11.1.2 构成空间几何体的基本元素（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十一章立体几何初步 11.1.2 构成空间几何体的基本元素 课程标准 素养解读 1.以长方体为载体，认识构成几何体的基本元素，认识和理 以长方体为载体，认识和理解点、直线、平面的 解空间点、直线、平面的位置关系 位置关系，培养学生的数学抽象素养，提升直观 2.用数学符号表示点、直线、平面的位置关系 想象素养 课前。预习学案 对应学生用书P35 [知识梳理] [知识点一]空间中的点、线、面 1,m相交于A l∩m=A 1.构成空间几何体的基本元素：点、线、面是构成空间 几何体的基本元素. 2.直线在平面内的概念：如果直线1上的所有点都在 平面a内，就说直线I在平面a内，或者说平面a经 l,a相交于A l∩a=A 过直线. 3.常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系 文字语言 符号语言 图形语言 a,3相交于l a∩3=l B A在1上 A∈I A [知识点二] 空间中直线与直线的位置关系 -I 空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 A在1外 A年I ·A 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，无公共点 异面直线 既不平行也不相交，无公共点 A在a内 A∈a [知识点三]空间中直线与平面、平面与平面的位置 关系 A在a外 A庄a 1.直线与平面的位置关系 直线在平面外 位置关系 直线在平面内 直线与 直线与 l在a内 ICa 平面相交 平面平行 公共点 无数个 1个 0个 符号表示 aCa a∩a=A a∥a 1在a外 ICa 图形表示 65· 数学B版·必修第四册 2.两个平面的位置关系 3.直线到平面的距离与两平行平面之间的距离 位置关系 平行 相交 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距 离称为这条直线到这个平面的距离；当平面与平面 平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离 图示 a 称为两平行平面之间的距离. 2思考2.如果直线1⊥平面a,A是垂足，过A点在 表示法 a∥3 a∩3=a 平面a内有多少直线与l垂直？ 公共点 0个 提示：由直线l与平面a垂直的定义知，过A点在 无数个 个数 平面a内的任意一条直线都与l垂直. ?思考1.空间中直线与平面有怎样的位置关系？ [预习自测] 1.下列图形中不一定是平面图形的是 如何分类？ A.三角形 B.平行四边形 提示：直线与平面按交点个数可分为直线在平面 C.梯形 D.四边相等的四边形 内(lCa)与直线在平面外(l中a)两种位置关系，其 解析：D[三角形、平行四边形、梯形都是平面图 中直线在平面外，又包括直线与平面相交和直线 形，只有四边相等的四边形可能不是平面图形.] 与平面平行两种位置关系. 2.已知直线mC平面a,P庄m,Q∈m,则 [知识点四]直线与平面垂直 A.Pta,Q∈a B.P∈a,Qta 1定义：一般地，如果直线1与平面a相交于一点A, C.PEa,Qa D.Q∈a 且对平面a内任意一条过点A的直线m,都有l⊥ 解析：D[由点、线、面之间的位置关系可判断P m,则称直线L与平面a垂直（或l是平面a的一条 与a关系不确定，Q∈a.] 垂线，a是直线I的一个垂面)，记作l⊥a,其中点A 3.设平面a与平面3相交于l,直线aCa,直线bCB, 称为垂足。 a∩b=M,则M 1. 2.点到平面的距离由长方体可以看出，给定空间中一 解析：如图，M∈a,M∈3，.M∈l. 个平面α及一个点A,过A可以作而且只可以作平 B 面a的一条垂线.如果记垂足为B,则称B为A在 平面a内的射影（也称为投影），线段AB为平面a 答案：∈ 的垂线段，AB的长为点A到平面a的距离， 课堂。互动学亲 对应学生用书P36 题型一 构成几何体的基本元素 [解析](1)四棱锥有5个面. [例1](1)如图所示的棱锥有 (2)球只有一个曲面，故A错误，B正确，C正确，由 个面 于几何体是空间图形，故一定有面，D错误 A.3 B.4 [答案](1)C(2)BC C.5 D.6 规律方法 (2)(多选题)下列说法正确的是 组成几何体的是面，面与面相交得到线，即棱；线 ( 与线相交得到点，即几何体的顶点 A.任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 ◇[变式训练] B.一个几何体可以没有顶点 1.试指出下列各几何体的基本元素（如图）. C.一个几何体可以没有棱 D.一个几何体可以没有面 [思路点拔]点、线、面是构成空间几何体的基本 2 4 元素. ·66· 第十一章立体几何初步 解：①中几何体有6个顶，点，12条棱和8个三角 (3)与直线AD垂直的平面，并用合适的符号表示. 