11.1.5 第2课时 球（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十一章立体几何初步 (2)由问题(1)的圆锥，要求蚂蚁爬行的最短距离， ∠BAB1= 2红X2=2匹在△ABB,中由余弦定理得 则沿，点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如 6 图)最短距离就是点B到点B,的距离， BB= /62+62-2X6×6×os 2π =6√5. 所以蚂蚁爬行的最短距离为6√③. 第二课时 球 课程标准 素养解读 1.掌握球的结构特征 通过球的截面对球的结构特征的理解，球的定 2.会利用球的定义及结构特征，处理有关截面及组合体问 义的应用及球的表面积的计算，培养学生的直 题，会求球的表面积 观想象素养，提升逻辑推理、数学运算素养 课前。预习学案 对应学生用书P48 [情境引入] 3.球的截面的性质：①球的截面是一个圆面；②球心 在俄罗斯举行的2018年世 与截面圆圆心的连线垂直于截面：③球半径R、截 界杯足球赛用球是“电视之 面圆半径r,则球心到截面的距离d=√R一r 星(Telstar)18”,它采用了 4.球的表面积 经典黑白两色，深色梯形装 如果球的半径为R,则球的表面积S=4πR 饰用马赛克图案形成，文字 ?思考1.球与球面有什么区别？ 则使用了金色. [提示]球与球面是两个不同的概念，球是几何 问题球是个旋转体，它是 体，球面是曲面，是球的表面 如何形成的？ 2.球心与截面圆圆心的连线与截面圆有怎样的 提示球面可以看作一个半圆围绕着它的直径所在的 关系？ 直线旋转一周所形成的曲面，球是球面围成的几何体 [提示]球心与截面圆圆心的连线垂直于截面 圆，设球心到截面圆的距离为d,球半径为R,截 [知识梳理] 面圆半径为r,则有d=√R2-r [知识点一]球 1.球的定义：球面可以看成一个半圆绕着它的直径所 [知识点二]组合体 1.简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫做 在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何 简单组合体。 体，称为球.球面也可以看成：空间中到一个定点的 2.简单组合体的构成形式：有两种基本形式：一种是 距离等于定长的点的集合.如图所示 由简单几何体拼接而成的：另一种是由简单几何体 截去或挖去一部分而成的. 球心 半径 2思考3.长方体的体对角线与其外接球直径有何 关系？ [提示]长方体的体对角线等于其外接球的直径 直径 工预习自测] 2.球中常用概念 1.如图所示的平面图形中阴影部分绕中间轴旋转一 (1)球心：形成球面的半圆的圆心. 周，形成的旋转体形状为 (2)半径：连接球面上一点和球心的线段. (3)直径：连接球面上两点且通过球心的线段， (4)大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称 为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为 球的小圆 ·89· 数学B版·必修第四册 A.一个球体 解析：B[作正方体的对角面，截面必过球心和球 B.一个球体中挖去一个圆柱 与正方体上、下底面的切点，而与对角面中原正方 C.一个圆柱 体的两棱相离，故正确答案为B.] D.一个球体中间挖去一个棱柱 3.若过球心的圆面的周长是C,则这个球的表面积是 解析：B[该旋转体形状为一个球体中挖去一个 圆柱.门 解析：设球的半径为R,则C=2xR,∴R= 2元1 2.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面， 所得截面图形是下图中的 ·球的表面积为S=4rR= 元 管案月 D 课堂。互动学案 对应学生用书P49 题型一 球的结构特征 题型三 球的截面问题 [例]下列说法中正确的个数是 [例2]在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分 ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的 别为49πcm2和400πcm2,求此球的半径 曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有 [思路点拨了球半径、截面圆半径，球心到截面圆 点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经 心的距离构成一个直角三角形，利用直角三角形 过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 知识求解： A.1 B.2 C.3 D.4 [解]若两截面位于球心的同侧，如图所示的是经过 [思路点拨根据球的结构特征判断： 球心O的大圆截面，C,C分别是两平行截面的圆心， [解析]A[半圆孤以其直径所在直线为轴旋转 一周所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球， 故①错误；②正确；球面和球是两个不同的概念，故 ③错误；若球面上不同的两，点恰好为最大的圆的直 径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误， 故选A.] 设球的半径为R,截面圆的半径分别为r,r1, 规律方法 由πr=49元，得r1=7. 球与球面是完全不同的两个概念，球是几何体，而 由元r2=400元，得r=20, 球面是曲面，是球的表面，过两点的大圆中，若两 在Rt△OB,C,中，OC1=√R-r7=√R2-49 点怡为球的直径端点，则这时大圆有无数个。 