无关紧要. 大小为90时，称1与m垂直，记作 ·73· 数学B版·必修第四册 4.线面垂直的判定方法 [预习自测] ①用定义：证l和a内任意一条直线垂直.②用定 1.下列条件中，能使直线m⊥a的是 理：证1和α内“两条相交”直线都垂直，我们可把 A.mb,m c,bCa,cCa 定理简化为线线垂直→线面垂直.③利用平行线： B.m⊥b,b∥a 若a⊥a,证l∥a即可知l⊥a. C.m∩b=A,b⊥a ?思考1.如果直线与平面内无数条直线垂直，那它 D.m∥b,b⊥a 和平面垂直吗？ 2.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和 三角形的第三边的位置关系是 A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.不确定 2.aCa,bCa,l⊥a,l⊥b,则l⊥a对吗？ 3.在正方体ABCD-A'B'C'D'中， 则：(1)BC'与CD'所成的角为 (2)AD与BC'所成的角为 课堂。互动学案 题型一求异面直线所成角的大小 题型二 线面垂直概念的理解 [例1]在三棱柱ABC-AB,C1中，AA1与AC,AB [例2]下列命题中，正确的序号是 所成的角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC= ①若直线I与平面a内的无数条直线垂直，则l⊥a; AA1,求异面直线A,B与AC,所成角的余弦值. ②若直线l与平面a内的一条直线垂直，则1⊥a: [思路点拨]先通过找平行线作出角，再求解. ③若直线1不垂直于平面a,则a内没有与1垂直的 直线； [尝试解答 ④若直线1不垂直于平面a,则a内也可以有无数 条直线与l垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条， [思路点拨]正确理解线面垂直的定义是解题的 关键 规律方法 [尝试解答] 1.平移法作异面直线所成角的策略： 规律方法 (1)直接平移； 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线 (2)找等分点（如中点）平移： 的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与 (3)补形平移. “所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该 2.求两条异面直线所成的角的一般步骤； 直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知， (1)构造：根据异面直线所成角的定义，用平移法 如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直， 作出异面直线所成的角或其补角； 那么这条直线就一定不与这个平面垂直. (2)证明：证明作出的角就是要求的角或其补角； 2.由定义可得线面垂直→线线垂直，即若a⊥a,b (3)计算：求角度，常利用三角形求解； Ca,则a⊥b. (4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所 ◇[变式训练] 求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则 2.设1，m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列 它的补角就是所求异面直线所成的角. 命题正确的是 ⊙[变式训练] A.若l⊥m,mCa,则l⊥a 1.在直三棱柱ABC-AB,C1中，AC=AB=AA1= B.若l⊥a,l∥m,则m⊥La 2,E为BC的中点，BC=2AE=2√2，则异面直线 C.若l∥a,mCa,则l∥m AE与A,C所成的角是 D.若l∥a,m∥a,则l∥m ·74· 第十一章立体几何初步 题型三直线与平面垂直的判定定理 2.线线垂直和线面垂直的相互转化 [例3]如图，已知空间四边形ABCD的边BC= 线面垂直的定义 AC,AD=BD,作BE⊥CD于点E,作AH⊥BE于 线线垂 点H.求证：AH⊥平面BCD. 线面垂直的判定定理 线面垂直 如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂 直，那么另外一条直线也与此平面垂直 ◇[变式训练] [思路点拨]在平面BCD内寻找两条相交直线 3.如图所示，Rt△ABC所在平面 都和AH垂直即可. 外有一点S,且SA=SB=SC, 点D为斜边AC的中点. [尝试解答] (1)求证：SD⊥平面ABC; D (2)若AB=BC,求证：BD⊥平 面SAC. 规律方法 1.要证线面垂直，即证这条直线垂直于平面内的 两条相交直线，而要证线线垂直，又可以考虑证 一条直线垂直于另一条直线所在的平面.若两 条直线共面还可以用平面几何的知识或勾股定 理的逆定理来证明. 随堂。步步夯实 1.如果一条直线垂直于一个平面的下列各种情况，能 5.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O, 保证该直线与平面垂直的是 ( AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上，AE= ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径； CF=号，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到 ④正六边形的两条边. A.