9.1.3 正、余弦的综合运用（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 9.1.3正、余 课程标准 能用余弦定理、正弦定理解决简单的几何问题. 课前。 [情境引入] 我国南宋数学家秦九韶（约1202~1261）独立地 发现了求三角形面积的方法.他把三角形的三边分别 叫作大斜、中斜、小斜（如图），他在著作《数书九章》卷 五中记述：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自 乘于以；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之.为实；一 为从隅，开平方得积.”用今天的符号来表示即 小斜 b中斜 大斜 e 问题你能用所学的知识证明这个结论吗？ 提示S=ucsin B=号ac·-cosB= ac -(a)/-()门 [知识梳理] [知识点一]三角形的面积公式 1 (1)S=2a·h.(h.为a边上的高)： sin C=-子csnA=子 (2)S=1 2acsin B: (3)S=号(a+6十c)r为内切圆半径). [知识点二]几个重要结论 在△ABC中， (1)若sin2A=sin2B,则A=B或A十B= 2 (2)若cosA=cosB,则A=B; (3)若a2>b2十c2,则△ABC为钝角三角形： (4)若a2=b2+c2,则△ABC为直角三角形； (5)若a2<b2+c2且b2<a2+c2且c2<a2+b2,则 △ABC为锐角三角形， ·1 弦的综合运用 素养解读 通过余弦定理、正弦定理的应用，提升逻辑推 理，数学运算素养 预习学案 对应学生用书P6 ?思考解三角形问题需注意哪些？ 汇提示]1.解决三角形中的综合问题需注意 解三角形与三角函数结合的题目是最近几年高考 的一个趋势，解决此类问题常以三角形为载体，以 正、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查， 因此掌握正、余弦定理、三角函数的公式和性质是 解题的关键. 2.解几何计算问题的注意点 (1)几何计算问题一般涉及三角形或多边形的边长、 角度、面积等，解题时要充分挖掘几何图形的 性质， (2)分析图形中涉及的三角形或多边形，将所求问题 归结到尽可能少的三角形中. (3)合理利用正、余弦定理，选用恰当的计算公式. [预习自测] 1.在△ABC中，若b=2,A=120°，其面积S=√3，则 △ABC外接圆的半径为 ( A.√5 B.2 C.2√5 D.4 解析：B[:S=besin A,5=号×2csin120, c 2 ∴.a= √0+c2-2 bccos A /4+4-2×2X2 1 2 =2√5，设△ABC外接圆的半 径为R,.2R= a_2W5 =4,∴.R=2.] sin A 2 2.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 若c2=(a一b+6,C-号，则△ABC的面积是 A.3 B.93 2 C.3⑤ 2 D.3√3 解析：C[.c2=(a-b)2+6 .a2+b-c2=2ab-6 '.'a2+62-c2=2ab cos C=ab .2ab-6=ab,.ab=6 s3iinc-士x6×99&c] 2 3.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b,c,且C= 否a十b=A,若△ABC面积的最大值为9，E,则入的值 为 A.8 B.12 C.16 D.21 解析：B[由三角形的面积公式可得，S△ABC= snc9k9.告y得，s收当 4=b时取“=”，令=95，解得入=12，选B.] 16 4.若锐角△ABC的面积为10√3，且AB=5,AC=8, 则BC等于 解析：S=号AB·AC·sinsi= 2, 在锐角三角形中A=背，由余弦定理 BC=√JAB+AC2-2AB·AC·c0sA=7. 答案：7 课堂⊙ 题型有关线段长度或夹角计算 [例1]如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB =5,AC=9,∠BCA=30°，∠ADB=45°，求BD 的长. A45°D 30° B 汇思路点拨了选择适当的三角形，合理利用正、余 弦定理解题， [解]在△ABC中，AB=5,AC=9,∠BCA=30. 由正弦定理得，一 AB AC sin∠BCA sin.∠ABC1 ∴sin∠ABC=ACsin∠BCA_9sin30°9 AB 5 101 :AD∥BC,.∠BAD=180°-∠ABC,于是 sin∠BAD=sin(180°-∠ABC)=sin∠ABC=D 9 同理，在△ABC中，AB=5,sin∠BAD=0: 9 ∠ADB=45°， AB BD sin45sin∠BAD 、实三—号·平子字—多空 2 2 10 ·1 第九章解三角形 5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-3 5 (1)求sinA的值； (2)若a=4√2，b=5,求c. 