11.1.3 多面体与棱柱（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 11.1.3 多 课程标准 1.认识和了解多面体，可按不同标准对多面体分类。 2.认识和把握棱柱的几何结构特征，会求棱柱的表面利 课前⊙ [情境引入] 在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着 空间的一部分.如果只考虑这些物体的形状和大 小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来 的空间图形就叫作空间几何体。 [知识梳理] [知识点一]多面体 1.定义：由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多 面体。 2.多面体中涉及的概念（如图所示） 顶点、 D C A 棱 截面 (1)多面体的面、棱与顶点：围成多面体的各个多边形 称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面 体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点 (2)多面体的面对角线与体对角线：一个多面体中，连 接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的 棱，就称其为多面体的面对角线；连接不在同一面 上两个顶点的线段称为多面体的体对角线.如上 图所示的多面体中，AC是一条面对角线，而BD 是一条体对角线。 (3)多面体的截面与表面积：一个几何体和一个平面 相交所得到的平面图形（包含它的内部），称为这 个几何体的一个截面，如上图中多面体的一个截 面ACE. 多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积 (或全面积). 3.凸多面体：把多面体的任意一个面延展为平面，如 果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的 多面体为凸多面体. ·7 面体与棱柱 素养解读 利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱 柱的结构特征，培养学生的数学抽象素养，提升 直观想象素养」 预习学案 对应学生用书P38 [知识点二]棱柱 1.棱柱的定义 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的多面体叫作棱柱 2.棱柱的相关概念 (1)棱柱的底面：棱柱中，两个互 相平行的面叫作棱柱的底 侧面 面，它们是全等的多边形. 侧棱 (2)棱柱的侧面：除底面以外的 顶点 其余各面叫作棱柱的侧面，它们都是平行四边形， (3)棱柱的棱：两个面的公共边叫作棱柱的棱. (4)棱柱的侧棱：相邻侧面的公共边叫作棱柱的侧棱. (5)棱柱的顶点：侧面与底面的公共顶点叫作棱柱的 顶点 (6)棱柱的对角线：棱柱中不在同一平面上的两个顶 点的连线叫作棱柱的对角线. (?)棱柱的对角面：过不相邻的两条侧棱的截面叫作 棱柱的对角面 3.棱柱的表示方法：棱柱可以用底面上的顶点来表 示，也可用表示它的体对角线来表示，如上图所示 的棱柱可表示为棱柱ABCDEF一A'B'C'D'E'F', 此棱柱也可表示为棱柱AC 4.棱柱的高与侧面积：过棱柱一个底面上的任意一个 顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的 长度)称为棱柱的高，棱柱所有侧面的面积之和称 为棱柱的侧面积. 5.棱柱的分类： 〔按侧棱与（直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 棱柱{底面关系（斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 按底面的形状：三棱柱、四棱柱、五棱柱等 特别地，底面是正多边形的棱柱称为正棱柱. 6.平行六面体与直平行六面体：底面是平行四边形的 棱柱也称为平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六 面体称为直平行六面体. ?思考按照特殊四棱柱的定义，四棱柱、平行六面 体、长方体、直平行六面体、正四棱柱、正方体所构 成的集合有怎样的关系？ [提示]{正方体}二{正四棱柱}二{长方体}□ {直平行六面体}二（平行六面体}二《四棱柱. [预习自测] 1.（多选题)棱柱的侧面都是 A.三角形 B.四边形 C.平行四边形 D.矩形 解析：BC[由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是 四边形，且都是平行四边形.门 课堂。 题型一对多面体概念的理解和应用 [例1]根据下列关于空间几何体的描述，说出几何 体的名称： (1)由6个平行四边形围成的几何体； (2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个 面都是有一个公共顶点的三角形； (3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相 似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的 腰延长后能相交于一点. 汇思路点拨]根据多面体的概念求解 [解](1)是一个上、下底面为平行四边形，四个侧 面也是平行四边形的四棱柱（也称平行六面体）. (2)是一个六棱锥，其中六边形是底面，其余的三角 形面是侧面 (3)是一个三棱台，其中相似的两个三角形面为底 面，其余三个梯形面是侧面 规律方法 紧扣多面体的定义，以形状，侧面及它们的位置关 系判断. ◇[变式训练] 1.