11.1.1 空间几何体与斜二测画法（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十一章立体几何初步 第十一章 立体几何初步 11.1空间几何体 11.1.1空间几何体与斜二测画法 课程标准 素养解读 1.了解斜二测画法的概念. 通过画平面图形和空间图形的直观图， 2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图. 重点培养学生数学抽象素养及提升直观 3.通过观察直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式间 想象素养. 的联系。 课前。预习学案 对应学生用书P32 [情境引入] ?思考1.斜二测画法中的“斜”和“二测”分别指 随处可见的建筑、公路、桥梁、工业生产中处处都有 什么？ 空间几何体. [提示]“斜”是指斜投影，具体说是在已知图形 的xOy平面内垂直于x轴的线段在直观图中均 与x'轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式， 即在直观图中，平行于x轴或平行于之'轴的线段 问题 你能用什么方法画出这些几何体的直观图？ 长度不变；平行于y轴的线段长度变为原来的 一半 提示由斜二测画法画出空间图形的直观图 2.相等的角的直观图一定相等吗？请举例说明. [知识梳理] [提示]不一定.如图，正方形ABCD的直观图 [知识点一]空间几何体 为平行四边形A'B'C'D',∠A=∠C,∠A'=∠C', 如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不 同样∠A=∠B,但∠A'≠∠B'. 考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个 几何体. [知识点二]斜二测画法画水平放置的平面图形的 直观图 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的 知识点三]斜二测画法画空间几何体的直观图 步骤 用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 (1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两 (1)在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂 轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x 直的轴Ox和Oy,再作Oz轴，使∠xOy=90°， 轴与y'轴，两轴交于点O,且使∠x'O'y'=45°（或 ∠yOz=90°； 135°)，它们确定的平面表示水平面； (2)画出与Oz,Oy,Ok对应的轴0x',0y',0x',使 (2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直 ∠x'Oy=45°，∠y'Ox=90°，x'Oy'所确定的平 观图中分别画成平行于x√轴或y轴的线段； 面表示水平平面； (3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图 (3)已知图形中，平行于x轴、y轴和之轴的线段，在 中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原 直观图中分别画成平行于x轴、y轴和z'轴的线 来的一半。 段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知 图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同： ·59· 数学B版·必修第四册 (4)已知图形中平行于x轴和之轴的线段，在直观图中保 持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半； (5)擦除辅助线，遮挡部分用虚线表示，就得到了几何 B' 体的直观图. 2思考3，空间几何体的直观图一定唯一吗？ 解析：因为A'B'∥y轴，BC∥x'轴，所以∠A'B'C'= [提示]不一定唯一.作直观图时，由于选轴不 45°，所以在△ABC中∠ABC=90°，故△ABC为直 角三角形 同，所画直观图就不一定相同. 答案：直角 4.直观图与三视图的联系与区别有哪些？ 4.用斜二测画法画出的水平放置的一角为60°，边长 [提示]三视图和直观图都是呈现空间几何体的 是4的菱形的直观图的面积是 一种方法.三视图从细节上刻画了空间几何体的 结构.根据三视图，我们就可以得到一个精确的空 解析菱形的面积为2X×4=85,所以其直观 间几何体，正是因为三视图的这个特点，使它在生 产活动中得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸等都 图的面积为X85=26 4 是三视图).直观图是对空间几何体的整体刻画， 答案：2√6 人们可以根据直观图的结构想象实物的形象 5.已知等边△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为 [预习自测] 6,则等边△ABC的面积是多少2 1.在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在斜二 测直观图中对应的两条线段 ( ) 解：按照斜二测画法的规则，把如图(1)等边△ABC A.平行且相等 B.