11.1.5 旋转体-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）的概念、结构特征及表面积计算，课堂导入从生活中的立体图形入手，通过“非多面体如何形成”的问题衔接多面体知识，搭建平面图形旋转到空间几何体的认知支架。 其亮点在于以直观想象为核心，通过旋转过程分析（如直角梯形绕不同轴旋转）和轴截面转化培养空间观念，结合数学抽象（概念定义）与数学运算（如瓷器侧面积计算）。采用情境导学、分层训练，小结通过问题链梳理知识，助力学生构建体系，也为教师提供丰富教学资源。

第十一章　立体几何初步 11.1　空间几何体 11.1.5　旋转体 学习任务 1．通过圆柱、圆锥、圆台、球的概念，掌握它们的基本特征．(直观想象) 2．能够运用圆柱、圆锥、圆台、球的概念，体会图形的基本关系和基本结果．(数学抽象) 3．了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式和计算方法．(数学运算) 11.1.5　旋转体 立体图形与我们的生活息息相关，从土木建筑到家居装潢，从机械设计到商品包装，从航行测绘到零件视图……其中蕴含了丰富的立体图体． 我们已经知道，生活中有些物体抽象出的空间图形为多面体(即由若干个平面多边形围成的空间图形)，但有些物体抽象出的空间图形不是多面体． 必备知识·情境导学探新知 11.1.5　旋转体 仔细观察下面的空间图形，它们可以怎样形成？ 图①　　　图②　 　图③　 　　图④ 上述空间图形都可以看作是由一个平面图形绕某一直线旋转而成的． 例如，图①中的空间图形是由矩形绕其一边旋转一周而成的空间图形． 思考：图②③④中的空间图形分别是由什么平面图形通过旋转一周而成的？在生产和生活中，还有哪些几何体具有类似的生成规律？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 知识点1　圆柱、圆锥、圆台的有关概念 名称 定义 图示 有关概念 圆柱 以__________所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体   轴：旋转轴 高：在轴上的边(或它的长度) 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 圆锥 以__________________所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体   矩形的一边 直角三角形一直角边 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 名称 定义 图示 有关概念 圆台 以________________ ______所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 轴截面：通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面 直角梯形垂直于底 边的腰 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 提醒(1)平行于圆柱、圆锥、圆台底面的截面都是圆； (2)圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形； (3)当底面变化时，圆柱、圆锥、圆台三者之间可以相互转化． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 知识点2　旋转体的侧面积与表面积 (1)类似圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体． (2)旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与______之和称为旋转体的表面积(或全面积)． (3)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 几何体 侧面展开图 表面积公式 圆柱   S圆柱＝2πr(r＋l)， r为________， l为______ 底面积 底面半径 母线长 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 几何体 侧面展开图 表面积公式 圆锥   S圆锥＝πr(r＋l)， r为________， l为______ 圆台   S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)， r′为__________， r为__________， l为______ 提醒S圆柱侧＝2πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l S圆锥侧＝πrl． 底面半径 母线长 上底面半径 下底面半径 母线长 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 知识点3　球 1．球的结构特征 球面及球的定义 球面可以看成一个____绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的______，称为球体，简称球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 半圆 几何体 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 2．球的表面积S＝____(R为球的半径)． 图示及相关概念   球心：形成____的半圆的____ 记法：球用表示它的球心的字母表示，如球O 半径：连接球面上一点和____的线段 直径：连接球面上两点且通过____的线段 大圆与小圆：球面被________的平面截得的圆称为球的大圆，被__________的平面截得的圆称为球的小圆 球面 圆心 球心 球心 经过球心 不经过球心 4πR2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线． (　　) (2)圆台有无数条母线，它们相等，延长后相交于一点． (　　) (3)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥． (　　) (4)圆台的高就是相应母线的长． (　　) × √ × × 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 [提示]　(1)圆柱的母线与轴是平行的． (2)用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分是圆台，由此可知此说法正确． (3)以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才可以是圆锥，故(3)错误． (4)圆台的高是指两个底面之间的距离． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 2．如图所示，已知圆锥SO的母线长为5，底面直径为8，则圆锥SO的高h＝________． 3　[在Rt△OSA中，OA＝4， 所以h＝＝＝3．] 3 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 3．有下列说法： ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球的直径是球面上任意两点间的连线； ③用一个平面截一个球，得到的是一个圆． 其中正确说法的序号是________． ①　[利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，直径必过球心；③不正确，得到的是一个圆面．] ① 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 类型1　旋转体的结构特征 【例1】　已知下列命题，其中正确命题的个数是(　　) ①用平面截圆柱，得到的截面可以是等腰梯形； ②以直角梯形的一腰为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台． A．