9.1.3 正、余弦的综合运用（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 随堂。步步夯实 ---● 1.若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段 5.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 ( (a+b+c).(b+c-a)=3bc,sin A=2sin Bcos C. A.能组成直角三角形 试判断△ABC的形状. B.能组成锐角三角形 C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形 2.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:3,则 cosC的值为 ( A. B.-号C D.- 3.在△ABC中，a=7,b=4√5，c=√3，则△ABC的 最小角为 ⊙温攀提 4.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余 学习至此，请完成配套训练 弦值是一号则三角形的另一边长为 9.1.3正、余弦的综合运用 课程标准 素养解读 通过余弦定理、正弦定理的应用，提升逻辑推 能用余弦定理、正弦定理解决简单的几何问题， 理，数学运算素养」 课前。预习学案 [情境引入] (2)S= 我国南宋数学家秦九韶（约1202~1261）独立地 absin C-esinA 2acsin B: 发现了求三角形面积的方法.他把三角形的三边分别 (3)S=之·r·(a十b+c)(r为内切圆半径). 叫作大斜、中斜、小钭（如图），他在著作《数书九章》卷 五中记述：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自 [知识点二]几个重要结论 在△ABC中， 乘于以；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之.为实；一 为从隅，开平方得积.”用今天的符号来表示即 (1)若sin2A=sin2B,则A=B或A+B=受： (2)若cosA=cosB,则 ； (3)若a>b+c2,则△ABC为 (4)若a2=b2+c2,则△ABC为 小斜 b中斜 (5)若a2<b2+c2且2<a2+c2且c2<a2+b2,则 大斜 △ABC为 问题你能用所学的知识证明这个结论吗？ 2思考解三角形问题需注意哪些？ [知识梳理] [知识点一]三角形的面积公式 (1DS=a·h.(h:为a边上的高)： 1 ·6· 第九章解三角形 [预习自测] 4.若锐角△ABC的面积为10√3，且AB=5,AC=8, 1.在△ABC中，若b=2,A=120°，其面积S=√5，则 则BC等于 △ABC外接圆的半径为 ( 5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 A.5 B.2 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C) C.23 D.4 (1)求sinA的值； 2.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. (2)若a=4√2，b=5,求c. 若c2=(a-+6,C-5,则△ABC的面积是( A.3 B9③ 2 c. D.3√3 3.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且C= 否a十b=A,若△ABC面积的最大值为9，原，则入的值 为 A.8 B.12 C.16 D.21 ● 课堂。互动学案 题型一有关线段长度或夹角计算 ⊙[变式训练] [例1]如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB 1.如图，已知梯形ABCD中，AB =5,AC=9,∠BCA=30°，∠ADB=45°，求BD ∥CD,CD=2,AC=√I9, 的长. ∠BAD=60°，DE⊥AB,求梯形 A45°D 的高 30° 汇思路点拨了选择适当的三角形，合理利用正、余 弦定理解题， [尝试解答] 题型二】 与面积有关的荷题 [例2]在△ABC中，已知B=30°，AB=2√5，AC= 2,求△ABC的面积 [思路点拨]“根据所给条件，需先运用正弦定理 1 求出边BC,再代入S=)acsin B计算. 规律方法 [尝试解答] 解决与三角形长度有关的问题的策略 (1)若已知条件在同一个三角形中.则直接利用 正、余弦定理求解.(2)若已知条件及所求线段在 多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再 利用正、余弦定理求解. 7· 数学B版·必修第四册 规律方法 题型三角形中的边角等式的证明 1.在已知三角形一角求其面积时常运用公式S= [例3]△ABC中，角A,B,C对应边分别为a,b,c. sinC=-csin A=2 eesin B求解。 1 求证，a-2=sin(A一B) sin C 2.在已知两边及一边的对角运用正弦定理求另一 [思路点拨](1)运用正、余弦定理把左边转化为 边时应注意对解的个数的判定不能漏解，若有 角的式子，再推到右边 两解一般面积也有两个不同的值。 (2)运用正、余弦定理把右边角的式子转化为边的 3.已知三边求面积时，可用余弦定理求出一个角 式子，再推到左边。 的余弦进而求出它的正弦值，再代入面积公式， [尝试解答] 也可直接用海伦公式S Vp(p-a(p-b(p-c)(p-z(a+b+* 计算. 4.