平行不相等 的平面直观图△A'B'C'还原为如图(2)等 C.相等不平行 D.既不平行也不相等 边△ABC. 答案：A 2.利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观 图，正确的是 ( ) (2) 1.5 设AB=,则BC=1,等边△ABC的高为 22, A B C D 解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的 所以△A'B'C'的高为巨×5，-5 4 2- 8之， 边长之比为2：1. 答案：C 所以△ABC的面积为子XXx6 16 3.如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图， 解得x=1, A'B'∥y'轴，BC'∥x轴，则△ABC是 三 角形 所以△ABC的西积为×X夏-里- 4 41 课堂。互动学案 对应学生用书P33 题型一 画平面图形的直观图 轴，过O与y轴垂直的直线为x轴.分别过点B,E [例1]用斜二测画法画出如图所示的正五边形的 作BG∥Oy、EH∥Oy,与x轴分别交于G,H.画对 直观图. 应的O'x',Oy',使∠x'O'y'=45. (2)以点O为中点，在x'轴上取G'H'=GH,分别 过G,H在x'轴的上方作GB'∥Oy',HE∥Oy',并 使GB'=2GB,HE=2HE;在y轴上，d轴的 汇思路点拨]先在原图中建系，再画轴、画线、取 上方，取OA'=OA,在x'轴的下方，取OF' 长度，最后成图 [解]画法：(1)在已知的正五边形ABCDE中，取 0n,并以点F为中点画CD'∥0，且CD 正五边形的中心O为坐标原，点，对称轴FA为y =CD ·60· 第十一章立体几何初步 (3)连接A'B,B'C',DE',EA',所得的五边形 (4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六 A'B'C'D'E'就是正五边形ABCDE的直观图 棱锥的直观图，如图④所示 B' E > H' GOx' C'D' 0 F D' G ① 2 规律方法 画水平放置的平面图形的直观图的技巧： (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适 当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽 可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点. (2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐 规律方法 标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但 1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画 是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐 出水平放置的平面图形，再画之轴，并确定竖直 标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作 方向上的相关的点，最后连点成图便可， 与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平 2.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不交.” 行的线段上来确定 ◇[变式训练] (3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直 2.画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为 观图可能不同· 3的四棱锥的直观图。 ◇[变式训练] 解：画法：(1)画轴. 1.用斜二测画法画边长为4cm的水平 放置的正三角形（如图）的直观图. 解：(1)如图①所示，以BC边所在的 直线为轴；以BC边上的高线AOB (2) 所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系」 画x轴、y轴、x轴，∠Oy=45°（或135°），∠2O2= 90°，如图(1). (2)画底面.以O为中心在xOy平面内，画出边长 为2的正方形水平放置的直观图ABCD. 2 (3)画顶，点，在之轴上截取OP,使OP=3. (2)画对应的x轴，y轴，使∠xO'y′=45. (4)成图，顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助 在x'轴上截取O'B'=OC'=2cm,在y'轴上截取 线，被面遮挡住的线段AD,PD,CD改成虚线，得 0A'-0A,连接AB,AC,则三商形ABC即 四棱锥的直观图如图(2). 题型三 直观图的还原与计算 为正三角形ABC的直观图，如图②所示」 [例3](1)如图，一个平面图形的斜 题型二空间几何体的直观園 二测画法的直观图是一个边长为a [例2]有一个正六棱锥（底面为正六边形，侧面为 的正方形，则原平面图形的面积为 0 全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3cm,高 为3cm,画出这个正六棱锥的直观图. A. [思路点拨]首先认清几何体的形状大小，然后 B.2√2a2 按斜二测画法的规则及步骤作出直观图即可 C.a2 D.2a2 [解]画法：(1)先画出边长为3cm的正六边形的 (2)已知边长为1的菱形ABCD中，A=等，则用斜 水平放置的直观图，如图①所示； (2)过正六边形的中心O建立之轴，画出正六棱锥的 二测画法画出这个菱形的直观图的面积为( 顶点V,在之√轴上截取OV=3cm,如图②所示； A号 n零 (3)连接V'A'、VB'、VC'、V'D'、VE'、V'F',如图 ③所示； 汇思路点拨]逆用斜二测画法还原. ·61· 数学B版·必修第四册 [解析](1)由直观图还原出原图，如 (2)对手相邻两边不与2，y轴平行的顶点可通 图，所以S=a·2√2a=2√2a2. 