0 B．1 C．2 D．3 关键能力·合作探究释疑难 √ [思路引导]　依据旋转体及其相关概念逐项判断． 11.1.5　旋转体 C　[对于①：用平面截圆柱得到的截面可能是圆、矩形、等腰梯形； 对于②：以直角梯形的斜腰为轴旋转一周得到的旋转体不是圆台，故错误； 对于③：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故正确； 对于④：用一个平行于底面的平面截一个圆锥得到的是一个圆锥和一个圆台，故错误．] 反思领悟　判断旋转体形状的步骤 (1)明确旋转轴． (2)确定平面图形中各边(通常是线段)与旋转轴的位置关系． (3)依据圆柱、圆锥、圆台、球的定义和一些结论来确定形状． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 [跟进训练] 1．(1)将直角梯形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的几何体可能是(　　) A．棱锥 B．棱台 C．球 D．圆台 (2)给出下列说法：①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；②圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；③夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中正确的是________．(填序号) √ ① 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 (1)D　(2)①　[(1)由旋转体的定义，将直角梯形绕其垂直底边的边所在的直线旋转一周，形成的几何体是圆台．故选D． (2)①正确； ②不正确，圆台的母线延长相交于一点； ③不正确，夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，其他的两截面间的几何体不是旋转体．] 类型2　简单组合体的结构特征 【例2】　如图所示，一直角梯形ABCD，分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的大致形状． [思路引导]　平面图形旋转⇒旋转体的概念及结构特征． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 [解]　以AB为轴旋转可得到一个圆台；以BC为轴旋转可得到一个圆柱和圆锥的组合体；以CD为轴旋转可得到一个圆台，下底挖去一个小圆锥，上底增加一个较大的圆锥；以AD为轴旋转可得一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示． 反思领悟　旋转体的形状判断技巧 (1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的． (2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 [跟进训练] 2．(源自人教A版教材)如图，以▱ABCD的一边AB所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体．画出这个几何体的图形，并说出其中的简单几何体及有关的结构特征． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 [解]　这个几何体的图形如图，下半截是一个圆锥，上半截是一个圆柱挖去一个圆锥的组合体． 类型3　旋转体中的计算 【例3】　一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求圆台的高． [思路引导]　作出圆台的轴截面，是一个等腰梯形． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 [解]　圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)． 由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm． 又由题意知，腰长为12 cm， 所以高AM＝＝3(cm)． [母题探究] (变条件，变结论)将本例中圆台还原为圆锥后，求圆锥的母线长． [解]　如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l， 则由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20 cm． 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 反思领悟　与圆锥有关的截面问题的解决策略 求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解．通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解．巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 [跟进训练] 3．某瓷器如图①所示，该瓷器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个圆台组合而成，其直观图如图②所示，已知圆柱的高为 18 cm，底面直径AB＝12 cm，CD＝20 cm，EF＝14 cm，中间圆台的高为3 cm，下面圆台的高为4 cm，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的侧面积约为(　　) A．375π cm2 B．377π cm2 C．379π cm2 D．381π cm2 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 D　[由题意得，AC＝ ＝＝5(cm)， CE＝＝ ＝5(cm)， 可得该瓷器的侧面积为2π×6×18＋5×(6＋10)π＋5×(7＋10)π＝381π(cm2)．故选D．] 类型4　与球有关的计算问题 【例4】　【链接教材P80例2、P81例3】 (1)已知长方体有公共顶点的三个侧面面积分别为，则它的外接球表面积为________． (2)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S1，外接球的表面积为S2，求． 9π 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 (1)9π　[设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，则由已 知，得解得 所以球的半径R＝＝， 所以S球＝4πR2＝9π．] (2)[解]　作出圆锥及其内切球的轴截面，如图，设底面圆的半径为r，母线长为l，因为圆锥侧面积是底面积的2倍，所以πrl＝2πr2，解得 l＝2r，故∠ADC＝30°，圆锥的轴截面为正三角形． 又∠DCB＝90°，所以＝，所以＝，故＝． 【教材原题·P80例2、P81例3】 例2　把地球看成一个半径为6 370 km的球，已知我国首都北京靠近北纬40°，求北纬40°纬线的长度(π≈3.141 6，cos 40°≈0.766 0，结果精确到1 km)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 [解]　作出截面图，如图11-1-48所示．设A是北纬40°圈上的一点，AK是北纬40°圈的半径，O为球心，所以OK⊥AK．设北纬40°的纬线长为c km，因为∠AOB＝∠OAK＝40°，所以 c＝2π·AK ＝2π·OA·cos ∠OAK ＝2π·OA·cos 40° ≈2×3.141 6×6 370×0.766 0 ≈30 658． 即北纬40°的纬线长约为30 658 km． 