形面； (4)与平面BCC,B,平行的平面，并用合适的符号 ②中几何体有12个顶点，18条棱和8个面； 表示 ③中几何体有6个顶点，10条棱和6个面； 解：(1)与AD平行的直线有BC,AD1,BC1,与 ④中几何体有2条曲线，3个面(2个圆面和1个曲 AD异面的直线有：AB1,C,D1,BB1,CC1 面). (2)直线AD∥平面BCC,B,,直线AD∥平 题型二几何体中点、线、面的位置关系 面A1B1C1D1. [例2]如图所示，在长方体 D' (3)直线AD⊥平面ABB1A1,直线AD⊥平 ABCD一A'B'C'D'中，如果把 A 面CDDC. 它的12条棱延伸为直线，6个 (4)平面ADD1A1∥平面BCC1B1. 面延展为平面，那么在这12条 题型三 空间的距离 直线与6个平面中： [例3]线段AB长为5cm,在水平面上向右移动 (1)与直线B'C'平行的平面有哪几个？ 4cm后记为CD,将CD沿铅垂线方向向下移动 (2)与直线BC垂直的平面有哪几个？ 3cm后记为CD',再将CD'沿水平方向向左移动 (3)与平面BC平行的平面有哪几个？ 4cm后记为A'B',依次连接构成长方体ABCD (4)与平面BC垂直的平面有哪几个？ A'B'C'D」 (5)点A'到平面ABCD的距离可以用哪些线段 (1)该长方体的高为 表示？ (2)平面A'B'BA与平面CDD'C'间的距离为 (6)线段AA'到平面B'BCC'的距离可以用哪些线 段表示？ (3)点A到平面BCC'B'的距离为 (7)平面AC与平面A'C'间的距离可以用哪些线段 [思路点拔了先找到表示距离的垂线段，然后求 来表示？ 解 (8)线段BD'在平面ABCD内的投影用哪个线段 [解析]如图，在长方体ABCD 表示？ -A'B'C'D'中，AB=5cm,BC [思路点拨]根据点、线、面之间的关系正确判 =4cm,CC=3cm,.长方体 断. 的高为3cm;平面A'B'BA与 [解](1)有平面ADD'A'与平面ABCD. 平面CDD'C'之间的距离为4cm;,点A到平面 (2)有平面ABB'A',平面CDDC' BCC'B'的距离为5cm. (3)有平面ADDA' [答案](1)3cm(2)4cm (3)5cm (4)有平面ABB'A',平面CDD'C',平面A'B'C'D 规律方法 与平面ABCD: 求距离首先要找垂线，即找出平面的垂线，结合长 (5)线段AA',BB,CC,DD' 方体中点、线、面关系即可求 (6)线段AB,A'B',D'C',DC ⊙[变式训练] (7)可用线段AA',BB,CC,DD'来表示. 3.如图所示，在长方体A'B'C'D D (8)线段BD. -ABCD中，AB=3cm,BC= A 规律方法 2 cm,BB'=1 cm, (1)解决此类问题的关键在于识图，根据图形识别 求：(1)点A'到平面B'BCC'的 直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、 距离； 垂直 (2)直线A'D'与平面ABCD的距离； (2)长方体和正方体是立体几何中的重要几何体， (3)平面ABBA'与平面CDD'C的距离. 加深对其认识有助于进一步认识立体几何中 解：(1)点A'到平面BBCC的距离为A'B'=3cm. 的点、线、面的基本关系。 (2)直线A'D'与平面ABCD的距离为AA'= ◇[变式训练] 1 cm. 2.在正方体ABCD一A1B,CD1中，写出所有： (3)平面ABBA'与平面CDDC'的距离为AD= (1)与直线AD平行的直线，与AD异面的直线. 2 cm. (2)与直线AD平行的平面，并用合适的符号表示， ·67· 数学B版·必修第四册 随堂。步步夯实 对应学生用书P37 1.下列关于直线（与平面α的符号表示不正确的是 解析：直线BC与平面A1B,CD1平行. 答案：BC∥平面A,B,C,D A.ICa B.l∥a 4.在如图所示的长方体ABCD一 C.l∈a D.l∩a=A A'B'C'D'中，互相平行的平面 A 解析：C[直线l在平面a内表示为lCa,点A在 平面a内，应为A∈a.] 共有 对，与A'A垂直 2.下列说法正确的是 ( 的平面是 A.在空间中，一个点运动成直线 解析：平面ABCD与平面A'B'CD'平行，平面 B.在空间中，直线平行移动形成平面 ABB'A'与平面CDD'C平行，平面ADD'A'与平面 C.在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形 成平面或锥面 BCCB平行，共3对，与AA'垂直的平面是平面 D.在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长 ABCD,平面A'B'CD'. 方体 答案：3平面ABCD,平面A'B'C'D 解析：C[一个，点运动也可以成曲线，故A错；在 5.用符号表示下列点、线、面的关系. 