若所求面积的图形不规则，可通过作辅助线或 其他途径构造三角形转化为三角形的面积；而 对于面积的最值问题常利用函数的方法解决. ⊙[变式训练] 规律方法 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 三角形中的有关证明问题基本方法同三角恒等式 sinA+√3cosA=0,a=2√7，b=2. 的证明，但要注意灵活地运用正弦定理或余弦定 (1)求c; 理使混合的边、角关系统一为边的关系或角的关 (2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC,求△ABD的 系，使之转化为三角恒等式的证明，或转化为关于 面积. a,b,c的代数恒等式的证明，并注意三角形中的 有关结论的运用. ◇[变式训练] 3.在△ABC中，求证： a2-b2 b2-c2 os A+cos B cos B+cos Cc cos C+cos A=0. ·8· 第九章解三角形 题型四 三角形中的综合问题 ⊙[变式训练] [例4]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c 4.(2021·北京卷，16)已知在△ABC中，c=2 bcos B, (sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C. C- (1)求A: (1)求B的大小： (2)若√2a+b=2c,求sinC. (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使 汇思路点拨了“(1)由正弦定理将已知等式角化边， △ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的 再由余弦定理求出A;(2)由已知及正弦定理可解 长度 得sin(C十60°)的值，由两角差的正弦公式即可得 ①c=√2b;②周长为4十2√3； 解。 [尝试解答] ③面积为S△-3,5 4 规律方法 解三角形综合问题的方法 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余 弦定理、三角形面积公式等知识联系在一起. 要注意选择合适的方法、知识进行求解， (2)解三角形常与向量、三角函数知识综合考查， 解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻 译”题目条件.然后要根据题目条件和要求选 择正弦或余弦定理求解. 随堂。步步夯实 1.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的 5.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 顶角的余弦值为 ( 血n钻求角B sin C A.8 C.③ n号 2.在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=7,则AB·AC 等于 ( ) 号 R9c15 2 D.15 3.在△ABC中，bc=20,S△Ac=5V3,△ABC的外接 圆的半径R=√，则a= ⊙温攀提 4.在△ABC中，AB=2,AC=√6，BC=1+3,AD为 学习至此，请完成配套训练 边BC上的高，则AD的长是 ·9·=8+(W6+2)2-(2VB)2=1 2X22X(6+2)=2,因为0<A<元， 所以A=60°，C=180°-(A+B)=75°」 [例2][解]已知a:b:c=2:√6：(5+1)， 令a=2k,b=√6k,c=(3+1)k(k>0). 由余弦定理，得 cosA=2+c2-a2_6k2+(5+1D2k-42区 2bc 2×√6k×(√3+1)k 2 cosB=2+2-B2-42+(5+1)k2-6k21 2ac 2X2kX(√3+1)k 21 ..A=45°，B=60° .C=180°-A-B=180°-45°-60°=75 变式训练 2.解：根据余弦定理，cosA=2+c2-a 2bc =(6+25)2+(43)2-(26)25 2×(6+2W5)×(4√5) 2 A∈(0A=g,csC=2+22 2ab =(26)2+(6+23)2-(45)22 2×2√6×(6+2√5) 2 Ce0C=至 8B-A-C吾-受-品 A=合，B=7x,C- 7 [例3][解]由余弦定理可得 a.+22+6.2+e2- 2bc 2ac =c.2+b-c2 2ab 等式两边同乘以2abc得 a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-2), 整理化简得a+b4-2a2b2=c4, 所以(a2-b2)2=c4. 因此有a2-b2=c2或b2-a2=c2. 即a2=b2+c2或b2=a2+c2, 故△ABC为直角三角形， 变式训练 3.c[:2-a2-2>0. 2ab c2-a2-b2>0,∴.a2+b2<c2, ∴△ABC为钝角三角形，故选C.] 随堂步步夯实 1.B[因5十6>7，故能组成三角形，又因三角形最大边对 应的角的余孩值c0-表-号>0，所以领大月 为锐角，所以能组成锐角三角形.] 2.A[根据正弦定理，得a:b:c=sinA:sinB:sinC 3:2:3,设a=3k,b=2k, c=3k(k>0). 明有cC-支能2-J 3.解析：，a>b>c,.C为最小角， 由余孩定理得c0sC=2+2-一c 2ab 2+4-9C-吾 2×7×4W3 答案：晋 参考答案 4.解析：设另一边长为x,则x2=52+32一2×5×3× (号）=52x=2E 答案：2√13 5.