如图所示为长方体ABCD一A'BC'D',当用平面 BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的 多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果 是，指出底面及侧棱 ·7 第十一章立体几何初步 2.下列关于棱柱的说法中正确的是 A.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不 是平行四边形 B.棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高 C.棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 D.棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行 解析：D[棱柱底面是平行四边形时为平行六面 体，故A错；当侧棱与底面垂直时，侧棱长可以作 为棱柱的高，故B错；长方体有3对互相平行的平 面，故C错.] 3.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为 60cm,则每条侧棱长为 cm. 解析：由已知，该棱柱为5棱柱，所以每条侧棱长为 60÷5=12(cm). 答案：12 互动学案 对应学生用书P39 解：截面BCFE上方部分是棱柱BB'E一CC'F,其 中平面BB'E和平面CCF是其底面，BC,BC', EF是其侧棱.截面BCFE下方部分是棱柱 ABEA'-DCFD',其中平面ABEA'和DCFD'是 其底面，AD,BC,EF,A'D'是其侧棱 题型二 棱柱的结构特征 [例2]（多选题）下列关于棱柱的说法正确的是 A.所有的面都是平行四边形 B.每一个面都不会是三角形 C.两底面平行，并且各侧棱也平行 D.被平面截成的两部分可以都是棱柱 汇思路点拨]概念辨析题常用方法：①利用常见 几何体举反例；②从底面多边形的形状、侧面形状 及它们之间的位置关系，侧棱与底面的位置关系 等角度紧扣定义判断. 「解析门A错误，棱柱的底面不一定是平行四边 形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由 棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面 的平面截成两个棱柱，所以说法正确的是C,D. [答案]CD 数学B版·必修第四册 规律方法 棱柱结构的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是 棱柱的定义 ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平 行的面，其余各面都是四边形 ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是 否平行. (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物 模型、图片等不吻合，给予排除 ◇[变式训练] 2.(多选题)下列关于棱柱的说法正确的是( A.所有的棱柱两个底面都平行 B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每 相邻面的公共边互相平行 C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的 几何体一定是棱柱 D.棱柱至少有五个面 解析：ABD[对于A、B、D,显然 是正确的；对于C,棱柱的定义是 这样的；有两个面互相平行，且该 多面体的顶点都在这两个面上， 其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱 柱，显然题中漏掉了“且该多面体的顶，点都在这两 个面上”这一条件，因此所围成的几何体不一定是 棱柱，如图所示的几何体就不是棱柱，所以C 错误.门 题型三 直棱柱的有关计算 [例3]现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对 角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、 表面积. 汇思路点拨]直棱柱侧面积S为各侧面矩形面 积之和，S表=S相一2S:; [解]如图，设底面对角线 D C, AC=a,BD=b,交，点为O, B 体对角线A1C=15,B1D=9, D .a2+52=152,b2+52=92, ∴.a2=200,b2=56. :该直回棱柱的底面是菱形，“AB=(C)十 BD2=a2+B_200+56=64,AB=8..直四 ( 4 4 棱柱的侧面积S侧=4×8×5=160. ·7 S表=S%十SAnCD+S4,BCB=160十2X7BD·AC =160+40√7. 规律方法 棱柱侧面积、表面积求法技巧 多面体的侧面积是所有侧面的面积之和，表面积 是各个面的面积之和，计算面积时，需要将几何体 展开为平面图形求解。 ◇[变式训练] 3.(1)已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5， 菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧 面积是 ) A.30√34 B.60√34 C.30/34+135 D.135 (2)一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩 形的长和宽分别为6cm,4cm,则该棱柱的侧面积 为 cm2. 