11.4.1 第一课时 直线与平面垂直的判定-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“直线与平面垂直的判定”核心知识点，以直线与直线所成角概念为基础，系统梳理直线与平面垂直的定义、判定定理，构建从概念到定理再到应用（如异面直线所成角求解、线面垂直证明）的学习支架。 资料通过鲁班曲尺情境引入激发兴趣，结合文字、图形、符号语言梳理知识，例题与变式训练（如三棱柱、正方体中的证明）培养直观想象与逻辑推理素养。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

11．4　空间中的垂直关系 11．4.1　直线与平面垂直 第一课时　直线与平面垂直的判定 课程标准 素养解读 1.了解直线与平面所成的角，会求直线与平面所成的角 2．了解直线与平面垂直的概念，掌握直线与平面垂直的判定定理 通过对直线与平面垂直的判定与性质的运用，培养学生的直观想象素养和逻辑推理素养 [情境引入] 　鲁班是我国古代一位出色的发明家，他在做木匠活时，常遇到直角，为省事他经过改进做成一把“L”形的木尺，叫曲尺．现在的木工要检查一根木棒是否和板面垂直．只需用曲尺在不同的方向(不是相反方向)检查两次，曲尺的两边分别与木棒和板面密合即可． 问题　这种操作得出木板与板面垂直的依据是什么？ 提示　直线与平面垂直的判定定理． [知识梳理] [知识点一]　直线与直线所成的角　 1．两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的　不大于直角　的角的大小． 2．一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中　任意一点　，分别作与a，b　平行或重合　的直线a′，b′，则a′，b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小． 3．规定空间中两条平行直线所成角的大小为　0°　.两条直线所成的角α也称为两条直线的夹角，范围是　0°≤α≤90°　，特别地，空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作　l⊥m　. [知识点二]　直线与平面垂直及其判定定理　 1．直线与平面垂直的定义 文字语言 图形语言 符号语言 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 l⊥α⇔∀m⊂α， l⊥m 2.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 3.判定定理的理解 (1)定理中“平面内两条相交直线”是关键性条件，若没有此条件即使直线垂直于面内的无数条直线，也不能判定直线垂直于平面． (2)要判定线面垂直，只需在平面内找到两相交直线与已知直线垂直即可，至于这两条直线是否与已知直线有交点，无关紧要． 4．线面垂直的判定方法 ①用定义：证l和α内任意一条直线垂直．②用定理：证l和α内“两条相交”直线都垂直，我们可把定理简化为线线垂直⇒线面垂直．③利用平行线：若a⊥α，证l∥a即可知l⊥α. 1.如果直线与平面内无数条直线垂直，那它和平面垂直吗？ 提示：不一定．当直线与平面不垂直时，平面内也有无数条直线与直线垂直． 2．a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α对吗？ 提示：不一定．只有当a与b相交时，才有l⊥α. [预习自测] 1．下列条件中，能使直线m⊥α的是(　　) A．m⊥b，m⊥c，b⊂α，c⊂α B．m⊥b，b∥α C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α 解析：D　[对A，缺少b与c相交，不能推出m⊥α；对B，当m⊥b，b∥α时，可能有m∥α或m⊂α；对C，可能有m∥α或m⊂α或m与α相交．] 2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　) A．平行　　　　　 B．垂直 C．相交不垂直 D．不确定 解析：B　[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．] 3．在正方体ABCD－A′B′C′D′中， 则：(1)BC′与CD′所成的角为　________　； (2)AD与BC′所成的角为　________　. 解析：如图，连接BA′，A′C′，则BA′∥CD′，故∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°.由AD∥BC知AD与BC′所成的角就是∠C′BC，易知∠C′BC＝45°. 答案：(1)60°　(2)45° 求异面直线所成角的大小 [例1]　在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值． [思路点拨]　先通过找平行线作出角，再求解． [解]　如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABCD－A1B1C1D1， 连接BD1，A1D1，AD， 由四棱柱的性质知BD1∥AC1， 则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角． 设AB＝a， ∵AA1与AC、AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1， ∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1cos 30°＝a. 又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝a， ∴A1D1＝a，∴A1D＋A1B2＝BD，∴∠BA1D1＝90°， ∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝.即异面直线A，B与AC，所成角的余弦值为. 1．平移法作异面直线所成角的策略： (1)直接平移； (2)找等分点(如中点)平移； (3)补形平移． 2．求两条异面直线所成的角的一般步骤； (1)构造：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角或其补角； (2)证明：证明作出的角就是要求的角或其补角； (3)计算：求角度，常利用三角形求解； (4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角． [变式训练] 1．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝AB＝AA1＝2，E为BC的中点，BC＝2AE＝2，则异面直线AE与A1C所成的角是　________　. 