在Rt△OBC中，OC=√R2-r=√R2-400. ⊙[变式训练] 由题意可知OC1-OC=9,即√R2-49-√R-400 1.给出下列命题： =9,解此方程，取正值得R=25. ①球的任意两个圆的交点的连线是球的直径；②用 若球心在两截面之间，如图所 A1 B 过球心的平面截球，截面圆是球的大圆；③球面上 任意一点到球心的距离即等于半径：④球面上不同 示，OC1=√R2-49, 的三点可能在同一条直线上。 OC=√R2-400. 其中正确命题的个数是 由题意可知OC1十OC=9,即 A.4 B.3 C.2 D.1 √/R2-49+√R2-400=9,此方 解析：C[由球的结构特征知，②③正确，①④ 程无解 错误.门 综上所述，此球的半径为25cm. ·90· 第十一章立体几何初步 规律方法 (3)正方体的各个顶点在球面上， 解决与球有关的截面问题时，要注意球的球心和 过球心作正方体的对角面的截面 截面圆的圆心的位置，这是联系球半径和截面圆 如图，所以有2，=a,= 2a, 半径的关键所在，本题易出现丢解现象，仅考虑两 所以S3=4πr号=3πa2. 个截面在圆心同侧，忽略异侧，解题时应小心谨 综上可得S1:S2:S3=1:2:3. 慎. 规律方法 ⊙[变式训练] 球的组合体问题，关键是正确地作出截面图，用圆 2.湖面上浮着一个球（水下部分不超过一半），湖水结 的知识把立体问题化为平面问题进行解决.对直 冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24cm,深为 棱柱、正棱锥与球的切接问题，关键是作图，分析 8cm的空穴，则球的半径为 cm,球的表 球心与几何体的中心的关系，注意利用球半径、截 面积为 cm2. 面圆半径、球心与截面圆圆心的连线等。 解析：设球的半径为Rcm, ◇[变式训练] 由题意知，截面圆的半径r=12cm,球心到截面的 3.求棱长为a的正四面体的外接球半径与内切球的 距离d=(R-8)cm, 半径 由R2=r2+d,得R2=144+(R-8)2, 解：如图所示，设正四面体 即208-16R=0,解得R=13, ABCD的高为AO1, 外接球球心为O,半径为R,正 故S缘=4πR2=676πcm2. 三角形BCD的中心为O1. 答案：13676π ,正四面体的棱长为a, 题型几何体的外接球、丙切球问题 [例3]有三个球，第一个球内切于正方体，第二个 i0B=9x号 33a. 球与这个正方体各条棱相切，等三个球过这个正方 在Rt△AO,B中， 体的各个顶点，求这三个球的表面积之比. [思路点拨]作出截面图，求出半径是关键. 0v-0-- [解]设正方体的棱长为a. 在Rt△OO1B中，OO=OB2-O,B2=R2 (1)正方体的内切球球心是正方 =R2- 体的中心，切点是正方体六个面 3 的中心，经过四个切点及球心作 .001= R 截面如图，所以有2r=a,n=之， :A0=A0+0,0.R+,R-g=5。 33a. 所以S1=4xr=元a2. (2)球与正方体的各棱的切，点在每条棱的中点，过 ,即正四面体外接球的半径为 ∴R=6 4a. 球心作正方体的对角面的截面如图，2r2=√2a, 设正四面体内切球的半径为，则球心也为O. 2 n=2a,所以S,=4rr=2xa2. ”正四面体的高A0=。 3q, 六r=00,=A0,-A0=6。-6n= 3a- 4q 12a, 「2 即正四面体的内切球半径为。 124. ·91 数学B版·必修第四册 随堂。步步夯实 对应学生用书P50 1.下面几何体的截面一定是圆面的是 ( 解析：设正方体棱长为x,球半径为R,则6.z2=a2, A.圆台 B.球C.圆柱D.棱柱 解析：B[截面可以从各个不同的角度截取，截得 (2R)2=3x2,4R2= 含S=4xR=xa 2· 的截面都是圆面的几何体只有球.] 2.长方体的体对角线长为5√2，若长方体的8个顶点 答案受 都在同一个球面上，则这个球的表面积是 5.A,B,C是球面上三点，已知弦（连接球面上两点的 线段)AB=18cm,BC=24cm,AC=30cm,平面 A.20√2元 B.25√2元 ABC与球心的距离恰好为球半径R的一半，求球 C.50元 D.200π 的半径. 解析：C[,对角线长为5√2，∴.2R=5√2，S= 解：如图所示， 4元R2=4πX 52 =50元.] 因为AB2+BC=AC, 2 所以△ABC是直角三角形，AC为 3.用一个平面去截半径为25cm的球，截面圆面积是 斜边. 225πcm2,则球心到截面的距离为 cm. 所以△ABC的外接圆圆心O1是 解析：由截面圆面积是225πcm,得截面圆半径为 AC的中点. 15cm,故球心到截面的距离d=√R2一r2= 过A,B,C三点的平面截球O得圆O1的半径 √/252-15=20(cm). 为r=15cm. 答案：20 在Rt△OOC中，R2= 2 4.正方体的表面积为a,它的顶点都在球面上，则这 个球的表面积是 所以R= 4 +152,所以R2=300, 所以R=10cm.即球的半径为10√3cm. 课后。素养提升 对应学生课时P23 基础过关 解析：C[如图所示，构造长方 JI CHU GUO GUAN 1.过球面上任意两点A,B作大圆，可能的个数是 体，设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c则a2十b+c2=22=4,根 A.有且只有一个 B.一个或无穷多个 据题意得a2+b2=x2,b2十c2= C.无数个 D.以上均不正确 x2,a2+c2=y2,则x2+2十y2=2(a2+b2十c2) 解析：B[当过A,B的直线经过球心时，经过A,B 8,故选C.] 的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A,B作球 4.