9.2 正弦定理与余弦定理的应用（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 9.2正弦定理与余弦定理的应用 课程标准 素养解读 通过运用余弦定理、正弦定理建立数学模型，解 1.能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实 决简单的实际问题，提升数学建模素养.通过利 际问题。 用余弦、正弦定理求解距离、高度、角度问题，培 2.巩固深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法. 养数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] 2思考1，方向角和方位角是同一个概念吗？ 中国海监船肩负着我国 海域的维权、执法使命.某时 某中国海监船位于中国南海 的A处，与我国海岛B相距s 2.坡度和坡比有区别吗？ 海里.据观测得知有一外国探 油船位于我国海域C处进行非法资源勘探，这艘中国 海监船奉命以。海里/小时的速度前去驱逐，假如能 测得∠BAC=a,BC=m海里，你能根据上述数据计 算出它赶到C处的时间吗？要解决这个问题，就需要 用到解三角形的相关知识. 知识点二] 解三角形应用题的常见步骤 问题解三角形的实际应用有哪些常见问题？ 抽象概括 推理演算 实际问题 解三角形问题 三角形问题的解 还原说明 实际问题的解 [知识梳理] ?思考3.利用正（余）弦定理解应用题常忽略的问 [知识点一]测量中的常见角 题有哪些？ 名称 意义 图示 北 从正北方向顺时针转到 0 140° 方位角 目标方向线的最小 “目标方向线 预习自测] 1.某次测量中，点A在点B的北偏东55°，则点B在 北1 点A的 ) 正北或正南方向线与目 A.北偏西35° B.北偏东55 东 方向角 标方向线所成的 目标方向线 60 C.南偏西35 D.南偏西55 2.海上的A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望C 南 岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成 在同一铅垂平面内，目 75的视角，则B岛与C岛之间的距离是( 目标 标视线与水平视线所成 视线 A.10√5 n mile 仰角与 的角中，目标视线在水 铅 仰角水平 俯角 平视线上方的叫做仰 线 俯角一视线 B.106 3 -n mile 角，目标视线在水平视 、目标 视线 C.5√2 n mile 线下方的叫做俯角. D.5√6 n mile 设坡角为a,坡度 3.如图所示，要测量底部不能到达的某 坡角 坡面与水平面的夹角 为，则i= 电视塔AB的高度，在塔的同一侧选 择C,D两个观测点，且在C,D两点 tan a. 测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水 209 坡面的垂直高度h和水 平面上测得∠BCD=120°，C,D两地 坡度 459 平宽度l的比 相距500m,则电视塔AB的高度是 .m. ·10· 第九章解三角形 4.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿 A处的距离缩短了10千米.问：汽车还需行驶多远 倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处，又 才能到达M汽车站？ 测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为 m. 5.某人在M汽车站的北偏西20°方向上的A处，观察 到点C处有一辆汽车沿公路向M汽车站行驶.公 路的走向是M汽车站的北偏东40°.开始时，汽车 到A处的距离为31千米，汽车前进20千米后，到 课堂。互动学案 题型一 测量距离问题 3.解三角形应用问题的四个步骤 [例1]如图，某货轮在A处看 北 灯塔B在货轮的北偏东75°， 分析 理解题意，分清已知与未知，画出示意图 距离为12√6 n mile,在A处看 60 根据已知条件与求解目标，把已知量与求 灯塔C在货轮的北偏西30°， 30 建模 解量尽量集中在有关的三角形中，建立 759 个数学模型 距离为8√3 n mile,货轮由A 处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏 求解 利用正弦定理和余弦定理有顺序地解出 东60. 三角形，求得数学模型的解 求：(1)A处与D处之间的距离； (2)灯塔C与D处之间的距离. 检验 检验上述所求的三角形是否具有实际意义， [思路点拨](1)由∠BDA=60,利用正弦定理 从而得出实际问题的解 计算AD. ⊙[变式训练] (2)由(1)知AD长，利用余弦定理计算CD. 1.