解：(1)由cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C) 得cos(A-BmsB-sin(A-B)sin B=子， 则c0s(A-B+B)=- 3 即c0sA=-亭又0<A<x, 3 则snA=票 (2)根据余弦定理，有 4)=5+c2-2x5cX(-号). 解得c=1或c=一7（负值舍去）. 互动学案 对应学生用书P7 规律方法 解决与三角形长度有关的问题的策略 (1)若已知条件在同一个三角形中.则直接利用 、 正、余弦定理求解.(2)若已知条件及所求线段在 多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再 利用正、余弦定理求解。 ◇[变式训练] 1.如图，已知梯形ABCD中，AB ∥CD,CD=2,AC=19, ∠BAD=60°，DE⊥AB,求梯形 的高 解：∠BAD=60°，.∠ADC=120. 在△ACD中，AC=19,CD=2,∠ADC=120°， 由余弦定理，得 AC2=AD+DC2-2AD·DCcos∠ADC, 即（√J19)2=AD2+22-4ADc0s120°， 整理得AD2+2AD-15=0, .AD=3或AD=-5(舍去). DE=ADsin60三3，所以梯形的高为3月 2 题型二 [与面积有关的问题 [例2]在△ABC中，已知B=30°，AB=2√5，AC 2,求△ABC的面积. 数学B版·必修第四册 汇思路点拨]根据所给条件，需先运用正弦定理 求出边BC,再代入S=2 aesin B计算。 [解]由正弦定理，得sinC=AB,sinB-B AC 2 又AB·sinB<AC<AB,故该三角形有两解： C=60°或120°. 当C=60时，A=90°，5a=号AB·AC· sinA=2√3； 1 当C=120时，A=30,S△c=2AB·AC·sinA =5. ∴.△ABC的面积为2√或W3. 规律方法 1.在已知三角形一角求其面积时常运用公式S 2 absin C=-besin A=2 acsin B求解。 .1 2.在已知两边及一边的对角运用正弦定理求另 边时应注意对解的个数的判定不能漏解，若有 两解一般面积也有两个不同的值， 3.已知三边求面积时，可用余弦定理求出一个角 的余弦进而求出它的正弦值，再代入面积公式， 也可直接用海伦公式S Vp(p-a)(p-bX(p-c(p-z(a+b+o* 计算. 4.若所求面积的图形不规则，可通过作辅助线或 其他途径构造三角形转化为三角形的面积；而 对于面积的最值问题常利用函数的方法解决。 ◇[变式训练] 2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sinA+3cosA=0,a=2√7，b=2. (1)求c; (2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC,求△ABD的 面积 解：(1)由已知得tanA=-√，所以∠BAC- 3 在△ABC中，由余弦定理得， 28=4+2-4cc0s经，即2+2-24=0， 解得c=-6(舍去)，c=4. (2)由题设可得∠CAD=T 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD= 6 ·1 故△ABD面积与△ACD面积的比值为 号AB:ADsm 三1， 合AC.AD 又△ABC的面积为 X4X2sm∠BAC=2. 所以△ABD的面积为√3. 题型三角形中的边角等式的证明 [例3]△ABC中，角A,B,C对应边分别为a,b,c. 求证，-b-sin(A-B) 2 sin C 汇思路点拨](1)运用正、余弦定理把左边转化为 角的式子，再推到右边. (2)运用正、余弦定理把右边角的式子转化为边的： 式子，再推到左边. [证明]证法一：由余弦定理得 a2=62+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B, a2-62=c(acos B-bcos A), 变形得0二_acos Bbeos A=4osB c b ccos A, in A sin B-sin c得g=DA, 由正弦定理，Q一 b E_C sin C' bsin B c sin C' 02-62 sin Acos B-sin Bcos Asin(A-B) sin C sin C 等式成立 证法二：sin(A-B)-sin Acos B-cos Asin B sin C sin C sin Ccos B-sin B =sin A sin Ccos A, a b sin A sin B sin C' 器-"82 cos B=a'tc- 2ac e,cos A=6+c2-a 2bc 代入上式得 sin(A-B)a.a'te-bb.ca sin C 2ac 2bc =a2+c2-b_b2+c2-a2=2(a2-)=a2-6 2c 2c2 2c 等式成立 规律方法 三角形中的有关证明问题基本方法同三角恒等式 的证明，但要注意灵活地运用正弦定理或余弦定 理使混合的边、角关系统一为边的关系或角的关 系，使之转化为三角恒等式的证明，或转化为关于 a,b,c的代数恒等式的证明，并注意三角形中的 有关结论的运用. ⊙[变式训练] 3.