9.2 正弦定理与余弦定理的应用（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

第九章解三角形 9.2正弦定理与余弦定理的应用 课程标准 素养解读 1.能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实 通过运用余弦定理、正弦定理建立数学模型，解 决简单的实际问题，提升数学建模素养.通过利 际问题. 用余弦、正弦定理求解距离、高度、角度问题，培 2.巩固深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法。 养数学运算素养. 课前。预习学案 对应学生用书P10 [情境引入] ?思考1.方向角和方位角是同一个概念吗？ 中国海监船肩负着我国 [提示]方向角是从指定方向线到目标方向线的 海域的维权、执法使命.某时 小于90°的水平角，而方位角是从正北方向顺时针 某中国海监船位于中国南海 转到目标方向线所成的角· 的A处，与我国海岛B相距、 2.坡度和坡比有区别吗？ 海里.据观测得知有一外国探 [提示]坡度是坡面与水平面所成的二面角的度 油船位于我国海域C处进行非法资源勘探，这艘中国 数，而坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比. 海监船奉命以海里/小时的速度前去驱逐.假如能 测得∠BAC=a,BC=m海里，你能根据上述数据计 知识点二]解三角形应用题的常见步骤 算出它赶到C处的时间吗？要解决这个问题，就需要 抽象概括 推理演算 实际问题 解三角形问题 用到解三角形的相关知识。 还原说明 问题解三角形的实际应用有哪些常见问题？ 三角形问题的解 实际问题的解 提示测量距离，测量高度，测量角度等 [知识梳理] ?思考3.利用正（余）弦定理解应用题常忽略的问 知识点一]测量中的常见角 题有哪些？ 汇提示](1)检验求解出的结果是否符合实际意义； 名称 意义 图示 (2)题中求解往往有精确度的要求，要合理选择近似 值，并且为了避免误差的积累，解题过程中应尽量 北+ 从正北方向顺时针转到 地使用已知（原始）数据，少用或不用间接求出的近 14 方位角 目标方向线的最小 似值，必用时要按照近似计算的规则取近似值； 正角. 目标方向线 (3)利用正弦定理、余弦定理解应用题时，往往数据 较多，关系较复杂，因此在解答过程中，要做到算 法简练、算式工整、计算准确，还应注意方程思想 北1 的应用 正北或正南方向线与目 东 [预习自测] 方向角 标方向线所成的锐角， 目标方向线 60° 1.某次测量中，点A在点B的北偏东55°，则点B在 点A的 冷 A.北偏西35 B.北偏东55 C.南偏西35 D.南偏西559 在同一铅垂平面内，目 目标 解析：D[根据题意和方向角的概 标视线与水平视线所成 视线 北 铅 念画出草图，如图所示.a=55°，则3 仰角与 的角中，目标视线在水 会森餐 =a=55° 俯角 平视线上方的叫做仰 线 、目标 所以点B在点A的南偏西55°.] 角，目标视线在水平视 东 2.海上的A,B两个小岛相距 线下方的叫做俯角. 视线 10 n mile,.从A岛望C岛和B岛成60的视角，从 设坡角为a,坡度 B岛望C岛和A岛成75的视角，则B岛与C岛 坡角 坡面与水平面的夹角， 为，则i= 之间的距离是 1 A.10√5 n mile tan a. 坡面的垂直高度h和水 B10 3 n mile 坡度 平宽度l的比. C.5√2 n mile D.5√6 n mile ·19· 数学B版·必修第四册 解析：D[在△ABC中，C=180°-60°-75°= 又∠BAD=45°-30°=15°， 45°，由正孩定理，得BC10 故∠ABD=15°，由正弦定理得 sin 60 sin 45 AB=ADsin∠ADB 解得BC=5√6 n mile.] sin∠ABD 3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高 1000sin150 度，在塔的同一侧选择C,D两个观测点，且在C,D两 sin 15 =500(√6+√2)(m). 点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得 所以在Rt△ABC中，BC=ABsin45°=500（√3+ ∠BCD=120°，C,D两地相距500m,则电视塔AB的 1)(m). 高度是 答案：500（√3+1） 5.某人在M汽车站的北偏西20°方向上的A处，观察 到点C处有一辆汽车沿公路向M汽车站行驶.公 路的走向是M汽车站的北偏东40°.开始时，汽车 到A处的距离为31千米，汽车前进20千米后，到 30° A处的距离缩短了10千米.问：汽车还需行驶多远 45° 才能到达M汽车站？ D 解：画出示意图如图.设汽车前进 解析：设AB=x,在Rt△ABC中，∠ACB=45°， 20千米后到达B处.在△ABC .BC=AB=x;在Rt△ABD中，∠ADB=30°， 中，AC=31千米，BC=20千米， .BD=√5x;在△BCD中，∠BCD=120°，CD= AB=21千米，由余弦定理，得 500m,由余弦定理得（√5x)2=x2+5002-2× cos C= AC+BC-AB22 ,则 500.xcos120°，解得x=500m. 2AC·BC 3 答案：500 sin'C=1-cos'C= s血C1(负位合去 432 4.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾 31 斜角为30的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山 .sin∠MAC=sin(120°-C)=sin120°cosC 顶的仰角为60°，则山的高度BC为 m. 解析：过，点D作DE∥AC交BC于E,因为∠DAC cos120°·sinC=35V3 62 =30°，故∠ADE=150°.于是∠ADB=360°-1509 -60°=150° 在△MAC中，由正弦定理，得MC=ACsin∠MAC sin∠AMC =31×355=35(千米)， 3 62 (609 2 30 从而有MB=MC-BC=15(千米)， 因此，汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站。 课堂。互动学案 对应学生用书P11 题型一 测量距离问题 [解] (1)在△ABD中，∠ADB=60°，B=45°，由 [例1]如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏 东75°，距离为12√6 n mile,在A处看灯塔C在货 正弦定理得AD=ABsin B 126×2 sin∠ADB =24 轮的北偏西30°，距离为8√3 n mile,货轮由A处向 2 正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°. 即A处当D处之间的距离为24 n mile. 北 (2)在△ADC中，由余弦定理得 D CD=AD+AC-2AD·ACcos30°，解得CD=8V5. /60 即C处与D处的距离为8√3 n mile. 30 规律方法 75° 日常生活中，测量距离问题常借助平面三角形解 求：(1)A处与D处之间的距离； 决，常有两种情况： 1.测量从一个可到达的点到另一个不 (2)灯塔C与D处之间的距离. 可到达的点之间的距离问题. C思路点拨](1)由∠BDA=60°，利用正弦定理 这实际上就是已知三角形两个角和 计算AD. 一边解三角形的问题，用正弦定理就可解决， (2)由(1)知AD长，利用余弦定理计算CD, (如图所示) ·20· 第九章解三角形 2.测量两个不可到达的点之间的距离问题。 [思路点拨了根据图形，把已知和所求分别放置 首先把求不可到达的两点A,B之 在一个或几个三角形中，并通过其公共元素联系 间的距离转化为应用正弦定理求 起来，由正（余）弦定理解决 三角形的边长问题，先把求未知 [解析]由已知得∠BCA=90°十3，∠ABC=901 的BC和AC的问题转化为测量 -a,∠BAC=a-3,∠CAD=B. 可到达的一点与不可到达的一点 在△ABC中，由正弦定理得 之间距离的问题（如图所示），然后在△ABC中 AC BC 求解AB. sin∠ABO=sin∠BAC, 3.解三角形应用问题的四个步骤 AC BC 即in90-a-sin(a-B' 分析 理解题意，分清已知与未知，画出示意图 ..AC= BCcos a hcos a sin(a-B)sin(a-B) 根据已知条件与求解目标，把已知量与求 在Rt△ACD中，CD=ACsin∠CAD=ADsin3 建模 解量尽量集中在有关的三角形中，建立 hcos asin B 个数学模型 sin(a-B) 故山高CD=hcos asin 利用正弦定理和余弦定理有顺序地解出 sin (a-B) 求解 三角形，求得数学模型的解 [答案] hcos asin B sin (a-3) 规律方法 检验 检验上述所求的三角形是否具有实际意义， 根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽 从而得出实际问题的解 量集中在有关的三角形中，有时根据需求量解不 ⊙[变式训练] 同的三角形 1.如图，隔河看两目标A, ⊙[变式训练] B,但不能到达，在岸边 2.如图所示，为测量山高 选取相距√5km的C,D MN,选择A和另一座山 两点，并测得∠ACB= 的山顶C为测量观测点. 