11.1.5 第1课时 圆柱、圆锥、圆台（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十一章立体几何初步 11.1.5 旋转体 第一课时圆柱、圆锥、圆台 课程标准 素养解读 通过实物和模型观察，抽象出圆柱、圆锥、圆台 1.通过实物和模型，总结出圆柱、圆锥、圆台的结构特征 的结构特征，培养学生的数学抽象，提升直观想 2.能根据圆柱、圆锥、圆台的定义和结构特征，掌握有关概 象素养；通过圆柱、圆锥、圆台的表面积的计算， 念及计算圆柱、圆锥、圆台的表面积 提升学生的数学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P45 [情境引入] [知识点三]圆锥 很多物体的形成可以看作按一定的要求旋转形成： 1.圆锥的定义：以直角三角形一直角边所在直线为旋 转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成 的几何体.如图所示 侧面 问题一个圆台是如何旋转得到的？ 母线 提示以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为 旋转轴，将直角梯形旋转一周可形成圆台. 底面 [知识梳理] 2.圆锥中常用概念： [知识点一]旋转体 (1)轴：旋转轴叫做圆锥的轴. 1.定义：由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲 (2)高：在轴上的边（或它的长度）. 面所围成的几何体 (3)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. 2.轴：旋转轴叫做旋转体的轴. (4)侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面. 3.高：在轴上的边（或它的长度） (5)母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边. 4.底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. [知识点四]圆台 5.侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面， 1.圆台的定义：以直角梯形垂直于底边的腰所在直线 6.母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边. 为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围 7.轴截面：通过轴的平面所得到的截面 成的几何体.如图所示. [知识点二]圆柱 1.圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，将 底面、 矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体.如图 侧面、 所示. 母线 底面 底面 2.圆台中常用概念： 侧面 (1)轴：旋转轴叫做圆台的轴. 母线 (2)高：在轴上的边（或它的长度）. (3)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. 底面 (4)侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面. 2.圆柱中常用概念： (5)母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边. (1)轴：旋转轴叫做圆柱的轴. ?思考2.以平行于底面的平面截圆柱、圆锥、圆台， (2)高：在轴上的边（或它的长度）！ (3)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. 得到的截面是什么图形？ [提示]都是圆面，截圆柱所得的圆面与上、下底面 (4)侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面， (5)母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边， 相同，圆锥、圆台所得到的圆面从下向上逐渐变小. [知识点五]圆柱、圆锥、圆台的侧面积与全面积 ?思考1.分别以矩形ABCD(非正方形)的AB, 1.轴截面 AD边所在直线为旋转轴，将矩形ABCD旋转一 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称 周得到的两个圆柱相同吗？ 为轴截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、 [提示]不相同 等腰三角形、等腰梯形 83· 数学B版·必修第四册 2.旋转体的侧面积与全面积 4.圆锥、圆台的侧面展开图是怎样的图形？如何求 (1)旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积 侧面积？ 与底面积之和称为旋转体的表面积（或全面积）. (2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 [提示]圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径 为母线长，圆孤为底面圆周长；圆台的侧面展开图 几何体 侧面展开图 表面积公式 为扇形再剪去一个扇形剩余部分，其面积为两个 S侧柱=2πr(r十l),r 扇形面积的差.S圆锥树=rl,其中r为底面圆半径， 圆柱 为底面半径，1为侧 l为母线长：S国台=π（十r2)·1,其中r,r2分 面母线长 别为上、下底面半径，l为母线长 工预习自测] S圆锥=πr(r十l),r 1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几 圆锥 为底面半径，1为侧 何体是 面母线长 A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.