在△ABC中，求证： a2-b2 b2-c2 c2-a2 cos A+cos B'cos B+cos C cos C+cos A =0. 证明：， a2-b2 (2Rsin A)2-(2Rsin B)2 cos A+cos B cos A+cos B =4R2[(1-c0s2A)-(1-cos2B)] cos A+cos B 4R (cos'B-cos A)=4R (cos B-cos A). cos A+cos B b2-c2 同理：cosB+cosC=4R(cosC-cosB): 2-a2 cos CFcos A=4R(cos A-cos C). .左边=4R(cosB-cosA)+4R2(cosC-cosB)+ 4R(cosA一c0sC)=0.左边=右边，故原等式成立. 题型四三角形中的综合问题 [例4]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. (sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C. (1)求A; (2)若√2a十b=2c,求sinC. [思路点拨](1)由正弦定理将已知等式角化边， 再由余弦定理求出A;(2)由已知及正弦定理可解 得sin(C+60)的值，由两角差的正弦公式即可得 解. [解](1)由已知得sin2B+sinC-sinA= sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得cosA=十c2-a21 2 因为0°<A<180°，所以A=60° (2)由(1)知B=120°一C,由题设及正弦定理得 反nA+n12-G=2C中5+9sC叶 号sinC=2sinC,可得cos(C+60)=9南于09 <C<120,所以sin(C+60)=号，故sinC=sm (C+60°-60°)=sin(C+60°)cos60°-cos(C+ 60)sin60°=6+V2 4 ·1 第九章解三角形 规律方法 解三角形综合问题的方法 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余 弦定理、三角形面积公式等知识联系在一起. 要注意选择合适的方法、知识进行求解 (2)解三角形常与向量、三角函数知识综合考查， 解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻 译”题目条件.然后要根据题目条件和要求选 择正弦或余弦定理求解. ◇[变式训练] 4.(2021·北京卷，16)已知在△ABC中，c=2 bcos B, C-2π 3 (1)求B的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使 △ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的 长度 ①c=√2b:②周长为4+2√5： ③面积为S。c=3 4 解：(1)由正弦定理b。 sin B-sin C sin C=2sin B cos B=sin 2B, 故C=2B(舍)，或C+2B=元，故B=A=F (2)由(1)知，c=√3b,故不能选①. 选②，设BC=AC=2x,则AB=2√5x,故周长为 (4+2√3)x=4+2√3，解得x=1, 即BC=AC=2,AB=2√5，设BC中点为D,则在 △ABD中，由余弦定理，cosB=AB十BD-AD 2XABXBD -出2AD-解得AD=7, 4√3 选③，设BC=AC=2x,则AB=2√3.x,故SMBC= 号×2)×2x)Xsin120°=5r-3y5 4 解得x号即BC=AC=-尽，AB=3,茂BC中点 为D,则在△ABD中， 由余弦定理，cOsB=AB十BD2-AD2 2XABXBD 9+ -AD 2 33 号，解得AD=② 2 数学B版·必修第四册 ● 随堂。 1.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的 顶角的余弦值为 ( ) A是 R是 D.8 解析：D[设顶角为C,.l=5c,∴.a=b=2c, 由余弦定理得：cosC=a+-c=4c2+4c2-c2 2ab 2X2c×2c = 2.