75°，∠BCD=45°， 从A点测得M点的仰角 ∠ADC=30°，∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面 ∠MAN=60°，C点的仰 内)，求两目标A,B之间的距离. 角∠CAB=45°以及 解：在△ACD中，∠ADC=30°， ∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°.已知山高 ∠ACD=120°， BC=100m,求另一山高MN .∠CAD=30°. 解：根据图示，AC=100√2m. .AC=CD=√3km. 在△MAC中，∠CMA=180°-75°-60°=45°. 在△BDC中，∠CBD=180°-(45°+30°+45°) 白正获定理得M>AM=I00Em AM =60°. 在△BCD中，由正弦定理，得 BC=5sin75°-6+2 在R△AMN中 =sin60°， sin 60 2 六MN=1003x 2 =150(m). 则在△ABC中，由余弦定理，得 AB=AC+BC-2AC·BC·cos∠BCA 题型目 测量角度问题 =(5)2+ 6+2 -25x6+ 2c0s75°=5. [例3]如图，甲船以每小时30√2海里的速度向正 2 北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船 .AB=√5km. 位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的 B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟 ∴.两目标A,B之间的距离为√5km 到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向 题型二 测量高度问题 的B2处，此时两船相距10√2海里.问：乙船每小时 [例2]如图所示，在山顶铁塔上B 航行多少海里？ 处测得地面上一点A的俯角为α， 在塔底C处测得A处的俯角为3. 1209 已知铁塔BC部分的高为h,则山 B 105 高CD= B ·21· 数学B版·必修第四册 [思路点拨j构造三角形，把已知和未知放到三 ⊙[变式训练] 角形中，利用正（余）弦定理求解。 3.如图所示，渔船甲位于岛屿 北 [解]如图，连接A1B2由已知 A的南偏西60°方向的B 北 AR=10vE.A4=30反×8 120 处，且与岛屿A相距12海 A B 里，渔船乙以10海里/时的 105 =10√2，A1A2=A2B2: 速度从岛屿A出发沿正北 又∠AA2B2=180°-120°=60°， B 方向航行，若渔船甲同时从 西 A 东 .△A1A2B2是等边三角形， 甲 B处出发沿北偏东a的方向 60° .A1B2=A1A2=10√2 追赶渔船乙，刚好用2小时 南 由已知，A1B1=20, 追上 在△A1B2B1中，∠B1A1B2=105°-60°=45°. (1)求渔船甲的速度； 由余弦定理得 (2)求sina的值. B1B=A1B+A1B-2A1B1·A1B2·cos45 解：(1)依题意知，∠BAC=120°，AB=12, =202+(102)2-2×20X102×9=200, AC=10X2=20,∠BCA=a. 2 在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC .B1B2=10√2. 2AB·AC·c0s∠BAC=122+202-2×12×20× 因此，乙船的速度为10E×60=302(海里/时). c0s120°=784. 20 解得BC=28. 规律方法 解决测量角度问题的注意点 所以渔每甲的達度为C-14(海里/时)。 (1)明确方位角和方向角的含义； (2)在△ABC中，因为AB=12,∠BAC=120°，BC (2)分析题意，分清已知与所求，并根据题意画出 正确的示意图，这是最关键的一步； =28,∠BCA=a,由正孩定理，得AB-BC sin a sin120° (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题 后，注意正、余弦定理的“联袂”使用， ABsin120° 12X 即sina 2=3 BC 28 14 随堂⊙步步夯实 对应学生用书P12 1,如图所示，在河岸AC上测量河的宽度BC,测量下 3.在福州青运会开幕式举行的升旗仪式上，从坡角为 列四组数据，较适宜的是 15°的看台上，同一列的第一排和最后一排分别测 得旗杆顶部的仰角为60°和30°.若同一列的第一排 和最后一排之间的距离为10√6米（如图所示），则 旗杆的高度为 米 b A.a,c,a B.b,c,a C.c,a,B D.b,a,Y 旗杆 解析：D[由a,y可求出B,由a,B,b,可利用正弦 最后一排∠30°. 