两个圆锥 S侧台=π(r2十r2+ 解析：D[连接正方形的两条对角线知对角线互 rl+rl),r'为上底 相垂直，故绕其一条对角线所在直线旋转一周形成 圆台 面半径，r为下底 两个圆锥.] 面半径，1为侧面母 2.下列几何体中不是旋转体的是 线长 ?思考3.圆柱、圆锥、圆台的轴截面所得图形的边 长与哪些量有关系？ [提示]圆柱的轴截面是矩形，一边为圆柱的底 解析：D[只有D不是旋转体.] 面圆直径，另一边为母线长；圆锥的轴截面是等腰 3.一个圆锥的母线长为20cm,母线与轴的夹角为 三角形，腰为母线长，底边长为底面圆直径；圆台 的轴截面为等腰梯形，两腰为母线长，上、下分别 30°，则圆锥的高为 cm. 为上、下底面圆直径 解析：h=20cos30°=10√3. 答案：103 课堂。互动学案 对应学生用书P46 题型一圆柱、圆锥、圆台的结构特征 相等，则其旋转形成的曲面或圆面的半径也不一 [例1门下列说法： 样，故所得圆柱也不同.(4)错误.当此平面与圆锥 (1)以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转 的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台，否 一周得到的旋转体为圆台； 则不能得到. (2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； [答案](2)(3) (3)分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将 规律方法 矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的 1.圆柱、圆锥、圆台都是一个平面图形绕其特定边 圆柱； (弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体 (4)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个 对旋转轴的具体要求. 圆台. 2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由 其中正确说法的序号是 此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些 汇思路点拨了“依据圆锥、圆柱、圆合的结构特征逐 概念有关的命题的正误. 一判断. ◇[变式训练] [解析](1)错误.若以直角梯形的不垂直于底边 1.(多选题)下列命题正确的是 ( ) 的腰为轴旋转一周形成的旋转体不是圆台，是圆锥 A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两 和圆台的组合体.(2)正确.圆柱、圆锥、圆台的底面 点的连线是圆柱的母线 都是垂直于轴的矩形、直角三角形、直角梯形的一 B.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆 边旋转而成的圆面.(3)正确.若矩形的两邻边长不 锥的母线 ·84· 第十一章立体几何初步 C在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两 h1=4h, 点的连线是圆台的母线 所以} h2=2h, D.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 所以h1:h2=2:1,即圆台的高被截面分成的两部 解析：BD[由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性 分的比为2：1. 质可知B,D正确，A,C错误.] 规律方法… 题型三圆柱圆锥、圆合的有关几何计算 (1)旋转体基本量的计算，一般从轴截面入手，利 [例2](1)圆台的一个底面周长是另一个底面周长 用等腰梯形、等腰三角形、矩形或结合题目条 的3倍，轴截面的面积等于392cm,母线与轴的夹 件，利用平行线分线段成比例，相似等知识 角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径. 解决. (2)圆台的两底面面积分别为元，49元，平行于底面 (2)有关截面圆半径的计算可以借助圆锥的轴截 的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的 面，利用相似三角形的相似比求解. 高被截面分成的两部分的比。 ◇[变式训练] 汇思路点拨]做出轴截面，利用等腰梯形，结合题目 2.一个圆锥的高为2cm,母线与轴的夹角为30°，求 条件，利用平行线分线段成比例知识，构造方程求解. 圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积， [解](1)法一圆台 解：如图，轴截面SAB,圆锥SO的底 0 面直径为AB,SO为高，SA为母线， 的轴截面如图所示，根 据题意可设圆台的上、 则∠ASO=30°.在Rt△SOA中，AO 下底面半径分别为xcm =S0·tan30°= 5.(cm). 和3xcm,即A'O'= 3 xcm,AO=3.xcm(O',O分别为上、下底面圆圆 SA-- SO 心)，过A'作AB的垂线，垂足为点D 0s30°= 2-4E(em). 