在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=7,则AB·AC 等于 ( A.号 号 C.153 2 D.15 解析：B[cosA= AB2+AC-BC2 2·AB·AC 52+32-72 1 2×5×3 2 .AB·AC=|AB|·|AC|·cos∠BAC=5×3X ()受故选R] 3.在△ABC中，bc=20,S△Ac=55,△ABC的外接 圆的半径R=√3，则a= 解折：m=sinA=55,snA-项 21 2Ra=26×9-3, 由， 答案：3 课后0 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.已知锐角△ABC的面积为3√5，BC=4,CA=3,则 角C的大小为 ( A.75 B.60 C.45 D.30 解析：B[:3g=×4×8sinC,∴snC-, ,△ABC为锐角三角形，∴.C=60°，故选B.] 2.△ABC中，BC=2,B=号，当△ABC的面积等于 时C等于 A号 B.2 ·1 步步夯实 对应学生用书P9 4.在△ABC中，AB=2,AC=√6，BC=1+3,AD为 边BC上的高，则AD的长是 解折：cosC-KC-9C∈0，x. 2XBC×XAC nC-号AD=C=8 答案：√3 5.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 sinB-sinA-Ba+S,求角B. sin C a+b 解：由血BA-古及正殡定理知 sin C a+b =3a十c a+b, 整理得b-a=√5ac+c2, 即a2+c2-b2=-3ac. 故由余弦定理可知 cos B-atc-3ac 2ac 2ac 2, 又B∈(0，元)，所以B=5n 61 素养提升 对应学生课时P3 1 解析：B[由正弦定理得S△Ac=2·AB·BC· AB-1.AC=AB+BC -2AB·BC·c0sB=1+4-4X2=3,.AC= ,再由正弦定理，得C=52∴inC-分] sin C π sin 3 3.在△ABC中，∠ABC=年，AB=E,BC=3, 则sin∠BAC= ( A B.0 5 C.3v⑩ 10 解析：C[由余弦定理，得AC2=AB+BC2-2AB X BCX cos-开=2+9-2×2X3x号 2 =5..AC= 5.由正弦定理，得AC BC sin B sin A sin A= BCsin B 3X② AC √5 4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 且b2+c2=a2+bc.若sin Bsin C=sin2A,则 △ABC的形状是 ( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析：C[由b+c2=a+bc及余弦定理，知A= 号，又由sin Bsin C=sinA及正孩定理，得bc=d =b十c2一bc,所以(b-c)2=0,即b=c,所以 △ABC为有一个内角为号的等腰三角形，即为等 边三角形.故选C.] 5.(多选题)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别 为a6c老号-参则△N0可以是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C,等腰直角三角形 D.等边三角形 解折：AB[由%双余狡定里，得 b2-b2+c2-a 2 becos即8=osB 2accos B b cos A' 所以由正弦定理，得sinA sin B =cosB,所以有sin2A=sin2B,从而2A=2B或 cos A 2A+2B=,即A=B或A+B=受故选AB.] 6.(2021·全国甲卷（文）)在△ABC中，已知B= 120°，AC=√19，AB=2,则BC= A.1 B.√2 C.√5 D.3 解析：D[知道一角和二边，求第三边显然用余弦 定理， c0s120=4+c-B-1-a+4-19 2ac 22·a·2 a2+2a-15=0,利用十字叉乘法→(a-3)(a+5) =0,所以a=3,故选D.] ·1 第九章解三角形 7.已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b, c,且-8=a6,C-音则册含的值为 解析：由余弦定理，得c2-b2=a2-2 abcos C=a ab=ab,所以a=2b,所以由正弦定理，得sinA=4 sin Bb =2. 答案：2 8.(2021·全国乙卷（理）)记△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为3，B=60°，a2+c2= 3ac,则b= 解析：由Sa=4 esin B,.得3=acsin60,中 3= 军ac,得ac=4,所以a2+c2=3ac=12, 则由余弦定理，得b2=a2十c2-2 accos60°=12-2 ×4X2=8,所以6=2VE. 