10J6米 定理求出BC,故选D.] 看台150 060 2.甲骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向 第一排 的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的 解析：如图所示，记看台上的一列为BC,旗杆 北偏东30方向上，15min后到点B处望见电视塔 为OP, 在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时 与电视塔S的距离是 A.6 km B.3√5km C.3√2km D.3 km 最后一排30 旗杆 解析：C[由题意知，AB=24×=6km, 106米 L看台15℃B60 ∠BAS=30°，∠ASB=75°-30°=45 第一排 由正弦定理，得BS=ABsin∠BAS6sin30 依题意可知∠PCB=45°，∠PBC=180°-60°-15° sin∠A.SB sin 45 =105°，∠PBO=60°，BC=10√6米， 3√2(km).] ∴.∠CPB=180°-45°-105°=30°， ·22· 第九章解三角形 CB ∴.在△PBC中，由正弦定理可知PB= 5.如图所示，货轮在海上以40km/h的速度由B向C sin∠CPB 航行，航行的方位角是140°.A处有一灯塔，在B处 ·sin∠PCB=20√3（米）， 观察灯塔A的方位角是110°，在C处观察灯塔A ∴.在Rt△POB中，OP=PB·sin∠PBO=20√3X 的方位角是35°，由B到C需航行半个小时，求C =30(米)，即旗杆的高度为30米. 到灯塔A的距离， 2 1109 答案：30 i409 4.如图所示，设A,B两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A所在的河岸边选定一点C,测出AC 的距离为50m,∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A, 35 B两点的距离为 m. 解：在△ABC中，BC=40X×2=20(km), ∠ABC=140°-110°=30°， ∠ACB=(180°-140°)+35°=75°， ∴∠BAC=75 解析：由题意知∠ABC=30°，由正弦定理，得 BC AC AB 由正弦定理，得AC sin 30 sin 75, sin∠ABC sin∠ACB1 ∴.AC=BCsin30 10 sin 75 sin45cos30°+cos45°sin30 AB=AC·sin∠ACB 50X 2 40 sin∠ABC =50√2(m) =10(√6-√2)(km). √6+√2 答案：50√2 故C到灯塔A的距离为10（√6一√2）km. 课后。素养提升 对应学生课时P4 基础过关 解析：C[方位角是指从正北方向顺时针旋转到达 JI CHU GUO GUAN 目标方向的水平角.如图所示，点B的方位角是 1.如图所示，为测一树的高度，测量者在地面上选取 180°-30°=150°.故选C. A,B两点，从A,B两点分别测得树尖的仰角为 ↑北 30°，45°，且A,B两点之间的距离为60m,则树的 ( ,东 高度为 B 3.某观察站C与两灯塔A,B的距离分别为300米和 430°4450 500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向 B 上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A, A.(15+3√5)m B.(30+15√5)m B间的距离为 C.(30+30√5)m D.(15+30√3)m A.500米 B.600米 解析：C[由正弦定理及已知条件可得 C.700米 D.800米 解析：C[由题意，在△ABC中，AC=300米，BC 60 PB 30 sin(45-30)sin 30,PB- 0x日 sin 15 sin 155, =500米，∠ACB=120°.利用余弦定理可得AB 所以树的高度h=PBsin45°=30sin45° =3002+5002-2×300×500×c0s120°，所以AB sin15° =30 =700米，故选C.] +30√3(m).] 4.有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和 2.若水平面上点B在点A南偏东30°方向上，则在点 坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改 A处测得点B的方位角是 ( ) 为30°，则坡底要延长的长度（单位：m)是 A.60 B.120° A.5 B.10 C.150° D.210° C.10√2 D.10√3 ·23· 数学B版·必修第四册 解析：C[如图，设将坡底加长到C时，倾斜角为 '.cos∠PBA+cos∠PBC=0.