第10章 复数 章末归纳提升（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第十章复数 章未归纳提升 对应学生用书P30 [网络构建] 数系的扩充 虚数单位 复数的实部和虚部 数系的扩 实数(b=0) 的概念 复数的分类 虚数(b≠0)（当a=0时为纯虚数） 复数相等：a+bi=c+di台a=c,b=d 复 共轭复数：z=a+bi与z=a-bi互为共轭复数 的概 复数z=a+bi 数系的扩充与复数的引 复数的几何意义 复平面内的点Z(a,b) ·平面向量0Z 复数z=a+bi的模lzl=la+bi=/a2+b 复数代数形 加法法则：(a+bi)+(c+di) 几何意义：复数的加法可 复数代数形 以按照向量的加法进行 式的加、减 (a+c)+(b+d)i 运算及其几 何意义 减法法则：(a+bi)-(c+di) 几何意义：复数的减法可 (a-c)+(b-d)i 以按照向量的减法进行 四则 复数代数 乘法法则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i 形式的乘 除运算 除法法则：(a+bi)÷(c+di)= ac+bd be-ad i(c+di≠0) c2+d2 c2+d2 乘法法则：模数相乘，辐角相加 复数的三角表示* 复数乘、除运算的三角表示 除法法则：模数相除，辐角相减 [归纳提升] 题型一 有关复数的概念 ◇[变式训练] 复数常设为x=a+bi(a,b∈R),之∈R台b=0;之为 1.复数之=l0g(z2-3a-3)十ilog2(x一3)，当x为何 虚数台b≠0；x为纯虚数台a=0且b≠0. 实数时： [例1] 已知mCR,复数：=m(m士2)+(m2+2m (1)z∈R;(2)x为虚数 m-1 解：(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， 1)i,当m为何值时： x2-3x-3>0, (1)z∈R:(2)z是虚数：(3)z是纯虚数 所以{10g2(x一3)=0， [解](1)当m2+2m-1=0且m-1≠0， x-3>0, 即m=-1±√2时，之∈R 解得x=4,所以当x=4时，之∈R, (2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所 (2)当m2十2m-1≠0且m-1≠0. x2-3x-3>0, 即m≠一1士√2且m≠1时，x为虚数. 以10g,(x-3)≠0，解得>3十y且x≠4. (3)当mm+22=0且m2+2m-1≠0. 2 x一3>0， m-1 即m=0或一2时， 所以当>3+)②I且x≠4时，之为虚数. 2 之为纯虚数 ·57· 数学B版·必修第四册 题型二】 复数相等 ⊙[变式训练] 复数的代数形式之=x十yi(x,y∈R),从实部、虚部 3.已知z∈C且x=1,求z2-之+1的最值. 来理解一个复数，把复数之满足的条件转化为实数 解：因为z=1,所以x·z=1, x,y应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用 所以x2一之+1=之2一之十z2=x(x十2-1)， 待定系数法和方程思想来处理复数问题： 所以x2-之十1=|x(x十2-1)川=z·z十-1 [例2]已知x,y为共轭复数，且(x十y)2一3.xyi= =1x+z-1. 4-6i,求x,y 设z=x+yi(x,y∈R),那么z+-1=2x-1, 又因为之|=1，所以x2+y2=1. [解]设x=a十bi(a,b∈R),则y=a一bi. 所以1≤x≤1，所以-3≤2x-1≤1， 又(x+y)2-3xyi=4-6i,∴.4a2-3(a2+b)i=4-6i, 则0≤|2x-1≤3. ,a=-1或 所以之2一之十1的最小值为0，最大值为3. x=1+i,或 2=1-i,或 题型四复数与其他知识的综合应用 (y=1-i (y=1+i 复数具有代数形式，且复数x=a+bi(a,b∈R)与复 =-1+i或=-1-i, 平面内的点Z(a,b)之间建立了一一对应关系，复 y=-1-i \y=-1+i. 数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、 ⊙[变式训练] 函数等知识的交汇. [例4]四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A,B, 2.已知复数x=(1+2i)(-2+i)- 3+i 1+i C,D四点对应的复数分别为1十3i,2i,2+i,之 (1)化简复数； (1)求复数x: (2)若2+(2a-1)x-(1-i)b-16=0,求实数a,b (2)x是关于x的方程2x2一px十q=0的一个根， 的值. 求实数p,g的值. 解：10x=(1+2)(-2+i)-3士iD0- [解](1)复平面内A,B,C对应的点坐标分别为 (1+i)(1-i) (1,3),(0,2),(2,1), =-4-3i-42i=-4-3i-(2-i)=-6-2i. 设D的坐标为(x,y),由于AD=BC, 2 .(x-1,y-3)=(2,-1), (2),(-6-2i)2+(2a-1)(-6-2i)-(1-i)b- .x一1=2，y-3=-1,解得x=3,y=2,故D(3,2), 16=0, 则点D对应的复数x=3十2i. ∴.32+24i-6(2a-1)-2(2a-1)i-b+bi-16=0, (2)3+2i是关于x的方程2x2一px十q=0的一个根， ∴.22-12a-b+(26-4a+b)i=0, ÷22-12a-6=0 .3一2i是关于方程2x2-p.x十q=0的另一个根， (26-4a+b=0 解得03， 1b=-14. 则3+2i+3-2i=号，3+2)·(3-2)=号， 题型复数的模及其几何意义 即p=12,q=26. 1.≠0，之为纯虚数台z=一x. ⊙[变式训练] 2.复数模的计算公式：若x=a十bi(a,b∈R),则|之= 4.已知复平面内点A,B对应的复数分别是之1=sin0 √a十b,在解答有关复数模的问题时应重视以下 十i,之2=-cos0+icos20,其中0∈(0，x),设AB对 结论的运用：之·之=|x2=|z|2,z1·之2=之1· 应的复数为之 (1)求复数x: (2)若复数：对应的点P在直线y=之x上，求9的值 [例3]复数之满足x+3一√3=√5，求引z的最大 解：(1)由题意得之=z2-之1=-cos20-sin20十 值和最小值 (cos20-1)i=-1+(-2sin20)i. [解]|x十3-√3i=3表示以-3 (2)由(1)知，点P的坐标为(-1，-2sin). 十√i对应的，点P为圆心，以√为半 径的圆，如图所示， 由点P在直线y=上得-2sim0=-2 则|OP|=|-3+√il=√12=2√5， “sim0=子，又0e(0,x),sinf>0, 显然zmx=|OA=|OP|+√3=3W3, 61 6 zmm=OB|=1OP1-√3=3. 因北sin9=立0=吾或0=琴 ·58·