如图，隔河看两目标A, [尝试解答 B,但不能到达，在岸边 选取相距√3km的C,D 两点，并测得∠ACB= 75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°(A, 规律方法 B,C,D在同一平面内)，求两目标A,B之间的 距离. 日常生活中，测量距离问题常借助平面三角形解 决，常有两种情况： 1.测量从一个可到达的点到另一个不可到达的点 之间的距离问题。 这实际上就是已知三角形两个角和 一边解三角形的问题，用正弦定理就 可解决.（如图所示) 2.测量两个不可到达的点之间的距离问题 题型二 测量高度问题 首先把求不可到达的两点A,B之间As [例2]如图所示，在山顶铁塔上B 的距离转化为应用正弦定理求三角 处测得地面上一点A的俯角为a, 形的边长问题，先把求未知的BC和 在塔底C处测得A处的俯角为3. AC的问题转化为测量可到达的 已知铁塔BC部分的高为h,则山 点与不可到达的一点之间距离的问题（如图所 高CD 示)，然后在△ABC中求解AB. ·11· 数学B版·必修第四册 汇思路点拨]根据图形，把已知和所求分别放置 1209 在一个或几个三角形中，并通过其公共元素联系 起来，由正（余）弦定理解决 1059 [尝试解答 规律方法 甲 根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽 汇思路点拨了]“构造三角形，把已知和未知放到三 量集中在有关的三角形中，有时根据需求量解不 角形中，利用正（余）弦定理求解】 同的三角形， [尝试解答] ⊙[变式训练] 2.如图所示，为测量山高 MN,选择A和另一座山 的山顶C为测量观测点. 规律方法 解决测量角度问题的注意点 从A点测得M点的仰角 (1)明确方位角和方向角的含义； ∠MAN=60°，C点的仰 7 (2)分析题意，分清已知与所求，并根据题意画出 角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得 正确的示意图，这是最关键的一步； ∠MCA=60°.已知山高BC=100m,求另一山 (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题 高MN. 后，注意正、余弦定理的“联袂”使用 ◇[变式训练] 3.如图所示，渔船甲位于岛屿 北 A的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A相距12海 里，渔船乙以10海里/时的 速度从岛屿A出发沿正北 方向航行，若渔船甲同时从 西 A -…东 60° B处出发沿北偏东a的方向 追赶渔船乙，刚好用2小时 南 追上. 题型 测量角度问题 (1)求渔船甲的速度： [例3]如图，甲船以每小时30√2海里的速度向正 (2)求sina的值. 北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船 位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的 B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟 到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向 的B2处，此时两船相距10√2海里.问：乙船每小时 航行多少海里？ 随堂。步步夯实 1.如图所示，在河岸AC上测量河的宽度BC,测量下 2.甲骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向 列四组数据，较适宜的是 的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的 北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔 在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时 与电视塔S的距离是 ( A.6 km B.3√5km A.a,c,a B.b,c,a C.3√2km D.3 km C.c,a,β D.b,a,Y ·12· 第九章解三角形 3.在福州青运会开幕式举行的升旗仪式上，从坡角为 5.如图所示，货轮在海上以40km/的速度由B向C 15°的看台上，同一列的第一排和最后一排分别测 航行，航行的方位角是140°.A处有一灯塔，在B处 得旗杆顶部的仰角为60°和30°.若同一列的第一排 观察灯塔A的方位角是110°，在C处观察灯塔A 和最后一排之间的距离为106米（如图所示），则 的方位角是35°，由B到C需航行半个小时，求C 旗杆的高度为 米. 到灯塔A的距离. B ×1109 i40° 35 最后一排30° 旗杆 106米 看台150 月60° 第一排 4.