③ 30°，在△ABC中，AB=10m,∠C=30°，∠BAC= 由①②③，解得h=30√6或h=-30√6（舍去）， 75°-30°=45°. 即建筑物的高度为30√6m.] 7.作用在同一点的三个力F1,F2,F3平衡，己知F,= 30N,F2=50N,F1与F2之间的夹角是60°，则F 30 75H 与F,之间的夹角的正弦值为 BC 解析：本题以物理中的力的分解知识为背景，主要 由正弦定理得 AB sin∠BAC sinC.即BC= 考查正弦定理及余弦定理.由题意，知F应和F1, F2的合力F平衡.设F,与F1之间的夹角为0，作 ABsin∠BAC 0× =10√2(m).] 图（如图）， sin C 1 2 5.(多选题)某人向正东方向走了xkm后向右转了 660° 150°，然后沿新方向走了3km,结果离出发点恰好 √3km,则x的值为 ( ) A.5 B.2√5 可知当三力平衡时，由余弦定理得F,= C.2 D.3 √/302+502-2×30×50×c0s(180°-60°)=70N, 解析：AB[如图所示，在△ABC 3050 再由正弦定理得 50 70 中，AB=x,BC=3,AC=√5， in(180°-0-sin(180°-60)' ∠ABC=30°， 即sin0=50sin120°_55 由余弦定理得，AC=AB+BC-2AB·BC· 70 14 cos∠ABC. 即（√3）2=x2+32-2x·3·c0s30°. 答案9 ∴.x2-33x+6=0. 8.一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然 解得x=2√3或x=√5.] 后向右转105°，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这 6.如图所示，在地面上共线的三点A,B,C处测得一 时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x= 建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB=BC= 60m,则建筑物的高度为 ( 解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A 点，再爬行到B点， A/105° 30°4 60 456 B 0 1350 A.15√6m B.20√6m 易知在△AOB中，AB=10cm,∠OAB=75°， C.25√6m D.30√6m ∠ABO=45°，则∠AOB=60°. 解析：D[设建筑物的高度为h,由题图知，PA= 26,PB=,P0-2g, 由正弦定理知，x= AB·sin∠AB0_10Xsin45 sin∠AOB sin60° 在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得 10.6(cm). cos∠PBA=60+24,D 2X60×√2h 答案：105cm 0+2h- 9.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 cos∠PBC= 2×60×√2h .② 60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼的高 ,∠PBA+∠PBC=180°， 米，乙楼的高是 米 ·24· 第九章解三角形 解析：甲楼的高为20tan60°=20×√5=20√5 能力提升 NENG LI TI SHENG (米)；乙楼的高为20√3-20tan30°=20√5-20× 12.(2021·上海卷)已知在△ABC中，A、B、C所对边 98*. 分别为a,b,c,且a=3,b=2c. 答案：20万5 (1)若A-红，求S。的面积： (2)若2sinB-sinC=1,求△ABC的周长. 10.某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门 欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志， 解：0)cosA=+cd-1-4e+c2-9 2bc 2 4c2 小李、小王设计的底座形状分别为△ABC, △ABD,经测量AD=BD=7米，BC=5米，AC= C= 3v7 7； 8米，∠C=∠D.求AB的长度. 