解析：(1)由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形 的边长为侣)十()-，则这个直挂 的侧面积为4X334×5=30√/34 2 (2)由题意知棱柱的侧面积 Ss=3×6×4=72(cm2). 0 A B 答案：(1)A(2)72 题型四侧面展开计算表面最短距离 [例4]如图，在所有棱长均为1的直三 棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着 三棱柱的侧面爬行一周到达点A',求爬 行的最小距离. 汇思路点拨]几何体表面距离最短问题，常通过 展开侧面转化为计算平面内两点间的距离. [解]将三棱柱沿AA'展开，如图所示 A R C'D'(4) B C D(A) 则线段AD'的长即为最小距离，最小距离为AD= √AA2+AD=√+3=√10. 规律方法 求几何体表面上两点间的最小距离 (1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展 开图. (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题。 (3)结合已知条件求得结果. ◇[变式训练] 4.长方体AC1的长、宽、高分别为3,2,1，从A到C 沿长方体的表面的最短距离为 随堂。 1.下面没有体对角线的一种几何体是 A.三棱柱 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 解析：A[三棱柱只有面对角线，没有体对角线.门 2.设集合M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四 棱柱}，Q=〈正方体}，这些集合间的关系是( ) A.Q2N2M三P B.Q口M2N2P C.P2M2N2Q D.P2N M2Q 解析：D[正方体是侧棱长等于底面边长的正四 棱柱，正四棱柱的上、下两个底面都是正方形，其余 各面都是矩形，因此正四棱柱一定是长方体，长方 体的侧棱和上、下两底面垂直，因此长方体一定是 直四棱柱，故P口N口M口Q.] 3.在如图所示的7个几何体中，有 个是 棱柱 ④ ⑤ ⑦ 解析：①③⑤是棱柱， 答案：3 4.在棱长为a的正方体ABCD一AB,C,D1中，M, N,P分别是正方形ABCD、正方形BB,C,C和正 方形ABB,A,的中心，则用过点M,N,P的平面截 正方体所得的截面面积为 ·7 第十一章立体几何初步 解析：结合长方体的三种展开图，如图，不难求得 AC1的长分别是√2+4=√20，√3+3=√18= 3√2√52十1=√26，显然最小值为3√2 3 ☑ ① ② 答案：3√2 步步夯实 对应学生用书P40 解析：依题意，M,N,P分别是正 0 方形ABCD、正方形BB,C,C和 正方形ABB1A1的中心，即M, 0 N,P分别为AC,B,C,AB1的中 点，所以用过，点M、N、P的平面 截正方体所得的截面为△AB,C,如图所示，因为正 方体的棱长为a,所以△AB1C的边长为√2a,所以 △ABC的面积S-9a)=。】 2a 等案9 5.在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将 容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中. (1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成 不是矩形的平行四边形，对吗？ (2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为 棱台或棱锥，对吗？ (3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着 其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对 不对？ 解：(1)不对；水面的形状是矩形，不可能是其他非 矩形的平行四边形. (2)不对；此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱， 水多时，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱台 和棱锥 (3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以 是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形 状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形 状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台 数学B版·必修第四册 ●- 课后 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.棱柱的侧面都是 A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.矩形 解析：B[由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四 边形.] 2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点 A.四条侧棱、四个顶点 B.八条侧棱、四个顶点 C.四条侧棱、八个顶点 D.六条侧棱、八个顶点 解析：C[四棱柱有四条侧棱、八个顶点（可以结合 正方体观察求得).] 3.