答案：2√2 9.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若 a=√7，b=2,A=60°，则sinB= c= 解析：本小题考查正弦定理、余弦定理.由a 'sin A 得sinB=名nA=阿 b 7 由a2=b2+c2-2 bccos A,得c2-2c-3=0, 解得c=3(舍负). 答案：四3 7 10.(2021·新高考I卷)记△ABC的内角A,B,C的 对边分别为a,b,c,已知b2=ac,点D在边AC上， BDsin∠ABC=asin C. (1)证明：BD=b; (2)若AD=2DC,求cos∠ABC. 解析：(1)证明：在△ABC中，由正弦定理得，BD ·b=ac,又b2=ac,所以BD·b=b2,即BD=b, (2②)若AD=2DC,则AD-号b,DC-3b, 在△ABD中，由余弦定理得cos∠ADB= 数学B版·必修第四册 DA2+DB2-AB2 +b2-c2 2DA·DB 2· 导b 在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC= DB2 +DC2-BC2 6+ -a2 2DB·DC 2b+形-c2 因为∠ADB+∠BDC=元，所以 2.3 +( 2 -a =0,即=2a+e. 又6=ac,所以号ac=2a2+,即6a-11ac+3c =0,即(3a-c)·(2a-3c)=0,所以3a=c或2a =3c. 当3a=c时，由号=2d+c,得。2=专0e 9a2=3b2, 在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC= BA2+BC2-AC2 a2+c2-62 2BA·BC 2·a·c 子容+6-》寻8 3 2·b 26名>1，不成立 当2如=0时，由号8=2d十 得a=多6e2=6, 3 在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC BA2+BC2-AC2 a2+c2-62 2BA·BC 2·a·c 数6 7 2·b 2·6=12综上，所求 cos∠ABC-2: 7 答案：1)见解析：(2) 11.在△ABC中，a2+b2-mc2=0(m为常数)， 且A+骨求m的值 解：由余弦定理c2=a2十b2-2 abcos C,得a2+b =c2+2 abcos C,由a2+b2-mc2=0,得c2+ 2 abcos C=mc2,即2 abcos C=(m-1)c2.结合正 弦定理，得2 sin Asin B cos C=(m-1)sin2C,又 · 由 cos A cos B cos C 得 sin A sin B sin C, cos Asin B十cos Bsin A-sincA.十B=osC,即 sin Asin B sin Asin B sin Asin Bcos C=sinC,m-1=2, 所以m=3. 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b, cA为领角，lg6十1g2-tg sin A=一lgE,则 △ABC为 () A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析：D[因为gb叶1g-gSmA=-g厄。 所以g2-g血A=g号，所以c=@, 且5nA-国为A为能角，所以A=子， 所以a2=b+c2-2bcc0sA=b2+2b2-2bX√2b× =，所以a=b,所以B=,所以C=受，故 2 △ABC为等腰直角三角形.故选D.] 13.(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A,B,C所 对的边长分别为a,b,c,b=a十1，c=a十2. (1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积； (2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角 形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 解：(1)2sinC=3sinA,.∴.2c=3a,又，c=a十2， .a=4,b=5,c=6. easA-十4-是在AABC中符 2bc sin A= 4 △ABC面积S= 2bcsin A=157 4 (2)由△ABC为钝角三角形，b=a十1，c=a十2， 得c边最大，所以C角最大 cosC-at6-c-a+(a+1)-(a+2)<0. 2ab 2a(a+1) 得a2-2a-3<0, 所以一1<a<3,因为a为正整数， 所以a=1或a=2, 当a=1时，b=2,c=3,此时a十b=c,与题不符 .存在正整数a=2,使得△ABC为钝角三角形.