5meinA=×2×号×9-得 71 、214 (2)依题意，正弦定理： 平￥ ￥ 4￥B sin B sin C-sin B=2sin C b 解析：在△ABC中，由余弦定理得： COs C-ACBC-AB852AB 代入计算：4nC-smC-1PsnC-, 2AC·BC 2X8X5■， 在△ABD中，由余弦定理得： 剥血B号 COs D=AD+BD-AB7+7-AB 当B为锐角时，sinA=sin(B+C)=sin Bcos C 2AD·BD 2×7×7 由∠C=∠D,得cosC=cosD, +cos Bsin C=- ×22+5×142+5 3 3 3 3 9 解得AB=7,所以AB的长度为7米 42-√5 11.空中有一气球D,在它正西方向的地面上有一点 a 6 3 A,在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的 sin A sin B sin C 南偏东60°方向的地面上有一点B,测得气球的仰 6=8V2-25 3 角为30°，两观察点A,B相距266m,计算气球的 .C△c=4V2-√5+3 高度. 当B为钝角时，sinA=sin(B+C)=sin Bcos C 解：如图，设CD=x, +sBnc号×299xg4E, 9 西445°C 东 c=42+5 3 6030° a C sin A sin Bsin C B b=8V2+25 3 在Rt△ACD中，∠DAC=45°，所以AC=CD ∴.C△ABc=4V2+5十3 =x. 13.如图所示，一辆汽车从A市出发沿海岸一条直公 在Rt△BCD中，∠CBD=30°，所以CB= CD tan 30 路以100km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动 =√5x 时，在A市南偏东方向距A市500km且与海岸 在△ABC中，∠ACB=90°+60°=150°， 距离为300km的海上B处有一快艇与汽车同时 由余弦定理得AB2=AC+BC-2·AC·BC· 出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机. cos∠ACB, 所以260=+(62)-216x（月 300 500 所以x=38√7(m).所以气球的高度为38√7m. ·25· 数学B版·必修第四册 (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到 到司机手中。 司机手中？ (2)当o=60km/h时，在△ABC中， (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB AB=500,AC=100× 25=625,BC=60× 25 所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km,快艇应如何行 =375, 驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长 由余孩定理Os∠ABC=ABBCAC=0, 2AB·BC 时间？ .∠ABC=90°，故快艇应以垂直AB的方向向北 解：如图所示，设快艇以vkm/h的速度从B处出 偏东行驶 发，沿BC方向，t小时后与汽车在C处相遇. (3)如图所示，设快艇以75km/h的速度沿BE行 1北 东 驶，t小时后与汽车在E处相遇. 北 (1)在△ABC中，AB=500,AC=100t,BC=vt, BD为AC边上的高，BD=300. 设∠BAC=a,时sina=号，c0s&=号 500 由余弦定理得，BC心=AC+AB-2AB·ACcos a, 在△ABE中，AB=500,AE=100t,BE=75t, 即tt=10)3+500-2X500X10·手， eOs∠BAE-青 整理得，7=250000_80000+10000=250000 +2 t 由余弦定理(75t)2=5002+(100t)2-2×500× [务+()门 +10000- 10000×16 25 100×号，整理得1=4或1=190（会）， 7 =25060(}盖)+3060. 当t=4时，AE=400,BE=300, AB2=AE2+BE2, 当-即4-平时，元。=360=60. 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料 交到司机手中，最快需要4h. 即快艇至少以60km/h的速度行驶才能把稿件送 章末归纳提升 对应学生用书P13 [网络构建] a sin A sin B 2R sin C 变形 正弦定理 已知两角和任一边，解三角形 正弦定理的应用 已知两边及其中一边的对角，解三角形 a2=b2+c2- 2bccos A =a2+c2 2accos B 变形 c2 a2+62-2abcos C 解三角形 余弦定理 已知三边，求三角 余弦定理的应用 已知两边及其夹角，求其他的角和边 正弦定理与余弦定理的应用 实际应用 ·26·