空间中，直线平行移动可以形成平面或曲面，故B (1)点A不在平面a内. 错；在空间中，矩形上各点沿铅垂线向上（或向下） 移动相同距离所形成的几何体是长方体，故D错.] (2)直线L与直线m相交于点A. 3.在长方体ABCD一A,B,C,D,中，直线BC与平面 (3)直线l与平面a相交于点P. A,B,C,D,的位置关系用符号表示为 解：(1)A庄a(2)l∩m=A(3)l∩a=P 对应学生课时P15 ● 课后。素养提升 基础过关 4.在长方体ABCD-A,B,C,D,的六个面中，与平面 JI CHU GUO GUAN AA,D,D平行的面有 1.正方体ABCD-A1BC,D1中，棱长为2cm,则点 A.1个 B.2个 A与点C1的距离为 ( ) C.3个 D.4个 A.2√2 B.25 解析：A[只有平面BB,C,C与平面AA,D1D C.2 D.23 平行.] 解析：D[连接AC(图略)，则AC=2√2.又CC1⊥ 5.(多选题)下列关于长方体的叙述中，正确的是 平面ABCD,.AC=AC2+CC=12,.AC1= 25.] A.将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一 2.在长方体ABCD一A,B,C,D1中，与棱A1B,异面 个长方体 的棱有 条 B.长方体中相对的面都互相平行 A.4 B.3 C.长方体中的任意两条棱要么相交，要么平行 C.2 D.1 D.两平行平面之间的棱互相平行且相等 解析：A[与A1B1异面的是AD,DD1,BC,CC1,4 解析：ABD[长方体中的任意两条棱也可能 条棱.] 异面.] 3.若直线1在平面α内，则符号表示正确的是( 6.(多选题)在正方体ABCD一A1B1C1D1中，下列说 A.ICa B.l∥a 法正确的是 C.l∈a D.l∩a=A A.AD1∥平面BCC,B, 解析：A[直线l在平面a内表示为lCa.] B.AC与BC,相交 ·68· 第十一章立体几何初步 C.点A1,D,到平面BCC,B,的距离相等 能力提升 NENG LI TI SHENG D.与AB平行的面只有一个，与AB垂直的面有 12.如图，往透明塑料制成的长 两个 方体ABCD-A1B,C,D,容 解析：AC[B中AC与BC1不相交也不平行，D 器内灌进一些水，将容器底 中与AB平行的平面有两个.] 面一边BC固定于地面上， 7.在长方体ABCD-A1B1C,D1中，直线AD与平面 再将容器倾斜，随着倾斜度 A,B,C,D,的位置关系用符号表示为 的不同，有下列三个说法： 解析：直线AD与平面A,B,C,D,平行 ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变；③当E在AA,上时，AE+BF是 答案：AD∥平面A1B,CD, 定值 8.如图所示，在长方体ABCD D C 其中，正确的说法是 AB,CD,中，和棱A,B1不相A A.①② B.① 交的棱有 条 D C.①②③ D.①③ 解析：不相交包括与AB1平行 解析：D[显然水的部分呈棱柱状，故①正确；易 的棱，有3条，与AB1异面的棱，有4条. 知四边形EFGH是矩形，且EH保持不变，随着 答案：7 倾斜度的不同，EF长度也变化，所以四边形EFGH 9.(多空题)若点P在直线a上，点P不在平面a内， 面积也变化，故②不正确；由于水的体积不变，四 则直线a与平面a的位置关系是 ,用符号 棱柱ABFE-DCGH的高不变，所以梯形ABFE 的面积不变，所以AE十BF是定值，故③正确，所 表示为 以四个命题中①③正确，故选D.] 答案：平行或相交a中a 13.如图所示是长方体的表面展示图，在这个长方 10.如图所示，在长方体A'BC'D 体中： ABCD中，AB=4cm,BC=2cm,A BB'=1 cm, D 求(1)点B到平面AA'D'D的 距离； (2)直线A'B'与平面ABCD的距离； (3)平面ABCD与平面A'B'C'D'的距离. 解：(1)，点B到平面AA'D'D的距离为A'B′= (1)直线DM与平面ABQP的位置关系是怎 4 cm. 样的？ (2)直线A'B'与平面ABCD的距离为AA'= (2)平面DCMN与平面ERFG的位置关系是怎 1 cm. 样的？ (3)平面ABCD与平面A'B'C'D'的距离为AA' (3)线段BC的长度是点C到平面APQB的距 =1cm. 离吗？ 11.在正方体ABCD-AB,C,D1中. 解：根据展开图，折叠得到几何体模型，如图所示 N(F) M(G) (1)写出与平面ABCD平行的平面，并用合适的 符号表示： P(R (2)写出平面BCC,B,与平面CDD,C1的位置关 系，并用合适的符号表示 (1)直线DM∥平面ABQP 解：(1)平面AB,C1D1∥平面ABCD. (2)平面DCMN与平面ERFG相交于MN(FG). (3)线段BC的长度是点C到平面APQB的 (2)平面BCC,B,与平面CDD,C,相交，即平面 距离 BCC1B∩平面CDDC,=直线CC. ·69·