11.1.6 第1课时 祖暅原理与柱体、锥体的体积（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十一章立体几何初步 11.1.6祖原理与几何体的体积 第一课时 祖暅原理与柱体、锥体的体积 课程标准 素养解读 1.了解祖暅原理 通过求柱体、锥体的体积，培养学生的直观想象 2.掌握柱体、锥体的体积公式，会利用它们求有关几何体的 素养，提升学生的数学运算素养 体积 课前。预习学案 [情境引入] 如图1所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以 棱锥 名5弘(5为底面面积，A为高) 锥体 看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱 圆锥 3h(,为底面半径) 组成的简单几何体.当这个几何体如图2所示水平 放置时，液面高度为20cm;当这个几何体如图3所 示水平放置时，液面高度为28cm,如何求这个简 ?思考1，当几何体的形状不规则时，如何求体积？ 单几何体的总高度 20 2.锥体中平行于底面的截面具有哪些性质？ 图1 图2 图3 [知识梳理] [知识点一]祖暅原理 1祖暅原理的概念：“幂势既同，则积不容异”，即“夹 在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这 工预习自测] 两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相 等，那么这两个几何体的体积相等”。 1.一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为√5，那么 2.祖暅原理的应用：等底面积、等高的两个柱体或锥 这个正三棱锥的体积是 体的体积相等. A.9 号 C.7 [知识点二]柱体、锥体的体积公式 2.若圆柱的侧面展开图是长12cm、宽8cm的矩形， 1.柱体、锥体的体积公式： 则这个圆柱的体积为 cm'. 名称 体积(V) 3.三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,PA=3,底面 棱柱 Sh(S为底面面积，h为高) ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P一ABC 柱体 的体积为 圆柱 πr2h(r为底面半径) 课堂。互动学案 题型一 柱体的体积 [尝试解答] [例1]已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的 表面积为S,求其内接正四棱柱的体积。 [思路点拨]直接利用柱体的体积公式求解. ·51· 数学B版·必修第四册 规律方法 (2)如图所示，已知ABCD-A1B,C,D,是棱长为Q 棱柱和圆柱都是柱体，V体=S·h,关键是找出 的正方体，E,F分别为AA,,CC1的中点，则四棱锥 相应的底面面积和高. A,一EBFD1的体积为 ◇[变式训练] D 1.底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长 为2，且与该侧面内的底边所成的角为45°，求此三 棱柱的体积 D 题型三等积变换法求锥体的体积 [例3]如图所示，直三棱柱ABC 题型二 锥体的体积 A,B,C1的侧棱和底面边长都是a, [例2]如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的 截面AB1C和截面A,BC1相交于 正方形，PA⊥CD,PA=1,PD=√2，求此四棱锥的 DE,求三棱锥B一BDE的体积. 体积. 思路点拨)等积变换法也称等积变形法或等积 转换法，它是通过变换合适的底面来求几何体体 积的一种方法.求三棱锥的体积时常采用此方法， [尝试解答] 汇思路点拔]直接利用锥体的体积公式求解. [尝试解答] 规律方法 (1)求锥体体积常利用锥体体积的计算公式V= 规律方法 子S么直接计第。 等积变换法：利用三棱锥的“等积性”，即体积计算 时可以以任意一个面作为三棱锥的底面，在求三 (2)当锥体不易直接计算时，注意应用间接法求 棱锥体积或点到面的距离时，可选择容易计算的 解 方式 ◇[变式训练] ◇[变式训练] 2.(1)用半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积 3.如图所示的正方体ABCD 为 A AB,CD,的棱长为a,则三棱锥 A1-AB,D1的高为 ;体 n洛 积为 随堂。步步夯实 1.下列命题中正确的是 ( C.夹在两个平行平面间的棱柱和圆柱，若轴截面的 A.