①③ B.② △DEF的位置，OD'=√10.证明：DH⊥平面 C.②④ D.①②④ ABCD. 2.如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE 垂直的是 A3---B1 0 ① ③ ④ A.①② B.②④ C.①③ D.②③ 3.△ABC所在的平面为a,直线1⊥AB,l⊥AC,直线 m⊥BC,m⊥AC,则直线1，m的位置关系是( ) A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定 4.矩形ABCD中，AB=1,BC=√2，PA⊥平面 ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角是 @温馨提西 学习至此，请完成配套训练 ·75·数学B版·必修第四册 ∴.平面EFGH∥平面PAB. 文，点Q∈平面ABCD ∴点Q∈（平面EFGH∩平面ABCD). .点Q∈GH ∴点Q在底面ABCD的中位线GH上. 随堂步步夯实 1.A[用面面平行的性质定理即可判断.] 2.BD[A错误，可能异面；B正确：C错误，只有这两条直 线是相交直线才满足：D正确.门] 3.解析：①正确，因平面α与Y没有公 共点；②正确.若直线a与平面？平 行或aCB,则由平面a∥平面B知a a 二a或a与a无公共，点，这与直线a 与a相交矛盾，所以a与3相交；③ B 正确.如图，过直线PQ作平面y,Y ∩a=a,Y∩B=b,由a∥3得a∥b.因为PQ∥3，PQCy,所 以PQ∥b.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行，所以直线a与直线PQ重合.因为aCa,所以 PQCa:④错误.若直线a∥平面B,直线b∥平面a,且a∥ 3,则a与b平行、相交和异面都有可能. 答案：①②③ 4.解析：.'平面MNE∥平面ACB1,平面BCC1B1∩平面 MNE=NE,平面BCC1B1∩平面ACB=B1C,故由面面 平行的性质定理可得EN∥B1C,同理EM∥B1A,又，'E 为BB1中点， ∴M,N分别为BA,BC的中点， MN=AC即 答案：日 5.证明：如图，连接B1D1交A1C1于点O1,连接DO1 D B 因为B1B∥D1D,B1B=D1D, 所以四边形B1BDD1为平行四边形，所以OB1∥DO, O1B1=DO,所以O1B1OD为平行四边形，所以B1O∥ OD,因为B1O平面A1C1D,ODC平面A1C1D,所以 BO∥平面A1C1D. 11.4空间中的垂直关系 11.4.1直线与平面垂直 第一课时直线与平面垂直的判定 课前预习学案 情境引入 提示直线与平面垂直的判定定理. 知识梳理 知识点一、1.不大于直角2.任意一点平行或重合 3.0°0°a90°l⊥m [思考] 1.提示：不一定.当直线与平面不垂直时，平面内也有无数 条直线与直线垂直. 2.提示：不一定.只有当a与b相交时，才有l⊥a. 预习自测 1.D[对A,缺少b与c相交，不能推出m⊥a;对B,当m⊥ b,b∥a时，可能有m∥a或mCa;对C,可能有m∥a或m 二a或m与a相交.] ·1 2.B[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三 角形所在平面，从而垂直第三边，门 3.解析：如图，连接BA',A'C',则BA'∥CD',故∠A'BC'就 是BC'与CD'所成的角.由△A'BC'为正三角形，知∠A BC'=60°.由AD∥BC知AD与BC'所成的角就是∠C BC,易知∠CBC=45° D' C D 答案：(1)60°(2)45 课堂互动学案 [例1][解]如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABCD -A1B1C1D1, 连接BD1,A1D1,AD, 由四棱柱的性质知BD1∥AC1, 则∠A1BD1就是异面直线A1B与 A AC1所成的角. 设AB=a, AA1与AC、AB所成的角均为60°， 且AB=AC=AA1, .A1B=a,BD1=AC1=2AA1cos30°=√3a. 又∠BAC=90°，∴.在矩形ABDC中，AD=√2a, .A1D1=2a,.A1D+A1B2=BD,.∠BA1D1=90°， 在R△BAD中，cOs∠A1BD,能-后-号即 异面直线A,B与AC,所成角的余弦值为 3 变式训练 1.解析：如图，取B1C1的中点E,连接 A1E,E C, ,AE∥A1E1,∴.∠E1AC是异面直线 AE与A1C所成的角或其补角. A1C1=A1B1=AA1=2,B1C1=2√2， .∠B1A1C1=90°. 在正方形AA1C1C中，A1C=2√2. :A1E1⊥B1C1,A1E1⊥CC1,B1C∩CC1=C1, AE⊥平面BB1CC,∴.A1E1⊥CE1. ·在R△AEC中，cos∠EAC=AE=巨=1 AC222’ .异面直线AE与A1C所成的角是60°. 答案：60 [例2][解析]当直线l与平面a内的无数条平行直线垂 直时，1与《不一定垂直，所以①不正确：当1与《内的一 条直线垂直时，不能保证l与平面《垂直，所以②不正确： 当l与a不垂直时，l可能与a内的无数条平行直线垂直， 所以③不正确，④正确：过一点有且只有一条直线垂直于 已知平面，所以⑤正确.