例3　已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为3，4，5，求球的表面积． 尝试与发现　(1)你能画出合适的图形来表示上述题目中的关系吗？ (2)如图11-1-49所示是一个长方体，你能在空间中找出一点，使它到长方体的8个顶点的距离都相等吗？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 [解]　由题设可知，长方体的体对角线的中点就是球心，又因为 AC′＝＝＝5， 所以所求球的表面积为 S＝4π＝50π． 反思领悟　解决有关球的问题时的常用性质 (1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直． (2)若分别用R和r表示球的半径和截面圆的半径，用d表示球心到截面的距离，则R2＝r 2＋d 2．球的有关计算问题，常归结为解这个直角三角形问题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 [跟进训练] 4．(1)平面α截球O的球面所得圆的半径为1．球心O到平面α的距离为，则此球的表面积为(　　) A．π B．4π C．3π D．12π (2)已知A，B，C是球O上的三点，AB＝10，AC＝6，BC＝8，球O的半径等于13，则球心O到△ABC所在小圆的距离为________． √ 12 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 (1)D　(2)12　[(1)如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点， 则OO′＝，O′M＝1． 所以OM＝＝． 即球的半径为． 所以此球的表面积为S＝4π×()2＝12π． (2)因为AB＝10，AC＝6，BC＝8， 所以△ABC为直角三角形且AB为点A，B，C所在小圆的直径．所以r＝5． 轴截面图如图所示，所以d2＝R2－r2＝132－52＝122． 所以球心O到△ABC所在小圆的距离为12．] 1．旋转后形成如图所示的几何体的平面图形是(　　) 学习效果·课堂评估夯基础 √ A 　　 B　　 C　 　D A　[观察几何体的轴截面知，A正确．] 11.1.5　旋转体 2．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 B　[设圆锥底面半径为r1，圆锥侧面展开图半圆所在圆的半径为r2． 由条件得，2πr1＝·2πr2，则r2＝2r1＝2，故该圆锥的母线长为2．故选B．] 3．(教材P90习题11-1BT9(1)改编)圆柱OO′的底面直径为4，母线长为6，则该圆柱的侧面积为______，表面积为________． 24π　32π　[由已知得圆柱OO′的底面半径为2，则其侧面积S侧＝2πrl＝2×π×2×6＝24π，表面积S表＝2πr(r＋l)＝2π×2×(2＋6)＝32π．] 24π 32π 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 4．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________． 6a2π　[长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，长方体的体对角线的长就是外接球的直径，所以球的直径为 a，所以球的半径为a，所以球的表面积是4π＝6a2π．] 6a2π 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．圆柱、圆锥和圆台这三类几何体能通过平面图形形成吗？ [提示]　能，这三类几何体都是旋转体，可以分别通过矩形，直角三角形，直角梯形绕一特定轴旋转形成． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 2．将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开，在平面上展开得到它们的侧面展开图分别是什么图形？请画出来． [提示]　将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开，然后在平面上展开，侧面展开图分别是矩形、扇形和扇环，如图所示． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 3．实际生活中，飞机、轮船为什么尽可能以大圆弧为航线航行？ [提示]　因为球面上两点间的最短距离是球面距离，这样走可使行程最短． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是(　　) A．2π B． C．6π D．9π 课时分层作业(十三)　旋转体 51 A　[由题意，母线长l＝2，底面半径r＝1，所以侧面积S＝πrl＝π×2×1＝2π．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．(多选)下列关于球体的说法正确的是(　　) A．球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 B．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体 D．球的对称轴只有1条 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 53 BC　[空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 3．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2，7，则圆台OO′的侧面积是(　　) A．54π B．8π C．4π D．16π √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 55 √ 4．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(　　) A．π B．2π C．3π D．2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径r＝1，高h＝1，故其侧面积为S＝2πrh＝2π×1×1＝2π．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 56 √ 5．白居易在《别毡帐火炉》中写道：“赖有青毡帐，风前自张设．”古代北方游牧民族以毡帐为居室，如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4 m，圆柱的高为3 m，底面圆的直径为6 m，则该毡帐的侧面积(单位m2)是(　　) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A．39π B．32π C．33π D．45π 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 57 C　[圆锥的侧面积为π×＝15π (m2)， 圆柱的侧面积为2×π××3＝18π(m2)，所以毡帐的侧面积为15π＋18π＝33π(m2)．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 二、填空题 6．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l， 由题意得解得r＝， 所以底面积为πr2＝π×＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 59 7．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 100π 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 60 100π　[设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r． 