一个长方体的表面积为11，所有棱的长度之和为 24,则长方体的一条对角线长为 A.5 B.√14 C.3√3 D.4 解析：A[设从一个顶点引的三条棱长分别为a, b,c,则由2(ab+bc十ac)=11,且4(a+b+c)=24, 得a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=25, ∴.对角线长l=√a2十b十c2=5.] 4.正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积是 A.48(3+√5) B.48(3+2√3) C.28 D.20+8√2 解析：A[底面正六边形面积为S,=6X5×4 24√5，侧面为矩形，侧面面积为S2=6×4×6= 144,所以S表=144+243×2=48(3+√3).] 5.(多选题)下列说法错误的是 ) A.斜棱柱的侧棱垂直于底面 B.正棱柱的高可以与侧棱不相等 C.六个面都是矩形的六面体是长方体 D.底面是正多边形的棱柱为正棱柱 解析：ABD[斜棱柱的侧棱与底面不垂直，正棱柱 是底面为正多边形的直棱柱，侧棱即为正棱柱的 高，故A、B、D都错.] ·7 素养提升 对应学生课时P17 6.下面的几何体中是棱柱的有 ③ ③ ④ ⑤ ⑥ A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 解析：C[①②③④⑤是棱柱.] 7.如图所示，一个正方体去掉一个“角”后减少了一个 顶点，这个几何图形是 (填序号). (1) (2) (3) (4) 解析：解析：原正方体有8个顶点，(1)有10个顶 点，(2)有9个顶点，(3)有7个顶点，(4)有8个 顶点. 答案：(3) 8.如图，M是棱长为2cm的正方体ABCD一 AB,C,D1的棱CC,的中点，沿正方体表面从点A 到点M的最短路程是 cm. D C B M D C 解析：由题意，若以BC为轴展开，则A,M两点边 成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分 别为2cm,3cm,故两，点之间的距离是√I3cm.若 以BB,为轴展开，则A,M两点连成的线段所在的 直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点 之间的距离是√I7cm.故沿正方体表面从，点A到 ,点M的最短路程是√I3cm. 答案√13 9.五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两 顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角 线的条数共有 条. 解析：共有4×5=20条对角线. 答案：20 10.如图所示，长方体ABCD -A B CD. (1)这个长方体是棱柱吗？如果 是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCVM把这个长方体分成两部分，各 部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱 柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对 的两个面是互相平行的四边形（作底面），且各顶 点都在这两个面上，其余各面都是矩形（作侧 面)，符合棱柱的定义 (2)截面BCVM的上方部分是三棱柱BB,M CC,V,下方部分是四棱柱ABMA1一DCND1. 11.正四面体（由四个全等正三角形 围成的空间封闭图形，所有棱长 B 都相等)的棱长为4cm,如图. (1)写出正四面体的顶点数、 棱数； (2)写出AB所在直线与△ACD所在平面的位置 关系，用符号表示，并判断AB与CD所在直线的 位置关系； (3)求这个正四面体的表面积， 解：（1)正四面体有4个顶点，6条棱. (2)直线AB与△ACD所在平面有一个交点，即 相交，表示为AB∩平面ACD=A. AB与CD所在直线既不平行也不相交，是异面 直线； (3)正四面体每个面都是边长为4cm的正三角 形，海个面的面积为5。=子×4X4×5=45, 2 所以表面积S=4×4√3=16√3(cm2). 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为 正方体的“截面图形”.在棱长为1的正方体 ABCD-AB1C1D,中，E为AB的中点，F为CC 的中点，过D1,E,F三点的截面图形的周长为 ·75 第十一章立体几何初步 A.25+2E+95 Bz15+4B+95 Cb(25+2+6 n215+4+6 解析：A[如图所示，正方体的 截面图形为五边形EGFD,H.A 由△AEH与△C,D1F相似得 AH=子，所以A,H=是，由 △A,D,H与△CGF相似得CG 号，所以BG=子由勾股定星得G= ++) ,rD侣)+1=号，D,H√+ =,HE√)+合)-气，所以藏西图形 的周长为2(25+2V丽+95).故选A] 13.如图所示，在正三棱柱ABC-A1 A1B1C1中，AB=2,AA1=2. B 条细线由顶点B出发沿棱柱侧面 (经过棱AA1)到达顶点C1,与 AA1的交点记为M.求： (1)三棱柱侧面展开图的对角线长； (2)从B经M到C,的最短路线长及此时4M AM 的值. 解：沿侧棱BB1,将正三棱柱的侧面展开，得到一 个矩形BBB'1B(如图). Bi A M (1)矩形BB1B'1B的长BB'=6,宽BB1=2, 所以展开图的对角线长为√6+2=2√10. (2)由侧面展开图知，当B,M,C1三，点共线时，由 点B经过点M到，点C1的路程最短，即BM十 MC1≥BC1, 所以最短路线长为BC1=√4+2=2√5， 北时温线有△A2△AGM,-1.