解：因为(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 所以a2=b2+c2-bc. 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becos A,所以cosA=7.又 因为0°A<180°，所以A=60. 因为sinA=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 且sinA=2 sin Bcos C, 所以sin Bcos C=cos Bsin C,则sin(B-C)=0. 因为-180°<B-C<180°，所以B-C=0°， 即B=C. 又因为A=60°，所以B+C=180°一A=120°， 即B=C=60°，故△ABC为等边三角形 9.1.3正、余弦的综合运用 课前预习学案 情境引入 提示 1 S-2acsin B-2ac1-cos B- 2ac/1 a2+c2-b2 2ac 2 知识梳理 知识点二、(2)A=B(3)钝角三角形 (4)直角三角形 (5)锐角三角形 [思考] [提示]1.解决三角形中的综合问题需注意 解三角形与三角函数结合的题目是最近几年高考的一个 趋势，解决此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理 和三角函数公式为工具来综合考查，因此掌握正、余弦定 理、三角函数的公式和性质是解题的关键！ 2解几何计算问题的注意点 ()几何计算问题一般涉及三角形或多边形的边长、角度、 面积等，解题时要充分挖掘几何图形的性质 (2)分析图形中涉及的三角形或多边形，将所求问题归结到 尽可能少的三角形中 (3)合理利用正、余弦定理，选用恰当的计算公式。 预习自测 1kB[:s2csnA5-7×2m1w c=2,a=√P+c2-2 bccos A=√4+4-2X2X2(-z)】 =23,设△ABC外接圆的半径为R,∴2R=a, sin A 25=4, 2 R=2.] 2.C[.c2=(a-b)2+6 ∴a2+b2-c2=2ab-6 'a2+62-c2=2ab cos C=ab .2ab-6=ab,.ab=6 s=himC=×6x号-3，选c] 2 3B[由三角移的面积公式可得，SAANC=ainC= 99·()-得，当且收当a=6时取=”令 得=9，解得=12，选且] 91· 数学B版·必修第四册 4解析：S=AB·AC·sinin- 2 在锐角三角形中A=子，由余弦定理 BC=√WAB2+AC2-2AB·AC·cosA=7. 答案：7 5.解：(1)由cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)= cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-3 51 则c0s(A-B+B)=一子， 即osA=子 又0<A<π， 则mA=号 (2)根据余弦定理，有 4②2=52+e2-2X5cX(- 解得c=1或c=-7(负值舍去). 课堂互动学案 [例1][解]在△ABC中，AB=5,AC=9,∠BCA=30°. 由正弦定理得 AB AC sin∠BCA sin∠ABC' ∴.sin∠ABC=ACsin∠BCA_9sin30 9 AB 5 10 ,AD∥BC,∴.∠BAD=180°-∠ABC,于是sin∠BAD= sin(180°-∠ABC)=sin∠ABC-0 同里，在△ABC中，AB=5,in∠BAD-是 ∠ADB=4,A=nRD BD 中是世特即=9 21 2 10 变式训练 1.解：∠BAD=60°，.∠ADC=120. 在△ACD中，AC=√19，CD=2,∠ADC=120°， 由余弦定理，得 AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC, 即（√19）2=AD2+22-4ADc0s120°， 整理得AD2+2AD-15=0, AD=3或AD=-5(舍去) 之DE=ADn60-y所以#形的高为 2 [例2][解]由正孩定理，得sinC=AB:sinB AC 21 又AB·sinB<AC<AB,故该三角形有两解： C=60°或120°. .当C=60°时，A=90°，S△ABC= 2AB·AC sin A= 2√5： 当C=120时A=30,Sac=合AB:AMC·mA-E ∴.△ABC的面积为2√5或W3. 变式训练 2.解：(1)由已知得tanA=-尽，所以∠BAC=2 在△ABC中，由余弦定理得， 28=4+e2-4c0s5,即c2+2c-24=0, 解得c=一6（舍去），c=4. (2)由题设可得∠CAD=受， 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=若， 故△ABD面积与△ACD面积的比值为 AB·AD·m AC·AD 1 又△ABC的面积为2X4X2sin∠BAC=2厅. 所以△ABD的面积为√5 [例3][证明]证法一：由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B, Ep a2-b2 =c(acos B-bcos A), 变形得2-=aeosB--bcos A=acos B-b c2 -cos A, C c 品品Bc得兰-品晨 由正弦定理 b bsin B c sin C sin Acos B-sin Bcos A sin(A-B) c2 sin C sin C 等式成立 证法二.sin(A-B)=.sin Acos B-cos Asin B sin C sin C sin Ccos B-sin B =sin A sin Ccos A, a b C sin A sin B sin C' .sinAa,sin Bb sin C c'sin Cc cos B=a2+c2 2ac cos A=62tc2-a2 2bc 代入上式得 sin(A-B) =a.a2+c2-b2b,b+c2-a2 sin C 2ac 2bc a2+c2-2_b2+c2-a2=2(a2-)-a2-b2 2c2 2c2 2c2 c2 等式成立 变式训练 a2-b2 3.