3 在Rt△AA'D中，∠AA'D=45°，AD=AO-A'O1 =2xcm,所以A'D=AD=2xcm. 所以S△AsB= S0·2A0-4(m.所以国维 3 因为SA=2(AB'+AB)·A'D=2(2x+6x) ×2.x=392,所以x=7,故圆台的高OO/=14cm, 的母线长为4 3 cm,圆锥的轴截面的面积为 母线长AA'=√2OO=14√2cm,上、下底面的半径 分别为7cm和21cm. 4.3.cm. 法二圆台的轴截面为梯形 题型圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用目 A'ABB',设圆台上、下底面 [例3](1)若圆台的上、下底面半径分别是10cm和 半径分别为xcm和3xcm. 20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，则 延长AA',BB,交OO的延 圆台的表面积为 cm. 长线于点S.在Rt△SOA (2)如图所示，圆台的上、下底面半径 中，∠ASO=45°，所以SO=AO=3.xcm,SO= 分别为5cm和10cm,母线AB 1 A'0'=xcm,所以00=2xcm,S0藏角=2(2x十 20cm,从圆台母线AB的中点M拉 一条绳子绕圆台侧面转到A点.则绳 A 6x)×2x=392,所以x=7,所以圆台的高O0= 子的最短长度为 ；当绳子最短时，上底圆 14cm,母线AA'=√2OO= 周上的点到绳子的最短距离为 cm. 14√2cm,上、下底面半径分别为7cm和21cm. 汇思路点拨] 画出侧面展开图，转化为平面几何 (2)画出圆台的轴截面，如图所 知识求解。 示，延长梯形两腰交于点V,O2, [解析](1)如图所示，设圆台 O,O分别是圆台上底面、截面和 0 的上底面周长为ccm,由于扇 下底面的圆心，令VO2=h,O2O 形的圆心角是180°，则c=元· =h1,O1O=h2, h201 SA=2π×10，解得SA= 49π干元 0 20cm.同理可得SB=40cm, h+h 2元 所以AB=SB-SA=20cm. h 所以S表=S侧十S上十S,=元X Wπ 则 (10+20)×20+π×102+π× 49元 202=1100x(cm). h+h+h2 (2)如图所示，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度 为侧面展开图中A,M的长度. Wπ ·85· 数学B版·必修第四册 B 规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积常通过侧面展开图 求解 Q 2.求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点的最短距离问 题，基本方法是将侧面展成平面图形，转化为 平面上的线段长度问题，然后利用平面几何的 设0h.由》-2得r=06m,所 A 知识解决 2π×10 ◇[变式训练] 以∠A0A,=2R×20 2xX5×360°=90°， 3.如图所示，有一个底面半径为1，高为 2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁， OA-OA1=40 cm,OM=30 cm. 现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A 在Rt△A,OM中，A,M=/OA+OM=√402+30 点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离 =50(cm). 是多少？ 解：把圆柱的侧面沿AB剪开， 所以绳子的最短长度为50cm. M'(A) 如图所示，过O作OQ⊥A,M于Q,交孤BB1于P, 然后展开成为平面图形——矩 B B'(B) 形，如图所示，连接AB,则 则PQ长为所求最短距离.因为OA1·OM=A,M ·OQ,即40×30=50×OQ,所以OQ=24cm,所以 AB即为蚂蚁爬行的最短距离，，AA'为底面圆的 PQ=OQ-OP=OQ-OB=24-20=4(cm),即上 周长，.AA'=2π×1=2元.又AB=A'B'=2, 底圆周上的，点到绳子的最短距离为4cm. ∴.AB=√AB2+AA=√4十(2π)=2√1十π， [答案](1)1100π(2)504 即蚂蚁爬行的最短距离为2√1十π. 随堂。步步夯实 对应学生用书P48 1,下列说法中正确的个数是 ( 解析：如图，O1B1:OB=1:4, ①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个 圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形； ·SB:SB=1:4,即SB-BB SB ③分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋 不0-解得SB- SB 3 转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的 A 圆柱. 故國维的母钱长为智cm A.0 B.1 C.2 D.3 解析：C[①中，必须用一个平行于底面的平面去 答案：号cm 截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故①说法 4.边长为5cm的正方形EGH是圆柱的轴截面，则从 错误：显然②③说法正确.故说法正确的有2个.] E点沿圆柱的侧面到点G的最短距离是 cm. 2.以下说法正确的是 ( 解析：如图所示，EF=号×2×号- 2x(cm), A.圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小 于1 短距高EG+(-干4cm. B.矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱 H' C.直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以 围成圆锥 D.圆台的上、下底面不一定平行，但过圆台侧面上 每一点的母线都相等 解析：A[A正确，圆台是由圆锥截得的，截面是 答案：号公十 上底面，其面积小于下底面的面积；B错误，矩形绕 5.将边长为4cm和8cm的矩形纸片卷成一个圆柱 其对角线所在直线旋转，不能围成圆柱；C错误，绕 的侧面，求圆柱的轴截面的面积. 直角边所在直线旋转可以围成圆锥，但绕斜边所在 解：当以4cm为母线长时，设圆柱底面半径为r, 直线旋转围成的是由两个圆锥组成的组合体；D错 则8=2r,2r=g.∴Se=4X8-32(cm)月. 元 误，圆台的上、下底面一定平行.] 当以8cm为母线长时，设圆柱底面半径为R,则 3.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径 的比是1：4，母线长为10cm,则圆锥的母线长为 2R=4,2R=专Sa6=8X失-是(cm只辨 上，圆锥的轴截面面积为32cn ·86· 第十一章立体几何初步 课后。素养提升 对应学生课时P21 ---● 基础过关 D1(D) C(C) JI CHU GUO GUAN 1.图1是由下列哪个平面图形绕轴OO旋转而成的 组合体 ) A(A) B (B) :AB=BC=5cm,:.AB的长为号X2xX 5 22元 =AB1, .'B C=BC=5 cm, 图1 A,C,=√JA1B+BC 图+25=5 0 0 0 3R+4(cm.故选B] 5.(多选题)给出下列命题，正确的是 A.圆柱的母线与它的轴可以不平行 解析：D[组合体上半部分是圆锥，下半部分是一 B.圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆 个圆台，因此应该是由上半部分为三角形，下半部 的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 分为梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得 C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两 D正确，] 点的连线不一定是圆台的母线 2.一个圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则该圆锥 D.圆柱的任意两条母线所在的直线可以不互相平 的轴截面的面积为 行的 ( ) A.10 B.12 解析：BC[由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性 C.20 D.15 质可知BC正确，AD错误.] 解析：B[圆锥的轴截面是等腰三角形，腰长为5， 6.(多选题)用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小 圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是1：3， 底为6，则高为4，所以轴截面面积S= ×6×4 则这个截面把圆锥的高分成的两段的比是() =12.] A.1:3 B.1:(√3-1) 3.(2021·新高考I卷，3)已知圆锥的底面半径为√2， C.1:9 D.(5-1):1 其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 解析：BD[如图，由题意，可知 圆锥PO,与圆锥PO的侧面积 A.2 B.2√2 之比为 1: 3,即 C.4 D.42 元·O1A1·PA1_1 π·OA·PA 3 解析：B[根据底面周长等于侧面展开图孤长，设 OA 母线为1，底面半径为r,则有2r 180° 360·2xl,化简得 .△POA1∽△POA,∴. OA l=2r=2√2，答案选B.] 卧品0 = PO) 4.已知圆柱的轴截面是边长为5cm的正方形 ABCD,则在圆柱侧面上从A到C的最短距离为 故 OA·PA ( 选BD.] A.10 cm B.2/cm 7.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴 旋转一周，所得几何体的侧面积是 C.5√2cm D.5√π+1cm 解析：所得几何体为圆柱，其底面圆半径为1，高为 解析：B[如图所示，沿母线BC剪开，曲面上从A 1,侧面积S=2πrh=2π×1×1=2元. 到C的最短距离为平面上线段A,C,的长， 答案：2π ·87· 数学B版·必修第四册 8.(2021·全国甲卷（文），14)已知一个圆锥的底面半 的半径分别为r,4r.过轴S0作截面，如图所示. 径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为 解析：设圆锥的高为h,母线长为1，则 V=3Sh=3r2·h=12xh=30元→h=号 所以1)+6=侵)+() 则△SOA'∽△SOA,SA'=3cm,所以A' SA 所以S侧=πrl=6X π=39元， 13 胎所以产无子解得19，即圆台的母 故答案为：39元. 线长为9cm. 答案：39x 能力提升 NENG LI TI SHENG 9.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆 12.