过作x'轴、y'轴的平行线，变换确定其在xOy中 22a 的位置. (2)菱形ABCD中，AB=1,A=于，则 若平面图形的面积为S,用斜二测画法得到的直 菱形的面积为S黄形ABCD=2S△ABD= 观图面积为S,则S= 2X号X1X1×n营答，所以网针 ◇[变式训练] 二测画法画出这个菱形的直观图的面积S= 3.如图所示，△A'O'B'表示水平放 S装nX2-恒x巨- 置的△AOB的直观图，点B在x 故选D. 轴上，A'O与x'轴垂直，且A'O= 42 4 8 2,则△AOB的边OB上的高为 45° B [答案](1)B(2)D 0' 规律方法 解：设△AOB的边OB上的高为h,由直观图中边 由直观图还原平面图形关键有两点： OB'与原图形中边OB的长度相等，及S原国=2√2 (1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y轴的 线段长度扩大为原来的2倍： S得OBXh=2Ex0B·0A. .h=4√2. 答案：4√2 随堂。步步夯实 对应学生用书P34 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对 解析：由斜二测画法规则知AC⊥BC,即△ABC为 其中的线段说法不正确的是 直角三角形，其中AC=3,BC=8,所以AB=√73， A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直 AB边上的中线长度为√？3，△ABC的面积 C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点 为2AC·BC=12. 解析：B[根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.门 2.如图所示为一个平面图形的直观 y 答案 12 D' 图(A'D'∥B'C),则它的实际形 C 5.用斜二测画法画棱长为2cm的正方体ABCD一 状四边形ABCD为 ( B' A'B'C'D'的直观图 A.平行四边形 B.梯形 解：画法：(1)画轴，如图①，画x轴、y轴、之轴，三轴 C菱形 D.矩形 相交于点O,使∠xOy=45°，∠Oz=90. 解析：D[因为∠DA'B'=45°，由斜二测画法规 (2)画底面，以，点O为中点，在x轴上取线段MN, 则知∠DAB=90°，又因四边形A'B'C'D为平行四 使MN=2cm;以O为中点，在y轴上取线段PQ, 边形，所以原四边形ABCD为矩形.] 使PQ=1cm.分别过点M和N作y轴的平行线， 3.对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作 过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别 出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的( 为A,B,C,D,则四边形ABCD就是正方体的底面 A.2倍 ABCD. (3)画侧棱，过A,B,C,D各点分别作x轴的平行 C竖份 D倍 线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段 AA',BB',CC',DD'. 解析：B[底边在x轴上，则底边长不变，设为a, (4)成图，顺次连接A',B',C,D',并加以整理（去 又高4在直观国中交为号5=×号 1 掉辅助线，将被面遮挡的线段AD,CD,DD'改为虚 线)，就得到正方体的直观图，如图②. 4.水平放置的△ABC的斜二测 直观图如图所示，已知BC' 4,A'C=3,BC'∥y'轴，则 /0'C'A'x △ABC中AB边上的中线的长 度为 ,S△ABC= ·62· 第十一章立体几何初步 课后。素养提升 对应学生课时P13 ----● 基础过关 5.(多选题)利用斜二测画法，以下结论正确的是( JI CHU GUO GUAN A.三角形的直观图是三角形 1,用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的 B.平行四边形的直观图是平行四边形 两边平行于x轴、y轴，且∠A=90°，则在直观图中 C.正方形的直观图是正方形 ∠A'等于 ( D.菱形的直观图是菱形 A.45° B.135 解析：AB[斜二测画法得到的图形与原图形中的 C.45或135 D.90 线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角 解析：C[在画直观图时，∠A'的两边依然分别平 形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行 行于x轴、y'轴，而∠x'Oy'=45°或135°，故∠A 四边形.门 =45°或135°.] 6.(多选题)下列说法正确的是 2.如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面 A.相等的角在直观图中对应的角仍然相等 图形可能是 ( B.