如图所示，设A,B两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A所在的河岸边选定一点C,测出AC 的距离为50m,∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A, B两点的距离为 m C温馨提今 学习至此，请完成配套训练 章末归纳提升 [网络构建] a b sin A sin B sin C 2R 变形 正弦定理 已知两角和任一边，解三角形 正弦定理的应用 已知两边及其中一边的对角，解三角形 a2=b2+c2- 2bccos A =a2+c2- 2accos B 变形 c2=a2+b- 2abcos C 解三角形 余弦定理 已知三边，求三角 余弦定理的应用 已知两边及其夹角，求其他的角和边 正弦定理与余弦定理的应用一实际应用 [归纳提升] 题型一利用正、余弦定理解三角形 (1)已知两角和一边，如已知A,B和c,由A十B十C 解三角形的常见类型及解法 =π求C,由正弦定理求a,b. 在三角形的六个元素中，若知道三个，其中至少一 (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a,b和C,应先 个元素为边，即可求解三角形，按条件可分为以下 用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对 几种： 的角，然后利用A十B+C=π，求另一角. ·13·[例4][解](1)由已知得sinB+sin2C-sin2A= sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. 由余孩定理得cosA-+c2一a21 26c 2 因为0°<A<180°，所以A=60° (2)由(1)知B=120°一C,由题设及正弦定理得√2sinA十 sn120-0=2nc,p9+号wC+方nC=2aC 可得c0s(C+60)=二2，由于0<C<I20,所以5n +60)=号，故sinC=sin(C+60°-60)=sin(C+60) cos60°-c0s(C+60°)sin60°=6+2 4 变式训练 4.解：(1)由正弦定理b sin Bsin C sin C-2sin Bcos B= sin 2B, 故C=2B(舍)，或C+2B=元，故B=A=. (2)由(1)知，c=√3b,故不能选①. 选②，设BC=AC=2x,则AB=2√3x, 故周长为(4+2√5)x=4十2√5，解得x=1, 即BC=AC=2,AB=2√3，设BC中点为D,则在△ABD 中，由余弦定理，cosB=AB2十BD2-AD21+12-AD 2XABXBD 4W3 -9解将AD=反 选③，设BC=AC=2.x,则AB=2√3x,故S44BC= 名x2r)x2r)xm120=ar-3, 41 解得-，即BC=AC=厅，AB=3,设BC中点为D, 则在△ABD中 由余弦定理，osB=AB2+BD2-AD2 2XABXBD 9+3)2 -AD2 (2 3√5 -要降得AD=四 2 随堂步步夯实 1.D[设顶角为C,l=5c,.a=b=2c, 由余弦定理得：cosC=a2+b2-c2=4c2+4c2-c2 2ab 2 2.B[c0sA=AB2+AC-BC252+32-72 1 2·AB·AC 2×5×3 2 ∴AB·AC=|AB|·|AC|·cos∠BAC=5X3× ()号故选B] 3.解折：SAic=分besinA=5V5,sinA- 1 2 由Q sn12R,..a=2√3×)=3. 答案：3 4.解析：∵cosC= c支AC-9ce0m 2XBCXAC .sinC号，AD=AC·sinC=V3 答案：W3 ·9 参考答案 5,解：由sinB-sinA=Ba+及正弦定理知二4 sin C atb =3a+c a+b' 整理得b2-a2=√5ac+c2, 即a2+c2-b2=-√3ac. 故由余孩定理可知c0sB=Q2+c2-2=-5ac=一区， 2ac 2ac 2” 又B∈(0，x),所以B=5四 61 9.2正弦定理与余弦定理的应用 课前预习学案 情境引入 提示测量距离，测量高度，测量角度等， 知识梳理 知识点一、正角锐角 [思考] 1.[提示]方向角是从指定方向线到目标方向线的小于 90°的水平角，而方位角是从正北方向顺时针转到目标方 向线所成的角. 2.[提示]坡度是坡面与水平面所成的二面角的度数，而 坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比. 3.[提示](1)检验求解出的结果是否符合实际意义； (2)题中求解往往有精确度的要求，要合理选择近似值， 并且为了避免误差的积累，解题过程中应尽量地使用 已知（原始）数据，少用或不用间接求出的近似值，必 用时要按照近似计算的规则取近似值； (3)利用正弦定理、余弦定理解应用题时，往往数据较多， 关系较复杂，因此在解答过程中，要做到算法简练、算 式工整、计算准确，还应注意方程思想的应用 预习自测 1.D[根据题意和方向角的概念画出草 北 图，如图所示.a=55°，则3=a=55°. 所以，点B在点A的南偏西55°.] 