正方体的表面积为54，则它的外接球的表面积为 的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经 ( 过A,B,O的截面就是一个大圆，这时只能作出一 A.27x B.8 个大圆.] 3元 2.正方体的内切球半径与外接球半径的比是( C.36x A.1:√2 B.1:√3 D C.√2：3 D.1:2 解析：A[设正方体的棱长为a, 解析：B[正方体的内切球半径为正方体棱长的一 则S=6a2=54,.a=3. 半，外接球半径为正方体对角线长的一半.设正方 一其外接球半径为R=。 3√3 - 体的棱长为，则内切球的半径为，=号，外接球的 21 .外接球表面积为S=4πR2=4π 半径为R=B,」 气，所以内切球半径与外接球半径的 =27元.] 比为1：5.] 5.(多选题)一个正方体内接于一个球，过球心作一截 3.在半径为1的球面上有不共面的四个点A,B,C,D 面，如图所示，则截面可能的图形是 且AB=CD=x,BC=DA=y,CA=BD=x,则x +y2+之2等于 ( A.2 B.4 C.8 D.16 ·92· 第十一章立体几何初步 解析：ABC[当截面平行于正方体的一个侧面时 11.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π， 得C,当截面过正方体的体对角线时得B,当截面不 它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的 平行于任何侧面也不过对角线时得A,但无论如何 半径. 都不能截出D.] 6.(多选题)给出下列命题，其中正确的是 解：如图，设这两个截面圆的 ( A.球面上四个不同的点一定不在同一平面内 半径分别为，r2,球心到截 B.球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 面的距离分别为d1,d2,球的 C.用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线 半径为R,则元r异=5π，π2= 垂直于截面 8元，所以r=5,r号=8，又因为 D.球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 解析：BCD[若四点在同一截面圆上，则这四，点在 R2=r+d=r十d6,所以d 同一平面内，故A错，B对，C对，D对.] -d=8-5=3,即(d1-d2)(d1+d2)=3,又d1 7.在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中AC= d2=1,所以 (d1+d2=3 6,BC=8,AB=10,则球心到经过这三个点的截面 解得4,2， d,-d2=1,{d2=1. 的距离为 所以R=√+d=√5+4=3， 解析：由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的 直角三角形，所以其外接圆的半径，=A,B=5,所以 即球的半径等于3. 2 能力提升 NENG LI TI SHENG d=√R-r=12. 12.已知球O是棱长为1的正方体ABCD 答案：12 8.长方体的长、宽、高分别为5,4,3，其顶点都在球O A,B,C1D,的内切球，则平面ACD,截球O所得 的球面上，则球O的表面积为 的截面面积为 解析：球的直径是长方体的体对角线，所以2R= 解析：由题意知△ACD1是等边三角形，球与三边 √52+4+32=√50，S=4πR2=50元. 的中点都相切，平面ACD,截球O所得的截面即 答案：50π 为△ACD1的内切圆.因为三角形的边长为√2，所 9.(多空题)球面上有三个点，其中任意两点的球面距离 (经过两点的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度)都 以内切圆的半径r }×号×-，所以所求 等于大圆周长的。，经过这三个点的小圆的周长为 截面的面积为π 】 =6 4π，那么这个球的半径为 ,表面积 解析：如图所示，设这三个点是A,B, C,球的半径为R,A,B,C所在的小圆 答案：晋 半径为r,则2πr=4π，即r=2. 13.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与 ,A,B,C三点中任意两点的球面距 底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直 离是大国网长的日 角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P一 ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC ÷∠A0B=∠A0C=∠COB=5 =4,三棱锥P一ABC的四个顶点都在球O的球 .OA=OB=OC=R,..AB=BC=CA=R. 面上，求球O的表面积 ∴，△ABC是半径为2的圆的内接等边三角形. 号×9R=2,R=2原 2 S表=4π×(2√5)2=48元. 答案：2√348元 10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高 解析：将三棱锥P一ABC放入长方体中，如图，三 为4，底面边长为2，求该球的表面积. 棱锥P一ABC的外接球就是长方体的外接球，因 解：如图，设球心为O,半径为r, 为PA=AB=2,AC=4,△ABC为直角三角形， 则Rt△AOF中， 所以BC=√4一2=2√5，设外接球的半径为R, (4-r)2+(2)2=r2, 解得r=9 一该球的表面积为 由题意可得(2R)2=22十22十(2√5)2=20，故R =5,则球O的表面积为4πR2=20π. 4πr2=4π 8 4π 答案：20π ·93·