故填④⑤. [答案]④⑤ 变式训练 2.B[对于A,直线lLm,m并不代表平面a内任意一条直 线，所以不能判定线面垂直；对于B,因l⊥a,则l垂直a 内任意一条直线，又l∥m,由异面直线所成角的定义知， m与平面a内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥a, 故B正确；对于C,也有可能是l,m异面：对于D,l,m还 可能相交或异面.] 0 [例3][证明]连接AE,取AB的中点F,连接CF,DF. AC=BC,.CF⊥AB. 又AD=BD,.DF⊥AB. .'CF∩DF=F,CFC平面CDF,DFC 平面CDF, .AB⊥平面CDF. B 又，CDC平面CDF,.CD⊥AB. 又CD⊥BE,AB∩BE=B,ABC平 面ABE,BEC平面ABE, .CD⊥平面ABE. 又AHC平面ABE,∴.CD⊥AH. 又，AH⊥BE,且BE∩CD=E,BEC平面BCD,CDC平 面BCD, .AH⊥平面BCD. 变式训练 3.证明(1)，SA=SC,D为AC的中点，∴.SD⊥AC. 在Rt△ABC中，AD=DC=BD,又SA=SB, .△ADS≌△BDS.∴.SD⊥BD. 又AC∩BD=D,AC,BDC平面ABC, .SD⊥平面ABC. (2)BA=BC,D为AC的中点，.BD⊥AC 又由(1)知SD⊥BD, 于是BD垂直于平面SAC的两条相交直线. ∴.BD⊥平面SAC 随堂步步夯实 1.A「由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所 在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所 以该直线与它们所在的平面不一定垂直，」 2.B[对于①，易证AB与CE所成角为45°，所以直线AB 与平面CDE不垂直； 对于②，易证AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E, 所以AB⊥平面CDE: 对于③，易证AB与CE所成角为60°，所以直线AB与平 面CDE不垂直： 对于④，易证ED⊥平面ABC,得ED⊥AB,易证EC AB,可得AB⊥平面CDE.故选B.] 3.C[l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,.1⊥平面ABC,同 理m⊥平面ABC,.l∥m.] 4.解析：由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角.在 BAPAC中，n☑C1-0-店誓/C1=r 答案：30 5.证明：由已知得：AC⊥BD,AD=CD, 又由AE=CR,得带需故AC/ER 因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H. 由AB=5,AC=6得DO=BO=√AB2-AOP=4. 由F∥AC特器-铝所以OH=1, D'H=DH=3. 于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'H⊥OH 又D'H⊥EF,而OH∩EF=H,OH,EFC平面ABCD 所以D'H⊥平面ABCD. 第二课时直线与平面垂直的性质 课前预习学案 情境引入 提示平行. 知识梳理 知识点一、2.(3)垂直于 [思考] 1.[提示]垂直. ·1 参考答案 2.[提示]不一定.例如正三棱柱的两个侧面都垂直于底 面，但它们不平行 3.[提示](1)平行线的传递性：(2)线面平行的性质定理： (3)面面平行的性质定理：(4)线面垂直的性质定理. 预习自测 1.D[当bCa时，a⊥a,则a⊥b:当b∥a时， a⊥a,则a⊥b.故选D.] 2.B[根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b 与a所成的角也是50°.] 3.解析：如图所示，取BC的中点M,连接AM,SM. 因为AB=AC,SB=SC,所以AM⊥BC,SM⊥BC. 又AM∩SM=M,故BC⊥平面SAM, 又SAC平面SAM,则BC⊥SA. 所以直线SA与BC所成角的大小为受 答案：受 4.解析：AB⊥平面PAD,AEC平面PAD,AB⊥AE 又AB∥CD,∴.AE⊥CD. AD=AP,E是PD的中，点，.AE⊥PD. 又CD∩PD=D,∴AE⊥平面PCD .MN⊥AB,AB∥CD,.MN⊥CD. 又，MN⊥PC,PC∩CD=C,∴.MN⊥平面PCD. ∴.AE∥MN. 答案：AE∥MN 课堂互动学案 [例1][证明]如图所示， 连接AB1,B1D1,B1C,BD, DD1⊥平面ABCD, D ACC平面ABCD,∴.DD1⊥AC. 又AC⊥BD,DD1∩BD=D, ∴AC⊥平面BDD1B1, 又BD1C平面BDD1B1, .AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C, D 又AC∩B1C=C, .BD1⊥平面AB1C. EF⊥A1D,A1D∥B1C,.EF⊥B1C. 又，EF⊥AC,AC∩B1C=C, ∴.EF⊥平面ABC,∴.EF∥BD1. 变式训练 1.证明：连接D1B、DB可知， EF⊥DB,EF⊥DD,且DB∩DD =D, EF⊥平面D1DB, ∴.EF⊥D1B. 同理EG⊥D1B,EF∩EG=E. DB⊥平面EFG. 同理D1B⊥平面HMN ∴.平面EFG∥平面HMN. [例2][解]如图，取CD的中点 F,连接EF交平面ABCD1于点 O,连接AO,B1C,BC. 由ABCD一A1BC1D1为正方体； 易得B1C⊥BC1,B1C⊥D1C1,BC ∩D1C1=C1,BC1C平面ABC1D1,