解析：如图，取B1C1的中点E1，连接A1E1，E1C， ∵AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角或其补角． ∵A1C1＝A1B1＝AA1＝2，B1C1＝2， ∴∠B1A1C1＝90°. 在正方形AA1C1C中，A1C＝2. ∵A1E1⊥B1C1，A1E1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1， ∴A1E1⊥平面BB1C1C，∴A1E1⊥CE1. ∴在Rt△A1E1C中，cos∠E1A1C＝＝＝， ∴异面直线AE与A1C所成的角是60°. 答案：60° 线面垂直概念的理解 [例2]　下列命题中，正确的序号是　________　. ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条． [思路点拨]　正确理解线面垂直的定义是解题的关键． [解析]　当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．故填④⑤. [答案]　④⑤ 1．直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直． 2．由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b. [变式训练] 2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 解析：B　[对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．] 直线与平面垂直的判定定理 [例3]　如图，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD于点E，作AH⊥BE于点H.求证：AH⊥平面BCD. [思路点拨]　在平面BCD内寻找两条相交直线都和AH垂直即可． [证明]　连接AE，取AB的中点F，连接CF，DF. ∵AC＝BC，∴CF⊥AB. 又∵AD＝BD，∴DF⊥AB. ∵CF∩DF＝F，CF⊂平面CDF，DF⊂平面CDF， ∴AB⊥平面CDF. 又∵CD⊂平面CDF，∴CD⊥AB. 又∵CD⊥BE，AB∩BE＝B，AB⊂平面ABE， BE⊂平面ABE，∴CD⊥平面ABE. 又∵AH⊂平面ABE，∴CD⊥AH. 又∵AH⊥BE，且BE∩CD＝E，BE⊂平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AH⊥平面BCD. 1．要证线面垂直，即证这条直线垂直于平面内的两条相交直线，而要证线线垂直，又可以考虑证一条直线垂直于另一条直线所在的平面．若两条直线共面还可以用平面几何的知识或勾股定理的逆定理来证明． 2．线线垂直和线面垂直的相互转化 [变式训练] 3.如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点． (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 证明　(1)∵SA＝SC，D为AC的中点， ∴SD⊥AC. 在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB， ∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC， ∴SD⊥平面ABC. (2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC. 又由(1)知SD⊥BD， 于是BD垂直于平面SAC的两条相交直线． ∴BD⊥平面SAC. 1．如果一条直线垂直于一个平面的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　) ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． A．①③　　　　　　　 B．② C．②④ D．①②④ 解析：A　[由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直．] 2．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) A．①②　B．②④　　C．①③　　D．②③ 解析：B　[对于①，易证AB与CE所成角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直； 对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E， 所以AB⊥平面CDE； 对于③，易证AB与CE所成角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直； 对于④，易证ED⊥平面ABC，得ED⊥AB，易证EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故选B.] 3．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　) A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定 解析：C　[∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l∥m.] 4．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是　________　. 解析：由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角．在Rt△PAC中，tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30°. 答案：30°. 5．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.证明：D′H⊥平面ABCD. 证明：由已知得：AC⊥BD，AD＝CD， 又由AE＝CF，得＝，故AC∥EF. 因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H. 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4. 由EF∥AC得＝＝，所以OH＝1，D′H＝DH＝3， 于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2， 故D′H⊥OH. 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，OH，EF⊂平面ABCD. 所以D′H⊥平面ABCD. 1．