相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C,线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 D.直角梯形的直观图可能是等腰梯形 解析：CD[在斜二测画法中，平行性不变，但线段 的长度、角的大小都可能改变，但线段上点的相对 位置不变.] 7.水平放置的△ABC的斜二测直观 图如图所示，已知A'C'=3,B'C'= B 解析：C[根据该平面图形的直观图，该平面图形 2,则AB边上的中线的实际长度 为 /C(0')A'x" 为一个直角梯形，且在直观图中平行于y'轴的边与 解析：由直观图知，原平面图形为直角三角形，且 底边垂直.] AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4,计算得AB=5,所 3.已知△ABC的平面直观图△A'B'C是边长为a的 求中线长为2.5. 正三角形，那么原△ABC的面积为 答案：2.5 多 B. 8.如图所示的直观图△A'OB',其平面图形的面积为 4 y D.√6a 2A1 解析：C[直观图是边长为a的正三角形， 人45° B'x' 所以5，则3=2@=9。.] 4 解析：由直观图可知其对应的平面图形AOB中， 4.如图所示的是水平放置的三角 形ABC的直观图，D是△A'B ∠AOB=90°，0B=3,OA=4,.S△0B=2OA· C'中B'C'边的中点，且A'D'∥ OB=6. y轴，那么A'B',A'D',A'C'三 D 答案：6 C 条线段对应原图形的线段AB,O 9.在如图的直观图中，四边形O、y A'B'C'为菱形且边长为2cm,C AD,AC中 则在xOy坐标系中原四边形 1359 A.最长的是AB,最短的是AC OABC为 (填形状)， B.最长的是AC,最短的是AB 面积为 cm. C.最长的是AB(且AB=AC),最短的是AD 解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC D.最长的是AD,最短的是AC 为矩形，其中OA=2cm,OC=4cm,.四边形 解析：C[在原图形中，AD⊥BC,又D为中点，故 OABC的面积S=2×4=8(cm2). AB=AC>AD. 答案：矩形8 ·63· 数学B版·必修第四册 10.如图，△A'B'C'是水平放置的平 (2)在直观图中画六棱锥的顶，点，连接OP,以OP 面图形的斜二测直观图，将其恢 所在直线为之轴。 复成原图形 过O作与之轴对应的z'轴，在O:'上取点P',使 解：(1)在已知图形中画坐标系x'Oy',使∠x'Oy= OP'-OP. 45°，CA'在x'轴上，C与O'重合，如图(1)； 连接P'A',P'B',P'C,P'D',PE',PF'(如图 (2)画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=OA', (2)所示). 即CA=C'A',如图(2)所示； (3)擦去x'轴、y√轴、x√轴，被遮线画虚线， (3)在图(1)中过B作B'D'∥y轴，交x轴于D'. 便得到正六棱锥P-ABCDEF的直观图 P'-A'B'CD'E'F'(如图(3)所示). 在图(2)中，在x轴上取OD=OD', 过D作DB∥y轴，并使DB=2D'B'; 能力提升 NENG LI TI SHENG (4)连接AB,BC,则△ABC即为原图形，如图(2) 12.一个水平放置的平面图形的斜二 y A 所示. 测直观图是直角梯形ABCD,如 图所示，∠ABC=45°，AB=AD B(O) =1,DC⊥BC,则原平面图形的 面积为 (C) (C) 解析：过A作AE⊥BC,垂足为 0'D 01 D E,又：DC⊥BC且AD∥BC, A () (2) ∴.ADCE是矩形， 11.用斜二测画法画出正六棱锥的直观图， B(O)E C ∴.EC=AD=1,由∠ABC=45°， 解：(1)画六棱锥P-ABCDEF的底面的直观图. ①在正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在直 AB=AD=1知BE=2, 2 线为x轴，取与AD垂直的对称轴MN为y轴， ∴.原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1 两轴相交于点O(如图(1)所示). 和1+ ,高为2， 原平面图形的面积为 ×1+1+)×2 (2) 答案2+号 13.在水平放置的平面a内有一个 边长为1的正方形A'B'CD',如 图，其中的对角线A'C在水平位@ (3) 置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画 ②画相应的x轴和y'轴，两轴交于点O', 出的直观图，试画出该四边形的原图形并求出其 使∠x'O'y'=45°. 面积. 以O为A'D'及M'N'的中，点，在x'轴上取A'D 解：正方形A'B'C'D'的原图形为如图D =AD, 所示的四边形ABCD.A'C'在水平 在y轴上取MN'=MN, 位置，A'B'CD'为正方形， .∠D'A'C'=∠A'C'B'=45, 以点N'为中点画B'C'平行于x'轴，并且等 A'D'=B'C', 于BC, ∴.在原四边形ABCD中，DA⊥AC, 再以点M为中点画EF'平行于x'轴，并且等 ACLBC,DA=BC-2D'A'=2,AC= 于EF. A'C'=√2， ③连接A'B',CD',DE',FA',则得到水平放置 .Sg形AcD=AC·AD=2√2. 的正六边形ABCDEF的直观图A'B'C'D'E'F' ·64·