夹在两条平行线间的两个平面图形，被截得的 面积相等，则这两个几何体的体积相等 线段总相等，则这两个平面图形的面积相等 D.夹在两个平行平面间的任意几何体，只要截面 B.经过长方体相对的两个面的中心的任意平面，把 面积相等，则体积相等 长方体分成体积相等的两个柱体 ·52· 第十一章立体几何初步 2.在梯形ABCD中，∠ABC=2,AD/BC,BC=2AD 4.如图所示，在棱长为4的正方体 ABCD-A1B1CD1中，P是A1B 2AB=2,将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形 上一点，且PB,=子A,B,则四棱 成的曲面所围成的几何体的体积为 ( 锥P一BCCB,的体积为 A B誓C D.2x 5.在Rt△ABC中，AB=3,BC=4,∠ABC=90°，把 3.如图，ABC-A'B'C'是体积为1的棱柱，则四棱锥 △ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形 成的几何体的体积是多少？ C-AA'B'B的体积是 A C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 第二课时台体与球的体积 课程标准 素养解读 1.掌握台体和球的体积公式 运用台体、球的体积公式进行计算，培养学生的 2.会计算台体、球的体积，利用体积公式解决有关组合体 直观想象素养和逻辑推理素养，提升学生的数 问题 学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] ?思考1.组合体的体积是各个几何体的体积之 街道旁，随时能见到用大理石磨成的光滑的大球 和吗？ 2.柱体、锥体、台体的体积之间有何联系？ 问题如何计算球的体积？ [知识梳理] 1.台体的体积 [预习自测] 棱台与圆台统称为台体，台体的体积的计算公式是 1.一个球的外切正方体的全面积等于6cm,则此球 V台体一 ,其中，S,S分别是台体上、 的体积为 下底面的面积，h为台体的高. 2.球的体积 A.含xcm Ben 球的半径为R,则V球= 3.组合体 C.n D on! 由几个柱、锥、台、球等组合而成的几何体称为组合 2.若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该 体，求组合体的体积（表面积）时，只需要算出其中 棱台的体积为 每个几何体的体积（表面积），然后再处理即可· 3.一个球的表面积是16π，则它的体积是 ·53·数学B版·必修第四册 若球心在两截面之间，如图所示， A B OC1=√R2-49,OC=√R2-400. 由题意可知OC1十OC=9,即 √R2-49+√R2-400=9,此方程 无解. 综上所述，此球的半径为25cm. 变式训练 2.解析：设球的半径为Rcm, 由题意知，截面圆的半径r=12cm,球心到截面的距离 d=(R-8)cm, 由R2=r2+d2,得R2=144+(R-8)2, 即208-16R=0,解得R=13, 故S球=4πR2=676πcm2. 答案：13676π [例3][解]设正方体的棱长为a. (1)正方体的内切球球心是正方体的 中心，切点是正方体六个面的中心，经 过四个切点及球心作截面如图，所以 有2n=a,n=受，所以S=4听 =ra2. (2)球与正方体的各棱的切点在每条 棱的中，点，过球心作正方体的对角面的截面如图，2r2= a2a,所以S=4月=2a2 0 (3)正方体的各个顶点在球面上，过球 心作正方体的对角面的截面如图，所以 有2r=5a,r3=受a,所以S=4xr =3πa2」 综上可得S1:S2:S3=1:2:3. 变式训练 3.解：如图所示，设正四面体ABCD 的高为AO1, 外接球球心为O,半径为R,正三角 R 形BCD的中心为O1. 正四面体的棱长为a, 0 0B×号 0 D 在Rt△AOB中， A0-8-0īa--. 在R△0，B中，0听-0B-0,联=R-( =R2、a2 00√/R2- 3 :A0=A0+00R+R-g-5。 33a. R,即正回面体外接球的丰径为。 设正四面体内切球的半径为「，则球心也为O. :正四面体的高A0,= 3a, .∴.r=O01=AO1 -A0=E-6 3 4 12a, 即正四面体的内切球半径为5。 12 随堂步步夯实 1.B[截面可以从各个不同的角度截取，截得的截面都是 圆面的几何体只有球.] 2.C[对角线长为5√2，∴.2R=5√2，S=4πR2=4πX 522 =50π.] 、2 3.解析：由截面圆面积是225πcm2,得截面圆半径为15cm,故 球心到截面的距离d-√R2-r2-√252-15=20(cm）. 答案：20 4.