2.D[在△ABC中，C=180°-60°-75 =45”,由正弦定理，得BC 10 东 浮sin60=sin45, 解得BC=5√6 n mile.] 3.解析：设AB=x,在Rt△ABC中，∠ACB=45°， ∴.BC=AB=x:在Rt△ABD中，∠ADB=30°，.BD= √5.x:在△BCD中，∠BCD=120°，CD=500m,由余弦定 理得(V5x)2=x2+5002-2×500x0s120°，解得x= 500m. 答案：500 4.解析：过点D作DE∥AC交BC于E,因为∠DAC=30°， 故∠ADE=150°.于是∠ADB=360°-150°-60°=150°. B 60° E D A30° C 又∠BAD=45°-30°=15°， 故∠ABD=15°，由正弦定理得 AB=ADsin∠ADB sin∠ABD -1000sin150° sin15° =500(√6+√2)(m). 所以在Rt△ABC中，BC=ABsin45°=500(W3+1)(m. 答案：500（√3+1） 数学B版·必修第四册 5.解：画出示意图如图.设汽车前进20 北 千米后到达B处.在△ABC中，AC= 31千米，BC=20千米，AB=21千米， 由余弦定理，得cosC= AC+BC-AB-,则snC=1 2AC·BC sC-器nC-(复位合 去) .'.sin∠MAC=sin(120°-C)=sin120°cosC-cos120 ·sinC=353 62 在△MAC中，由正弦定理，得MC=ACsin∠MAC_3× sin∠AMC 35B=35(千米)， 62 从而有MB=MC-BC=15(千米). 因此，汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站. 课堂互动学案 [例1]解](1)在△ABD中，∠ADB=60°，B=45°，由 正弦定理得AD=ABsin B 126x号 =24 sin∠ADB 3 2 即A处当D处之间的距离为24 n mile. (2)在△ADC中，由余弦定理得 CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°， 解得CD=8√5. 即C处与D处的距离为8√3 n mile. 变式训练 1.解：在△ACD中，∠ADC=30°， ∠ACD=120°，.∠CAD=30°.∴.AC=CD=√3km. 在△BDC中，∠CBD=180°-(45°+30°+45)=60. 在△BCD中，由正弦定理，得 BC=Bsin75°-6+2 sin60° 2 则在△ABC中，由余弦定理，得 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·coS∠BCA =W+(6+2]-25×6+Eos75=5. 2 2 2 ∴.AB=√5km. .两目标A,B之间的距离为5km. [例2][解析]由已知得∠BCA=90°+3，∠ABC=90°- a,∠BAC=a-B,∠CAD=B. 在△ABC中，由正弦定理得 AC BC sin∠ABC sin∠BAC' 即 AC BC in(90°-a)-sin(&-' ∴AC=BCcos a hcos a sin(a-B)sin(a-B)' 在Rt△ACD中，CD=ACsin∠CAD=ADsing hcos asin B sin(a-B) 故山高CD= hcos asin B sin (a-B) [答案] hcos asin B sin (a-B) ·9 变式训练 2.解：根据图示，AC=100√2m. 在△MAC中，∠CMA=180°-75°-60°=45. 由正孩定理得AC _AMAM-100 J3m. sin 45 sin 60 在RI△AMN中， =sin60°， MN=105×9=150(m. 2 [例3][解]如图，连接A1B2由已知 北 A=10EA=Ex器=10后. 1209 .A1A2=A2B2. 1059 又∠A1A2B2=180°-120°=60°， △A1A2B2是等边三角形， B.A .A1B2=A1A2=10√2 由已知，A1B1=20, 在△A1B2B1中，∠B1A1B2=105°-60°=45. 由余弦定理得 B1B3=A1B+A1B3-2A1B1·A1B2·cos45 =202+10V2)2-2×20X102×2=200, 2 .B1B2=10√2. 因此，乙船的速度为10厘×60=302（海里/时）. 20 变式训练 3.解：(1)依题意知，∠BAC=120°，AB=12, AC=10×2=20,∠BCA=a. 在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB+AC2-2AB· AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×c0s120 =784. 解得BC=28. 所以渔指甲的连度为C=14(海里/时)。 (2)在△ABC中，因为AB=12,∠BAC=120°，BC=28, ∠BCA=a,由正弦定理，得AB=BC sin a sin 1205, 即sina=ABsin120° 12X③ 2=3 BC 28 14 随堂步步夯实 1.D[由a,Y可求出B,由a,3,b,可利用正弦定理求出BC, 故选D.] 2.C[由题意知，AB=24× .1 =6km,∠BAS=30°， ∠ASB=75°-30°=45. 由正弦定理，得BS=ABsin∠BAS_6sin30 sin∠ASB sin 45 3√2(km).] 3.解析：如图所示，记看台上的一列为BC,旗杆为OP, P 最后一排30° 旗杆 106米 看台15⊙CB/609 第一排 依题意可知∠PCB=45°，∠PBC=180°-60°-15°= 105°，∠PBO=60°，BC=10√6米， ∴.∠CPB=180°-45°-105°=30°， ,.在△PBC中，由正弦定理可知PB= CB sin∠CPB1 sin∠PCB=20√3（米）， 在Rt△POB中，OP=PB·sin∠PBO=205x 2 30(米)，即旗杆的高度为30米. 答案：30 4.解析：由题意知∠ABC=30,由正弦定理，得sn∠ABC AC AB sin∠ACBi AB=AC·sin∠ACB 50X② 2 sin∠ABC -=50√2(m). 答案：50√2 5.解：在△ABC中，BC-40X =20(km), ∠ABC=140°-110°=30°， ∠ACB=(180°-140)+35°=75°， .∠BAC=75°. sin 30-sin75,.AC-BCsin 30 由正弦定理，得AC BC sin75° 10 40 sin 45cos 30cos 45'sin 30 =10(6-√2) (km). 故C到灯塔A的距离为10（√6-√2）km. 章未归纳提升 [例1][解]在△ABC中，：AB=AC=2,BC=2√5，∴. 白金袋定现，样C-+-号nC-专 2ab 在△ADC中，向E孩定理得，品如 AC :.AD= nc-是×分E AC 2 变式训练 1.解：由余弦定理c0A-十-Q2=号 2bc 29 因此A=60°，在△ABC中，C=180°-A-B=120°-B. 由已如条件应月正袋定双合+=后-需 sin120°B2=sin120cosB-cos120°sinB=,√5 sin B sin B 2tan B +3,从而1amB=安 [例2][解](1)由正弦定理和已知条件得BC2一AC2 AB2=AC·AB. ① 由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC· ABcos A. ② 由①②得c0sA=-,月为0KA<x, 所以A=要 公)由正孩充显及0将二品。-2 从而AC=2V3sinB,AB=2√3sin(x-A-B)=3cosB-√5 sin B, ·9 参考答案 故BC+AC+AB=3+√5sinB+3cosB =3+2sim(B+吾)月 又0<B<受，所以当B=晋时，△ABC周长取得最大值 3+25. 变式训练 2.解析：若c=√b,因为sinA=√sinB,结合正弦定理 sinA-simB,知a=Bb=c, a b 所以A=C=吾，B=受 31 所以smA=分mB-停，与nA=5simB 所以此时不存在这样的△ABC, 答案：选择③，不存在 解析：因为sin A=3sinB,结合正弦定理sinA=sinB. b 知a=√3b, 由余弦定理知c2=a2+b2-2 abcos C=b2,即c=b, 若csin A=3,由正弦定理inA=sinC知a=6, 所以c=b=2√5. 答案：选择②，c=2√ 解析：因为sinA=√5sinB,结合正弦定理sinA_sinB, b 知a=√3b, 由余弦定理知c2=a2+b2-2 abeos C=b2,即c=b, 若ac=√3，则c=1. 答案：选择①，c=1. [例3][解]由题意知AB=5(3+√3)n mile, ∠DBA=90°-60°=30°，∠DAB=90°-45°=45°， ∴.∠ADB=180°-(45°+30)=105°， 在△ADB中，由正弦定理得in∠DAB sin∠ADB DB AB DB=AB·sim∠DAB_5(3+3)·sin45 sin∠ADB sin 105 5(3+√3)·sin45 sin45cos60°+cos45°·sin60 55(W5+1) =10√5(n mile), 3+1 2 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60)=60°， BC=20√3(n mile), 在△DBC中，由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cOs∠DBC =300+120-2X105×208×号-900. .'.CD=30(n mile). 附宏要的时码1-碧-1. 所以救援船到达D点需要1h. 3.解：①需要测量的数据有：A观测到M,N的俯角a1,3,B 观测M,N的俯角a2,3;A,B间的距离d(如图所示). d B M