由母线长为10可知10＝＝5r， 所以r＝2． 故圆台的上、下底面半径和高分别为2，8，8． 所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 8．圆柱内有一个内接长方体AC1，长方体的体对角线长是10 cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是100π cm2，则圆柱的底面半径为________ cm，高为________ cm． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 5 10 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 62 5　10　[设圆柱的底面半径为r cm，高为h cm，如图所示，则圆柱的轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长． 由题意得 解得 即圆柱的底面半径为5 cm，高为10 cm．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 63 三、解答题 9．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥SO底面圆的半径是2，轴截面SAB的面积是4． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1)求圆锥SO的母线长； (2)过圆锥SO的两条母线SB，SC作一个截面，求截面SBC面积的最大值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 64 [解]　(1)轴截面SAB的面积为×4×SO＝4，所以SO＝2，所以 圆锥SO的母线长l＝＝4． (2)在轴截面SAB中，SO＝2，SA＝4，所以∠SAB＝，∠ASB＝． 设∠BSC＝θ，则0<θ， 所以S△SBC＝l2sin θ＝8sin θ， 所以当θ＝时，截面SBC面积有最大值，最大值为8． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 65 √ 10．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是(　　) A． B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 66 A　[设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，∴S全＝ 2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)．又S侧＝h2＝4π2r2，∴．故选 A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 √ 11．我国古代数学名著中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐．问葛长几何？”其意思为：圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐．问葛藤最少长多少尺？(注：1丈等于10尺)(　　) A．29尺 B．24尺 C．26尺 D．30尺 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 68 C　[由题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，其一条边(圆木的高)长24尺，与其相邻的边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长＝＝26(尺)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 69 12．已知一个圆柱上、下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为5，圆柱底面直径为4，则圆柱的侧面积为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 12π　[圆柱外接球直径2R＝5，而圆柱底面直径2r＝4， 若圆柱体的高为h，则＋r2＝R2，故h2＝4(R2－r2)＝9，h＝3， 所以圆柱的侧面积为2πrh＝12π．] 12π 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 70 13．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么截面图形可能是图中的________．(填序号) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ①③ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 71 ①③　[在与圆柱底面垂直的截面中，随着截面位置的变化，截面图形也会发生变化．当截面经过圆柱的轴时，所截得的图形是图①．当截面不经过圆柱的轴时，截得的图形是图③．而图②④是不会出现的．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 72 14．已知一个表面积为120 cm2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 73 [解]　如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a，半球的半径为R， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 由6a2＝120，得a2＝20， 在Rt△AOB中，AB＝a，OB＝a， 由勾股定理，得R2＝a2＋＝30． 所以半球的表面积为S＝2πR2＋πR2＝3πR2＝3×30π＝90π(cm2)． 74 15．如图，在Rt△AOB中，∠OAB＝，斜边AB＝4，D是AB的中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且∠BOC＝90°． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 75 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1)求圆锥的表面积； (2)若某动点在圆锥侧面上运动，试求该动点从点C出发运动到点D所经过的最短距离； (3)若一个棱长为a的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求a的最大值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 11.1.5　旋转体 76 [解]　(1)因为∠OAB＝，AB＝4，则OB＝2，圆锥的表面积为S＝π×22＋π×2×4＝12π． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 77 (2)设圆锥展开扇形的圆心角为α，则α×42＝π×2×4，故α＝π，如图所示， ∠CAB＝，CD2＝42＋22－2×2×4×cos ， 故CD＝2． 动点从点C出发运动到点D所经过的最短距离为2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 78 (3)正方体的外接球在圆锥内，与圆锥相切时a最大，球心G在AO上，作GH⊥AB于H， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 设球半径为R，OA＝2， 则△AHG∽△AOB， 所以， 解得R＝， 所以2R＝a，解得a＝，即a的最大值为． 79 $