解析：设正方体棱长为x,球半径为R,则6x2=a2,(2R)2 =3,4R=g,S=4R2- 2 答案：号 5.解：如图所示， AB- 因为AB2+BC2=AC2, 所以△ABC是直角三角形，AC为斜边. 所以△ABC的外接圆圆心O1是AC的 中点 过A,B,C三点的平面截球O得圆O1 的半径为r=15cm. 在Rt△OO1C中，R2 所以R2=R+15. 4 所以R2=300, 所以R=10√3cm. 即球的半径为10√3cm. 11.1.6祖暅原理与几何体的体积 第一课时 祖胞原理与柱体、锥体的体积 课前预习学案 知识梳理 「思考 1.[提示]当几何体形状不规则时，常用分割或补形的方 法将其变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，再求 其体积 2.[提示]在锥体与平行于底面的截面所构成的小锥体 中有如下比别美系股头-=对定线 段（知高、斜高、底面边长等）的平方之比·天炉 ,V小雄=对应线 段（如高、斜高、底面边长等）的立方之比 预习自测 1.A [设正三棱锥高为h,则有h= /(√15)2 号×号x0-,所以v=×9×6 ×3=9.] 2.解析：设圆柱的底面半径为rcm,高为hcm,则 6 4 2r。12或28:.=元或=元 h=8, 我{h=12,“h=8h=12, .V288 cm3192 cm2. 答案：288或192 0 3.解析：由棱锥的体积公式，得三棱锥P一ABC的体积为 合×9×2x8= 答案：W5 课堂互动学案 [例1]「解]如图所示，设圆柱 OO为等边圆柱，正四棱柱ABCD -A1B1C1D1是圆柱OO1的内接正 四棱柱 设圆柱的底面半径为r,则高h=2r ,S表=S侧+2S底=2πrh十2元r2= 6r2=S,∴r=√6 2B ，又正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底边边长为AB=2rsin45°=√2r, .正四棱柱ABCD-A1B1CD1的体积V=S底·h= 2r)2.2r=4r3=4√6 )3=S6图 9x2 故该圆柱的内接正四棱柱的体积为S√6图 9x2 变式训练 1.解：如图所示，由条件知此三棱柱为正三棱柱. C :正三棱柱的面对角线AB1=2,∠B1AB=45° .AB=2×sin45°=√2=BB1. V:A=Saae…BB-9x@2X反=5 2 [例2][解]在△PAD中，PA=AD=1,PD=√2 ∴.PA2+AD2=PD. .PA⊥AD,又PA⊥CD,且AD∩CD=D, .PA⊥平面ABCD,从而PA是底面ABCD上的高， Vg技维=弓S方移D·PA=了X12X1=子 变式训练 2.解析：(1)设圆锥的底面圆的半径为r,高为h, 明2知=成，所以-冬且A气√R-()- 所以国维的体和V=h=x×()× 2 (2)因为EB=BF=FD=DE√Q2+(受)= 5 a, D1F∥EB,所以四边形EBFD1是菱形. 连接EF,则△EFB≌△EFD1, 易知三棱锥A1一EFB与三棱锥A1一EFD1的高相等， 之 R D ·1 参考答案 故VA-EBFD,=2VA-BFB=2VF-BA,又因为S△EBA, EA·AB=子，剥VF-队=2a2,所以V1mm, =2VA-ms=2W:-,=3 答案：1)A(2)ga [例3][解]：V三校维B-BDE=V三枚维B,-BDE, 在△A1BC1中，D,E分别是A1B,BC1的中点， ,V三棱维B,-BDE=S△BDE=】 DE4分A1G小7三装nAE,S△AE, 4 :V三棱维B一A,E,=V三棱维B-A,BCG 1.5a2a 34 12 5 已VE典维B即E长a3,即V三技维N-月优 变式训练 3.解析：设三棱锥A1一AB1D1的高为h, 则-。=×9XwaP-24 4 61 因为VA-n=Vg,Mn=子aX22=g 1 6 所以Bah= 6 6,所以h= 3a, 所以三棱锥A1-AB1D,的高为。 3a. 答案。 随堂步步夯实 1.B[根据祖暅原理进行判断，故选B.] 2.C[如图所示，此几何体是底面半径为1， 高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高 为1的国维，故所求体积V=2x一晋 1 3.解标：Vc-C=Vc-gC= 12 VC-MWB'B-1-3-3 答案号 4.解析：PB1= AA=1,V=子·S意x月·PB 合×16X1=19 答案：号 5.解：如图所示，两个圆锥的底面半 径为斜边上的高BD, 且BD=AB·BC=12 AC 5 两个圆锥的高分别为AD和DC, 所以V=V+V,=子xBD2·AD +BD2·CD=xBD2· (AD+CD)-- BD2·AC=3 ×(传)×= 故所形成的几何体的体积是9。