将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角 锥的高是 ,底面圆的半径是 之比为3：4，再将它们卷成两个圆锥侧面，则两 解析：设圆锥的高为h,则圆锥的底面半径r 圆锥的高之比为 V-万.所以由题意可知子·2·h=-公 A.3:4 B.9:16 =8,.h=2√2，r=√16-8=2√2. C.27:64 D.2√10：33 答案：2√22√2 解析：D[设圆的半径为r,则两个圆锥母线长都 10.把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径 为r,两个圆维底面圆周长分别为2x·rX号与 比是1：5，母线长是10cm,求圆锥的母线长， 解：如图，△SAB为圆锥的轴截 2xX号，所以两圆徐底西圆丰径分别为寺，多， 面，O为底面圆的圆心，AB为底 面直径，截面圆的直径为A1B1,圆 所以高分别为P-(告-厘F-( 心为O,则等腰梯形A1ABB1为 截得圆台的轴截面. 2①，故高之比为2033.] 7 0 由题意，知A1O1：AO=1:5,A1A=10cm. 13.已知在直角三角形ABC中，AC⊥BC,BC=2, 设圆锥的母线长为xcm,即SA=x, tan∠ABC=2√2（如图所示）. 则SA1=x一10. 根据相似三角形的性质，得=A0 sA=A0,即210 x =日解得x=罗 25 所以国第的母线长为空m (1)若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，试说明 11.如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截 所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积. 这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1： (2)一只蚂蚁在问题(1)形成的几何体上从点B绕 16,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台OO的 着几何体的侧面爬行一周回到点B,求蚂蚁爬行 母线长 的最短距离. 解析：(1)在直角三角形ABC中，由BC=2, 1a∠ABC=2E,即an∠ABC=瓷=2E,得 AC=4√2.若以AC为轴旋转一周，形成的几何体 为以BC=2为半径，高AC=4√2的圆锥，则AB 解析：设圆台的母线长为lcm,由截得圆台上、下底 -√2+(4②)=6，其表面积为5=元X2+号× 面的面积之比为1：16，可设截得圆台的上、下底面 2π×2×6=16π. ·88· 第十一章立体几何初步 (2)由问题(1)的圆锥，要求蚂蚁爬行的最短距离， ∠BAB1= 2红X2=2匹在△ABB,中由余弦定理得 则沿，点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如 6 图)最短距离就是点B到点B,的距离， BB= /62+62-2X6×6×os 2π =6√5. 所以蚂蚁爬行的最短距离为6√③. 第二课时 球 课程标准 素养解读 1.掌握球的结构特征 通过球的截面对球的结构特征的理解，球的定 2.会利用球的定义及结构特征，处理有关截面及组合体问 义的应用及球的表面积的计算，培养学生的直 题，会求球的表面积 观想象素养，提升逻辑推理、数学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P48 [情境引入] 3.球的截面的性质：①球的截面是一个圆面；②球心 在俄罗斯举行的2018年世 与截面圆圆心的连线垂直于截面：③球半径R、截 界杯足球赛用球是“电视之 面圆半径r,则球心到截面的距离d=√R一r 星(Telstar)18”,它采用了 4.球的表面积 经典黑白两色，深色梯形装 如果球的半径为R,则球的表面积S=4πR 饰用马赛克图案形成，文字 ?思考1.球与球面有什么区别？ 则使用了金色. [提示]球与球面是两个不同的概念，球是几何 问题球是个旋转体，它是 体，球面是曲面，是球的表面 如何形成的？ 2.球心与截面圆圆心的连线与截面圆有怎样的 提示球面可以看作一个半圆围绕着它的直径所在的 关系？ 直线旋转一周所形成的曲面，球是球面围成的几何体 [提示]球心与截面圆圆心的连线垂直于截面 圆，设球心到截面圆的距离为d,球半径为R,截 [知识梳理] 面圆半径为r,则有d=√R2-r [知识点一]球 1.球的定义：球面可以看成一个半圆绕着它的直径所 [知识点二]组合体 1.简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫做 在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何 简单组合体。 体，称为球.球面也可以看成：空间中到一个定点的 2.简单组合体的构成形式：有两种基本形式：一种是 距离等于定长的点的集合.如图所示 由简单几何体拼接而成的：另一种是由简单几何体 截去或挖去一部分而成的. 球心 半径 2思考3.长方体的体对角线与其外接球直径有何 关系？ [提示]长方体的体对角线等于其外接球的直径 直径 工预习自测] 2.球中常用概念 1.如图所示的平面图形中阴影部分绕中间轴旋转一 (1)球心：形成球面的半圆的圆心. 周，形成的旋转体形状为 (2)半径：连接球面上一点和球心的线段. (3)直径：连接球面上两点且通过球心的线段， (4)大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称 为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为 球的小圆 ·89·