正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是(　　) A．平面DD1C1C　　 B．平面A1DB C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB1 解析：D　[如图，∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1DB1，故选D.] 2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线A1C1与EF所成的角的大小为(　　) A．30°　　　　　　　 B．45° C．60° D．90° 解析：D　[连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，因为A1C1⊥B1D1，所以所求角的大小为90°.] 3.如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　) A．异面 B．平行 C．垂直 D．不确定 解析：C　[∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l. 同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC. ∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.] 4．如图①，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个如图②所示的几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，则下面结论成立的是(　　) A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG C．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF 解析：A　[在图①中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，因此在图②中，SG⊥GE，SG⊥GF，又GE∩GF＝G， ∴SG⊥平面EFG.] 5．(多选题)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法错误的是(　　) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 解析：ACD　[A中m与n还可以相交、异面，B符合垂直定义，C中直线n可能在α内，D中n可能与α平行、或斜交、在平面内．] 6．(多选题)若a，b表示空间中两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是(　　) A．a∥α，b∥α⇒a∥b B．a⊥α，b⊥α⇒a∥b C．a∥b，b⊂α⇒a∥α D．a⊥α，a∥b⇒b⊥α 解析：BD　[A中a与b可能相交，平行或异面，错误；B正确；C中缺少条件a⊄α，故错误，D正确．] 7．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有　________　. 解析： ⇒ ⇒⇒BC⊥PC， ∴直线三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC. 答案：4 8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝　________　. 解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，又C1M⊂平面C1B1M，∴MN⊥C1M.∴∠C1MN＝90°. 答案：90° 9.(多空题)如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q是相应棱的中点，则(1)MN与PQ的位置关系是　________　，它们所成的角是60°；(2)MN与B1D的位置关系是异面，它们所成的角是　________　. 解析：PQ，MN与DC的延长线能交于一点，故MN与PQ相交．又MN∥AC，且AC⊥平面BDD1B1，∴AC⊥B1D，∴MN⊥B1D. 答案：(1)相交　(2)90° 10.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，若AC＝BD＝a，EF＝a，∠BDC＝90°，求证：BD⊥平面ACD. 证明：如图，取CD的中点G，连接EG，FG， 则EG＝AC＝a， FG＝BD＝a. ∵EF＝a，∴EF2＝EG2＋FG2， ∴∠EGF＝90°. ∵AC∥EG，BD∥FG，∴BD⊥AC. ∵∠BDC＝90°，∴BD⊥DC. ∵AC∩DC＝C，∴BD⊥平面ACD. 11.在斜边为AB的Rt△ABC中，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求证： (1)BC⊥平面PAC； (2)PB⊥平面AMN. 证明：(1)∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵△ABC是直角三角形，AB为斜边，∴BC⊥AC， 又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC. (2)由(1)知BC⊥平面PAC， ∵AN⊂平面PAC，∴BC⊥AN. 又∵AN⊥PC，BC∩PC＝C， ∴AN⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC， ∴AN⊥PB，又∵PB⊥AM，AM∩AN＝A， ∴PB⊥平面AMN. 12．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件　________　时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1，即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等) 答案：∠A1C1B1＝90°(答案不唯一) 13.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点． 证明：PC⊥平面BEF. 证明：如图所示，连接PE，EC， 在Rt△PAE和Rt△CDE中， ∵PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE， 即△PEC是等腰三角形， 又∵F是PC的中点，∴EF⊥PC. 又∵BP＝＝2＝BC， F是PC的中点，∴BF⊥PC. 又∵BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF. 学科网（北京）股份有限公司 $