证明：“coA+cosB (2Rsin A)2-(2Rsin B)2 cos A+cos B =4R2[(1-c0s2A)-(1-cos2B)] cos A+cos B 4R2(cos2B-cos2A) cos A+cos B =4R2(cos B-cos A) b2-c2 同理：cosB+c0sC-4R(cosC-cosB》: c2-a2 cos CcosA-4R(cos A-cos C). ∴.左边=4R2(cosB-cosA)+4R2(cosC-cosB)+ 4R2(cos A-cos C)=0. 左边=右边，故原等式成立. 92 [例4][解](1)由已知得sinB+sin2C-sin2A= sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. 由余孩定理得cosA-+c2一a21 26c 2 因为0°<A<180°，所以A=60° (2)由(1)知B=120°一C,由题设及正弦定理得√2sinA十 sn120-0=2nc,p9+号wC+方nC=2aC 可得c0s(C+60)=二2，由于0<C<I20,所以5n +60)=号，故sinC=sin(C+60°-60)=sin(C+60) cos60°-c0s(C+60°)sin60°=6+2 4 变式训练 4.解：(1)由正弦定理b sin Bsin C sin C-2sin Bcos B= sin 2B, 故C=2B(舍)，或C+2B=元，故B=A=. (2)由(1)知，c=√3b,故不能选①. 选②，设BC=AC=2x,则AB=2√3x, 故周长为(4+2√5)x=4十2√5，解得x=1, 即BC=AC=2,AB=2√3，设BC中点为D,则在△ABD 中，由余弦定理，cosB=AB2十BD2-AD21+12-AD 2XABXBD 4W3 -9解将AD=反 选③，设BC=AC=2.x,则AB=2√3x,故S44BC= 名x2r)x2r)xm120=ar-3, 41 解得-，即BC=AC=厅，AB=3,设BC中点为D, 则在△ABD中 由余弦定理，osB=AB2+BD2-AD2 2XABXBD 9+3)2 -AD2 (2 3√5 -要降得AD=四 2 随堂步步夯实 1.D[设顶角为C,l=5c,.a=b=2c, 由余弦定理得：cosC=a2+b2-c2=4c2+4c2-c2 2ab 2 2.B[c0sA=AB2+AC-BC252+32-72 1 2·AB·AC 2×5×3 2 ∴AB·AC=|AB|·|AC|·cos∠BAC=5X3× ()号故选B] 3.解折：SAic=分besinA=5V5,sinA- 1 2 由Q sn12R,..a=2√3×)=3. 答案：3 4.解析：∵cosC= c支AC-9ce0m 2XBCXAC .sinC号，AD=AC·sinC=V3 答案：W3 ·9 参考答案 5,解：由sinB-sinA=Ba+及正弦定理知二4 sin C atb =3a+c a+b' 整理得b2-a2=√5ac+c2, 即a2+c2-b2=-√3ac. 故由余孩定理可知c0sB=Q2+c2-2=-5ac=一区， 2ac 2ac 2” 又B∈(0，x),所以B=5四 61 9.2正弦定理与余弦定理的应用 课前预习学案 情境引入 提示测量距离，测量高度，测量角度等， 知识梳理 知识点一、正角锐角 [思考] 1.[提示]方向角是从指定方向线到目标方向线的小于 90°的水平角，而方位角是从正北方向顺时针转到目标方 向线所成的角. 2.[提示]坡度是坡面与水平面所成的二面角的度数，而 坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比. 3.[提示](1)检验求解出的结果是否符合实际意义； (2)题中求解往往有精确度的要求，要合理选择近似值， 并且为了避免误差的积累，解题过程中应尽量地使用 已知（原始）数据，少用或不用间接求出的近似值，必 用时要按照近似计算的规则取近似值； (3)利用正弦定理、余弦定理解应用题时，往往数据较多， 关系较复杂，因此在解答过程中，要做到算法简练、算 式工整、计算准确，还应注意方程思想的应用 预习自测 1.D[根据题意和方向角的概念画出草 北 图，如图所示.a=55°，则3=a=55°. 所以，点B在点A的南偏西55°.] 2.D[在△ABC中，C=180°-60°-75 =45”,由正弦定理，得BC 10 东 浮sin60=sin45, 解得BC=5√6 n mile.] 3.解析：设AB=x,在Rt△ABC中，∠ACB=45°， ∴.BC=AB=x:在Rt△ABD中，∠ADB=30°，.BD= √5.x:在△BCD中，∠BCD=120°，CD=500m,由余弦定 理得(V5x)2=x2+5002-2×500x0s120°，解得x= 500m. 答案：500 4.解析：过点D作DE∥AC交BC于E,因为∠DAC=30°， 故∠ADE=150°.于是∠ADB=360°-150°-60°=150°. B 60° E D A30° C 又∠BAD=45°-30°=15°， 故∠ABD=15°，由正弦定理得 AB=ADsin∠ADB sin∠ABD -1000sin150° sin15° =500(√6+√2)(m). 所以在Rt△ABC中，BC=ABsin45°=500(W3+1)(m. 答案：500（√3+1）